【必考题】高中必修二数学下期末试卷(及答案)

【必考题】高中必修二数学下期末试卷(及答案)

一、选择题
1 ．已知
?
a
n
?
是公差为
d
的等差数列，前
n
项和是
S
n
，若
S
9
?S
8
?S
10
，则（

）

A
．
d?0
，
S
17
?0

C
．
d?0
，
S
18
?0

B
．
d?0
，
S
17
?0

D
．
d?0
，
S
18
?0

2． 已知向量
a
，
b
满足
a?4
，
b
在
a
上的投影（正射影的数量）为-2，则
a?2b
的最
小值为（ ）

A
．
43
B
．10
C
．
10
D
．8

3．已知
ABC
为等 边三角形，
AB?2
，设
P
，
Q
满足
AP?
?
AB
，
3
AQ?
?
1?
?
?
AC
?
?
?R
?
，若
BQ?CP??
，则
?
?
（

）

2
A
．
1

2
B
．
1?2

2
C
．
1?10

2
D
．
3?22

2
4．已知函数y=f（x）定义域是[-2，3]，则y=f（2x-1）的定义域是（ ）

?
1
?
?
5
?
B
．
?
?1,4
?
C
．
?
?,2
?
D
．
?
?5,5
?

?
2
?
??
5
．设
l
，
m
是两条不同的直线，
?
是一 个平面，则下列命题正确的是

（

）

A
．若< br>l?m
，
m?
?
，则
l?
?
B
．若
l?
?
，
lm
，则
m?
?

A
．
?
0,
?

2
C
．若
l
?
，
m?
?
，则
lm

下列结论正确的是（

）

A
．
b?1
B
．
a?b
C
．
a?b?1
D
．
4a?b??C

D
．若
l
?
，m
?
，则
lm

6
．
???C
是边长 为
2
的等边三角形，已知向量
a
，
b
满足
???2 a
，
?C?2a?b
，则
??
7．某三棱锥的三视图如图所示，则该 三棱锥的体积为（ ）


A
．20
B
．10
C
．30
D
．60

8．定义在
R
上的奇函数
f
?
x
?
满足
f
?
x?2
?
?f
?
?x
?
，且当
x?0,1
时，
??
f
?
x
?
?2
x?cosx
，则下列结论正确的是（ ）

A
．
f
?
?
2020
??
2019
?
?f
???
? f
?
2018
?

?
3
??
2
?
?
2019
??
2020
?
?f
???

?
2
??
3
?
B
．
f
?
2018
?
?f
?
D
．
f
?
?
2 020
??
2019
?
?f
???

?
3
??
2
?
C
．
f
?
2018
?< br>?f
?
?
2019
??
2020
?
?f???
?f
?
2018
?

?
2
??
3
?
22
9．将直线2
x
－
y
＋
λ
＝0沿
x
轴向左平移1个单位，所得直线与圆
x
＋
y＋2
x
－4
y
＝0相
切，则实数
λ
的值为( )

A
．－3或7

C
．0或10

B
．－2或8

D
．1或11

10．如图，点< br>N
为正方形
ABCD
的中心，
?ECD
为正三角形，平面ECD?
平面
ABCD,M
是线段
ED
的中点，则（ ）


A
．
BM?EN
，且直线
BM,EN
是相交直线

B
．
BM?EN
，且直线
BM,EN
是相交直线

C
．
BM?EN
，且直线
BM,EN
是异面直线

D
．
BM?EN
，且直线
BM,EN
是异面直线

11．已知
a?log
0.6
0.5
，
b?ln0.5，
c?0.6
0.5
，则（ ）

A
．
a?c?b
B
．
a?b?c
C
．
c?a?b
D
．
c?b?a

12．在正三 棱柱
ABC?A
1
B
1
C
1
中，侧棱长为
2
，底面三角形的边长为1，则
BC
1
与侧面
ACC
1A
所成角的大小为（ ）


A
．
30
B
．
45
C
．
60
D
．
90

二、填空题

13．已知函数
f(x)?3sin(2x?< br>?
)?cos(2x?
?
)(|
?
|?)
的图象关于
y
轴对称,则
f(x)
在区
2
?
[?
?< br>5?
]
上的最大值为
__
.

612
,14．设
S
n
是数列
{a
n
}
的前
n
项和，且
a
1
??1
，
a
n?1
?Sn
S
n?1
，则
S
n
?
__________
．

15．一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示，则这个几何体的体积是___________

16．不等式
()
1
2
x< br>2
?2x?3
?1
的解集是
______
．

2
17．若
a,b
是函数
f
?
x
?
?x ?px?q
?
p?0,q?0
?
的两个不同的零点，且
a,b,?2
这三个
数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则
p?q
的 值等于
________
．

18．如图，在正方体
ABCD?A< br>1
B
1
C
1
D
1
中，
E
、
F
分别是
DD
1
、
DC
上靠近点
D
的三等
分点，则异面直线
EF
与
A
1
C
1
所成角的大小是
______
.


19．若函数
f?
x
?
?
?
?
?x?6,x?2
（
a ?0
且
a?1
）的值域是
?
4,??
?
，则实数< br>a
的取
3?logx,x?2
a
?
值范围是
____ ______
．

20．设
?
为锐角，若
cos(
?
?
?
6
)?
4
?
，则
sin(2
?
?)
的值为
______
.

512
三、解答题
21．已知关于
x
的不等式
2kx?k x?
2
3
?0,k?0

8

（
1< br>）若不等式的解集为
?
?,1
?
，求
k
的值．

（
2
）若不等式的解集为
R
，求
k
的取值范围 ．

?
3
?
?
2
?
?
??
fx?Asin
?
x?
?
A?0,
?
?0,
?< br>?
????
22．已知函数
??
的部分图象如图所示.

2
??

（1）求
f
?
x
?
的解析式；

（2）求
f
?
x
?
的单调增区间并求出
f
?
x?
取得最小值时所对应的x取值集合．

23．已知数列
?
a< br>n
?
满足：
a
2
?2,2S
n
?n
?
a
n
?1
?
,n?N

*
（
1
）设数列
?
b
n
?
满足
b
n
?n ?
?
a
1
?1
?
，求
?
b
n?
的前
n
项和
T
n
：

n
（
2
）证明数列
?
a
n
?
是等差数列，并求其通项公 式；

24．已知数列
?
a
n
?
的前
n< br>项和为
S
n
，且
a
n
是
S
n
与
2
的等差中项．数列
?
b
n
?
中，
b
1
?2
，
点
P
?
b
n
,b
n?1
?
在直线
y?x?2
上．

（
1
）求
a
1
和
a
2
的值；

（
2< br>）求数列
?
a
n
?
，
?
b
n
?
的通项公式；

（
3
）设
c
n
?a< br>n
?b
n
，求数列
?
c
n
?
的前< br>n
项和
T
n
．

2
25．等比数列
?
a
n
?
的各项均为正数，且
2a
1
?3a
2
?1,a
3
?9a
2
a
6
.

（1）求数列
?
a
n
?
的通项公式；

（2）设
b
n
?log
3
a
1
?log
3
a
2
?......?log
3
a
n
， 求数列
?
?
1
?
?
的前
n
项和
T
n
.

?
b
n
?
26．在
△AB C
中，内角
A,B,C
所对的边分别为
a,b,c
.
已知< br>asinA?4bsinB
，
ac?5(a
2
?b
2
?c
2
)
.

（
I
）求
cosA
的值；

（
II
）求
sin(2B?A)
的值
.


【参考答案】
***
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一、选择题

1
．
D
解析：
D

【解析】

【分析】

利用等 差数列的通项公式求和公式可判断出数列
?
a
n
?
的单调性，并结合 等差数列的求和公
式可得出结论
.

【详解】

S
9
?S
8
?S
10
，
?a
9
?0
，
a
9
?a
10
?0
，
?a
10
?0
，
d?0
.

?S
17
?17a
9< br>?0
，
S
18
?9
?
a
9
?a10
?
?0
.

故选：
D.

【点睛】

本题考查利用等差数列的前
n
项和判断数列的单调性以及 不等式，考查推理能力与计算能
力，属于中等题
.

2
．
D
解析：
D

【解析】

【分析】

b在
a
上的投影（正射影的数量）为
?2
可知
|b|cos?a, b???2
，可求出
|b|?2
，求
a?2b
的最小值即可得出结果
.

【详解】

因为
b
在
a
上的 投影（正射影的数量）为
?2
，

所以
|b|cos?a,b???2
，

即
|b|??2
2
，而
?1?cos?a,b??0
，

cos?a,b?
所以
|b|?2
，

因为
a?2 b?(a?2b)?a?4a?b?4b?|a|?4|a||b|cos?a,b??4|b|
2
2
22
22
=16?4?4?(?2)?4|b|
2
?48?4|b|
2

所以
a?2b?48?4?4?64
，即a?2b?8
，故选
D.

【点睛】

本题主要考查了向量在向量上的正射影，向量的数量积，属于难题
.

2
3．A
解析：
A

【解析】

【分析】

运用向量的加法和减法运算表示向量
BQ?BA? AQ
，
CP?CA?AP
，再根据向量的数
量积运算，建立关于
?< br>的方程，可得选项.

【详解】

∵
BQ?BA?AQ
，
CP?CA?AP
，

∴
BQ?CP?BA?AQ ?CA?AP?AB?AC?AB?AP?AC?AQ?AQ?AP

????
?AB ?AC?
?
AB?
?
1?
?
?
AC?
?< br>?
1?
?
?
AB?AC

22
3
1
?2?4
?
?4
?
1?
?
?
?2
?
?
1?
?
?
??2
?
2
?2
?
?2??
，∴
?
?
.

2
2
故选：
A.

4．C
解析：
C

【解析】

∵函数
y=f(x)
定义域是
[?2,3]
，

∴由
?2
?
2x?1
?
3
，

解得
?
1
?
x
?
2
，

2
?
1
?
?
?
即函数的定义域为
?
?,2
?
，

2
本题选择
C
选项
.

5．B
解析：
B

【解析】

【分析】

利用
l,
?
可能平行判断
A
，利用线面平行的性质判断B
，利用
lm
或
l
与
m
异面判断
C< br>，
l
与
m
可能平行、相交、异面，判断
D
.

【详解】

l?m
，
m?
?
，则
l,?
可能平行，
A
错；

l?
?
，
lm
，由线面平行的性质可得
m?
?
，
B
正确；

l
?
，
m?
?
，则
lm
，

l
与
m
异面；
C
错，

l
?，
m
?
，
l
与
m
可能平行、相交、异面，D
错，
.
故选
B.

【点睛】

本题 主要考查线面平行的判定与性质、线面面垂直的性质，属于中档题
.
空间直线、平面平
行或垂直等位置关系命题的真假判断，除了利用定理、公理、推理判断外，还常采用画图
（尤其是画长方 体）、现实实物判断法（如墙角、桌面等）、排除筛选法等；另外，若原
命题不太容易判断真假，可以考 虑它的逆否命题，判断它的逆否命题真假，原命题与逆否
命题等价
.

6．D
解析：
D

【解析】

试 题分析：
AB?2a,AC?2a?b
,
?AC?AB?b
,
?b? AC?AB?BC
．

由题意知
b?2,a?b?a?bcos120?1? 2?
?
?
?
1
?
?
??1
．
< br>2
??
2
?4a?b?BC?2AB?BC?BC?2AB?BC?BC
??
??
?
1
?
?2AB?BCcos120?2
2?2?2?2?
?
?
?
?4?0
．
?4a?b?BC< br>．故
D
正确．

?
2
?
??
考点：
1
向量的加减法；
2
向量的数量积；
3
向量垂直．

7
．
B
解析：
B

【解析】

【分析】

根据三视图还原几何体，根据棱锥体积公式可求得结果
.

【详解】

由三视图可得几何体直观图如下图所示：


可 知三棱锥高：
h?4
；底面面积：
S?
115
?5?3?

22
1115
?
三棱锥体积：
V?Sh???4?10

332
本题正确选项：
B

【点睛】

本题考查棱 锥体积的求解，关键是能够通过三视图还原几何体，从而准确求解出三棱锥的
高和底面面积
.< br>
8．C
解析：
C

【解析】

【分析】

根据f（x）是奇函数，以及f（x+2）=f（-x）即可得出f（x+ 4）=f（x），即得出f（x）

的周期为4，从而可得出f（2018）=f（0），
f
?
?
2019
??
1
?
?f
? ??
，
2
???
2
?
?
2020
??7
?
f
?
?f
???

3
???12
?
然后可根据f（x）在[0，1]上的解析式可判断f（x）在[0，1]上单调递 增，从而可得出结
果.

【详解】

∵f（x）是奇函数；∴f（x +2）=f（-x）=-f（x）；∴f（x+4）=-f（x+2）=f（x）；

∴f（x ）的周期为4；∴f（2018）=f（2+4×504）=f（2）=f（0），
?
2019
??
1
??
2020
??
7
?
f
?
?f f?f
???
,
????
∵x∈[0，1]时，f（x） =2
x
-cosx单调递增；
?
2
??
2
??3
??
12
?
∴
f(0)
＜
f
?【点睛】

本题考查奇函数，周期函数的定义，指数函数和余弦函数的单调性，以及增函数 的定义，
属于中档题.

?
1
?
?

＜< br>?
2
?
?
7
??
2019
??
20 20
?
f
??
∴
f
?
2018
?
?f
?
?f
???
,故选C.

?
12
??
2
??
3
?
9．A
解析：
A

【解析】

试题分析：根据直线平移的规律，由 直线
2x
﹣
y+λ=0
沿
x
轴向左平移
1
个单位得到平移后
直线的方程，然后因为此直线与圆相切得到圆心到直线的距离等于半径，利用点到直线 的
距离公式列出关于
λ
的方程，求出方程的解即可得到
λ
的值．
解：把圆的方程化为标准式方程得（
x+1
）
2
+
（
y
﹣
2
）
2
=5
，圆心坐标为（﹣
1，
2
），半径
为，

直线
2x
﹣
y+ λ=0
沿
x
轴向左平移
1
个单位后所得的直线方程为
2（
x+1
）﹣
y+λ=0
，

因为该直线与圆相切，则 圆心（﹣
1
，
2
）到直线的距离
d=
化简得
|λ< br>﹣
2|=5
，即
λ
﹣
2=5
或
λ
﹣
2=
﹣
5
，

解得
λ=
﹣
3
或
7

故选
A

考点：直线与圆的位置关系．

=r=
，

10
．
B
解析：
B

【解析】

【分析】

利用垂直关系，再结合勾股定理进而解决问题．

【详解】

如图所示，

作
EO?CD
于
O
，连接
O N
，过
M
作
MF?OD
于
F
．

连
BF
，平面
CDE?
平面
ABCD
．

EO?CD,EO?
平面
CDE
，
?EO?
平面
A BCD
，
MF?
平面
ABCD
，

??MFB
与
?EON
均为直角三角形．设正方形边长为
2
，易知< br>EO?3,ON?1EN?2
，

MF?
35
,BF?,?B M?7
．
?BM?EN
，故选
B
．

22
【点睛】

本题考查空间想象能力和计算能力，

解答本题的关键是构造直角三角性．

11．A
解析：
A

【解析】

由
log
0.6
0.5?1,ln0.5?0 ,0?0.6
所以
a?c?b
，故选A
.

0.5
?1
，所以
a?1,b?0,0?c?1
，

12
．
A
解析：
A

【解析】

【分析】

由题意，取
AC
的中点
O
，连结
BO,C
1
O
，求得
?BC
1
O
是
BC
1
与侧面
ACC
1
A
1
所成的
角，在?BC
1
O
中，即可求解．

【详解】

由题 意，取
AC
的中点
O
，连结
BO,C
1
O
,

因为正三棱柱
ABC?A
1
B
1
C
1
中，侧棱长为
2
，底面三角形的边长为
1
，

所以
BO?AC,BO?AA
1
，

因为
AC?A A
1
?A
，所以
BO?
平面
ACC
1
A< br>1
，

所以
?BC
1
O
是
BC1
与侧面
ACC
1
A
1
所成的角，

因为
BO?1?()
2
?
1
2
313
,C
1
O?(2)
2
?()
2
?
，

222< /p>

3
BO3
所以
tan?BC
1
O?
，

?
2
?
3
OC
1
3
2
所以
?BC
1
O?30
，
BC
1
与侧面
A CC
1
A
1
所成的角
30
0
．

0

【点睛】

本题主要考查了直线与平面所成的角的求解，其中解 答中空间几何体的线面位置关系，得
到
?BC
1
O
是
BC< br>1
与侧面
ACC
1
A
1
所成的角是解答的关键，着重 考查了推理与运算能力，
以及转化与化归思想，属于中档试题．

二、填空题

13．【解析】【分析】利用辅助角公式化简可得再根据图象关于轴对称可求得
再结 合余弦函数的图像求出最值即可【详解】因为函数的图象关于轴对称所以
即又则即又因为所以则当即时取 得最大值故答案为：【点睛】判定三角函数
解析：
3

【解析】

【分析】

利用辅助角公式化简可得
f
?
x
??2sin(2x?
?
?
?
6
)
,
再根据图象 关于
y
轴对称可求得
f(x)??2cos2x
,
再结合余弦函数的 图像求出最值即可
.

【详解】

因为函数
所以
?
?
?
又
?
?
f
?
x
?
? 3sin
?
2x?
?
?
?cos
?
2x?
?
?
?2sin(2x?
?
?)
的图象关于
y
轴对 称,
6
ππ
2π
??k
π
,即
?
???k
π,
?
k?Z
?
.

623
,则
?
?
?
?
2
π
?
,即
f(x)?2sin (2x?)??2cos2x
.

2
3
又因为
?
5 π
π5ππ5π
5π
?x?
,所以
??2x?
,则当
2x?
,即
x?
时,
f(x)
取得最大值
612366< br>12
?2cos
5π
?3
.

6

故答案为：
3
.

【点睛】

判定三角函数的奇偶性时,往往与诱导公式进行结合,如：

若
y?sin< br>?
?
x?
?
?
为奇函数,则
?
?kπ,k? Z
；

π
,
k?
Z
；

2
π
,
k?
Z
.

2
若
y?sin
?
?
x?
?
?
为偶函数,则
?
?k
π+
若
y?cos
?
?
x?
?
?为偶函数,则
?
?kπ,k?Z
；

若
y?cos?
?
x?
?
?
为奇函数,则
?
?k
π +
14．【解析】原式为整理为：即即数列是以-1为首项-1为公差的等差的数列所
以即【点 睛】这类型题使用的公式是一般条件是若是消就需当时构造两式相减
再变形求解；若是消就需在原式将变 形为：再利用递推求解通项公式
1
解析：
?

n
【解析】

原式为
a
n?1
?S
nS
n?1
?S
n?1
?S
n
?S
n
S
n?1
，整理为：
1111
???1
，
??1
< br>，即
S
n?1
S
n
S
n
S
n?1< br>1
?
1
?
??1?
?
n?1
??
? 1
?
??n

，即数列
??
是以
-1
为首 项，
-1
为公差的等差的数列，所以
S
n
?
S
n< br>?
即
S
n
??
1
.

n
n?1
S
1

，一般条件是
S
n
?f
?
a
n
?

，若是消【点睛】这类型题使用的公式是
a
n
?{
S
n?S
n?1
n?2
S
n

，就需当
n?2

时构造
S
n?1
?f
?
a
n?1
?

，两式相减
S
n
?S
n?1
?a
n

，再变形求解；若是
消
a
n

，就需在原式将
a
n

变形为：
a
n
?S
n
?S
n?1

，再利用递推求解通项公式
.

15
．【解析】【分析】先还原几何 体再根据柱体体积公式求解【详解】空间几
何体为一个棱柱如图底面为边长为的直角三角形高为的棱柱所 以体积为【点
睛】本题考查三视图以及柱体体积公式考查基本分析求解能力属基础题

解析：
3

2
【解析】

【分析】

先还原几何体，再根据柱体体积公式求解

【详解】

空间几何体为 一个棱柱，如图，底面为边长为
1,3
的直角三角形，高为
3
的棱柱，所以< /p>

体积为
13
?1?3?3?

22

【点睛】

本题考查三视图以及柱体体积公式，考查基本分析求解能力，属基础题

16．【解析 】【分析】先利用指数函数的单调性得再解一元二次不等式即可
【详解】故答案为【点睛】本题考查了指 数不等式和一元二次不等式的解法属
中档题
解析：
?
?1,3
?

【解析】

【分析】

先利用指数函数的单调性得
x
2
?2x?3?0
，再解一元二次不等式即可．

【详解】

1
2
()
x?2x?3
?1?x
2
?2x?3?0??1?x?3
．
2
故答案为
?
?1,3
?

【点睛】

本题考查了指数不等式和一元二次不等式的解法，属中档题．
< br>17．9【解析】【分析】由一元二次方程根与系数的关系得到a+b=pab=q再由
ab﹣2 这三个数可适当排序后成等差数列也可适当排序后成等比数列列关于ab
的方程组求得ab后得答案【详 解】由题意可得：a+b=p
解析：9

【解析】

【分析】

由一元二次方程根与系数的关系得到a+b=p，ab=q，再由a，b， ﹣2这三个数可适当排序
后成等差数列，也可适当排序后成等比数列列关于a，b的方程组，求得a，b 后得答案．

【详解】

由题意可得：a+b=p，ab=q，

∵p＞0，q＞0，

可得a＞0，b＞0，

又a，b，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，

也可适当排序后成等比数列，

可得
解①得：
①或
；解②得：
②．

．

∴p=a+b=5，q=1×4=4，

则p+q=9．

故答案为9．

点评：本题考查了一元二次方程根 与系数的关系，考查了等差数列和等比数列的性质，是
基础题．

【思路点睛】

解本题首先要能根据韦达定理判断出
a
，
b
均为正值，当他们与
-2
成等差数列时，共有
6
种
可能，当
-2
为等差中项时，因为，所以不可取，则
-2
只能作为首项或者末
项，这两种数列的公差互为相反数；又
a,b
与
-2
可排序成等比数列，由等 比中项公式可知
-2
必为等比中项，两数列搞清楚以后，便可列方程组求解
p
，
q
．

18．【解析】【分析】连接可得出证明出四边形为平行四边形可得 可得出异面
直线与所成角为或其补角分析的形状即可得出的大小即可得出答案【详解】连
接在正 方体中所以四边形为平行四边形所以异面直线与所成的角为易知为等
解析：
60

【解析】

【分析】

连接
CD
1
，可得 出
EFCD
1
，证明出四边形
A
1
BCD
1
为平行四边形，可得
A
1
BCD
1
，可得
出异面直线EF
与
A
1
C
1
所成角为
?BA
1< br>C
1
或其补角，分析
?A
1
BC
1
的形状， 即可得出
?BA
1
C
1
的大小，即可得出答案
.

【详解】

连接
CD
1
、
A
1
B
、
BC
1
，
DEDF1
??
，
?EFCD
1
，

DD
1
DC3
在正方体
ABCD? A
1
B
1
C
1
D
1
中，
A
1
D
1
AD
，
ADBC
，
?A
1
D
1
BC
，

所以，四边形
A
1
BCD
1
为平行四边形，
?A
1
BCD
1
，
< br>所以，异面直线
EF
与
A
1
C
1
所成的角为
?BA
1
C
1
.

易知
?A
1< br>BC
1
为等边三角形，
??BA
1
C
1
?6 0
.

故答案为：
60
.

【点睛】

本题考查异面直线所成角的计算，一般利用平移直线法，选择合适的三角形 求解，考查计
算能力，属于中等题
.

19
．【解析】试题分析：由 于函数的值域是故当时满足当时由所以所以所以实
数的取值范围考点：对数函数的性质及函数的值域【方 法点晴】本题以分段为
背景主要考查了对数的图象与性质及函数的值域问题解答时要牢记对数函数

解析：
?
1,2
?

【解析】

?x ?6,x?2
试题分析：由于函数
f
?
x
?
?{
?
a?0,a?1
?
的值域是
?
4,??
?
，故当< br>x?2
3?log
a
x,x?2
时，满足
f
?
x
?
?6?x?4
，当
x?2
时，由
f
?
x
?
?3?log
a
x?4
，所以
log
ax?1
，所
以
log
a
2?1?1?a?2
，所以实数
a
的取值范围
1?a?2
.

考点：对数函数的性质及函数的值域
.

【方法点晴】本题以分段为背景主要 考查了对数的图象与性质及函数的值域问题，解答时
要牢记对数函数的单调性及对数函数的特殊点的应用 是解答的关键，属于基础题，着重考
查了分类讨论的思想方法的应用，本题的解答中，当
x?2
时，由
f
?
x
?
?4
，得
log
a
x?1
，即
log
a
2?1
，即可求解实数
a< br>的取值范围
.

20
．【解析】试题分析：所以考点：三角恒等变形诱 导公式二倍角公式同角三
角函数关系【思路点晴】本题主要考查二倍角公式两角和与差的正弦公式题目< br>的已知条件是单倍角并且加了我们考虑它的二倍角的情况即同时求出其正弦

解析：
172

50
【解析】

?
24< br>7
?
4
?
试题分析：
cos(2
?
?)?2 ?
??
?1?
，
sin(2
?
?)?
，所以
325
325
?
5
?
?
2

sin (2
?
?
?
12
)?sin(2
?
?
?< br>?)

34
?
?
2
?
247
?172
.

?
?
?
?
2
?
2 525
?
50
考点：三角恒等变形、诱导公式、二倍角公式、同角三角函数关系．
【思路点晴】本题主要考查二倍角公式，两角和与差的正弦公式
.
题目的已知条 件是单倍
2
?
?
4
?
7
?
角，并且加了， 我们考虑它的二倍角的情况，即
cos(2
?
?)?2?
??
?1?
，同
6
325
?
5
?
24
???
，而要求的角
sin(2
?
?)?sin(2
?
??)
，再 利
3251234
用两角差的正弦公式，就能求出结果
.
在求解过程中要注意 正负号
.

时求出其正弦值
sin(2
?
?
?)?
三、解答题


21．（
1
）
k?
【解析】

【分析】

（
1
）根据关于
x
的不等式
2kx?kx?
21
；（
2
）
(?3,0)

8
3
3< br>?
3
?
?0
的解集为
?
?,1
?
， 得到
?
和
1
是方程
8
2
?
2
?< br>3
2kx
2
?kx??0
的两个实数根，再利用韦达定理求解
.

8
3
2
（
2
）根据关于
x
的 不等式
2kx?kx??0
的解集为
R
．又因为
k?0

，利用判别式法求
8
解
.

【详解】

（
1
）因为关于
x
的不等式
2kx?kx?
所以
?< br>2
3
?
3
?
?0
的解集为
?
?,1
?
，

8
?
2
?
3
3
2
和
1
是方程
2kx?kx??0
的两个实数根，

2
8
?
3
1
k?
由韦达定理可得
3
，得．

??1?
8
8
22k
（
2
）因为关于< br>x
的不等式
2kx?kx?
2
3
?0
的解集为
R
．

8
因为
k?0


?
2 k?0,
所以
?
，解得
?3?k?0
，

2
?k?3k?0
?
故
k
的取值范围为
(?3,0)
．

【点睛】

本题主要考查一元二次不等式的解集和恒成立问题， 还考查了运算求解的能力，属于中档
题
.

22．（1）
f(x)? 2sin(2x?)
（2）单调增区间为
?
?
值集合
?
x| x??
【解析】

【分析】

（
1
）先由函数y?f
?
x
?
的最大值求出
A
的值，再由图中对称轴与 相邻对称中心之间的距
离得出最小正周期
T
，于此得出
?
?
?
6
?
?
?
?
?k
?
,?k
?< br>?
,(
k?Z
)；x取
6
?
3
?
?
?
?
?
?k
?
,k?Z
?
,(
k ?Z
)

3
?
2
?
?
?
?
，再将点
?
,2
?
代入函数
y?f
?
x
?
的解析式结
T
?
6
?
合
?
的范围得出< br>?
的值，于此可得出函数
y?f
?
x
?
的解析式；< br>
（
2
）解不等式
?
区间，由
2x?
【详解 】

（
1
）由图象可知，
A?2
.

因为
?
2
?2k
?
?2x?
?
6
?
?
2
?2k
?
?
k?Z
?
可得出函数
y?f
?
x
?
的单调递增
?
6
??
?
2
?2k
?
?
k?Z
?
可求出函数
y?f
?
x
?
取最小值时
x
的取值集合．

5??T
2?
??
，所以
T?
?
.
所以
??
.
解得
?
?2
.

1264
?
又因为函数< br>f(x)
的图象经过点
(,2)
，所以
2sin(2?
解得< br>?
=
?
6
?
?
?
)?2
，

6
?
+2k?(k?Z)
.

6
?
?
，所以
f(x)?2sin(2x?)
.

2
6
6
???
??
（
2
）
??2 k
?
?2x???2k
?
，
k?Z
，解得
??k< br>?
?x??k
?
,
k?Z
，

26236< br>又因为
?
?
，所以
?
=
f(x)
的单调增区 间为
?
?
?
?
?
?
?
?k
?,?k
?
?
,(
k?Z
)
，

6?
3
?
?
?
f(x)
的最小值为
-2
，取得最小值时
x
取值集合
?
x|x??
?
?
?k
?
,k?Z
?
,(
k?Z
).

3
?
【点睛】

本题考查由三角函数图象求解析式，以及三角函数的 基本性质问题，在利用图象求三角函
数
y?Asin
?
?
x?
?
?
?b
?
A?0,
?
?0
?
的解析式 时，其基本步骤如下：

（
1
）求
A
、b
：
A?
（
2
）求
?
：
?
?
y
max
?y
min
y?y
min
，
b?
max
；

22
2
?
；

T（
3
）求
?
：将顶点或对称中心点代入函数解析式求
?
，但是在代对称中心点时需要结合函
数在所找对称中心点附近的单调性来考查．

23 ．（1）
T
n
?
?
n?1
?
?2
【解析】

【分析】

n
（
1
）令
n=1
，即可求出
a
1
?1
，计算出
b
n
?n?2
，利用错位相减求出
T
n
。

n?1
?2
（2）证明见解析,
a
n
?n

?
S
1
,n?1
a?

化简即可得证。再利用a
1
?1
，
a
2
?2,
求出公差，（
2
）利用公式
n
?
?
S
n
?S
n?1,n?2
即可写出通项公式。

【详解】

n
解：?
1
?
在
2S
n
?n
?
a
n
?1
?
中，令
n?1
，得
a
1
?1
，所以
b
n
?n?2

T
n
?1?2
1
+2?2
2
+3?2
3
+
2T
n
=1?2
2
+2?2
3
+3?2
4
+
12
+n?2
n
，①

+(n?1)?2
n
+n?2
n?1
，②

3①
?
②得
?T
n
?1?2+1?2+1?2+
化简得< br>T
n
?
?
n?1
?
?2
n?1
+1 ?2?n?2
nn?1
2(1?2
n
)
=?n?2
n?1< br>
1?2
?2

?
2
?
由
2Sn
?n
?
a
n
?1
?
得：
2S
n?1
?
?
n?1
??
a
n?1
?1
? ?
n?2
?
，两式相减整理得：

?
n?2
?a
n
?
?
n?1
?
a
n?1
?1?0

从而有
?
n?1
?
a
n?1
?nan
?1?0
，相减得：
?
n?1
?
a
n?1< br>?
?
n?1
?
a
n?1
?2
?
n? 1
?
a
n
?0

即
a
n?1
?a
n?1
?2a
n

故数列
?
a
n
?
为等差数列，又
a
2
? 2
，故公差
d?1,?a
n
?n

【点睛】

本题主要考查利用错位相减法求等差乘等比数列的前
n
项的和，属于基础题。

n?2
n
24．（
1
）
a
1
?2
，
a
2
?4

（
2
）
a
n?2
，
b
n
?2n

（
3
）
T
n
?
?
n?1
?
2?4

【解析】

【分析】

（
1
）根据题意得到
2a
n
?S
n
?2
，分别令
n?1
，
n ?2
，得到
a
1
，
a
2
；（
2
） 当
n?2
时，
a
n
?S
n
?S
n?1，再验证
n?1
时，得到
a
n
的通项，根据点
P
?
b
n
,b
n?1
?
在直线
y?x?2
上，得
b
n?1
?b
n
?2
，得到
b
n< br>为等差数列，从而得到其通项；（
3
）根据

c
n
?a
n
?b
n
，得到
c
n
的通项，然后利用错位 相减法，得到前
n
项和
T
n
.

【详解】

解：（
1
）由
2a
n
?S
n
?2

当
n?1
时，得
2a
1
?S
1
?2
，即
2a
1
?a
1
?2
，解得
a
1?2
；

当
n?2
时，得
2a
2
?S
2
?2
，即
2a
2
?a
1
?a
2
?2
，解得
a
2
?4
.

（
2< br>）由
2a
n
?S
n
?2
…
①
得
2a
n?1
?S
n?1
?2
…
②；（
n?2
）

将两式相减得
2a
n
?2a
n?1< br>?S
n
?S
n?1
，

即
2a
n
?2a
n?1
?a
n
，

所以
a
n
?2a
n?1
?
n?2
?
，

因为
a
1
?2?0
，所以
a
n?1
?0
，

a
n
?2
?
n?2
?
，

所以< br>a
n?1
所以数列
?
a
n
?
是首项为
2
，公比为
2
的等比数列，

n?1n?1n
所以
a
n
?a
1
2?2?2?2
.

数列
?
b
n
?
中，
b
1
?2
，点
P?
b
n
,b
n?1
?
在直线
y?x?2
上，

得
b
n?1
?b
n
?2
，

所以 数列
?
b
n
?
是首项为
2
，公差为
2的等差数列，

所以
b
n
?2?2
?
n?1< br>?
?2n
.

n?1
（
3
）
cn
?a
n
b
n
?n?2
，

所以T
n
?1?2?2?2?3?2?????
?
n?1
?
?2?n?2
234nn?1

2T
n
?1?2
3
?2?2
4
?3?2
5
?????
?
n?1
??2
n?1
?n?2
n?2

上式减下式得

?T
n
?1?2
2
?2
3
?2
4
???? ?2
n?1
?n?2
n?2

?
2
2
?< br>1?2
n
?
1?2
?n?2
n?2

?2
n?2
?4?n?2
n?2

所以
T
n
?
?
n?1
?
2
【点睛】

本题考查由
a
n
和
S
n
的关系求数列通项，等差数列基本量计算，错位 相减法求和，属于中
档题
.

n?2
?4
.

25．（
1
）
a
n
?
【解析】

12n
2

?
（）
3
n
n?12
试题分析：（Ⅰ）设出等比数列的公比
q
，由
a
3
? 9a
2
a
6
，利用等比数列的通项公式化简
后得到关于
q< br>的方程，由已知等比数列的各项都为正数，得到满足题意
q
的值，然后再根
据等 比数列的通项公式化简
2a
1
?3a
2
?1
，把求出的q
的值代入即可求出等比数列的首
项，根据首项和求出的公比
q
写出数列 的通项公式即可；（Ⅱ）把（Ⅰ）求出数列
{an}
的
通项公式代入设
bn
＝
log
3
a
1
＋
log
3
a
2
＋
…
＋
log
3
a
n
，利 用对数的运算性质及等差数列的前
n
项
1
和的公式化简后，即可得到
bn
的通项公式，求出倒数即为的通项公式，然后根据数列
b
n
1
的 通项公式列举出数列的各项，抵消后即可得到数列
{}
的前
n
项和

b
n
试题解析：（Ⅰ）设数列
{a
n
}
的公比为< br>q,
由
a
3
＝
9a
2
a
6
得
a
3
＝
9
a
4
,
所以
q
2
＝
22
2
1
．

9
11
．由
2a
1
＋
3a
2
＝
1
得
2a1
＋
3a
1
q
＝
1,
所以
a
1
＝．

33
1
故数列
{a
n
}
的通项公式为
a
n
＝
n
．

3
由条件可知
q
＞
0,
故
q
＝
（Ⅱ）
b
n＝
log
3
a
1
＋
log
3
a
2
＋
…
＋
log
3
a
n
＝－（
1
＋
2
＋
…
＋
n
）＝－
n
?n?1
?
2
．

121
??
1
????2?
故
??
．
< br>b
n
n
?
n?1
?
?
nn?1
?< br>11
??
b
1
b
2
?
?
?
1
??
11
?
1
??2
?
?
1?
?
?
?
?
?
?
b
n
?
?
2
??
23
?
1
?
?
2n
?
1< br>?
?
???

?
?
nn?1n?1
???
?
1
?
2n
所以数列
??
的前
n< br>项和为
?

b
n?1
?
n
?
考点： 等比数列的通项公式；数列的求和

26．（Ⅰ）
?
【解析】
试题分析：利用正弦定理“角转边”得出边的关系
a?2b
，再根据余弦定理求出
cosA
，

进而得到
sinA
，由
a?2b
转化 为
sinA?2sinB
，求出
sinB
，进而求出
cosB
，从而求
出
2B
的三角函数值，利用两角差的正弦公式求出结果.

试题解析：（Ⅰ）解：由
asinA?4bsinB
，及
525
（Ⅱ）?

55
ab
?
，得
a?2b
.
< br>sinAsinB
2
由
ac?5a?b?c
?
222
?
，及余弦定理，得
cosA?
b?c?a
?
2bc
22< br>?
5
ac
5
.

5
??
ac5

（Ⅱ）解：由（Ⅰ），可得
sinA?
25asinA5
，代入< br>asinA?4bsinB
，得
sinB?
.

?
5 4b5
由（Ⅰ）知，
A
为钝角，所以
cosB?1?sin
2
B?
4
25
.于是
sin2B?2sinBcosB?
，

5
5
cos2B?1?2sin
2
B?
3
，故
5
4
?
5
?
32525
sin
?< br>2B?A
?
?sin2BcosA?cos2BsinA??
?
??? ??
.

?
?
55
?
555
??
考点：正弦定理、余弦定理、解三角形

【名师点睛】利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关 系，利用“角转边”寻求边的关
系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求 三角函数值. 利
用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面 积
公式，结合正、余弦定理解题.