2019年信阳市高中必修二数学下期末试题(带答案)

，2，4
?
，
B?x|x?4x?m?0
，
A?B?
?
1
?

∵

集合
A?
?
1
2
??

∴
x?1
是方程
x
2
?4x?m?0
的解，即
1?4 ?m?0


∴
m?3

，

∴
B?x|x?4x?m?0?x|x?4x?3?0?
?
13
?< br>，故选
C

22
????
5．B
解析：
B

【解析】

试题分析：集合中的元素为点集，由 题意，可知集合
A
表示以
?
0,0
?
为圆心，
1< br>为半径的单
位圆上所有点组成的集合，集合
B
表示直线
y?x
上所有的点组成的集合，又圆
?
22
??
22
?
,?,?< br>x
2
?y
2
?1
与直线
y?x
相交于两点< br>?
，
?
?
22
?
?
?
?
2
?
，则
AIB
中有2个元
2
????
素.故选B.

【名师点睛】求集合的基本运算时，要认清集合元素的属性
(
是点集、数集 或其他情形
)
和
化简集合，这是正确求解集合运算的两个先决条件
.
集合中元素的三个特性中的互异性对解
题影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意 检验集合中的元素是否
满足互异性
.

6．B
解析：
B

【解析】

【分析】

由三视 图可知，该几何体是由一个四棱锥挖掉半个圆锥所得，故利用棱锥的体积减去半个
圆锥的体积，就可求得 几何体的体积
.

【详解】

由三视图可知，该几何体是由一个四棱 锥挖掉半个圆锥所得，故其体积为
1118?
?
.
故选
B.

?2?2?2???
?
?1
2
?2?
3233
【点 睛】

本小题主要考查由三视图判断几何体的结构，考查不规则几何体体积的求解方法，属于基
础题
.

7
．
D
解析：
D

【解析】

试题分析：由得，所以，因为，所以
，故选D.

【考点】

一元二次不等式的解法，集合的运算

【名师点睛】对于 集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或
韦恩图处理
.

8
．
C
解析：
C

【解析】

选取两支彩笔的方法有
C
5
种，含有红色彩笔的 选法为
C
4
种，

1
C
4
42
?
.

由古典概型公式，满足 题意的概率值为
p?
2
?
C
5
105
2
1
本题选择C选项.

考点：古典概型

名师点睛：对于古典概型问题 主要把握基本事件的种数和符合要求的事件种数，基本事件
的种数要注意区别是排列问题还是组合问题， 看抽取时是有、无顺序，本题从这5支彩笔
中任取2支不同颜色的彩笔，是组合问题，当然简单问题建议 采取列举法更直观一些.

9．C
解析：
C

【解析】

【分析】

画出函数图像，根据图像得到
?2? a≤0
，
bc?1
，得到答案
.

【详解】
?
1
?
x?1,x?0
f
?
x
?
?< br>?
2
，画出函数图像，如图所示：

?
log
201 9
x,x?0
?
根据图像知：
?2?a≤0
，
?log2019
b?log
2019
c
，故
bc?1
，故?2?abc?0
.

故选：
C
.


【点睛】

本题考查了分段函数的零点问题，画出函数图像是解题的关键
.

10
．
D
解析：
D

【解析】

∵
111
,,
成等差数列，

a2b
11a4ba4b
?
11
?
???1，?a?4b?
?
a ?4b
?
?
?
?
?5??…5?2??9
，
ababbaba
??
当且仅当
a=2b
即
a?3,b?
本题选择
D
选项
.

点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不 等式成立的三个条件，就是
“
一正
——
各项均
为正；二定
— —
积或和为定值；三相等
——
等号能否取得
”
，若忽略了某个条件， 就会出现
错误．

3
时
“=
“成立，

2
11．C
解析：
C

【解析】

【分析】

r
?
1
?
由二项展开式的通项公式为< br>T
r?1
?C
?
2x
?
?
?
?及展开式中第2项与第3项的二项
x
??
式系数之比是2︰5可得：
n? 6
，令展开式通项中
x
的指数为
3
，即可求得
r=2
，问题
r
n
n?r
得解．

【详解】

二项展开式的第
r?1
项的通项公式为
T
r?1
?C
rn
r
?
2x
?
n?r
?
1
?
?
?
?

x
??
12
由展开式中第2项与第3项的 二项式系数之比是2︰5，可得：
C
n
:C
n
?2:5
.< br>
解得：
n?6
.

所以
T
r?1
?C
令
6?
r
n
r
?
2x
?
n? r
3
r
6?r
?
1
?
r6?r
2

?
?
?
?C
6
2
?
?1
?
x
x
??
3
r?3
，解得：
r=2
，

2
2
26?2
所以
x
3
的系数为
C
6
2
?
?1
?
?240

故选C

【点睛】

本题主要考查了二项式定理及其展开式，考查了方程思想及计算能力，还考 查了分析能
力，属于中档题．

12．C
解析：
C

【解析】

圆
x?y?2x?2y?0
的圆心坐标为
??1,1
?
，半径为
2
，过圆心
?
?1,1
?
与直线
22

x?y?4?0
垂直的直线方程为
x?y ?0
，所求圆的圆心在此直线上，又圆心
?
?1,1
?
到直
线
x?y?4?0
的距离为
6
?32
，则所求圆的半径为
2
，设所求圆的圆心为
2
?
a,b
?
，且圆心在直线
x?y?4?0
的左上方，则
?
x?1
?
?
?
y? 1
?
故选
C
．

22
a?b?4
2
?2
，且
a?b?0
，解得
a?1,b??1
（
a?3, b??3
不符合题意，舍去

），故所求圆的方程为
?2
.

【名师点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，考查了数形结合的思想，考查了计算能
力，属 于中档题．

二、填空题

13．【解析】分析：令得当时由此推导出数列 是首项为1公差为的等差数列从
而得到从而得到详解：令得解得当时由）得两式相减得整理得且∴数列是 首项
为1公差为的等差数列可得所以点睛：本题考查数列的通项公式的求法是中
n*
解析：
S
n
?ng2(n?N)

【解析】

a
n?1
}

是首分析：令
n ?1
，得
a
1
?2
，当
n?2

时，S
n?1
?2a
n?1
?2
，由此推导出数列
{
n
2
n
项为
1
公差为
1
n?1
的等差数 列，从而得到
a
n
＝
?
n?1
?
2
，从而 得到
S
n
.

2
1
详解：令
n?1
，得
a
1
?2a
1
?2
，解得
a
1?2
，

当
n?2
时，

nn?1
由
S
n
?2a
n
?2
），得
S
n?1< br>?2a
n?1
?2
，

两式相减得
a
n?S
n
?S
n?1
?2a
n
?2
?
n
?
?
?
2a
n?1
?2,
整理得
n?1
?
a
n
a
n?1
1
a
1
???1 ,


，且
2
n
2
n?1
22
1
1
a
}
∴数列
{
n
是首项为1公差为 的等差数列，

2
n
2
?
a
n
1
?1?
?
n?1
?
,
可得
a
n
?
?
n?1
?
2
n?1
,


n
22
nn?1nn
?
?2?n?2.


?
所以
S
n
?2a
n
?2?2
?
??
n?1
?
2
理运用．

点睛：本题考查数列的通项公 式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意构造法的合
14．【解析】由得所以即则又所以故答案为
解析：

?
6

【解析】

由
sinC?23sinB
得
c?23b，
所以
a2
?b
2
?3bc?3?23b
2
，即
a
2< br>?7b
2
，
则
?
b
2
?c
2?a
2
b
2
?12b
2
?7b
2
3< br> ，又
A?
所以
A?．


cosA???
（0，
?
），
2
6
2bc2
43b
故答案为?
.

6
15．3【解析】【分析】【详解】如图区间长度是6区间﹣2 4上随机地取一个
数x若x满足|x|≤m的概率为若m对于3概率大于若m小于3概率小于所以
m=3故答案为3
解析：3

【解析】

【分析】

【详解】

如图区间长度是
6
，区间
[
﹣
2
，
4]
上随机地取一个数
x
，若
x
满足
|x|≤m
的概率为，若
m
对
于
3
概率大于，若
m
小于
3
，概率小于，所以
m=3
．

故答案为
3
．


16
．
18
【 解析】应从丙种型号的产品中抽取件故答案为
18
点睛
:
在分层抽样的
过程中为了保证每个个体被抽到的可能性是相同的这就要求各层所抽取的个体
数与该层所包含的个体数 之比等于样本容量与总体的个体数之比即
ni
解析：18

【解析】

应从丙种型号的产品中抽取
60?
300
?18
件，故答案为
18
．

1000
点睛
:
在 分层抽样的过程中，为了保证每个个体被抽到的可能性是相同的，这就要求各层所
抽取的个体数与该层所 包含的个体数之比等于样本容量与总体的个体数之比，即
n
i
∶
N
i
＝
n
∶
N
．

17．【解析】【分析】发现计算可 得结果【详解】因为且则故答案为-2【点
睛】本题主要考查函数的性质由函数解析式计算发现是关键属 于中档题
解析：
?2

【解析】

【分析】
< br>发现
f
?
x
?
?f
?
?x
?
?2
，计算可得结果.

【详解】

因为
f
?
x
?
?f
?
?x
?
?ln
?
1?x
2
?x?1?ln
?
?
1?x?x
?
?1?ln
?
1?x?x
?
?2?2
，

222
?f
?
a
?
?f
?
?a
?
?2< br>，且
f
?
a
?
?4
，则
f
?
?a
?
??2
.

故答案为
-2

【点睛】

本题主要考查函数的性质，由函数解析式，计算发现
f
?
x
?
?f
?
?x
?
?2
是关键，属于中档
题.

18．【解析】【分析】根据条件及向量数量积运算求得连接由三角形中线的性
质表示出根据向量的线性运算及数量积公式表示出结合二次函数性质即可求得
最小值【详解】根 据题意连接如下图所示:在等腰三角形中已知则由向量数
解析：
7

7
【解析】

【分析】

根据条件及向量数量积运算求得< br>AB?AC
,
连接
AM,AN
,
由三角形中线的性质表示出< br>uuuruuur
uuuuruuur
uuuur
2
AM,AN
.
根据向量的线性运算及数量积公式表示出
MN
,
结合二次函数性质即可求 得最小
值
.

【详解】

根据题意
,
连接
AM,AN
,
如下图所示
:


在等腰三角形ABC
中,已知
AB?AC?1
,
?A?120?

u uuruuuruuuruuur
1
o
则由向量数量积运算可知
AB?AC? AB?ACcosA?1?1?cos120??

2
线段
EF、BC
的中点分别为
M、N
则

uuuur
1
AM?
2
uuur
1
AN?
2?
?
uuuruuurruuur
1
uuu
AE?AF?
?
AB?
?
AC

2
uuuruuur
AB?AC

???
?
uuu uruuuruuuur
?
11
?
uuur
?
11
?
uuur
由向量减法的线性运算可得
MN?AN?AM?
?
??
?
AB?
?
?
?
?
AC

?
22
??
22
?
uuuur
2
?
?11
?
uuur
?
11
?
uuur
?
2
所以
MN?
?
?
?
?
?
AB?
?
?
?
?
AC
?

?
22
??
?
22
?
?

2
r
2
rruuur
2
?
11
?
uuu
2
?
11
?
uuu
?
11
??
11
?
uuu
?
?
?
?
?
AB?
?
?
?
?< br>AC?2?
?
?
?
?
?
?
?
??
?AB?AC

?
22
??
22
??
22
??
22
?
?
11
??
11
??< br>11
??
11
??
1
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?2?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?

?
22
??
22
??
22
? ?
22
??
2
?
2
uuuur
2
212
312111
??
因为
?
?4
?
?1
,
代入化简可得
MN?
?
?
?
??
?
?
?
?
?

4244
?
7
?
722
因为
?
,
?
?
?
0,1
?

所以当
?
?
uuuur
2
11
时
,
MN
取得最小值

77
uuuur
因而
MN
min
?
17
?

77
故答案为
:
【点睛】

7

7
本题考查了平面向量数量积的综合应用< br>,
向量的线性运算及模的求法
,
二次函数最值的应用
,
属于中 档题
.

19．【解析】【分析】根据三角形面积公式得到再由余弦定理得到AC长【 详解
】在中且的面积为由正弦定理的面积公式得到：再由余弦定理得到故得到故答
案为：【点睛 】本题主要考查余弦定理的应用以及三角形面积公式;在解
解析：
7

【解析】

【分析】

根据三角形面积公式得到
S?
【详解】

在
?ABC
中，
B?120
o
，
BC?1
，且
?ABC
的面 积为
133
?1?AB???AB?2.
再由余弦定理得到
AC
长< br>.

222
3
，由正弦定理的面积公式得
2
到：S?
133
?1?AB???AB?2.

222
7
.

再由余弦定理得到
AC
2
? AB
2
?BC
2
?2?AB?BC?cos120
0
?7< br>

故得到
AC?
故答案为：
7
.

【点睛】

本题主要考查余弦定理的应用以及三角形面积公式
;
在解 与三角形有关的问题时，正弦定
理、余弦定理是两个主要依据
.
解三角形时，有时可 用正弦定理，有时也可用余弦定理，应

注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说
,
当条件中同时出现
ab

及
b
2

、
a
2

时，往往用余
弦定理，而题设中如果边和正弦、余 弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦
函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.

20
．
2n+1
【解析】由条件得且所以数列是首项为4
公比为
2
的等比数列则

解析：
2n+1

【解析】

2
?2
a
n?1
?2a
n?1
a?2
??2
n
?2b
n
，且
b
1
?4
，所以数列
?
b
n
?
是首项由条件得
bn?1
?
2
a
n?1
?1a
n
?1
? 1
a
n?1
n?1n?1
为
4
，公比为
2
的等比数列，则
b
n
?4?2?2
．

三、解答题


21．（
1
）
a
n
＝－
2n
＋
5.
（
2
）
4

【解析】

（Ⅰ ）设
{a
n
}
的公差为
d
，由已知条件，，解出
a
1
＝
3
，
d
＝－
2
．

所以
a
n
＝
a
1
＋
(n
－
1)d
＝－
2n
＋
5
．

（Ⅱ）
S
n< br>＝
na
1
＋
d
＝－
n
2
＋
4n
＝－
(n
－
2)
2
＋
4
，所以
n
＝
2
时，
S
n
取到最大值
4
．

22．（
1
）
k?
【解析】

【分析】

（
1
）根据关于
x
的不等式
2 kx?kx?
2
1
；（
2
）
(?3,0)

8
3
3
?
3
?
?0
的解集为
?
?,1
?
，得到
?
和
1
是方程
8
2
?
2
?
3
2kx
2
?kx??0
的两个实数根， 再利用韦达定理求解
.

8
3
2
（
2
）根 据关于
x
的不等式
2kx?kx??0
的解集为
R
．又因为
k?0

，利用判别式法求
8
解
.

【详解】

3
?
3
?
2
x
2kx ?kx??0
（
1
）因为关于的不等式的解集为
?
?,1
?
，

8
?
2
?
所以
?
3
3
2
和
1
是方程
2kx?kx??0
的两个实数根，

2
8
?
3
1
k?
由韦达定理可得
3< br>，得．

??1?
8
8
22k

（2
）因为关于
x
的不等式
2kx?kx?
2
3
?0
的解集为
R
．

8
因为
k?0


?
2k?0,
所以
?
，解得
?3?k?0
，

2
V?k?3k?0
?
故
k
的取值范围为< br>(?3,0)
．

【点睛】

本题主要考查一元二次不等式的 解集和恒成立问题，还考查了运算求解的能力，属于中档
题
.

23
．（
1
）
a?3,c?2
；（
2
）
【解析】

试题分析：（
1
）由
BA?BC?2
和
cosB?23

27
uuuruuur
1
，得
ac=6.
由余弦定理，得
a
2
?c
2
?13
.

3
解，即可求出
a
，
c
；（
2
）

在
?ABC
中，利用同角基本关系得
sinB?
22
.
3
c42
，又因为
a?b?c
，所以
C
为锐 角，因此
sinB?
b9
由正弦定理，得
sinC?
cosC?1? sin
2
C?
7
，利用
cos(B?C)?cosBcosC?si nBsinC
，即可求出结果
.

9
，又
cosB?
uuuruuur
（
1
）由
BA?BC?2
得，
1
，所以
ac=6.

3
由余弦定理，得
a
2
?c
2
?b
2
?2accosB
.

又
b=3
，所以
a
2
?c
2
?9?2?2?13
.

解，得
a=2
，
c=3
或
a=3
，
c=2 .

因为
a>c,
∴
a=3
，
c=2.

（
2
）在
?ABC
中，
sinB?1?cos
2< br>B?1?()
2
?
由正弦定理，得
sinC?
1
3< br>22
.

3
c22242
，又因为
a?b?c
，所以
C
为锐角，因
sinB???
b339
此
cosC ?1?sin
2
C?1?(
42
2
7
.
)?

99

于是
cos(B?C)?cosBcosC?sinBsin C
=
?
考点：
1.
解三角形；
2.
三角恒等变换< br>.

24．（1）
a?
【解析】

17224223
.

???
393927
5
（2）
a?c?210

3
试题分析：（
1
）利用同角三角函数的基本关系式，求出
sinB
， 利用正弦定理求出
a
即
可．

（
2
）通过三角形的 面积求出
ac
的值，然后利用余弦定理即可求出
a
+
c
的值 ．

试题解析:

解：（1）
QcosB?
43
,?sinB?
.

55
aba10
?,可得?
?
由正弦定理得
sinAsinB3< br>.

sin
6
?a?
5
.

3
（
2
）
Q?ABC
的面积
S?
13
acs inB,sinB?
，

25
?
3
ac?3,ac?10
.

10
8
ac?a
2
?c
2
?16
,即
a
2
?c
2
?20
.

5
2
由余弦定理
b
2
?a
2
? c
2
?2accosB
，

< br>得4=
a?c?
2
22
∴
?
a?c
?
?2ac?20,
?
a?c
?
?40
，


∴
a?c?210

点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题 ，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件
灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基 本步骤是：

第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.

第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.

第三步：求结果
.

4
r
2
r
9
25．（
1
）
?a?b
；（
2
）

16
33
【解析】

【分析】

【详解】

uuur
2
r
uuur
2
（
Ⅰ
）由题意可 知：
BF?b
，且
BF?3??2
，

3
3

uuur
uuur
4
uuur
4
r
BE? 4
，故
BE?BA?a
，

33
uuuruuuruuur
4
r
2
r
EF?BF?BE??a?b

33uuuruuur
BF?3
?
,FC?3?3
?
，
< br>（
Ⅱ
）由题意，
uuuruuur
BE?6
?
,AE ?6
?
?3
，

uuuruuur
279
AE?F C?(6
?
?3)(3?3
?
)cos60???9
?
2< br>?
?
?

22
27
1
3
?(,1)
时，

当
?
??
2
?
2
?9?24
uuuruuur
9< br>AE?FC
有最大值．

16
、

26
．（
1
）证明见解析；（
2
）证明见解析；（
3
）
【解 析】

试题分析：（
1
）由直线与平面垂直证明直线与平行的垂直；（
2
）证明直线与平面平行；
（
3
）求三棱锥的体积就用体积公式
.

（
1
）在三棱柱
ABC?A
1
B
1C
1
中，
BB
1
?
底面
ABC
，所以
BB
1
?
AB
，

又因为
AB
⊥
BC
，所以
AB
⊥平面
B
1
BCC
1，因为
AB
?
平面
ABE
，所以平面
ABE?
平面
3
．

3
B
1
BCC
1
.

（
2
）取
AB
中点
G
，连结
EG
，
FG
，< br>
因为
E
，
F
分别是
A
1
C
1
、
BC
的中点，所以
FG
∥
AC
，且
FG=
1
AC
，

2
因为
AC
∥
A
1
C
1
，且
AC=
A
1
C
1< br>，所以
FG
∥
EC
1
，且
FG=
EC
1
，

所以四边形
FGEC
1
为平行四边形，所以
C
1
F
EG
，

又因为
EG
?
平面
ABE
，
C
1
F?
平面
ABE
，
所以
C
1
F
平面
ABE
.

（
3
）因为
AA
1
=AC=2
，
BC=1
，
AB
⊥
BC
，所以
AB=
所以三棱锥
E?AB C
的体积为：
V?
AC
2
?BC
2
?3
，

111
3
S
?ABC
?AA
1
=
??3?1?2
=.

332
3
考点：本小题主要考查直线与直线 、直线与平面、平面与平面的垂直与平行的证明；考查
几何体的体积的求解等基础知识，考查同学们的空 间想象能力、推理论证能力、运算求解
能力、逻辑推理能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．