2019年芜湖市高中必修二数学下期末试题带答案

2019年芜湖市高中必修二数学下期末试题带答案

一、选择题
1．△
ABC
的内角
A
、
B
、
C
的对边分 别为
a
、
b
、
c.
已知
a?
b=

A
．
2
B
．
3
C
．
2
D
．
3

2．已知
?
a
n
?
是公差为
d
的等差数列，前
n
项和是
S
n
，若
S
9
?S
8
?S
10
， 则（

）

A
．
d?0
，
S
17
?0

C
．
d?0
，
S
18
?0

A
．
1
B
．
4

B
．
d?0
，
S
17
?0

D
．
d?0
，
S
18
?0

C
．
1
或
4
D
．
2
或
4

5
，
c?2
，cosA?
2
，则
3
3．已知扇形的周长是
12
，面积 是
8
，则扇形的中心角的弧度数是（ ）

4．已知不等式
a x
2
?bx?2?0
的解集为
x?1?x?2
，则不等式
2 x
2
?bx?a?0
的解
集为（

）
A
．
?
x?1?x?
??
?
?
1
?< br>?

2
?
B
．
?
xx??1或x?
?
?
1
?
?

2
?
C
．
x?2?x?1

??
D
．
xx??2或x?1

??
2
5 ．已知
?
a
n
?
的前
n
项和
S
n
?n?4n?1
，则
a
1
?a
2
?L?a
10
?
（ ）

A
．
68
B
．
67
C
．
61
D
．
60

?
1
2
?
16
x
?
0?x?2
?
?
6．已知函数
y?f(x)
为
R
上的偶函数，当
x?0
时，函数
f(x)?
?
，若
x
1
??
?
??
?
x?2
?
?
?
?
2
?
关于
x
的方程
?
f(x)
?
?af(x)?b?0
?
a,b?R
?
有且仅有
6
个不同的实数根，则实数
a
的
取值范围是（

）

A
．
?
?
C
．
?
?
2
?
51
?
,?
?

?
24
?
B
．
?
??
11
?
,?
?


?
24
?
?
11
??
11
?
,?
?
U
?
?,?
?

?
24
??
48
?
o
D
．
?
?
?
11
?
,?
?

?
28
?
7．在
VABC
中，已知
a?x,b ?2,B?60
，如果
VABC
有两组解，则
x
的取值范围是
( )

?
43
?
A
．
?
?
2，
3
?
?

??
?
43
?
B
．
?
2，
?

3
??
?
43?
C
．
?
2，
?
?

3
??
?
43
?
D
．
?
?
2,
3
?

??
2x
2
?3x
8．函数
f(x)?的大致图像是（ ）

2e
x

A
．
B
．

C
．
D
．

9．记
ma x{x,y,z}
表示
x,y,z
中的最大者，设函数
f(x)?max?
?x
2
?4x?2,?x,x?3
?
，若
f(m)? 1
，则实数
m
的取值范围是（

）

A
．
(?1,1)U(3,4)

C
．
(?1,4)

点M，那么 ( )

A
．M一定在直线AC上

B
．M一定在直线BD上

C
．M可能在直线AC上，也可能在直线BD上

D
．M既不在直线AC上，也不在直线BD上

B
．
(1,3)

D
．
(??,?1)U(4,??)

10．在空间四边形ABCD 的边AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，如EF与HG交于
?
a
x
,x?1
?
11．若函数
f
?
x
?
??
是
R
上的减函数，则实数
a
的取值范围是( )

2?3ax?1,x?1
?
?
?
?
A
．
?
?
2
?
,1
?

?
3
?
B
．
?
,1
?

?
3
?
?
4
?
C
．
?
?
23
?
,
?

?
34
?
D
．?
?
2
?
,??
?

?
3
?
12．设
S
n
为等差数列
?
a
n
?
的前
n
项和，若
3S
3
?S
2
?S
4< br>，
a
1
?2
，则
a
5
?

A
．
?12
B
．
?10
C
．
10
D
．
12

二、填空题
13．设a＞0，b＞0，若
3
是
3
a
与3
b
的等比中项，则
14．已知函数
f(x)?x?2x?ax?1
在区间
范围是
____________

15．已知定义在实数集
R
上的偶函数
f
?
x
?
在区间
?
??,0
上是减函数, 则不等式
32
11
?
的最小值是
__
．

ab
上恰有一个极值点，则实数
a
的取值
?
f
?
1
?
?f
?
lnx
?
的解集是
________.

15
上，则
a
2
?b
2
的最小值 为
_______
．

16．已知点
M
?
a，b< br>?
在直线
3x?4y＝
17．在圆x
2
＋y
2
＋2x＋4y－3＝0上且到直线x＋y＋1＝0的距离为
2
的点共有
______ __
个．

asin
18．设a，b是非零实数，且满足?
77
?tan
10
?
，则
b
＝
__ _____
．

??
21
a
acos?bsin
7 7
?bcos
?
19．过点
M(,1)
的直线
l
与 圆
C
：（
x
﹣
1
）
2
+y
2＝
4
交于
A
、
B
两点，
C
为圆心，当 ∠
ACB
最小时，直线
l
的方程为
_____
．

20．函数f(x)为奇函数，且x>0时，f(x)＝
x
＋1，则当x<0时，f( x)＝
________
.

1
2
三、解答题
2 1．已知直线
l
1
:2x?y?1?0，l
2
:ax?2y?8?a ?0,
且
l
1
l
2
．

（1）求直线
l
1
,l
2
之间的距离；

（2）已知圆C与直线
l
2
相切于点A，且点A的横坐标为
?2
，若 圆心C在直线
l
1
上，求圆C
的标准方程．

22．从甲、 乙两名学生中选拔一人参加射箭比赛，为此需要对他们的射箭水平进行测
试．现这两名学生在相同条件下 各射箭
10
次，命中的环数如下：

甲

乙

8

10

9

9

7

8

9

6

7

8

6

7

10

9

10

7

8

8

6

8


(1)
计算甲、乙两人射箭命中环数的平均数和标准差；

(2)
比较两个人的成绩，然后决定选择哪名学生参加射箭比赛．

23．已 知数列
?
a
n
?
满足
a
1
?1，a
n?1
?
2a
n
1
，n?N
*
，b
n< br>?
．

a
n
?2a
n
??
?
1
?
证明数列
?
b
n
?
为等差数列；

?
2
?
求数列
?
a
n
?
的通项公 式．

24．如图所示，为美化环境，拟在四边形
ABCD
空地上修建两条道 路
EA
和
ED
，将四边
形分成三个区域，种植不同品种的花草，其中 点
E
在边
BC
的三等分点处（靠近
B
点），
BC? 3
百米，
BC?CD
，
?ABC?120
o
，
EA ?21
百米，
?AED?60
o
.

（
1
）求
△ABE
区域的面积；

（
2< br>）为便于花草种植，现拟过
C
点铺设一条水管
CH
至道路
ED
上，求水管
CH
最短时
的长．

25．已知四点A（-3，1），B（-1，-2），C（2，0），D（
3m
2
,m ?4
）

（1）求证：
AB?BC
；

(2)
ADBC
，求实数m的值.

26．记
S
n
为等差 数列
{a
n
}
的前
n
项和，已知
a
1??7
，
S
3
??15
．


（
1
）求
{a
n
}
的通项公式；


（
2
）求
S
n
，并求
S
n
的最小值．

uuuvuuuv
uuuvuuuv

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一、选择题

1．D
解析：
D

【解析】

【分析】

【详解】

由余弦定理得
解得
【考点】

余弦定理

【名师点睛】

本题属于基础题
,
考查内容单一
,
根据余弦定理整理出关于
b
的一元二次方程
,
再通过解方程
求
b.
运算失误是基础题失分的主要原因
,
请考生切记！

（舍去），故选
D.

，

2．D
解析：
D

【解析】

【分析】

利用等差数列的通项公式求和公式可判断出数列
?
a
n
?
的 单调性，并结合等差数列的求和公
式可得出结论
.

【详解】
QS
9
?S
8
?S
10
，
?a
9?0
，
a
9
?a
10
?0
，
?a10
?0
，
d?0
.

?S
17
?1 7a
9
?0
，
S
18
?9
?
a
9
?a
10
?
?0
.

故选：
D.

【点睛】

本题考查利用等差数列的前
n
项和判断数列的单调性以及 不等式，考查推理能力与计算能
力，属于中等题
.

3
．
C
解析：
C

【解析】

设扇形的半径为
r
，弧长为
l
，则
l?2r?12，S?
∴解得
r?2，l?8
或
r?4，l?4
?
?
故选
C
．

1
lr?8，


2
l
?4或1，


r
4．A
解析：
A

【解析】

【分析】

根据一元二次不等式的解集与一元二次方程根的关系，结合韦达定理可构造 方程求得
a,b
；利用一元二次不等式的解法可求得结果
.

【详解】

Qax
2
?bx?2?0
的解集为
?< br>x?1?x?2
?

??1
和
2
是方程
ax
2
?bx?2?0
的两根，且
a?0

?
b
???1?2?1
?
?
a??1
?
a
?
?

?2x
2
?bx?a?2x
2
?x?1?0
< br>，解得：
?
?
b?1
?
2
??1?2??2
?
?
a
解得：
?1?x?
故选：
A

【点睛】

本题考查一元二次不等式的解法、一元二次不等式的解集与一元二次方程根 的关系等知识
的应用；关键是能够通过一元二次不等式的解集确定一元二次方程的根，进而利用韦达定< br>理构造方程求得变量
.

?
1
?
1
，即不等 式
2x
2
?bx?a?0
的解集为
?
x?1?x?
?

2
?
2
?

5
．
B
解析：
B

【解析】

【分析】

?S
1
,n?1
a?
首先运用
n
?
求出通项a
n
，判断
a
n
的正负情况，再运用
S
10< br>?2S
2
即可
?
S
n
?S
n?1
, n?2
得到答案．

【详解】

当
n?1
时，S
1
?a
1
??2
；

2
n?1?
?4
?
n?1
?
?1
?
?2n?5
，

?
当
n?2
时，
a
n
?S
n
?S
n?1
?n?4n?1?
?
??
??
2
?
?2,n?1
故
a
n
?
?
；

2n?5,n?2
?
所以，当
n?2
时，
a
n
? 0
，当
n?2
时，
a
n
?0
.

因此，
a
1
?a
2
?L?a
10
??
?< br>a
1
?a
2
?
?
?
a
3
? a
4
?L?a
10
?
?S
10
?2S
2< br>?61?2?
?
?3
?
?67
.

故选：
B
．

【点睛】

本题考查了由数列的前< br>n
项和公式求数列的通项公式，属于中档题，解题时特别注意两
点，第一，要分类讨论， 分
n?1
和
n?2
两种情形，第二要掌握
a
n
?S
n
?S
n?1
?
n?2
?
这
一数列中的重 要关系，否则无法解决此类问题，最后还要注意对结果的处理，分段形式还
是一个结果的形式
.

6．B
解析：
B

【解析】

【分析】

作出函数
y?f(x)
的图像，设
f
?
x
?
?t
，从而可化条件为方程
t
2
?at?b? 0
有两个根，
利用数形结合可得
t
1
?
【详解】

由题意，作出函数
y?f(x)
的图像如下，

11
，0?t
2
?
，根据韦达定理即可求出实数
a
的取值范围.

44

由图像可得，
0?f(x)?f(2)?
2
1


4
Q
关于
x
的方程
?
f(x)
?
?af( x)?b?0
?
a,b?R
?
有且仅有
6
个不同的实数根，

设
f
?
x
?
?t
，

?t
2
?at?b?0
有两个根，不妨设为
t
1
,t
2
；

且
t
1
?
11
，
0?t
2
?


44
又
Q?a?t
1
?t
2


?
11
?
?a?
?
?,?
?


?
24
?

故选：
B

【点睛】

本题主要考查函数与方程、由方程根的个数求参数的取值范围，考查学生运用数形结合思
想解决 问题的能力，属于中档题
.

7．A
解析：
A

【解析】

【分析】

已知
a,b,B
，若
VABC
有两组解，则
asinB?b?a
，可解得
x
的取值范围
.

【详解】

由已知可得
asinB?b?a
， 则
xsin60??2?x
，解得
2?x?
【点睛】

本题考查已知两边及其中一边的对角，用正弦定理解三角形时解的个数的判断
.
若
VABC
中，已知
a,b,B
且
B
为锐角，若
0?b?asinB
，则无解；若
b?asinB
或
43
.
故选
A.

3
b?a
，则有一解；若
asinB?b?a
，则有两解
.

8．B
解析：
B

【解析】

由
f
?
x
?
的 解析式知仅有两个零点
x??
3
与
x?0
，而A中有三个零点，所以 排除A，又
2
?2x
2
?x?3
，由
f
?
?
x
?
?0
知函数有两个极值点，排除C，D，故选B．

f
?
?
x
?
?
x
2e
9．A
解析：
A

【解析】

【分析】

画出函数的图象，利用不等式，结合函数的图象求解即可．

【详解】


函数
f
?
x
?
的图象如图，

直线
y?1
与曲线交点
A(?1,1)
，
B
?
1, 1
?
，
C
?
3,1
?
，
D
?4,1
?
，

故
f(m)?1
时，实数
m的取值范围是
?1?m?1
或
3?m?4
.

故选
A.

【点睛】

本题考查函数与方程的综合运用，属于常考题型
.

10．A
解析：
A

【解析】

如图，因为EF∩HG=M，


所以M∈EF，M∈HG，

又EF?平面ABC，HG?平面ADC，

故M∈平面ABC，M∈平面ADC，

所以M∈平面ABC∩平面ADC=AC.

选A.

点睛：证明点在线上常用方法

先找出两个平面，然后确定点是这两个平面的公共点，再确定直线是这两个平面的交线．

11．C
解析：
C

【解析】

【分析】

由题意结合分段函数的解析式分类讨论即可求得实数
a
的取值范围
.

【详解】

当
x?1
时，
a
x
为减函数， 则
0?a?1
，

当
x?1
时，一次函数
?
2?3a
?
x?1
为减函数，则
2?3a?0
，解得：
a ?
且在
x?1
处，有：
?
2?3a
?
?1?1?a
，解得：
a?
1
2
，

3
3
，

4
?
23
?
a
综上可得，实数的取值范围是
?
,
?
.

?
34
?
本题选择
C
选项
.

【点睛】

对于分段函数的单调性，有两种基本的判断方法：一保证各段上同增
(
减
)
时，要注意上、
下段间端点值间的大小关系；二是画出这个分段函数 的图象，结合函数图象、性质进行直
观的判断．

12．B
解析：
B

【解析】

分析：首先设出等差数列
?
a
n
?
的公差为
d
，利用等差数列的求和公式，得到公差< br>d
所满足
的等量关系式，从而求得结果
d??3
，之后应用等差数列的 通项公式求得
a
5
?a
1
?4d?2?12??10
，从而 求得正确结果
.

详解：设该等差数列的公差为
d
，
根据题中的条件可得
3(3?2?
3?24?3
?d)?2?2?d?4?2?? d
，

22
整理解得
d??3
，所以
a
5
?a
1
?4d?2?12??10
，故选
B.

点 睛：该题考查的是有关等差数列的求和公式和通项公式的应用，在解题的过程中，需要
利用题中的条件， 结合等差数列的求和公式，得到公差
d
的值，之后利用等差数列的通项
公式得到
a
5
与
a
1
和d
的关系，从而求得结果
.

二、填空题


13
．【解析】由已知是与的等比中项则则当且 仅当时等号成立故答案为
2
【点
睛】本题考查基本不等式的性质等比数列的性质其中熟 练应用乘
1
法是解题的
关键

解析：

【解析】

由已知
a?0,b?0
,
3
是
3a
与
b
的等比中项，则
则

?
3
?
2
?3a?b,?ab?1


1 1
?
11
??
11
?
??
?
?
?
?1?
?
?
?
?ab?a?b?2ab?2

，当且仅当
a?b?1
时等号成立

ab
?
ab< br>??
ab
?
故答案为
2

【点睛】本题考查基本不等 式的性质、等比数列的性质，其中熟练应用“乘
1
法”是解题
的关键．
14．【解析】【分析】【详解】由题意则解得-1＜a＜7经检验当a=-
1时的两个根分别为所 以符合题目要求时在区间无实根所以
解析：
?1?a?7

【解析】

【分析】

【详解】

2
由题 意，
f
?
(x)?3x?4x?a
，则
f
?
(?1 )f
?
(1)?0
，解得
-1
＜
a
＜
7< br>，经检验当
a=-1
时，
f
?
(x)?3x
2
?4x?1?0
的两个根分别为
x
1
=-,x
2
=-1< br>，所以符合题目要求，
a?7
时，
f
?
(x)?3x
2
?4x?1?0
,
在区间无实根，所以
?1?a?7
．

1
3
15．【解析】由定义在实数集上的偶函数在区间上是减函数可得函数在区间上< br>是增函数所以由不等式得即或解得或即不等式的解集是;故答案为
?
1
?解析：
?
0,
?
?
?
e,?
?
?
?
e
?
【解析】

由定义在实数集
R
上的偶函数
f
?
x
?
在区间
?
??,0
上是减函数
,
可得函数
f
?
x
?
在区间
?
+?
?

上是增函数
,
所以由不等式
f
?
1
?
?f
?
lnx
?
得
lnx?1
,
即
lnx?1
或
lnx??1
,
解得
?
0，
x?e
或
0?x?
1
?
1
?
,即不等式
f
?
1
?
?f
?
lnx
?< br>的解集是
?
0,
?
?
?
e,?
?
?
;
故答案为
e
?
e
?
?
1
??
0,
?
?
?
e,?
?
?
.

?
e
?
16
．
3
【解析】【分析】由题意可知表示 点到点的距离再由点到直线距离公式即
可得出结果【详解】可以理解为点到点的距离又
∵
点在直线上
∴
的最小值等于
点到直线的距离且【点睛】本题主要考查点到直线的距离 公式的应用属于

解析：3

【解析】

【分析】

由题意可知
a
2
?b
2
表示点
?< br>0,0
?
到点
?
a,b
?
的距离，再由点到直线距离 公式即可得出结
果.

【详解】

a
2
?b
2
可以理解为点
?
0,0
?
到点
?
a,b
?
的距离，又∵点
M
?
a,b
?
在直线
l:3x ?4y?25
上，∴
a
2
?b
2
的最小值等于点
?
0,0
?
到直线
3x?4y?15?0
的距离，且
d?3?0?4?0?15
3?4
22
?3
.

【点睛】

本题主要考查点到直线的距离公式的应用，属于基础题型
.

17．3【解析 】【分析】圆方程化为标准方程找出圆心坐标与半径求出圆心到已
知直线的距离判断即可得到距离【详解 】圆方程变形得：（x+1）2+（y+2）2＝
8即圆心（﹣1-2）半径r＝2∴圆心到直线x+y +1＝
解析：3

【解析】

【分析】

圆方程 化为标准方程，找出圆心坐标与半径，求出圆心到已知直线的距离，判断即可得到
距离．

【详解】

圆方程变形得：（
x+1
）
2
+
（
y
+
2
）
2
＝
8
，即圆心（﹣
1
，-
2
），半径
r
＝
2
2
，

∴圆心到直线
x+y+1
＝
0
的距离
d
?
∴
r
﹣
d
?
?1?2?1
2
?2
，

2
，

则到圆上到直线
x+y+1
＝
0
的距离为
2
的点得到个数为
3
个，

故答案为
3.

【点睛】

本题考查了直线与圆的位置关系，解题时注意点到直线的距离公式的合理运用
.
18．【解析】【分析】先把已知条件转化为利用正切函数的周期性求出即可求
得结论【详解】因为 （tanθ）∴∴tanθ＝tan（kπ）∴故答案为【点睛】本题主
要考查三角函数中的恒等变换应 用考查了两角和的正切公式
解析：
3

【解析】

【分析】

b
10
?
7a
?tan
??
?
?
?
．利用正切函数的周期性求出
?
先把已知条件 转化为
tan
??
21
1?
b
tan
?
?
7
?
a7
tan?
?

?
?k
?
?
【详解】

?
3
，即可求得结论．

b
10
?
7a
?tan
?
?
?
?
?
，（tanθ
?
b
）

?
因为
tan
??
21
1?
b
tan
?
a
?
7
?
a7
?
10
?
∴
?
?
?k?
?

721
?
?
∴
?
?k
?
?
．tanθ＝tan（
k
π
?
）
?3
．

33
b
∴
?3

a
tan?
故答案为
3
．

【点睛】

本题主要考查三角函数中的恒等变换应用，考查了两角和的正切公式，属于中档题．

?
19．2x﹣4y+3＝0【解析】【分析】要∠ACB最小则分析可得圆心C到直线l的
距 离最大此时直线l与直线垂直即可算出的斜率求得直线l的方程【详解】由
题得当∠ACB最小时直线l 与直线垂直此时又故又直线l过点
解析：2x
﹣
4y+3
＝
0

【解析】

【分析】

要∠
ACB
最小则分析可得圆心
C
到直 线
l
的距离最大,此时直线
l
与直线
CM
垂直,即可算出
CM
的斜率求得直线
l
的方程.

【详解】

由题得
,
当∠
ACB
最小时,直线
l
与直线
CM
垂直,此时
k
CM
?
1?0
??2
1
,又
k
CM
?k
l
??1
,
?1
2< br>11
11
,又直线
l
过点
M(,1)
,
所以
l:y?1?(x?)
,
即
2x?4y?3?0
.

22
22
故答案为：
2x?4y?3?0

故
k
l
?

【点睛】

本 题主要考查直线与圆的位置关系
,
过定点的直线与圆相交于两点求最值的问题一般为圆心
到定点与直线垂直时取得最值
.
同时也考查了线线垂直时斜率之积为
-1,
以及用点斜式写出直
线方程的方法
.

20
．【解析】当
x <0
时－
x>0∴f(
－
x)
＝＋
1
又
f (
－
x)
＝－
f(x)∴f(x)
＝故填

解析：
??x?1

【解析】

当
x
<0 时，－
x>0
，∴
f(
－
x)
＝

?x< br>＋1，又
f(
－
x)
＝－
f(x)
，∴
f( x)
＝
??x?1
,
故填
??x?1
.

三、解答题


21．（1）
5
（2）
x?(y?1)?5
．

【解析】

【分析】

22
?
1
?
先由两直线平行解得
a?4
，再由平行直线间的距离公式可求得；

?2
?
代
x??2
得
A
?
?2,?2
?
，可得AC的方程，与
l
1
联立得
C
?
0,?1< br>?
，再求得圆的半径，
从而可得圆的标准方程．

【详解】

解：
?
1
?
Ql
1
l
2
，
?
a28?a
??
，解得
a?4
，

211?l
1
：
2x?y?1?0
，
l
2
：
2x?y?6?0
，

故直线
l
1
与
l
2
的距离
d?
6?1
1
2
?2
2
?
5
?5
．

5
?
2
?
当
x??2
代入
2x?y?6?0
，得
y??2
，

所以切点A的坐标为
?
?2,?2
?
，

从而直线 AC的方程为
y?2?
1
?
x?2
?
，得
x?2y ?2?0
，

2
联立
2x?y?1?0
得
C
?
0,?1
?
．

由
?
1
?
知
eC
的半径为
5
，

所以所求圆的标准方程为：
x?(y?1)?5
．

【点睛】

本题考查了直线与圆的位置关系，考查了两条平行线的距离公式，属中档题．

22． （1）的平均数为8,标准差为
2
,乙的平均数为8,标准差为
【解析】

【分析】

22
30
；（2）乙

5

【详解】

(1)
根据题中所给数据
,
则甲的平均数为
,

,

乙的平均数为
甲的标准差为
,

乙的标准差为
,

故甲的平均数为
8,
标准差为
2
,
乙的平均数为
8,
标准差为
(2),
且
,

30
;

5
乙的成绩较为稳定
,
故选择乙参加射箭比赛
.

考点：平均数与方差

23．（1）见解析；（2）
a
n
?
【解析】

【分析】

（
1
）已知递推关系取倒数，利用等差数列的定义，即可证明
.
< br>（
2
）由（
1
）可知数列
?
b
n
?
为等差数列，确定数列
?
b
n
?
的通项公式，即可求出数列
?
a
n
?
的通项公式．

【详解】

2

n?1
?
1
?
证明：
Qa
1
?0
，且有
a
n?1
?
a
?
a
n
?0n?N
*
，

又
Qb
n
?
2a
n
，

?2
n
??
1
，

a
n
a?2< br>11111
?
n
???b
n
?
，即
b
n?1
?b
n
?
1
n?N
*
，且
b1
??1
，

a
n?1
2a
n
an
22
a
1
2
?
b
n?1
?
??
?
?
b
n
?
是首项为1，公差为
1
的 等差数列．

2
1n?1
1n?1n?1
?
21
?
，即，

??
解：由
??
知
b
n
?b
1
?
?
n?1
?
??1?
a2
222
n
所以
a
n
?
2
．

n?1

【点睛】

本题考查数列递推关系、等差数列的判断方 法，考查了运用取倒数法求数列的通项公式，
考查了推理能力和计算能力，属于中档题
.

24．（
1
）
3
平方百米；（
2
）
【 解析】

【分析】

（
1
）由余弦定理求出
AB? 4
百米，由此能求出
VABE
区域的面积；（
2
）记
57< br>百米
.

7
?AEB?
?
，在
VABE中，利用正弦定理求出
sin
?
和
cos
?
的值，当< br>CH?DE
时，水
管长最短，由此能求出当水管
CH
最短时的长
.

【详解】

（
1
）由题知
BE?1,?AB C?120
o
,EA?21
，

222
在
VABE
中，由余弦定理得
AE?AB?BE?2AB?BEcos?ABE
，即
21 ?AB
2
?1?AB
，所以
AB?4
百米

所以< br>S
V
ABE
?
113
AB?BE?sin?ABE??4?1 ??3
（平方百米）
.

222
421
ABAE
?
?
（
2
）记
?AEB?
?
，在
VABE< br>中，，即
sin
?
3
，

sin
?
sin?ABE
2
所以
sin
?
?
2721
，
,cos
?
?1?sin
2
?
?
77
当
CH?DE
时，水管
CH
最短，

在
RtVE CH
中，
2π2π
?
2π
?
CH?CEsin?HEC?2 sin
?
?
?
?
?2sincos
?
?2coss in
?
=
57
百米
.

33
?
3
?
7
【点睛】

本题考查了正弦 定理、余弦定理以及三角形面积公式的综合应用，利用同角三角函数关系
式求三角函数值，并求三角形面 积，属于基础题
.
（
1
）根据余弦定理，可直接求得
AB
的 长
度，由三角形面积公式即可求得
S
V
ABE
的面积；（
2
）根据最短距离为垂直距离，可求得
CH
的长
.

25．(1)
见解析(2)

?
【解析】

1
或1

2
uuuvuuuvuuuvuuuv
试题分析： （
1
）分别根据向量的坐标运算得出
AB，BC
算出
AB?BC（
2
）由向量的平行
进行坐标运算即可
.

试题解析：

uuuvuuuv
(1)依题意得，
AB?
?
2,?3
?
,BC?
?
3,2
?

uuuvuuuv
所以
AB?BC?2?3?
?
?3
??2?0

uuuvuuuv
所以
AB?BC
.
uuuv
2
(2)
AD?
?
3m?3,m?3
?
，

uuuvuuuv
因为
ADBC

所以
3
?
m?3
?
?23m?3?0

2
??
整理得
2m
2
?m?1?0

所以，实数m的值为
?
1
或1.

2
26．（1
）
a
n
=2n–9
，（2）
S
n
= n
2
–8n
，最小值为
–16
．

【解析】

分析：（1）根据等差数列前n项和公式，求出公差，再代入等差数列通项 公式得结果，
（2）根据等差数列前n项和公式得
S
n
的二次函数关系式，根 据二次函数对称轴以及自变
量为正整数求函数最值.

详解：（
1
） 设
{a
n
}
的公差为
d
，由题意得
3a
1
+3d=–15
．

由
a
1
=–7
得
d=2
．

所以
{a
n
}
的通项公式为
a
n
=2n–9
．

（
2
）由（
1
）得
S
n
=n< br>2
–8n=
（
n–4
）
2
–16
．

所以当
n=4
时，
S
n
取得最小值，最小值为
–1 6
．

点睛：数列是特殊的函数，研究数列最值问题，可利用函数性质，但要注意其定 义域为正
整数集这一限制条件.