2020年宜春市高中必修二数学下期中模拟试题带答案

2020年宜春市高中必修二数学下期中模拟试题带答案

一、选择题 1．已知直线
l
过点
(1,0)
，且倾斜角为直线
l
0
：
x?2y?2?0
的倾斜角的2倍，则直线
l
的方程为（ ）

A
．
4x?3y?3?0

C
．
3x?4y?4?0

B
．
3x?4y?3?0

D
．
4x?3y?4?0

2
．已知定义在
R上的函数
f(x)?2
x?m
?1(m为实数)
为偶函数
,记
a=f(log
0.5
3),b=f(log
2
5),c=f (2m)
,
则
a,b,c
,
的大小关系为（

）

A
．
a?b?c
B
．
c?a?b
C
．
a?c?b
D
．
c?b?a

3．已知点
P
?
x,y
?
是直线
kx?y?4?0
?
k?0
?
上一动点，
PA,PB
是圆
C:x
2
?y
2
?2y?0
的两条 切线，切点分别为
A,B
，若四边形
PACB
的面积最小值为
2，
则
k
的值为（ ）

A
．3
B
．
21

2
C
．
22
D
．2

4．在我国古代数学名著 九章算术 中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，如
图，在鳖臑
ABCD
中，
AB?
平面
BCD
，且
AB?BC?CD
，则异面直线
A C
与
BD
所成角的余弦值为（ ）


A
．
1

2
B
．
?
1

2
C
．
3

2
D
．
?
3

2
5．已知点A（1，2），B（3，1），则线段AB的垂直平分线的方程是（ ）

A
．
4x?2y?5

A
．直角三角形

为（

）

A
．
B
．
4x?2y?5

B
．等边三角形

C
．
x?2y?5

C
．正方形

D
．
x?2y?5

D
．正六边形

6．用一个平面去截正方体，则截面不可能是（ ）

7．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为
4
，底面边长为< br>2
，则该球的表面积
81
?

4
B
．
16
?
C
．
9
?
D
．
27
?

4
8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )

A
．12

C
．24

B
．18

D
．30

9．在梯形
ABC D
中，
?ABC?90?
，
ADBC
，
BC?2AD?2A B?2
.将梯形
ABCD
绕
AD
所在直线旋转一周而形成的曲面所围 成的几何体的体积为（

）

A
．
2
?

3
B
．
4
?

3
C
．
5π

3
D
．
2
?

22
10．已知
A B
是圆
x?y?6x?2y?0
内过点
E(2,1)
的最短弦，则< br>|AB|
等于（ ）

A
．
3
B
．
22
C
．
23
D
．
25

11．若底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为
5
，它的对角线的长分别是
9
和
15
，则这个棱柱的侧面积是
( )
．

A
．
130
B
．
140
C
．
150
D
．
160

12．α
，< br>β
是两个不重合的平面，在下列条件中，可判断平面
α
，
β
平 行的是（ ）

A
．
m
，
n
是平面
?< br>内两条直线，且
m
?
，
n
?

B
．
?
内不共线的三点到
?
的距离相等

C
．
?
，
?
都垂直于平面
?

D
．
m
，
n
是两条异面直线，
m?
?
，n?
?
，且
m
?
，
n
?

二、填空题
13．光线由点P(2,3)射到直线x+y+1=0上，反射后过点Q(1,1) ，则反射光线方程为
__________
．

14．如图，正方体
ABCD
﹣
A
1
B
1
C
1
D
1< br>的棱长为1，
M
为
B
1
C
1
中点，连接A
1
B
，
D
1
M
，则异面直线
A1
B
和
D
1
M
所成角的余弦值为
______ __________________
．


15．点
(5,2)
到直线
(m?1)x?(2m?1)y?m?5
的距离的最大值为
_____ ___
.

2
y
x
xOy
16．在平面直角坐标系 中
,
设将椭圆
2
?
2
?1
?
a?0
?
绕它的左焦点旋转一周所覆
aa?1
2

盖的区域为
D
，
P
为区域
D
内的任一点，射线
x－y?0
?
x?2
?
上的点为
Q
，若
PQ
的最
小值为
a
，则实数
a
的取值为
_____
．

1 7．若圆
C
1
：
x+y+ax+by+c=0
与圆
C
2
：
x?y?4
关于直线
y?2x?1
对称，则
2222
c?
______
.

18．将一张坐标纸折叠一次，使点
(10,0)
与点
(?6,8)
重合，则与点
(?4,2)
重合的点 是
______
.

19．已知
B
与点
A
?
1,2,3
?
关于点
M
?
0,?1,2
?
对称，则点
B
的坐标是
______
．

20．在正方体
ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
中 ，
E
是棱
DD
1
的中点，则直线
BE
和平面
ABB
1
A
1
所成
的角的正弦值为
__________ ___
.

三、解答题
21．如图，在直三棱柱
ABC?A
1
B
1
C
1
中，
AD?
平面
A
1
BC
，其垂足
D
落在直线
A
1
B
上．< br>

（Ⅰ）求证：
BC?A
1
B
；

（Ⅱ）若
P
是线段
AC
上一点，
AD?3,AB?BC?2
，三棱锥
A
1
?PBC
的体积为
AP
3
，求的值 .

PC
3
22．如图，在棱长均为4的三棱柱
ABC?A
1
B
1
C
1
中，
D,D
1
分别是
BC
和
B
1
C
1
的中点.


（ 1）求证：
A
1
D
1

平面
AB
1
D

（2）若平面
ABC?
平面
BCC
1
B
1
,?B
1
BC?60?
，求三棱锥
B
1
?AB C
的体积.

23．如图，在平面直角坐标系
xoy
中，点
A(0,3)
，直线
l:y?2x?4
，设圆
C
的半径为
1
，

圆心在
l
上
.

< br>（
1
）若圆心
C
也在直线
y?x?1
上，过点
A
作圆
C
的切线，求切线方程；

（
2
）若圆< br>C
上存在点
M
，使
MA?2MO
，求圆心
C
的横坐标
a
的取值范围
.

24．如图所示，四棱锥
B?A EDC
中，平面
AEDC?
平面
ABC
，
F
为BC
的中点，
P
为
BD
的中点，且
AE
∥DC
，
?ACD??BAC?90?
，
DC?AC?AB?2AE
．


（Ⅰ）证明：平面
BDE?
平面
BCD
；

（Ⅱ）若
DC?2
，求三棱锥
E?BDF
的体积．

25．已知点
P
?
1,0
?
，
Q
?
4, 0
?
，一动点
M
满足
MQ?2MP
.

（
1
）求点
M
的轨迹方程；

（
2
）过点
A
?
2,3
?
的直线
l
与（
1< br>）中的曲线有且仅有一个公共点，求直线
l
的方程
.

26． 已知三角形
ABC
的顶点坐标分别为
A
(4,1)
，
B(1,5)
，
C
(?3,2)
；

（
1
）求直线
AB
方程的一般式；

（
2
）证明△
ABC
为直角三角形；

（
3
）求△
ABC
外接圆方程．


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一、选择题

1．D
解析：
D

【解析】

设直线
l
0
的倾斜角为
?
，则斜率
k
0< br>?tan
?
?
1
，所以直线
l
的倾斜角为
2
?
，斜率
2
k?tan2
?
?
2tan
?
44
1,0
?y?(x?1)
，即，又经过点（），所以直线方程为
1?tan
2
?
33
4x?3y?4?0
，选
D.

2．B
解析：
B

【解析】

由
f?
x
?
为偶函数得
m?0
,
所以
a?2
log
0,5
3
?1?2
log
2
3
?1?3? 1?2,
b?2
log
2
5
?1?5?1?4
,
c ?2
0
?1?0
,
所以
c?a?b
,
故选
B.

考点：本题主要考查函数奇偶性及对数运算
.

3
．
D
解析：
D

【解析】

【分析】

当且仅当
PC
垂直于
kx?y?4?0
?
k?0
?
时，四边形
PACB
的面积最小，求出
PC后可
得最小面积，从而可求
k
的值.

【详解】
圆
C
方程为
x
2
?
?
y?1
?
?1
，圆心
C
?
0,1
?
，半径为1．

2
因为
PA
，
PB
为切线，

1
22
?PC?PA?1
且
S
四边形PACB
=2??PA?1?PA ?2
．

2
?
当
PA
最小时，
S
四边形PACB
最小，

此时
PC
最小且
PC
垂直 于
kx?y?4?0
?
k?0
?
．

又
PC
min
?
【点睛】

圆中的最值问题，往往 可以转化圆心到几何对象的距离的最值来处理，这类问题属于中档
题
.

?< br>5
?
?2
2
+1
2
，
?k?2
，故 选
D.

，
?
??
2
2
k?1
?
k?1
?
5
2
4
．
A
解析：
A

【解析】

如图，分别取
BC,CD, AD,BD
的中点
M,N,P,Q
，连
MN,NP,PM,PQ
，< br>

则
MNPBD,NPPAC
，

∴
?PNM
即为异面直线
AC
和
BD
所成的角（或其补角） ．

又由题意得
PQ?MQ
，
PQ?
11
AB,M Q?CD
.

22
设
AB?BC?CD?2
，则
P M?
又
MN?
2
.

11
BD?2,NP?AC?2
,

22
∴
?PNM
为等边三角形，

∴
∠PNM?60?
，

∴异面直线
AC
与
BD
所成角为
60?
，其余弦值为
点睛：

用几何法求空 间角时遵循“一找、二证、三计算”的步骤，即首先根据题意作出所求的
角，并给出证明，然后将所求的 角转化为三角形的内角．解题时要注意空间角的范围，并
结合解三角形的知识得到所求角的大小或其三角 函数值．

1
．选A．

2
5．B
解析：
B

【解析】

【分析】

【详解】

因为线段
AB
的垂直平分线上的点
?
x ,y
?
到点
A
，
B
的距离相等，

所以
(x?1)
2
?(y?2)
2

?(x?3)
2
?(y?1)
2
．

即：
x?1?2x?y?4?4y

22
?x
2
? 9?6x?y
2
?1?2y
，

化简得：
4x?2y?5
．

故选
B
．

6．A
解析：
A

【解析】

【分析】

【详解】

画出截面图形如图

显然
A
正三角形
C
正方形：

D
正六边形

可以画出三角形但不是直角三角形；

故选
A
．




用一个平面去截正方体，则截面的情况为：

①截面为三角形时，可以是锐角三角形、 等腰三角形、等边三角形，但不可能是钝角三角
形、直角三角形；

②截面为四边形时 ，可以是梯形（等腰梯形）、平行四边形、菱形、矩形，但不可能是直
角梯形；

③截面为五边形时，不可能是正五边形；

④截面为六边形时，可以是正六边形．

故可选
A
．

7．A
解析：
A

【解析】

【分析】

【详解】

正四棱锥
P-ABCD
的外接球的球心在它的高
PO
1
上，

记为
O
，
PO=AO=R
，
PO
1
?4
，
OO
1
=4-R
，

在
Rt
△
AOO
1
中，
AO
1
?2
，

2
由勾股定理
R
2
?2?< br>?
4?R
?
得
R?
∴球的表面积
S?
9，

4
81
?
，故选
A.

4

考点：球的体积和表面积

8．C
解析：
C

【解析】

试题分析：由三视图可知，几何体是 三棱柱消去一个同底的三棱锥，如图所示，三棱柱的
高为，消去的三棱锥的高为，三棱锥与三棱柱的底面 为直角边长分别为和的直角三角
形，所以几何体的体积为，故选C．


考点：几何体的三视图及体积的计算．

【方法点晴】本题主要考查了几何体的三视图 的应用及体积的计算，着重考查了推理和运
算能力及空间想象能力，属于中档试题，解答此类问题的关键 是根据三视图的规则
“
长对
正、宽相等、高平齐
”
的原则，还原出原 几何体的形状，本题的解答的难点在于根据几何体
的三视图还原出原几何体和几何体的度量关系，属于中 档试题．

9
．
C
解析：
C

【解析】

【分析】

【详解】

由题意可知旋转后的几何体如图:

直角梯形
ABCD
绕
AD
所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体是一个底面半径
为
1
， 母线长为
2
的圆柱挖去一个底面半径同样是
1
、高为
1
的圆 锥后得到的组合体，所以
该组合体的体积为
V?V
圆柱
?V
圆锥?
?
?1?2?
故选
C.

考点：
1
、空间几何体的结构特征；
2
、空间几何体的体积
.

2
15
?
?
?1
2
?1?
?

33
10．D
解析：
D

【解析】

【分析】

求出圆的标准方程，确定最短弦的条件，利用弦长公式进行求解即可．

【详解】

圆的标准方程为（
x
﹣
3
）
2
+
（
y+1
）
2
＝
10
，则圆心坐标为< br>C
（
3
，﹣
1
），半径为

10
，

过
E
的最短弦满足
E
恰好为C
在弦上垂足，则
CE
?(3?2)
2
?[1?（?1）]2
?5
，

则
|AB|
?2(10)
2
?(5)
2
?25
，

故选
D
．

【点睛】

本题主要考查圆的标准方程的求解，以及直线和圆相交的弦长问题,属于中档题．

11．D
解析：
D

【解析】

?9,BD
1
?15
，


设直四棱柱
A BCD?A
1
B
1
C
1
D
1
中，对角线< br>AC
1

因为
A
1
A?
平面
ABC D,AC?
,
平面
ABCD
，所以
A
1
A?AC< br>，


在
Rt?A
1
AC
中，
A< br>1
A?5
，可得
AC?

同理可得
BD?
2
AC?A
1
A
2
?56
,

1
D
1
B
2
?D
1
D
2
?200?102，


因为四边形
ABCD
为菱形，可得
AC,BD< br>互相垂直平分，


所以
AB?
11
(AC)
2
?(BD)
2
?14?50?8
，即菱形
ABCD
的边 长为
8
，

22

因此，这个棱柱的侧面积为
S? (AB?BC?CD?DA)?AA
1
?4?8?5?160
，


故选
D.

点睛：本题考查了四棱锥的侧面积的计 算问题，解答中通过给出的直四棱柱满足的条件，
求得底面菱形的边长，进而得出底面菱形的底面周长， 即可代入侧面积公式求得侧面积，
着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及空间想象能力，其中 正确认识空间几何
体的结构特征和线面位置关系是解答的关键
.


12
．
D
解析：
D

【解析】

【分析】

A中，根据面面平行的判定定理可得：
α
∥
β< br>或者
α
与
β
相交．B中，根据面面得位置关系
可得：
α
∥
β
或者
α
与
β
相交．C中，则根据面面得位置 关系可得：
α
∥
β
或者
α
与
β
相
交．D中，在直线n上取一点Q，过点Q作直线m 的平行线m
′
，所以m
′
与n是两条相交直
线，m
′
?
β
，n?
β
，且m< br>′
∥
β
，n∥
α
，根据面面平行的判定定理可得
α< br>∥
β
，即可得到答案．

【详解】

由题意，对于A 中，若m，n是平面α内两条直线，且m∥β，n∥β，则根据面面平行的
判定定理可得：α∥β或者α 与β相交．所以A错误．

对于B中，若α内不共线的三点到β的距离相等，则根据面面得位置 关系可得：α∥β
或者α与β相交．所以B错误．

对于C中，若α，β都垂直于平 面γ，则根据面面得位置关系可得：α∥β或者α与
β相交．所以C错误．

对于D中，在直线n上取一点Q，过点Q作直线m 的平行线m′，所以m′与n是两条相交
直 线，m′?β，n?β，且m′∥β，n∥α，根据面面平行的判定定理可得α∥β，所以
D正确．

故选D．

【点睛】

本题主要考查了平面与平面平行的 判定与性质的应用，其中解答中灵活运用平面与平面平
行额判定与性质进行判定是解答的关键，着重考查 学生严密的思维能力和空间想象能力，
属于基础题．

二、填空题

13．4x－5y+1=0【解析】【分析】先求P点关于直线x+y+1=0对称点M再根据
两点式 求MQ方程即得结果【详解】因为P点关于直线x+y+1=0对称点为所以反

射光线方 程为【点睛】本题考查点关于直线对称问
解析：4x
－
5y+1=0

【解析】

【分析】

先求
P
点关于直线x+y+1=0对称点M，再根据两点式求 MQ方程，即得结果.

【详解】

因为
P
点关于直线x+ y+1=0对称点为
M(?4,?3)
，

所以反射光线方程为
MQ:y?1?
【点睛】

本题考查点关于直线对称问题，考查基本分析求解能力，属基本题
.

1?3
(x?1),4x?5y?1?0
.

1?4
14． 【解析】【分析】连接取的中点连接可知且是以为腰的等腰三角形然后利
用锐角三角函数可求出的值作为 所求的答案【详解】如下图所示：连接取的中
点连接在正方体中则四边形为平行四边形所以则异面直线和 所成的角为或其
10
.

5
【解析】

【分析】

解析：
连接
CD
1
、
CM，取
CD
1
的中点
N
，连接
MN
，可知
A
1
BCD
1
，且
?CD
1
M
是以CD
1
为
腰的等腰三角形，然后利用锐角三角函数可求出
cos?CD< br>1
M
的值作为所求的答案．

【详解】

如下图所示：


连接
CD
1
、
CM，取
CD
1
的中点
N
，连接
MN
，

在正方体
ABCD?A
1
B
1
C
1
D1
中，
A
1
D
1
BC
，则四边形
A< br>1
BCD
1
为平行四边形，

所以
A
1BC
1
D
，则异面直线
A
1
B
和
D< br>1
M
所成的角为
?CD
1
M
或其补角，
< br>o
易知
?B
1
C
1
D
1
??BC< br>1
C??CDD
1
?90
，由勾股定理可得
CM?D
1
M?
5
，
2
CD
1
?2
，
< /p>

QN
为
CD
1
的中点，则
MN?CD
1
，在
Rt?D
1
MN
中，
cos?CD
1
M?
因此，异面直线
A
1
B
和
D
1
M< br>所成角的余弦值为
【点睛】

D
1
N
10
?
，

D
1
M5
1010
，故答案为．

55
本 题考查异面直线所成角的余弦值的计算，求解异面直线所成的角一般利用平移直线法求
解，遵循“一作、 二证、三计算”，在计算时，一般利用锐角三角函数的定义或余弦定理
求解，考查计算能力，属于中等题 ．

15．【解析】【分析】先判断过定点可得点到直线的距离的最大值就是点与点
的 距离从而可得结果【详解】化简可得由所以过定点点到直线的距离的最大值
就是点与点的距离为故答案为 【点睛】本题主要考查直线过定点问题以及两
解析：
213

【解析】

【分析】

先判断
?
m?1
?
x?
?
2m?1
?
y?m?5
过定点
?
9 ,?4
?
，可得点
(5,2)
到直线
?
m?1
?< br>x?
?
2m?1
?
y?m?5
的距离的最大值就是点
(5,2)
与点
?
9,?4
?
的距离，从而可得
结果
.

【详解】

化简
?
m?1
?
x?< br>?
2m?1
?
y?m?5
可得
m
?
x?2y ?1
?
?
?
x?y?5
?
?0
，

由
?
?
x?2y?1?0
?
x?9
?
?
，

x?y?5?0y??4
??
所以
?
m?1
?
x?
?
2m?1
?
y?m?5
过定点
?
9 ,?4
?
，

点
(5,2)
到直线
?
m? 1
?
x?
?
2m?1
?
y?m?5
的距离的最大值 就是

点
(5,2)
与点
?
9,?4
?
的 距离为
故答案为
213
.

【点睛】

本题主要考 查直线过定点问题以及两点间距离公式的应用，考查了转化思想的应用，属于
中档题
.
转化是数学解题的灵魂，合理的转化不仅仅使问题得到了解决，还可以使解决问
题的难度大大降低，本解 法将求最大值的问题转化成了两点间的距离的问题来解决，转化
巧妙
.

?< br>?4
?
2
?6
2
?52?213
，

16．【解析】【分析】先确定轨迹再根据射线上点与圆的位置关系求最值即得
结果【详解】所以为以 为圆心为半径的圆及其内部设射线的端点为所以的最小
值为故答案为：【点睛】本题考查动点轨迹以及点 与圆位置关系考查数形结
解析：
?1?13

2

【解析】

【分析】

先确定
D
轨迹，再根据射线上点与圆的位置关系求最值，即得结果
.

【详解】

2
y
x
Q
2
?
2?1,?c
2
?a
2
?(a
2
?1)?1,?c?1< br>，

aa?1
2
所以
D
为以
F(?1,0)
为圆心，
a?1
为半径的圆及其内部，

设射线
x－y?0
?
x?2
?
的端点为
A(2,2)
，

所 以
PQ
的最小值为
|AF|?(a?1)?a,?13?1?2a,a?
故答 案为：
【点睛】

本题考查动点轨迹以及点与圆位置关系，考查数形结合思想以及基本 分析求解能力，属中
档题
.

13?1
.

2
?1?13
.

2
17
．【解析】【分析】两圆 关于直线对称即圆心关于直线对称则两圆的圆心的
连线与直线垂直且中点在直线上圆的半径也为即可求出 参数的值【详解】解：
因为圆：即圆心半径由题意得与关于直线对称则解得圆的半径解得故答案为

解析：
?
【解析】

【分析】

两圆关于直线 对称即圆心关于直线对称，则两圆的圆心的连线与直线
y?2x?1
垂直且中
点在直线
y?2x?1
上，圆
C
1
的半径也为
2
，即可求出 参数
a,b,c
的值.

【详解】

22
16

5
骣
a
22
解：因为圆
C
1
：
x+y+ax+by+c=0
，即
琪
x+
琪
桫
2
22
1
??
1
a?b?4c
圆心< br>C
1
?
?a,?b
?
，半径
r?
，

2
??
2
2
骣
b
+
琪
y+
琪
桫
2
a
2
+b
2
-4c
，

=
4
由题意，得
C
1
?
?
1
??
1
a,?b
?
与
C
2
?
0,0
?
关于直线
y?2x?1
对称，

2
??
2