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第一章 空间几何体
一、选择题
1.有一个几何体的三视图如下图所示,这个几何体可能是一个( ).
主视图 左视图
俯视图
(第1题)
A.棱台 B.棱锥 C.棱柱 D.正八面体
2.如果一个水平放置的
平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°,腰和上底均为
1
的等腰梯形,那么原平面图形的
面
积是( ).
A.2+
2
B.
1+2
2
C.
2+2
2
D.
1+2
3.棱长都是
1
的三棱锥的表面积为( ).
A.
3
B.2
3
C.3
3
D.4
3
4.长方体的一个顶点上三条棱长分别是3,4,5,且它的8个顶点都在
同一球面上,则这个球的表面积是( ).
A.25π B.50π
C.125π D.都不对
5.正方体的棱长和外接球的半径之比为( ).
A.
3
∶1 B.
3
∶2 C.2∶
3
D.
3
∶3
6.若底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面,且侧棱长为5,它的对角线
的长分别是9和15,则这个棱柱的侧面积是( ).
A.130 B.140
C.150 D.160
7.如图是一个物体的三视图,则此物体的直观图是( ).
(第7题)
8.已知
a
、
b
、c
是直线,
?
是平面,给出下列命题:
①若
a?b,b?c,则ac
;
②若
ab,b?c,则a?c
;
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③若
a
?
,b?
?
,则ab
;
④若
a
与b异面,且
a
?
,则b与
?
相交;
⑤若
a
与b异面,则至多有一条直线与
a
,b都垂直.
其中真命题的个数是
A.1 B.2 C.3 D.4
二、填空题
9.若三个球的表面积之比是1∶2∶3,则它们的体积之比是_____________.
10.正方体
ABCD
-
A
1
B
1
C
1
D
1
中,
O
是上底面
ABCD
的中心,若正方体
的棱长为
a
,则三棱锥
O
-
AB
1
D
1<
br>的体积为_____________.
11.已知一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是
2
、
3
、
6
,则这个长方体的对角线长是________
___,它的体
积为___________.
三、解答题
12
.已知半球内有一个内接正方体,求这个半球的体积与正方体的体积之比.
<
br>13.如图,在四边形
ABCD
中,∠
DAB
=90°,∠
A
DC
=135°,
AB
=5,
CD
=2
2
,
AD
=2,求四边形
ABCD
绕
AD
旋转一周
所成几何体
的表面积及体积.
(第13题)
15.S是正三角形ABC所在平面外的一点,如图SA=SB=SC,
且
?ASB
??BSC??CSA?
?
2
,M、N分别是AB和SC的中点.
N
C
S
求异面直线SM与BN所成的角的余弦值.
B
M
A
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第一章 空间几何体
参考答案
一、选择题
1.A
解析:从俯视图来看,上、下底面都是正方形,但是大小不一样,可以判断可能是棱台.
2.A
解析:原图形为一直角梯形,其面积
S
=
3.A
解析:因为四个面是全等的正三角形,则
S
表面
=4×
4.B
解析:长方体的对角线是球的直径,
3
=
3
.
4
1
(1+
2
+1)×2=2+
2
.
2
l
=
3
2
+4
2
+5
2
=52
,2
R
=5
2
,
R
=
5.C
52
2
,
S
=4π
R
=50π.
2
解析:正方体的对角线是外接球的直径.
6.D
2
解析:设底
面边长是
a
,底面的两条对角线分别为
l
1
,
l
2
,而
l
1
2
=15-5,
l
2
=9-5,
222222
2222
2
而
l
1
2
+l
2
=4
a
,即15-5+9-5=4
a
,
a
=8,
S
侧面
=4×8×5=160.
7.D
解析:过
点
E
,
F
作底面的垂面,得两个体积相等的四棱锥和一个三棱柱,
1
31315
V
=2×××3×2+×3×2×=.
222
3
4
8.D
解析:从三视图看底面为圆,且为组合体,所以选D.
9.A
二、填空题
10.参考答案:1∶2
2
∶3
3
.
r
1
∶
r
2
∶
r
3
=1∶
2<
br>∶
3
,
r
1
3
∶
r
2
3<
br>∶
r
3
3
=1
3
∶(
2
)
3
∶(
3
)
3
=1∶2
2
∶3
3
.
1
11.参考答案:
a
3
.
6
解析:画出正
方体,平面
AB
1
D
1
与对角线
A
1
C<
br>的交点是对角线的三等分点,
三棱锥
O
-
AB
1
D
1
的高
h
=
333
11
1
2
a<
br>,
V
=
Sh
=××2
a
×
a
=a
3
.
343
6
33
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p>
另法:三棱锥
O
-
AB
1
D
1
也可以看成三棱锥
A
-
OB
1
D
1
,它的高为AO
,等腰三角形
OB
1
D
1
为底面.
12.参考答案:
6
,
6
.
解析:设
ab
=
2
,
bc
=
3
,
ac
=
6<
br>,则
V
=
abc
=
6
,
c
=<
br>3
,
a
=
2
,
b
=1,
l
=
3+2+1
=
6
.
三、解答题
13.参考答案:
如图是过正方体对角面作的截面.设半球的半径为
R
,正
方体的棱长为
a
,则
CC'
=
a
,
OC
=
A'
C'
2
a
,
OC'
=
R
.
2
A
O
(第14题)
C
在Rt
△
C'CO
中,由勾股定理,得
CC'
+
OC
=
OC'
,
即
a
+(
∴
R
=
2
222
2
2
a
)=
R
2
.
2
66
a
,∴
V
半球
=π
a
3
,
V
正方体
=
a
3
.
22
∴
V
半球
∶
V
正方体
=
6
π∶2.
14.参考答案: <
br>S
表面
=
S
下底面
+
S
台侧面
+<
br>S
锥侧面
=π×5+π×(2+5)×5+π×2×2
2
=(60+4
2
)π.
2
V
=
V
台
-
V
锥
1
1
2
=π(
r
1
2
+
r
1
r2
+
r
2
2
)
h
-π
rh
1
33
148
π.
3
15.证明:连结CM,设Q为CM的中点,连结QN 则QN∥SM
∴∠QNB是SM与BN所成的角或其补角
连结BQ,设SC=a,在△BQN中
=
BN=
5
1
a
NQ=
2
2
SM=
2
4
a
BQ=
14
a
4
BN
2
?NQ
2
?BQ
2
10
∴COS∠QNB=
?
2BN?NQ5
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