高中数学杯赛有哪些-山东高中数学会考真题百度文库
新高中必修二数学下期末试卷含答案
一、选择题
1．如图，在<
br>ABC
中，
?BAC?90
?
，
AD
是边
B
C
上的高，
PA?
平面
ABC
，则图中
直角三角形的个数是
（
）
A
．
5
下统计数据表：
收入
x
（万
元）
8.2
B
．
6
C
．
8
D
．
10
2．为了解某社区居民的家庭年收入所年支出的关系，随机调查了
该社区
5
户家庭，得到如
8.6
10.0
11.3
11.9
支出
y
（万
元）
6.2
7.5
8.0
8.5
9.8
?
?0.76,a
?
，据此估计，该社区一
?
?a
?
?y?bx
?<
br>?bx
?
，其中
b
根据上表可得回归直线方程
y
户收
入为
15
万元家庭年支出为（
）
A
．
11.4
万元
B
．
11.8
万元
C
．
12.0
万元
R
D
．
12.2
万元
3．已知集合
A?
xx?x?2?0
，则
?
2
?
A?
??
C
．
?
x|x??1
?
?
?
xx2
?
A
．
x?1?x?2
??
D
．
?
x|x??1
?
?
?
x|x?2
?
B
．
x?1?x?2
2
4．已知集合
A?(x,
y)x?y?1
，
B?(x,y)y?x
，则
A
（
）
A
．
3
B
．
2
C
．
1
?
2
?
??
B
中元素的
个数为
D
．
0
5．在
?ABC
中，
AB
?
22
2
，
AC?2
，
E
是边
BC
的中点.
O
为
?ABC
所在平面内一点
2
且满足
OA?OB?OC
，则
AE·AO
的值为（ ）
A
．
1
2
B
．
1
C
．
2
2
D
．
3
2
6．如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（
）
A
．
20
?
B
．
24
?
C
．
28
?
D
．
32
?
7．已知函数y=f（x）定义域是[-2，3]，则y=f（2x-1）的定义域是（ ）
A
．
?
0,
?
2
?
5
?
??
B
．
?1,4
<
br>??
C
．
?
?
?
1
?
,2
?
?
2
?
D
．
?5,5
??
8．(2015
新课标全国
I
理科
)
《九章算术》是我国古
代内容极为丰富的数学名著，书中有如
下问题
:“
今有委米依垣内角，下周八尺，高五
尺
.
问
:
积及为米几何
?”
其意思为
:“
在屋内墙角
处堆放米
(
如图，米堆为一个圆锥的四分之一
)
，米堆底
部的弧长为
8
尺，米堆的高为
5
尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少
?”
已知
1
斛米的体积约为
1.62
立方尺，圆周率约为
3
，估算出堆放的米约有
A
．
14
斛
C
．
36
斛
下列结论正确的是（
）
A
．
b?1
B
．
a?b
B
．
22
斛
D
．
66
斛
9
．
???C
是边
长为
2
的等边三角形，已知向量
a
，
b
满足
???
2a
，
?C?2a?b
，则
C
．
a?b?1
D
．
4a?b??C
??
10．已知曲线
C
1
：
y=cos
x
，
C
2
：
y=sin
(2x+
2π
)，则下面结论正确的是
( )
3
π
个
6
A
．把
C
1
上各点的横坐标伸长到原来的2倍
，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移
单位长度，得到曲线
C
2
B
．把
C
1
上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，
再把得到的曲线向左平移
单位长度，得到曲线
C
2
C
．把
C
1
上各点的横坐标缩短到原来的
单位长度，得到曲线
C
2
D
．把
C
1
上各点的横坐标缩短到原来的
单位长
度，得到曲线
C
2
2x
2
?3x
11．函数
f(x)?
的大致图像是（
）
2e
x
π
个
12
π
1
倍，纵
坐标不变，再把得到的曲线向右平移个
2
6
π
1
倍，纵坐标不变，再
把得到的曲线向左平移个
12
2
A
．
B
．
C
．
D
．
x
2
y
2
12
．已知椭圆
E:
2
?
2
?1(a?b?0)
的
右焦点为
F
．短轴的一个端点为
M
，直线
ab
l:3x?4
y?0
交椭圆
E
于
A,B
两点．若
AF?BF?4
，点
M
到直线
l
的距离不小于
4
，则椭圆
E
的离心率的取值范围是（
）
5
A
．
(0,
3
]
2
B
．
(0,]
3
4
C
．
[
3
,1)
2
D
．
[,1)
3
4
二、填空题
13．设a＞0，b＞0，若
3
是
3
a
与3
b
的等比中项，则
14．已知函数
y?
sin
?
?
x?
11
?
的最小值是
__
．
ab
?
?
?
?
?
?
?
?0
?
的最小正周期为
?
，若将该函数的图像向左平移
3
?
m
?
m?0
?
个单位后，所得图像关于原点对称，则
m的最小值为
________
.
15．甲、乙两人玩猜数字游戏，先由
甲心中任想一个数字，记为
a
，再由乙猜甲刚才想的
数字，把乙猜的数字记为
b
，且
a,b?{0,1,2,,9}
.
若
|a?b|1
，
则称甲乙
“
心有灵犀
”.
现
任意找两人玩这个游戏，则这两人
“
心有灵犀
”
的概率为
______
.
16．
已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的
体
积为
____
.
17．函数
y?sin2x?3cos2x
的图象可由函数
y?sin2x?3cos2x
的图象至少向右平
移
___
____
个长度单位得到。
18．等边
?ABC
的边长为
2
，则
AB
在
BC
方向上的投影为
________
．
19．如图，棱长均为2的正四棱锥的体积为
_______
．
20．若
x?
?
1,??
?
，则
y?3x?
1
的最小值是
_____
．
x?1
三、解答题
1?m
3
x
21．已知函数
f(x)?log
a
（
a?0
，且
a?1
）的图象关于坐标原点对称．
x?1
（1）求实数
m
的值；
（2）比较
f?
2
?
与
f
?
3
?
的大小，并请说明
理由．
22．已知平面向量
a?
?
3,4
?
，<
br>b?
?
9,x
?
，
c?
?
4,y
?
，且
ab
，
a?c
.
（
1
）求
b
和
c
；
（
2
）若
m?2a?b
，
n?a?c
，求向量
m
与向
量
n
的夹角的大小
.
23．如图所示，一座小岛
A
距离海岸线上最近的点
P
的距离是
2km
，从点
P
沿海岸
正东
12km
处有一城镇
B.
一年青人从小岛
A
出发，先驾
驶小船到海岸线上的某点
C
处，再沿海
岸线步行到城镇
B.
若
?PAC?
?
，假设该年青人驾驶小船的平均速度为
2kmh
，步行速度<
br>为
4kmh
.
（
1
）试将该年青人从小
岛
A
到城镇
B
的时间
t
表示成角
?
的函数
；
（
2
）该年青人欲使从小岛
A
到城镇
B
的时间
t
最小，请你告诉他角
?
的值
.
24<
br>．如图，在三棱柱
ABC?A
1
B
1
C
1
中
，侧棱垂直于底面，
AB?BC,AA
1
?AC?2,BC?1,E,
F
分别是
AC
11
,BC
的中点．
（
1
）求证
:
平面
ABE?
平面
B1
BCC
1
；
（
2
）求证
:
C
1
F∥
平面
ABE
；
（
3
）求三棱锥
E?ABC
体积．
2
5．已知函数
f
?
x
?
=
Asin
?
?<
br>x?
?
?
π
?
?
(A?0,
?
?0
)
的部分图象如图所示．
6
?
(1)求
A,
?
的值;
(2)求
f
?
x
?
的单调增区间;
(3
)求
f
?
x
?
在区间
?
?
?
ππ
?
,
?
上的最大值和最小值．
64
??
26．已知
?ABC
中，内角
A,B,C
所对边分别为
a,b,c<
br>，若
?
2a?c
?
cosB?bcosC?0
.
(1)
求角
B
的大小；
(2)
若
b?2
，求
a?c
的取值范围
.
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．C
解析：
C
【解析】
【分析】
根据线面垂直得出一些相交直线垂直，以及找
出题中一些已知的相交直线垂直，由这些条
件找出图中的直角三角形．
【详解】
PA?
平面
ABC
，
?PA?AB,P
A?AD,PA?AC,??PAB
,
?PAD,?PAC
都是直
角三角形；
①
②
③
?BAC?90
?
,?ABC
是
直角三角形；
AD?BC,??ABD,?ACD
是直角三角形；
④由
PA?BC,AD?BC
得
BC⊥
平面
PAD
，可知
：
BC?PD,??PBD,?PCD
也是直
角三角形
.
综上可知：直角三角形的个数是
8
个，故选
C
．
【点睛】
本题考查直角三角形个数的确定，考查相交直线垂直，解题时可以充分利用
直线与平面垂
直的性质得到，考查推理能力，属于中等题．
2．B
解析：
B
【解析】
试题分析：由题
，所以
．
试题解析：由已知，
，
?
?a
?
?0.76,a
?
?
?bx<
br>?
，
b
?
?y?bx
又因为
y
所以
考点：线性回归与变量间的关系．
，即该家庭支出为万元．
3
．
B
解析：
B
【解析】
分析：首先利用一元二次不等式的解法，求出
x
2
?x?2?0
的解集，从而求得集合
A
，之
后根据集合补集中元素的特征，求得结果
.<
br>
详解：解不等式
x
2
?x?2?0
得
x?1或x2
，
所以
A?x|x??1或x?2
，
所以可以
求得
C
R
A?
?
x|?1?x?2
?
，故选
B.
点睛：该题考查的是有关一元二次不等式的解法以及集合的补集的求解问题，在解题的
过
程中，需要明确一元二次不等式的解集的形式以及补集中元素的特征，从而求得结果
.
??
4．B
解析：
B
【解析】
试题分析：集合中的元素为点集，由题意，可知集合
A
表示以
?
0,0
?
为圆心，
1
为半径的单
位圆上所有点组成的集合，集合
B
表示直线
y?x
上所有的点组成的集合，又圆
?
22
??
22
?
y?x
x?y?1
与直线相交于两点
?
?
2
,
2
?
?
，
?
?
?
2
,
?
2
?
?
，则
AB
中有2个元
????
2
2
素.故选B.
【名师点睛】求集合的基本运算时，要认清集合元素的属性
(
是点集、数集或其他情形
)
和
化简集合，这是正确求解集合运算的两个先决
条件
.
集合中元素的三个特性中的互异性对解
题影响较大，特别是含有字母的集合，在
求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否
满足互异性
.
5．D
解析：
D
【解析】
【分析】
根据平
面向量基本定理可知
AE?
1
AB?AC
，将所求数量积化为
2??
11
AB?AO?AC?AO
；由模长的等量关系可知
?AOB和
?AOC
为等腰三角形，根据三
22
22
11
线合一
的特点可将
AB?AO
和
AC?AO
化为
AB
和
A
C
，代入可求得结果.
22
【详解】
E
为
BC
中点
?AE?
1
AB?AC
2
??
?AE?AO?<
br>2
111
AB?AC?AO?AB?AO?AC?AO
222
??
OA?OB?OC
??AOB
和
?AOC
为等腰三角形
22
2
11
?AB?AO?ABAOcos?OAB?AB?AB?AB
，同理可
得：
22
2
1
AC?AO?AC
2
?AE?AO?
22
1113
AB?AC??1?
4422
本题正确选项：
D
【点睛】
本题考查
向量数量积的求解问题，关键是能够利用模长的等量关系得到等腰三角形，从而
将含夹角的运算转化为已
知模长的向量的运算
.
6．C
解析：
C
【解析】
试题分析：由三视图分析可知，该几何体的表面积为圆锥的表面积与圆柱的
侧面积之
和．
．
考点：三视图与表面积．
，，所以几何体的表面积为
7
．
C
解析：
C
【解析】
∵函数
y=f(x)
定义域是
[?2,3]
，
∴由
?2
?
2x?1
?
3
，
解得
?
1
?
x
?
2
，
2
?
1
?
即函数的定义域为
?
?,2
?
，
?
2
?
本题选择
C
选项
.
8．B
解析：
B
【解析】
试题分析：设圆锥
底面半径为
r
，则
16
1
?2?3r?8
，所以
r
?
，所以米堆的体积为
4
3
320320
1116
??3?
()
2
?5
=÷1.62≈22
，故选
B.
，故堆放的米约为
433
99
考点：圆锥的性质与圆锥的体积公式
9
．
D
解析：
D
【解析】
试题分析：
AB?2a,AC?2a?b
,
?AC?AB?b
,
?b?AC?AB?BC
．
由题意知
b?2,a?b?a?bc
os120?1?2?
?
?
?
1
?
?
??1
．
?
2
?
2
?4a?b?BC?2AB?BC?BC?
2AB?BC?BC
??
??
?
1
?
?2AB?BCcos
120?2
2
?2?2?2?
?
?
?
?4?0
．<
br>?4a?b?BC
．故
D
正确．
?
2
?<
br>??
考点：
1
向量的加减法；
2
向量的数量积；
3<
br>向量垂直．
10
．
D
解析：
D
【解析】
把
C
1
上各点的横坐标缩短到原来的
的
曲线向左平移
（
2x
+
1
倍，纵坐标不变，得到函数
y=c
os2x
图象，再把得到
2
πππ
个单位长度，得到函数
y=cos
2
（
x
+）
=cos
（
2x
+）
=sin
12126
2π
）的图象，即曲线
C
2
，
3
故选
D
．
点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，
后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现
在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一
个变换总是对字母
x
而言. 函
数
y?Asin(
?
x?<
br>?
)(x?R)
是奇函数
?
?
?kπ(k?Z)
；函
数
y?Asin(
?
x?
?
)(x?R)
是偶函数
?
?
?k
π+
π
(
k?Z
)
；函数
y?Acos(
?
x?
?
)(x?R)
是奇函数
2
π
?
?
?k
π+(
k?Z
)
；函数
y?
Acos(
?
x?
?
)(x?R)
是偶函数
?
?<
br>?kπ(k?Z)
.
2
11．B
解析：
B
【解析】
由
f
?
x
?
的解析式知仅有两个零点
x??
3
与
x?0
，而
A中有三个零点，所以排除A，又
2
?2x
2
?x?3
，由
f
?
?
x
?
?0
知函数有两个极值点，排除C，D，故选B
．
f
?
?
x
?
?
x
2e
12．A
解析：
A
【解析】
试题分析：设
F
1
是椭圆的左焦点，由于直线
l:3x?4y?0
过原点，因此
A,B
两点关于原
点对称，从而
AF
1
BF
是平行四边形，所以
B
F
1
?BF?AF?BF?4
，即
2a?4
，
a?2
，设
M(0,b)
，则
d?
4b4b4
?
，
b?1
，即
1?b?2
，又，所以
555
c3
．
故选
A
．
?
a2
c
2
?a
2<
br>?b
2
?4?b
2
，所以
0?c?3
，
0?
考点：椭圆的几何性质．
【名师点睛】本题考查椭圆的离心率的范围，因此要求得<
br>a,c
关系或范围，解题的关键是
利用对称性得出
AF?BF
就是2a
，从而得
a?2
，于是只有由点到直线的距离得出
b
的范围，就得出
c
的取值范围，从而得出结论．在涉及到椭圆上的点到焦点的距离时，需要<
br>联想到椭圆的定义．
二、填空题
13
．【解析
】由已知是与的等比中项则则当且仅当时等号成立故答案为
2
【点
睛】本题考查基本不
等式的性质等比数列的性质其中熟练应用乘
1
法是解题的
关键
解析：
【解析】
由已知
a?0,b?0
,
3
是
3a
与
b
的等比中项，则
则
?
3
?
2
?3a?b,?ab?1
1
1
?
11
??
11
?
??
?
?
?
?1?
?
?
?
?ab?a?b?2ab?2
，当且仅当
a?b?1
时等号成立
ab
?
ab<
br>??
ab
?
故答案为
2
【点睛】本题考查基本不等
式的性质、等比数列的性质，其中熟练应用“乘
1
法”是解题
的关键．
14．【解析】【分析】先利用周期公式求出再利用平移法则得到新的函数表达
式依据函数为奇函数
求出的表达式即可求出的最小值【详解】由得所以向左平
移个单位后得到因为其图像关于原点对称所以函
数为奇函数有则故的最小值
解析：
【解析】
【分析】
先利用周期公式求出
?
，再利用平移法则得到新的函数表达式，依据函数为奇函数，求
出
?
3
m
的表达式，即可求出
m
的最小值．
【详解】
由
T?
2
?
?
??
?
?
得
?
?2
，所以
y?sin
?
2x?<
br>?
，向左平移
m
?
m?0
?
个单位后，得到
3
?
?
?
y?sin[2(x?m)?]?sin(2x?2m?)
，因为其图像关于原点对称，所以函数为奇函
33
??
数，有
2m?
【点睛】
?
3
?k
?
,k?Z
，
则
m??
?
6
?
k
?
?
，故
m<
br>的最小值为．
3
2
本题主要考查三角函数的性质以及图像变换，以及
y?Asin(
?
x?
?
)
型的函数奇偶性判断
条件．一般地
y?Asin(
?
x?
?
)
为奇函数
，则
?
?k
?
；为偶函数，则
?
?
?
2<
br>?k
?
；
y?Acos(
?
x?
?
)
为奇函数，则
?
?
?
2
?k
?
；为偶函数，则<
br>?
?k
?
．
15．【解析】【分析】由题意知本题是一个古
典概型从0~9中任意取两个数
（可重复）共有100种取法列出满足所有可能情况代入公式得到结果【
详解】
从0~9中任意取两个数（可重复）共有100种取法则的情况有：共有
解析：
7
25
【解析】
【分析】
<
br>由题意知本题是一个古典概型，从
0~9
中任意取两个数（可重复）共有
100
种取法，列出
满足
|a?b|1
所有可能情况，代入公式得到结果。
【详解】
从
0~9
中任意取两个数（可重复）共有
100
种取法，则
|a?b|1
的情况有：
?
0,0
?
，
?
1,1
?
，
?
2,2
?
，
?<
br>3,3
?
，
?
4,4
?
，
?
5,5
?
，
?
6,6
?
，
?
7,7
?<
br>，
?
8,8
?
，
?
9,9
?
，?
0,1
?
，
?
1,0
?
，
?
1,2
?
，
?
2,1
?
，
?
2,3?
，
?
3,2
?
，
?
3,4
?
，
?
4,3
?
，
?
4,5
?
，
?
5,4
?
，
?
5,6
?
，
?
6
,5
?
，
?
6,7
?
，
?
7,6
?
，
?
7,8
?
，
?
8,7
?
，
?
8,9
?
，
?
9,8
?
共有
2
8
种，所以
P?
【点睛】
本题考查了古典概型的概率计算问题，属于基础题。
287
.
<
br>?
10025
16．【解析】设正方体边长为则外接球直径为【考点】球【名师点睛】求
多面
体的外接球的面积和体积问题常用方法有（1）三条棱两两互相垂直时可恢复为
长方体利用
长方体的体对角线为外接球的直径求出球的半径；（2）直棱
解析：
9
?
2
【解析】
设正方体边长为
a
，则
6a
2
?18?a
2
?3
，
外接球直径为
2R?3a?3,V?
【考点】 球
【名师点睛】求
多面体的外接球的面积和体积问题常用方法有（1）三条棱两两互相垂直
时，可恢复为长方体，利用长方
体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；（2）直棱
4
3
4279
πR
?π??π
.
3382
柱的外接球可利用棱柱的上下底面平
行，借助球的对称性，球心为上下底面外接圆的圆心
连线的中点，再根据勾股定理求球的半径；（3）如
果设计几何体有两个面相交，可过两个
面的外心分别作两个面的垂线，垂线的交点为几何体的球心，本题
就是第三种方法.
17．【解析】【分析】利用两角和与差的正弦函数化简两个函数的表达式
为同
名函数然后利用左加右减的原则确定平移的方向与单位【详解】分别把两个函
数解析式化简
为：可知只需把函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图
解析：
【解析】
【分析】
利用两角和与差的正弦函数化简两个函数的表
达式为同名函数，然后利用左加右减的原则
确定平移的方向与单位
.
【详解】
分别把两个函数解析式化简为：
?
3
y?sin2x?3cos2x?2sin(2x?)
，
3
y?sin2x?3cos2x?2sin(2x?)?2sin[2(x?)?]
，<
br>
333
可知只需把函数
y?sin2x?3cos2x
的图象向右平
移
得到函数
y?sin2x?3cos2x
的图象，
故答案是：
【点睛】
该题考查的是有关函数图象的平移变换的问题，在解题
的过程中，注意正确化简函数解析
式，把握住平移的原则是左加右减，以及自变量本身的变化量
.
?
???
?
个单位长度，
3
?
.
3
18
．【解析】【分析】建立直角坐标
系结合向量的坐标运算求解在方向上的投
影即可【详解】建立如图所示的平面直角坐标系由题意可知：则
：且据此可知
在方向上的投影为【点睛】本题主要考查平面向量数量积的坐标运算向量投
解析：
?1
【解析】
【分析】
建立
直角坐标系，结合向量的坐标运算求解
AB
在
BC
方向上的投影即可
.
【详解】
建立如图所示的平面直角坐标系，由题意可知：
A<
br>?
0,0
?
，
B
?
2,0
?
，C1,3
，
则：
AB?
?
2,0
?
，
BC??1,3
，
AB?BC??2
??
??
且
AB?2
，
BC?10
，
据此可知AB
在
BC
方向上的投影为
AB?BC
AB
?
?2
??1
.
2
【点睛】
本题主要
考查平面向量数量积的坐标运算，向量投影的定义与计算等知识，意在考查学生
的转化能力和计算求解能
力
.
19．【解析】在正四棱锥中顶点S在底面上的投影为中心O即底面ABCD在
底面正
方形ABCD中边长为2所以OA=在直角三角形SOA中所以故答案为
解析：
42
3
【解析】
在正四棱锥中，顶点S
在底面上的投影为中心O，即
SO?
底面ABCD，在底面正方形
ABCD
中
，边长为
2
，所以
OA=
2
，在直角三角形
SOA
中
SO?SA
2
?OA
2
?2
2
?
所以<
br>V?
??
2
2
?2
11
42
sh??2?2?2?
33
3
42
3
故答案为<
br>20．【解析】【分析】由已知可知然后利用基本不等式即可求解【详解】解：
（当且仅当取等号
）故答案为【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最值
解题的关键是配凑积为定值属于基础试题
解析：
3?23
【解析】
【分析】
由已知可知
y?3x?
【详解】
解：
11
?3
?
x?1
?
??3
，然后利用基本不等式
即可求解．
x?1x?1
x?1
，
?y?3x?
11?3
?
x?1
?
??3
x?1x?1
?23
?
x?1
?
?
1
3
取等号）
?
3?23?3
，（当且仅当
x
?1?
x?1
3
故答案为23?3
．
【点睛】
本题主要考查了利用基本不等式求最值，解题的关键是配凑积为定值，属于基础试题．
三、解答题
21．（1）
m??1
；（2）当
a?1
时，
f
?
2
?
?f
?
3
?
；当
0?a?1
时，
f
?
2
?
?f
?
3
?
，
理由见解析
【解析】
【分析】
（
1
）将图象关于坐标原点对称转化为函数为奇函数，从而有
f
?
?x
?
??f
?
x
?
在函数的定
义域内恒成立，进而求得
m
的值，再进行检验；
（
2
）根所在（
1
）中求
得的
m
值，得到
f(x)?log
a
x?1
，再求得
f
?
2
?
,f
?
3
?
的值，对
x?1
a
分两种情况讨论，从而得到
f
?
2
?,f
?
3
?
的大小关系
.
【详解】
解：（
1
）
又
1?m
3
x1?m
3
?(?x)
，
?f(?x)?log
a
．
f(x)?l
og
a
x?1?x?1
函数
f
?
x
?
的图
象关于坐标原点对称，
?f(x)
为奇函数，
?f
?
?x
?
?
?f
?
x
?
在函数的定义域内恒成立，
1?m
3
?(?x)1?m
3
x
，
?log
a
??log
a
?x?1x?1
1?m
3
?(?x)1?m
3
x
???1
，
?x?1x?1
?
?
m
6
?1
?
x
2
?0
在函
数的定义域内恒成立，
?m??1
或
m?1
．
当
m?1
时，函数的真数为
?1
，不成立，
?m??1
．
（
2
）据（
1）求解知，
f(x)?log
a
x?1
，
x?1?f(2)?log
a
3
，
f(3)?log
a
2．
当
a?1
时，函数
g(x)?log
a
x
在
(0,??)
上单调递增，
2?3
，
?log
a
2?log
a
3?f(3)?f(2)
；
当<
br>0?a?1
时，函数
g(x)?log
a
x
在
(0,
??)
上单调递减，
2?3
，
?log
a
2?l
og
a
3?f(3)?f(2)
．
【点睛】
本
题考查利用函数的奇偶性求解析式中参数值、对数函数的单调性比较大小，考查数形结
合思想、分类讨论
思想的运用，在比较大小时，注意对
a
分
a?1
和
0?a?1
两种情况讨论
.
22．（
1
）
b?
?
9,12
?
，
c?
?
4,?3
?
；（
2<
br>）
【解析】
【分析】
（
1
）利用共线向
量的坐标表示和垂直向量的坐标表示并结合条件
ab
，
a?c
，列方程
求出
x
、
y
的值，可得出向量
b
和
c
的
坐标；
（
2
）求出
m
、
n
的坐标，利用
向量数量积的坐标运算计算出向量
m
与向量
n
夹角的余弦
值，由夹角
的取值范围可求出这两个向量夹角的值
.
【详解】
（
1
）
3?
.
4
?
3x?4?9
?
，
a?
?
3,4
?
，
b?
?
9,x
?
，
c?
?
4,y
?
，且
ab
，
a?c
，
?3?4?4y?0
?
?
x?12
解得
?
，因此，
b?
?
9,12
?
，
c?
?
4,?3
?
；
y??3
?
（
2
）
m?2a?b?2
?
?
3,4
?
?
?
9,12
?
?
?
?3,?4
?
，
n?a?c?
?
3,4
?
?
?
4,?3
?
?
?
7,1
?
，
则
m?n??3?7?4?1??25
，
?m?
设
m<
br>与
n
的夹角为
?
，
?cosm,n?
?
?3
?
?
?
?4
?
m?n
m?n
?
2
2
22
?5
，
n?7?1?52
，
?252??
，
2
5?52
0?
?
?
?
，则<
br>?
?
3
?
.
4
因此，向量
m与向量
n
的夹角为
【点睛】
3?
.
4
本题考查平面向量的坐标运算，涉及共线向量、向量垂直以及利用坐标计算向量的夹角，
解
题的关键就是将问题转化为向量的坐标运算，考查计算能力，属于中等题
.
23．（
1
）
t?
【解析】
【分析】
1tan
?
?
?3?
；（
2
）
6
cos
?
2
（
1
）根据直角三角形的边角关系求出
AC
和
BC
的值，再求
t
关于
?
的函数解析式；
（
2
）
根据
t
的解析式，结合三角函数的性质求出
t
的最小值以及对应
?
的值．
【详解】
（Ⅰ）由题意知
，
AP?PB
，
AP?2
，
0?
?
?
所以
PC?2tan
?
，
AC?
所以
t
关于
?
的函数为
t?
ACBC212?2tan
?
1tan?
?????3?
；
242cos
?
4cos
?
2
1tan
?
2?sin
?
?3???3
，<
br>
cos
?
2cos
?
?
2
，
2
，
BC?12?2tan
?
，
cos
?
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
t?
令
y?
解得
y
即
?
?
2?sin
?
?0
，则
2?sin
?
?2ycos
?
cos
?
1?4y
2
；
313
，当且仅当
sin
?
?,cos
?
?
时，
等号成立；
222
?
6
时，所花时间
t
最小．
【点睛】
本题考查了解三角形的应用问题，也考查了三角函数图象与性质的问题，意
在考查学生对
这些知识的理解掌握水平．
24
．（
1
）证
明见解析；（
2
）证明见解析；（
3
）
【解析】
试题分析：（
1
）由直线与平面垂直证明直线与平行的垂直；（
2
）证明直线
与平面平行；
（
3
）求三棱锥的体积就用体积公式
.
（<
br>1
）在三棱柱
ABC?A
1
B
1
C
1
中，
BB
1
?
底面
ABC
，所以
BB
1
?
AB
，
又因为
AB
⊥
BC
，
所以
AB
⊥平面
B
1
BCC
1
，因为
AB
?
平面
ABE
，所以平面
ABE?
平面
3
．
3
B
1
BCC
1
.
（2
）取
AB
中点
G
，连结
EG
，
FG
，
因为
E
，
F
分别是
A
1C
1
、
BC
的中点，所以
FG
∥
AC
，且
FG=
1
AC
，
2
因为
AC
∥
A
1
C
1
，且
AC=
A
1
C
1
，所以
FG
∥
EC
1
，且
FG=
EC
1
，
所以四边形
FGEC
1
为平行四边形
，所以
C
1
F
EG
，
又因为EG
?
平面
ABE
，
C
1
F?
平面<
br>ABE
，
所以
C
1
F
平面
ABE
.
（<
br>3
）因为
AA
1
=AC=2
，
BC=1
，<
br>AB
⊥
BC
，所以
AB=
所以三棱锥
E?ABC的体积为：
V?
AC
2
?BC
2
?3
，
111
3
S
?ABC
?AA
1
=
??
3?1?2
=.
332
3
考点：本小题主要考查直线与直线、直线
与平面、平面与平面的垂直与平行的证明；考查
几何体的体积的求解等基础知识，考查同学们的空间想象
能力、推理论证能力、运算求解
能力、逻辑推理能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．
A?1,?
?
?2
;（2）单调递增区间为
?
?
2
5．(1)
π
π
?
π
?
?k
π,
?k
π
?
,
k?Z
(3)
x?
时,
f
?
x
?
6
6
?
3
?
x??
取得最大值1;
【解析】
π
1
时,
f
(
x
)取得最小值
?
．
62
试题分析：
(1)
利用图象的最高点和最低点的纵坐标确定振幅
,
由相邻对称轴间的距离确定函
数的周期和
?
值
;
(2)
利用正弦函数的单调性和整体思想进行求解
;
(3)
利用三角函数的单调性和最值进行求解．
试题解析：
(1)由图象知
A?1,
由图象得函数的最小正周期为
2
?
则由
?
2ππ
?
?
?
=
π
,<
br>
36
??
2π
?
=
π
得
?
?2
．
(2)令
?
πππ
?2kπ?2x???2kπ,?k?Z
262
??
2ππ
?2kπ?2x??2kπ
.
k?Z
33
??
ππ
?k
π
?x??k
π
.
k?Z
36
π
?
π
?
?
k
π,
?k
π
?
,
k?Z
.
6
?
3
?
所以
f
(
x
)的单调递增区间为<
br>?
?
（3）
?
ππππ
?x?,???2x?,
6432
??
??
ππ2π
?2x??
.
663
1π
??
?sin
?
2x?
?
?1
.
26
??
当
2x?
当
2x?
πππ
?,
即
x?
时,
f
?
x
?
取得最大值1;
626
πππ
1
??,
即
x??
时,
f
(
x
)取得最小值
?
．
6662
26．（1）
B?
【解析】
【分析】
?
3
；（2）
?
2,4
?
.
（
1
）利用正弦定理化简
?
2a?c
?
cosB?bcosC
?0
得：
?
2sinA?sinC
?
cosB?sinB
cosC
，再由正弦两角和差公式和化为：
2sinAcosB?sinBcosC?cosB
sinC?sin
?
B?C
?
，再由
sin
?
B?
C
?
?sinA
得出
cosB
的值即可；
（2
）由
b43
43
43
得出
a?sinA
，<
br>c?sinC
，得到
?
3
3
sinB3
a?c??
??
4343
sinA?sinC
，进而得到
a?c?sin
?
A?
?
，再根据角的范围得到
6
??
33
?
??
sin
?
A?
?
的范围即可
.
6
??
【详解】
(1)
由
?
2a?c<
br>?
cosB?bcosC?0
，
可得：
?
2sinA?sinC
?
cosB?sinBcosC
，
?2sinAcosB?sinBcosC?cosBsinC
，
可得：<
br>2sinAcosB?sin
?
B?C
?
?sinA
，
A?(0,
?
)
，
sinA?0
，
?
可得
cosB?
1
，
2
又由
B?(0,
?
)
得：
B?
(2)
?
3
，
b43
43
43
，
a?sinA
，
c?sinC
，
?
3
3
sinB3
2
?
，
3
A?C?
?a?c?
?
434343
sinA
?sinC?
?
sinA?sin(A?B)
?
333
?
43
?
?
?
43
?
13
sinA?sin
(A?)?sinA?sinA?cosA
??
3
?
3
?
3
?
22
??
?
?
3
?<
br>1
?
?4
?
sinA?cosA
?
?4sin(A?
)
，
26
?
2
?
0?A?
??
5
?
2
?
，
?A??
，
3
66
6
?
?
可得：
sin
?
A?
?
??
1
?
?
?
?
,1
?
，
6??
2
?
?
a?c
的取值范围
?
2,4
?
.
【点睛】
本题主要考查解三角形，侧重考查正弦定理的应
用，考查辅助角公式的运用，考查逻辑思
维能力和运算能力，属于中档题
.