2020年莆田市高中必修二数学下期中模拟试卷(附答案)

2020年莆田市高中必修二数学下期中模拟试卷(附答案)

一、选择题
1．设曲线
y?
A
．
-4

x?3
在点处 的切线与直线
ax?y?1?0
平行，则
a=
（ ）

（2，5）
x?1
B
．
?
1

4
C
．
1

4
D
．
4

2
．若圆
C:
x
2
?y
2
?2x?4y? 3?0
关于直线
2ax?by?6?0
对称，则由点
(a,b)
向圆 所
作的切线长的最小值是（

）

A
．
2 B
．
4 C
．
3 D
．
6

3．在我国古代数学名著 九章算术 中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，如
图，在鳖臑
ABCD
中，
AB?
平面
BCD
，且
AB?BC?CD
，则异面直线
A C
与
BD
所成角的余弦值为（ ）


A
．
1

2
B
．
?
1

2
C
．
3

2
D
．
?
3

2
4．已知点A（1，2），B（3，1），则线段AB的垂直平分线的方程是（ ）

A
．
4x?2y?5

A
．直角三角形

B
．
4x?2y?5

B
．等边三角形

C
．
x?2y?5

C
．正方形

D
．
x?2y?5

D
．正六边形

5．用一个平面去截正方体，则截面不可能是（ ）

6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )


A
．12

C
．24

B
．18

D
．30

7．已知三条直线
m,n,l
，三个平面
?
,
?
,
?
，下列四个命题中，正确的是（ ）

?
?
?
?
A
．
?
?
?
| |
?

?
?
?
?
m||
?
?C
．
?
?m||n

n||
?
?
m| |
?
?
B
．
?
?l?
?

l?m
?
m?
?
?
D
．
?
?m||n

n?
?
?

8．正方体
ABCD
﹣
A
1
B
1
C
1
D
1
中，
E
，
F
分别是
AD
，
DD
1
的中点，
AB< br>＝
4
，则过
B
，
E
，
F
的
平面截该正方体所得的截面周长为（

）

A
．
6
2?
4
5
B
．
6
2?
2
5
C
．
3
2?
4
5
D
．
3
2?
2
5

9．已知实数
x,y< br>满足
2x?y?5?0
，那么
x
2
?y
2
的 最小值为（ ）

A
．
5
B
．
10
C
．
25

2
D
．
210

2
10．已知直线
l:< br>?
2k?1
?
x?
?
k?1
?
y?1?0< br>?
k?R
?
与圆
?
x?1
?
?
?< br>y?2
?
?25
交于
A
，
B
两点，则弦长< br>AB
的取值范围是（

）

A
．
?
4,10
?
B
．
3,5

??
C
．
?
8,10
?
D
．
?
6,10
?

11．若底面是菱形的棱柱其侧棱垂直 于底面，且侧棱长为
5
，它的对角线的长分别是
9
和
15
， 则这个棱柱的侧面积是
( )
．

A
．
130
B
．
140
C
．
150
D
．
160

12
．如图， 正方体
ABCD
﹣
A
1
B
1
C
1
D
1
的棱长为
1
，线段
B
1
D
1
上有两个动点
E
、
F
，且
EF=
1
．则下列结论中 正确的个数为

2

①AC
⊥
BE
；


②EF
∥平面
ABCD
；


③
三棱锥
A
﹣
BEF
的体积为定值；


④
?AEF
的面积与
?BEF
的面积相等，

A
．
4 B
．
3 C
．
2 D
．
1

二、填空题

13．光线由点P(2,3)射到直线x+y+1=0上，反射后过点Q(1,1) ，则反射光线方程为
__________
．

14．已知一束光线通过点< br>A
?
?3,5
?
，经直线
l
：
x?y?0< br>反射，如果反射光线通过点
B
?
2,5
?
，则反射光线所在直 线的方程是
______
.

15．如图，在
?ABC
中，
AB?BC?6
，
?
ABC?90
o
，点
D
为
AC
的中点，将
△ABD
沿
BD
折起到的位置，使PC?PD
，连接
PC
，得到三棱锥
P?BCD
，若该三
棱锥的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是
__________
.

16．三棱锥
P?ABC
中，
PA?PB?5，
AC?BC?
该三棱锥的外接球面积为
________
.

2
，
AC?BC
，
PC?3
，则
?
m?< br>?
m,n
?
,
?
,?n
?
；17．已知为直 线，为空间的两个平面，给出下列命题：①
?
m?n
?
?
m?
?
?
m?
?
?
m?
?
?
n?
?
,?mn
,?
?

?
,?mn
．其中的正确命题为②
?
；③
?
；④
?
?
m?
?
?n?
?
?
?

?
?
_____________ ____
．

18．如图，在四棱锥
P?ABCD
中，
PA ?
底面
ABCD,AD?AB,ABDC,AD?DC?AP?2,AB?1
，若E
为棱
PC
上一点，满足
BE?AC
，则
PE
?
__________
．

EC

19．已知直线
l:x?my?m?0，
且与以
A(-1,1)
、
B(2,2)
为 端点的线段相交，实数
m
的取值
范围为
___________
.< br>
20．已知圆
x?y?5
和点
A
?
1,2
?
，则过点
A
的圆的切线方程为
______

22
三、解答题
21．如图
1
，有一边长为
2
的 正方形
ABCD
，
E
是边
AD
的中点，将
△ABE
沿着直线
BE
折
起至
V
A
?
BE
位置（如图
2
），此时恰好
A
?
E?A
?
C
，点
A
?
在底面上的射影为
O.


< /p>

（
1
）求证：
A
?
E?BC
；

（
2
）求直线
A
?
B
与平面
BCDE
所成角的正弦值
.

22．已知圆
C:x?y?2x?4y?1?0
，
O
为坐标原点，动点
P
在圆外，过点
P
作圆C
的切线，设切点为
M
.

22
，
（
1
）若点
P
运动到
?
13
?
处，求此时切线
l
的方程；

（
2
）求满足
PM?PO
的点P
的轨迹方程
.

23．如图，在直三棱柱
ABCA
1
B
1
C
1
中，
AC?BC
，
CC
1
?4
，
M
是棱
CC
1
上的一点．


（
1
）求证：
BC?AM
；

（
2
）若
N
是
AB
的中点，且
CN
平面
A B
1
M
，求
CM
的长．

24．如图，矩形ABC D的两条对角线相交于点M(2，0)，AB边所在直线的方程为x－3y－6
＝0，点T(－1，1) 在AD边所在直线上．求：


(1) AD边所在直线的方程；

(2) DC边所在直线的方程．

25．设直线
l
的方程为
?
a?1
?
x?y?5?2a?0
?
a?R
?
.

(1)
求证
:
不论
a
为何值，直线
l< br>必过一定点
P
;

(2)
若直线
l
分别与< br>x
轴正半轴，
y
轴正半轴交于点
A
?
x
A< br>,0
?
，
B
?
0,y
B
?
，当?AOB
而积最
小时，求
?AOB
的周长
;

(3)
当直线
l
在两坐标轴上的截距均为整数时，求直线
l
的方程< br>.

26．如图，四棱锥
P?ABCD
中，
AP?
平 面
PCD,ADBC,AB?BC?
别为线段
AD,PC
的中点
.< br>
1
AD,E,F
分
2

（
1
）求证：
AP
平面
BEF
；

（
2
）求证：平面
BEF?
平面
PAC


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一、选择题

1．D
解析：
D

【解析】

【分析】

求出原函数的导函数，得到函数在
x?2
时的导数，再由 两直线平行与斜率的关系求得
a
值．

【详解】

x?1? x?34
x?3
?
y???
解：由
y?
，得
22< br>，

?
x?1
??
x?1
?
x?1
∴
y'|
x?2
??4
，

又曲线
y?
x ?3
在点处的切线与直线
ax?y?1?0
平行，

（2，5）x?1
∴
?a??4
，即
a?4
．

故选
D
．

【点睛】

本题考查利用导数研究过曲 线上某点处的切线方程，考查两直线平行与斜率的关系，是中
档题．

2．B
解析：
B

【解析】

试题分析：
x?y?2x? 4y?3?0
即
(x?1)?(y?2)?2
，

由已知，直线2ax?by?6?0
过圆心
C(?1,2)
，即
?2a?2b?6?0 ,b?a?3
，

2222

由平面几何知识知，为 使由点
(a,b)
向圆所作的切线长的最小，只需圆心
C(?1,2)
与直线
x?y?3?0
上的点连线段最小，所以，切线长的最小值为
(
故选
B
.

考点：圆的几何性质，点到直线距离公式
.

?1?2?3
2
)
2
?2?4
，

3
．
A
解析：
A

【解析】

如图，分别取
BC,CD,AD,BD
的中点
M,N,P,Q
，连
M N,NP,PM,PQ
，


则
MNPBD,NPPAC
，

∴
?PNM
即为异 面直线
AC
和
BD
所成的角（或其补角）．

又由题意得< br>PQ?MQ
，
PQ?
11
AB,MQ?CD
.
22
设
AB?BC?CD?2
，则
PM?
又
MN?2
.

11
BD?2,NP?AC?2
,

22
∴
?PNM
为等边三角形，

∴
∠PNM?60?
，

∴异面直线
AC
与
BD
所成角为
60?
，其余弦值为
点睛：

用几何法求空 间角时遵循“一找、二证、三计算”的步骤，即首先根据题意作出所求的
角，并给出证明，然后将所求的 角转化为三角形的内角．解题时要注意空间角的范围，并
结合解三角形的知识得到所求角的大小或其三角 函数值．

1
．选A．

2
4．B

解析：
B

【解析】

【分析】

【详解】

因为线段
AB
的垂直平分线上的点
?
x ,y
?
到点
A
，
B
的距离相等，

所以
(x?1)
2
?(y?2)
2

?(x?3)
2
?(y?1)
2
．

即：
x
2
?1?2x?y
2
?4?4y

?x
2
?9?6x?y
2
?1?2y
，

化简得：
4x?2y?5
．

故选
B
．

5．A
解析：
A

【解析】

【分析】

【详解】

画出截面图形如图

显然
A
正三角形
C
正方形：

D
正六边形

可以画出三角形但不是直角三角形；

故选
A
．

用一个平面去截正方体，则截面的情况为：

①截面为三角形时，可以是锐角三角形、 等腰三角形、等边三角形，但不可能是钝角三角
形、直角三角形；

②截面为四边形时 ，可以是梯形（等腰梯形）、平行四边形、菱形、矩形，但不可能是直
角梯形；

③截面为五边形时，不可能是正五边形；

④截面为六边形时，可以是正六边形．

故可选
A
．

6．C
解析：
C

【解析】

试题分析：由三视 图可知，几何体是三棱柱消去一个同底的三棱锥，如图所示，三棱柱的
高为，消去的三棱锥的高为，三棱 锥与三棱柱的底面为直角边长分别为和的直角三角
形，所以几何体的体积为，故选C．


考点：几何体的三视图及体积的计算．

【方法点晴】本题主要考查了几何 体的三视图的应用及体积的计算，着重考查了推理和运
算能力及空间想象能力，属于中档试题，解答此类 问题的关键是根据三视图的规则
“
长对
正、宽相等、高平齐
”
的原则 ，还原出原几何体的形状，本题的解答的难点在于根据几何体
的三视图还原出原几何体和几何体的度量关 系，属于中档试题．

7
．
D
解析：
D

【解析】

试题分析：
A.
?
?rm
P
?
}?l?
?
}?
?
P
?
不正确，以 墙角为例，
?
,
?
可能相交；
B.
l?m
?
?r
m
P
r
}?m
P
n
不正确，
m,n
可能平行、相交、异面；故选
n
P
r
不正确，
l,
?
有可能平行；
C.
D
。

考点：本题主要考查立体几何中线线、线面、面面平行及垂直。

点评：典型题，要求牢记立体几何中的定理。

8
．
A
解析：
A

【解析】

【分析】

利用线 面平行的判定与性质证明直线
BC
1
为过直线
EF
且过点
B
的平面与平面
BCC
1
B
1
的
交线
,从而证得
B,E,F,C
1
四点共面
,
然后在正方体中求等腰梯 形
BEFC
1
的周长即可.

【详解】

作图如下
:


因为
E,F
是棱
AD,DD
1
的中点
,

所以
EFAD
1
BC
1
,

因为
EF?
平面
BCC
1
B
1
,
BC
1
?
平面
BCC
1
B
1
,

所以
EF
平面
BCC
1
B
1
，

由线面平行的性质定理知
,

过直线
EF
且过点
B
的平面与平面
BCC
1
B
1
的交线
l
平行 于直线
EF
,

结合图形知
,
l
即为直线
BC
1
,
过
B
，
E
，
F
的平面截该正方体所得的截面即为等腰梯 形
BEFC
1
,

因为正方体的棱长
AB
＝
4,

所以
EF?22, BE?C
1
F?25,BC
1
?42
,

所以所求截面的周长为
6
2?
4
5
,

故选
:A

【点睛】

本题主要考查多面体 的截面问题和线面平行的判定定理和性质定理；重点考查学生的空间
想象能力
;
属于中 档题
.

9
．
A
解析：
A

【解析】


由题意知，
x
2
?y
2表示点
(x,y)
到坐标原点的距离，


又原点到直线
2x?y?5?0
的距离为
d?
5
2?1
22
?5
，


所以
x
2
?y
2
的距离的最小值 为
5
，故选
A.

10
．
D
解析：
D

【解析】

【分析】

由直线
?
2k?1
?
x?
?
k?1
?
y?1?0
，得出直线恒过定点
P
?
1,?2
?
，再结合直线与圆的位 置
关系，即可求解.

【详解】

由直线
l:
?< br>2k?1
?
x?
?
k?1
?
y?1?0
?< br>k?R
?
，可得
k
?
2x?y
?
?x?y? 1?0
，

?
2x?y?0
?
x?1
又由
?
，解得
?
，即直线恒过定点
P
?
1,?2
?，圆心
C
?
1,2
?
，

x?y?1?0y? ?2
??
?AB?
2
当
CP?l
时弦长最短，此时
CP?
??
?r
，解得
AB
min
?6
，

?
2
?
2
2
再由
l
经过圆心时弦长最长为 直径
2r?10
，

所以弦长
AB
的取值范围是
?
6,10
?
.

故选：
D.

【点睛】

本题主要考查了直线系方程的应用，以及直线与圆的位置关系的应用，其中 解答中熟练利
用直线的方程，得出直线恒过定点，再结合直线与圆的位置关系求解是解答的关键，着重< br>考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题
.

11
．
D
解析：
D

【解析】

?9,BD
1
?15
，


设直四棱柱
A BCD?A
1
B
1
C
1
D
1
中，对角线< br>AC
1

因为
A
1
A?
平面
ABC D,AC?
,
平面
ABCD
，所以
A
1
A?AC< br>，


在
Rt?A
1
AC
中，
A< br>1
A?5
，可得
AC?
2
AC?A
1
A2
?56
,

1

同理可得
B D?D
1
B
2
?D
1
D
2
?200?10 2
，


因为四边形
ABCD
为菱形，可得
AC, BD
互相垂直平分，


所以
AB?
11
(AC)
2
?(BD)
2
?14?50?8
，即菱形
ABCD
的边长为
8
，

22

因此，这个棱柱的侧面积为
S?(AB?BC?CD?DA)?AA
1
?4?8?5?160
，


故选
D.


点睛：本题考查了四棱锥的侧面积的计算问 题，解答中通过给出的直四棱柱满足的条件，
求得底面菱形的边长，进而得出底面菱形的底面周长，即可 代入侧面积公式求得侧面积，
着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及空间想象能力，其中正确 认识空间几何
体的结构特征和线面位置关系是解答的关键
.


12
．
B
解析：
B

【解析】

试题分析：
①
中
AC
⊥
BE
，由题意及图形知，
AC
⊥面
DD1B1B
，故可得出
AC
⊥
BE
，此 命题
正确；
②EF
∥平面
ABCD
，由正方体
ABCD-A 1B1C1D1
的两个底面平行，
EF
在其一面上，故
EF
与平面< br>ABCD
无公共点，故有
EF
∥平面
ABCD
，此命题正确；
③
三棱锥
A-BEF
的体积为
定值，由几何体的性质及图形知，三角 形
BEF
的面积是定值，
A
点到面
DD1B1B
距离是定< br>值，故可得三棱锥
A-BEF
的体积为定值，此命题正确；
④
由图形可 以看出，
B
到线段
EF
的
距离与
A
到
EF
的距离不相等，故△
AEF
的面积与△
BEF
的面积相等不正确
考点：
1
．正方体的结构特点；
2
．空间线面垂直平行的判定 与性质

二、填空题


13
．
4x
－< br>5y+1=0
【解析】【分析】先求
P
点关于直线
x+y+1=0对称点
M
再根据
两点式求
MQ
方程即得结果【详解】因为
P
点关于直线
x+y+1=0
对称点为所以
反射光线方程为【点睛】本题考 查点关于直线对称问

解析：4x
－
5y+1=0

【解析】

【分析】

先求
P
点关于直线x+y+1=0对称点M，再根据两点式求 MQ方程，即得结果.

【详解】

因为
P
点关于直线x+y+1=0对称点为
M(?4,?3)
，

所以反射光线方程为
MQ:y?1?
【点睛】

本题考查点关于直线对称问题，考查基本分析求解能力，属基本题
.

1?3
(x?1),4x?5y?1?0
.

1?4
14． 【解析】【分析】计算关于直线的对称点为计算直线得到答案【详解】设
关于直线的对称点为故故故反射 光线为：化简得到故答案为：【点睛】本题考
查了直线的反射问题找出对称点是解题的关键
解析：
2x?7y?31?0

【解析】

【分析】

AB
计算
A
?
?3,5
?关于直线
x?y?0
的对称点为
A
1
?
?5,3
?
，计算直线
1
得到答案
.

【详解】

y?5
?
?1
?
?
x?3
设
A
?
?3,5
?
关于直线
x?y?0
的对称点为
A
，故
A
1
?
?5,3
?
.

1
?
x ,y
?
，故
?
x?3y?5
?
??0
?
2
?
2
5?3
?
x?2
?
?5
，化简得到< br>2x?7y?31?0
.

2?5
故答案为：
2x?7y?31?0
.

故反射光线为
A
1
B
：
y?
【点睛】

本题考查了直线的反射问题，找出对称点是解题的关键
.

15
．【 解析】【分析】由题意得该三棱锥的面
PCD
是边长为的正三角形且
BD⊥
平 面
PCD
求出三棱锥
P
﹣
BDC
的外接球半径
R< br>＝由此能求出该球的表面
积【详解】由题意得该三棱锥的面
PCD
是边长为的正 三角形且
BD⊥
平

解析：
7
?

【解析】

【分析】

由题意得该三棱锥的面
PCD
是边长为
3
的正三角形，且
BD
⊥平面
PCD
，求出三棱 锥
P
﹣
BDC
的外接球半径
R
＝
【详解】

由题意得该三棱锥的面
PCD
是边长为
3
的正三角形，且
B D
⊥平面
PCD
，

设三棱锥
P
﹣
BDC
外接球的球心为
O
，

△
PCD
外接圆圆心为
O
1
，则
OO
1< br>⊥面
PCD
，

∴四边形
OO
1
DB
为直角梯形，

7
，由此能求出该球的表面积．

2

由
BD
＝
3
，
O
1
D
＝
1
，
O B
＝
OD
，得
OB
＝
∴三棱锥
P
﹣
BDC
的外接球半径
R
＝
∴该球的表面积
S
＝
4
π
R
2
＝
4
?
?
故答案为：
7< br>π．

【点睛】

7
，

2
7
，

2
7
＝
7
π．

4
本题考查三棱锥外接球的表面积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方思想，是中
档题．
16．【解析】【分析】由已知数据得两两垂直因此三棱锥外接球直径的平方等
于这三条 棱长的平方和【详解】∵∴∴又以作长方体则长方体的外接球就是三
棱锥的外接球设外接球半径为则球表 面积为故答案为：【点睛】本题考查球
解析：
7
?

【解析】

【分析】

由已知数据得
CA,CB,CP两两垂直，因此三棱锥外接球直径的平方等于这三条棱长的平方
和．

【详解】

∵
PA?PB?5
，
AC?BC?2
，
PC?3
，

222222
∴
PC?CB?PB,PC?C A?PA
，∴
PC?CB,PC?CA
，又
CA?CB
，

以
CA,CB,CP
作长方体，则长方体的外接球就是三棱锥
P?ABC的外接球．

2222
设外接球半径为
R
，则
(2R) ?CA?CB?CP?7
，
R?
7
，

2
球表面积 为
S?4
?
R
2
?4
?
?(
故答案为：< br>7
?
．

【点睛】

7
2
)?7
?
.

2
本题考查球的表面积 ，解题关键是确定
CA,CB,CP
两两垂直，以
CA,CB,CP
作长方体 ，
则长方体的外接球就是三棱锥
P?ABC
的外接球．

17．③④ 【解析】关于①也会有的结论因此不正确；关于②也会有异面的可能
的结论因此不正确；容易验证关于③ ④都是正确的故应填答案③④
解析：③④

【解析】

关于①,也 会有
n??
的结论,因此不正确；关于②,也会有
m,n
异面的可能的结论, 因此不
正确；容易验证关于③④都是正确的,故应填答案③④.

18 ．【解析】【分析】过作交于连接根据可得平面通过解三角形求得的值也即
求得的值【详解】过作交于连 接根据可得平面故由于所以由于所以在直角三角
形中所以而故根据前面证得可得【点睛】本小题主要考查 空间点位置的确定
1
解析：

3
【解析】

【分析】

过
B
作
BF?AC
，交
AC< br>于
F
，连接
EF
，根据
BE?AC
，可得
A C?
平面
BEF
，通
过解三角形求得
AF:FC
的值，也即 求得
【详解】

过
B
作
BF?AC
，交
A C
于
F
，连接
EF
，根据
BE?AC
，可得
AC?
平面
BEF
，故
PE
的值
.

E C
AC?EF
，由于
PA?AC
，所以
EFPA
.
由于
AD?CD
，所以
?DAC??BAC?
AF?
ππ
.
在直角三角形
ABF
中，
AB?1,?BAF?
，所以
44
22
，而
AC?22
，故
AF:FC?1:3
.
根 据前面证得
EFPA
，可得
AB?
22
PE:EC?AF:FC?1 :3
.


【点睛】

本小题主要考查空间点位置的确定， 考查线面垂直的证明，考查简单的解特殊角三角形的
知识
.
属于基础题
.
19．【解析】【分析】由直线系方程求出直线所过定点再由两点求斜率求得定
点与线段 两端点连线的斜率数形结合求得实数的取值范围【详解】解：由直线
可知直线过定点又如图∵∴由图可知 直线与线段相交直线的斜率或斜率不存
?
21
?
解析：
?
?,
?

?
32
?
【解析】

【分析】

由直线系 方程求出直线所过定点，再由两点求斜率求得定点与线段两端点连线的斜率，数
形结合求得实数
m
的取值范围．

【详解】

解：由直线
l :x?my?m?0
可知直线过定点
P
?
0,?1
?
，
又
A
?
?1,1
?
，
B
?
2,2
?
，如图


∵
K
PA
?
?1?1
??2
，
K
PB
?
?1?2
?
3
，

0?
?
?1
?
0?22
?
3
?
2
?
?
∴由图可知，直线与线段相交，直线
l
的 斜率
k?
?
??,?2
?
U
?
,??
?< br>，或斜率不存在，

∴
?
即
?
1
?
3
?
?
?
??,?2
?
U
?
,??
?
，或
m?0
，

m
?
2
?
2 1
?m?0
或
0?m?
，或
m?0
，

32
?
21
?
,
?

32
??< br>∴
m?
?
?
故答案为：
?
?
【点睛】

?
21
?
,
?
．

32
??
本题主要考查直线系方程的应用，考查了直线的斜率计算公式，考查了数形结合的解题思
想方法 ，属于中档题．

20．【解析】【分析】先由题得到点A在圆上再设出切线方程为利用直线和 圆
相切得到k的值即得过点A的圆的切线方程【详解】因为所以点在圆上设切线
方程为即kx- y-k+2=0因为直线和圆相切所以所以切线方程为所以
解析：
x?2y?5

【解析】

【分析】

先由题得到点
A
在圆上，再 设出切线方程为
y?2?k(x?1),
利用直线和圆相切得到
k
的
值，即得过点
A
的圆的切线方程
.

【详解】

因 为
1
2
?2
2
?5
，所以点
A
?
1,2
?
在圆上，设切线方程为
y?2?k(x?1),
即
kx- y-k+2=0,

因为直线和圆相切，所以
5?
1
,?k??
，

2
k
2
?(?1)
2
?k?2

11
x ?y??2?0
，

22
所以切线方程为
x?2y?5
，

所以切线方程为
?
故答案为：
x?2y?5

【点睛】

（
1
）本题主要考查圆的切线方程的求法，意在考查学生 对该知识的掌握水平和分析推理能
力
.(2)
点
P(x
0
,y
0
)
到直线
l:Ax?By?C?0
的距离
d?
Ax
0
?By
0
?C
A?B
22
.

三、解答题

21．（
1
）证明见解析（
2
）
【解析】

【分析】

（
1
）利用直线与平面垂直的判定定理证明
A< br>?
E?
面
A
?
BC
，再根据直线与平面垂直的性质< br>可得
A
?
E?BC
；

（
2
）依题 意得就是直线
A
?
B
与面
BCDE
所成角，延长
E O
交
BC
于
H
，连接
A
?
H
，在 直角
三角形
A
?
EH
中得
A
?
EH?60 ?
，在直角三角形
A
?
EO
中得
A
?
O?
3

4
3
，在直角三角形
2
A
?
OB
中得
sin?A
?
BO?
【详解】

3
.

4
（
1
）证明：∵
A
?< br>E?A
?
B
，
A
?
E?A
?
C
又∵
A
?
B?A
?
C?A
?

∴
A
?
E?
面
A
?
BC

∴
A
?
E?BC
.

（
2
）∵点
A
?
在底面上的射影为
O.

?
∴
AO?
面
BCDE

∴
?A
?
BO
就是直线
A
?
B
与面
BCDE
所成 角
.

延长
EO
交
BC
于
H
，连 接
A
?
H

如图：

?
∵
A
?
E?BC
，
AO?BC

且
A
?
O?A
?
E?A
?

∴
BC⊥
面
A
?
EO

∴
BC?EO

∵
E
为
AD
中点

∴
H
为
BC
中点

∵
A
?
E?1
，
EH?2

由（
1
）知
A
?
E?A
?
H

∴
A
?
EH?60?

∴
A
?
O?
3

2
3
∴
A
?
O3

sin?A
?
BO??
2
?
A
?
B24
所以直线
A?
B
与平面
BCDE
所成角的正弦值为
【点睛】
本题考查了直线与平面垂直的判定和性质，考查了直线与平面所成角的计算，属于中档题
.

22．（
1
）
x?1
或
3x?4y?15?0
；< br>
（
2
）
2x?4y?1?0
.

【解析】

【分析】

【详解】

3

4

解
:
把圆
C
的方程化为标准方程为（
x
＋
1
）
2
＋（
y
－
2
）2
＝
4
，

∴圆心为
C
（－
1,2< br>），半径
r
＝
2.

（
1
）当
l< br>的斜率不存在时，此时
l
的方程为
x
＝
1
，
C
到
l
的距离
d
＝
2
＝
r
，满足 条件．

当
l
的斜率存在时，设斜率为
k
，得
l< br>的方程为
y
－
3
＝
k
（
x
－
1
），即
kx
－
y
＋
3
－
k
＝
0
，

则
|?k?2?3?k|
1?k
2
＝
2
，解得
k
＝
?
3
.

4∴
l
的方程为
y
－
3
＝
?
3
（
x
－
1
），

4

即
3x
＋
4y
－
15
＝
0.

综上，满足条件的 切线
l
的方程为
x?1
或
3x?4y?15?0
.

（
2
）设
P
（
x
，
y
），则|PM|
2
＝
|PC|
2
－
|MC|
2
＝（
x
＋
1
）
2
＋（
y
－
2< br>）
2
－
4
，

|PO|
2
＝
x
2
＋
y
2
，

∵
|PM|
＝
|PO|.

∴（
x
＋1
）
2
＋（
y
－
2
）
2
－< br>4
＝
x
2
＋
y
2
，

整理 ，得
2x
－
4y
＋
1
＝
0
，

∴点
P
的轨迹方程为
2x?4y?1?0
.

考点：直线与圆的位置关系；圆的切线方程；点的轨迹方程
.

23．（1
）证明见解析；（
2
）
CM?2
.

【解析】

【分析】

（
1
）由已知可得
CC
1
?BC
，结合
AC?BC
，可得
BC⊥
平面
AAC
11
C
，即可证明结论；

（
2
） 取
AB
1
中点
D
，连
MD,ND
，则
ND CM
，由
CN
平面
AB
1
M
，可证
CNM D
，得到四边形
CMDN
为平行四边形，即可求
CM
的长
.

【详解】

（
1
）在直三棱柱
ABCA
1
B
1
C
1
中，
CC
1
?
平面< br>ABC
，

?CC
1
?BC
，又
AC?BC ,ACICC
1
?C,AC,CC
1
?
平面
AAC
11
C
，

?BC?
平面
AAC
11
C< br>，
QAM?
平面
AAC
11
C
，
∴BC?A M
；

（
2
）取
AB
1
中点
D< br>，连
MD,ND
，
N
是
AB
的中点，
11
BB
1
?CC
1
，又
BB
1
CC
1
,?DNCM
，

22
?DN,CM
可确定平面
CMDN,?CN?
平面
CMDN
，

?DNBB
1
,DN?
QCN
平面
AB
1
M
，平面
A B
1
MI
平面
CMDN?DM
，

?CNDM,?
四边形
CMDN
为平行四边形，

1
?CM?DN?CC
1
?2
.

2

【点睛】

本题考查异面直线垂直的证明，注意空间垂直间的相互转化，以及直线与平 面平行性质定
理的应用，意在考查直观想象、逻辑分析能力，属于中档题
.

24．（1）
3x?y?2?0
；（2）
x?3y?2?0

【解析】

分析：（1）先由AD与AB垂直，求得AD的斜率，再由点斜式求得其直线方程；

（2）根据矩形特点可以设DC的直线方程为
x?3y?m?0
?
m??6
?
，然后由点到直线的
距离得出
2?m
10
?
2
10
，就可以求出m的值，即可求出结果.

5
详解：(1)由题意：ABCD为矩形，则AB⊥AD，

又AB边所在的直线方程为：x－3y－6＝0，

所以AD所在直线的斜率k
AD
＝－3，

而点T(－1，1)在直线AD上．

所以AD边所在直线的方程为：3x＋y＋2＝0.

(2)方法一：由ABCD为矩形可得，AB∥DC，

所以设直线CD的方程为x－3y＋m＝0.

由矩形性质可知点M到AB、CD的距离相等

所以＝,解得m＝2或m＝－6(舍)．

所以DC边所在的直线方程为x－3y＋2＝0.

方法二：方程x－3y－6＝0与 方程3x＋y＋2＝0联立得A（0，-2），关于M的对称点C
（4，2）

因AB
∥
DC
，所以DC边所在的直线方程为x－3y＋2＝0.

点睛：本题主要考查直线方程的求法，在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形
式，并注意各种 形式的适用条件．用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式
不能表示与坐标轴垂直的直线， 截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线．故在解
题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截 距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜
率不存在的情况．

25．(1)
证明见解析；
(2)

10?213
；
(3)
3x?y?3?0
，
x?y?1? 0
，
x?y?5?0
，
3x?y?9?0
，
3x?2y?0

【解析】

【分析】

(1)
将原式变形为a
?
x?2
?
?x?y?5?0
，由
?
?x?2?0
可得直线
l
必过一定点
x?y?5?0
?
P
?
2,3
?
；

5?2a
15?2a
，则
S
V
AOB
??
?
5?2a
?
?
，求出最值，并找到
2a?1
a?1
最值的条件，进而可得
?AOB
的周长；

5?2a5?2a3
3
?2?
(3)
5?2a
，均为整数，变形得，只要是整数即可，另外不
a?1a?1a?1
a?1
( 2)
由题可得
y
B
?5?2a
，
x
A
?< br>要漏掉截距为零的情况，求出
a
，进而可得直线
l
的方程
.< br>
【详解】

解：
(1)
由
?
a?1
?
x?y?5?2a?0
得
a
?
x?2
?
?x?y?5?0
，

?
x?2
?
x?2?0则
?
，解得
?
，

y?3
x?y?5?0?
?
所以不论
a
为何值，直线
l
必过一定点
P
?
2,3
?
；

(2)
由
?
a? 1
?
x?y?5?2a?0
得，

当
x?0
时，< br>y
B
?5?2a
，当
y?0
时，
x
A
?
5?2a
，

a?1
?
y
B
?5?2 a?0
?
又由
?
，得
a??1
，

5?2 a
x??0
A
?
a?1
?
?S
V
AOB< br>?
?
15?2a1
?
99
?
1
?
?
?
5?2a
?
??
?
4
?
a?1
?
+?12
?
?
?
24
?
a?1
?
??12
?
?12
，

2a?12
?
a?1a? 1
?
2
??
当且仅当
4
?
a?1
?
?
1
9
，即
a?
时，取等号.

a?1
2
?A
?
4,0
?
，
B
?
0,6
?
，

??AOB
的周长为
OA?OB?AB?4?6?4
2
?6
2
?10?213
；

(3)
直线
l
在两坐标轴上的截距均为整数，

即
5?2a
，
5?2a
均为整数，

a?1
Q
5?2a3
?2?
，
?a??4,?2,0,2
，
< br>a?1a?1
5
时，直线
l
在两坐标轴上的截距均为零，也符合题意，

2
所以直线
l
的方程为
3x?y?3?0
，x?y?1?0
，
x?y?5?0
，
3x?y?9?0
，
又当
a??
3x?2y?0
.

【点睛】

本题 考查直线恒过定点问题，考查直线与坐标轴围成的三角形的面积的最值，是中档题
.

26．（
1
）证明见详解（
2
）证明见详解

【解析】

【分析】

（
1
）设
AC,B E
交点为
O
，连接
OF
，则可根据
OF
是
?APC
中位线求证
OFPAP
，进
而得证；

（
2
）由线段关系可证
BE∥CD
，又由
AP?
平面
PCD< br>可得
AP?CD
，进而可得
BE?AC
，再结合四边形
ABC E
是菱形可得
BE?AC
，即可求证；

【详解】

（
1
）

1
AD,
?BC?AE
，

2
又
QADB C
，所以四边形
ABCE
是菱形，则
O
是
AC
中点 ，

又
F
为
PC
中点，
?
OF
是
?APC
中位线，
?OFPAP
，

设
AC,BE
交点为
O
，连接
OF
，又
AB?BC?
AP?平面
BEF
，
OF?
平面
BEF
，
?
AP
平面
BEF
；

（2）由（1）可知四边形
ABCE< br>是菱形，
?BE?AC
，又
Q
AP?
平面
PCD可得
AP?CD
，

E
为
AD
中点可得
BC?ED
，又
QADBC
，
?
四边形
BCDE
为平行四边形，
CDPBE
，

?AP?BE
，
ACIAP ?A
，
?BE?
平面
PAC
，又
BE?
平面
BEF
，

?
平面
BEF?
平面
PAC

【点睛】

本题考查线面平行面面垂直的证明，属于中档题