1977全国高中数学联赛题-箐优网高中数学
第一章 空间几何体
一、选择题
1．有一个几何体的三视图如下图所示，这个几何体可能是
一个( )．
主视图 左视图
俯
视图
(第1题)
A．棱台 B．棱锥 C．棱柱 D．正八
面体
2．如果一个水平
放置的平面图形的斜二测直观图是一个底
角为45°，腰和上底均为
1
的等腰梯形，那
么原平面图形的面
积是( )．
A．2＋
2
6．在△ABC
中，
AB
＝2，
BC
＝1.5，∠
ABC
＝120°，若使△
ABC
绕直线
BC
旋转一周，则所形成的几何体的体积
是( )．
A．π B．π C．π
D．π
7．若底
面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为5，
它的对角线的长分别是9和15，则这个棱柱的侧面
积是( )．
A．130 B．140 C．150
D．160
8．如图，在多面体
ABCDEF
中，已知平面
ABCD
是边长为3
的正方形，
EF
∥
AB
，
EF
＝，且
EF
与平面
ABCD
的距离为2，则
该多面体的体积为( )．
3
2
3
2
9
2
7
2
5
2
1＋2
B．
2
2＋2
C．
2
9
2
15
D．
2
D．
1＋2
3．棱长都是
1
的三棱锥的表面积为( )．
A．
3
B．2
3
C．3
3
D．4
3
4．长方体的一个顶点上三条棱长分别是3，4，5，且它的<
br>8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是( )．
A．25π B．50π
C．125π D．都不
对
5．正方体的棱长和外接球的半径之比为( )．
A．
3
∶1 B．
3
∶2 C．2∶
3
D．
3
∶3
(第8题)
A． B．5
C．6
9．下列关于用斜二测画法画直观图的说法中，错误的是
．．
( )．
A．用斜二测画法画出的直观图是在平行投影下画出的空间
图形
B．几何体的直观图的长、宽、高与其几何体的长、宽、高
的比例相同
第 1 页
共 6 页
C．水平放置的矩形的直观图是平行四边形
D．水平放置的圆的直观图是椭圆
10．如图是一个物体的三视图，则此物体的直观图是
( )．
(第14题)
15．已知一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是
2
、
3
、6
，则这个长方体的对角线长是___________，它的体积
为_________
__．
16．一个直径为32厘米的圆柱形水桶中放入一个铁球，球
全部没入水中后，水面升
高9厘米则此球的半径为_________
厘米．
三、解答题
17．有一个正四棱台形状的油槽，可以装油190 L，假如
它的两底面边长分别等于60
cm和40 cm，求它的深度．
18 *．
已知半球内有一个内接正方体，求这个半球的体积
与正方体的体积之比．[提示：过正方体的对角面作截
面]
(第10题)
二、填空题
11．一个棱柱至少有______个面，面数最少的一个棱锥有
___
_____个顶点，顶点最少的一个棱台有________条侧棱．
12．若三个球的表面积之比是
1∶2∶3，则它们的体积之
比是_____________．
13．正方体
AB
CD
－
A
1
B
1
C
1
D
1 中，
O
是上底面
ABCD
的中心，
若正方体的棱长为
a
，则三棱锥
O
－
AB
1
D
1
的体积为_____________．
14．如图，
E
，
F
分别为正
方体的面
ADD
1
A
1
、面
BCC
1
B<
br>1
的中
心，则四边形
BFD
1
E
在该正方体的面上的
射影可能是
___________．
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19．如图，在四边形
ABCD
中，∠
DAB
＝90°，∠
ADC
＝135°，
AB
＝5，
CD<
br>＝2
2
，
AD
＝2，求四边形
ABCD
绕
A
D
旋转一周所成
几何体的表面积及体积．
(第19题)
20．养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐(供融化高速公路
上的积雪之用)，已建的仓库的底面直径为12 m，高4 m，养路
处拟建一个更大的圆锥形仓库，以
存放更多食盐，现有两种方
案：一是新建的仓库的底面直径比原来大4
m(高不变)；二是
高度增加4 m(底面直径不变)．
(1)分别计算按这两种方案所建的仓库的体积；
(2)分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积；
(3)哪个方案更经济些？
第
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第一章 空间几何体
参考答案
A组
一、选择题
1．A
解析：从俯视图来看，上、下底面都是正方形，但是大小
不一样，可以判断可能是棱台．
2．A
解析：原图形为一直角梯形，其面积
S
＝(1＋
＝2＋
2
．
3．A
解析：因为四个面是全等的正三角形，则
S
3
表面
而
l
1
2
＋
l
2
2
＝4
a
2
，即15
2
－5
2
＋9
2
－5
2＝4
a
2
，
a
＝8，
S
侧面
＝4×8
×5＝160．
8．D
解析：过点
E
，
F
作底
面的垂面，得两个体积相等的四棱锥
和一个三棱柱，
V
＝2×
1
×
3
×3×2＋
1
×3×2×
3
＝
15
．
3
4222
1
2
2
＋1)×2
＝4×
3<
br>4
＝
．
4．B
解析：长方体的对角线是球的直径，
l<
br>＝
3
2
＋4
2
＋5
2
＝5
2
，2
R
＝5
2
，
R
＝
52
2
，
S
＝4π
R
2
＝50π．
9．B
解析：斜二测画法的规则中，已知图形中平行于
x
轴的线
段，在直观图中保持原长度不变；平行于
y
轴的线段，长度为
原来的一半．平行于
z
轴的线段的平行性和长度都不变．
10．D
解析：从三视图看底面为圆，且为组合体，所以选D.
二、填空题
11．参考答案：5，4，3．
解析：符合条件的几何体分别是：三棱柱，三棱锥，三棱
台．
12．参考答案：1∶2
2
∶3
3
．
r
1
∶
r
2
∶
r
3
＝1∶
2
∶
3<
br>，
r
1
3
∶
r
2
3
∶
r<
br>3
3
＝1
3
∶(
2
)
3
∶(
3
)
3
＝1∶2
2
∶3
3
．
13．参考答案：
1
3
a
．
6
5．C
解析：正方体的对角线是外接球的直径．
6．D
解析：
V
＝V
大
－
V
小
＝π
r
2
(1＋1.5－
1)＝π．
7．D
解析：设底面边长是
a
，底面的两条对角线分别为l
1
，
l
2
，
而
l
1
2＝15
2
－5
2
，
l
2
2
＝9
2
－5
2
，
1
3
3
2
解析：画出正方
体，平面
AB
1
D
1
与对角线
A
1
C的交点是对角
线的三等分点，
三棱锥
O
－
AB
1D
1
的高
h
＝
＝
a
3
．
另
法：三棱锥
O
－
AB
1
D
1
也可以看成三棱锥A
－
OB
1
D
1
，它的
1
6
3
3
a
，
V
＝
Sh
＝×
1
31
3
3
4
×2
a
2
×
3
3<
br>a
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高为
AO
，等腰三角形<
br>OB
1
D
1
为底面．
14．参考答案：平行四边形或线段．
15．参考答案：
6
，
6
．
解析：设
ab
＝
2
，
bc
＝
3
，
ac
＝
6<
br>，则
V
=
abc
＝
＝
3
，
a<
br>＝
2
，
b
＝1，
l
＝
3＋2＋1
＝
6
．
16．参考答案：12．
解析：
V
＝
Sh
＝π
r
三、解答题
17．参考答案：
2
即
a
2
＋(
∴
R
＝
6
，
c
2
2
a
)
2
＝
R
2
．
6
2
6
2
a
，∴
V
半球
＝π
a
3
，
V
正方体
＝
a
3
．
h
＝
4
π
R
3
，
R
＝
3
64×27
＝12．
3
∴
V
半球
∶
V
正方体
＝
6
π∶2．
19．参考答案： <
br>S
表面
＝
S
下底面
＋
S
台侧面
＋<
br>S
锥侧面
＝π×5
2
＋π×(2＋5)×5＋π×2×2<
br>＝(60＋4
2
)π．
V
＝
V
台
－
V
锥
1
3
148
＝π．
3
2
＝π(
r
1
2
＋
r
1
r
2
＋
r
2
2
)
h
－π
r
2
h
1
3V
S＋SS
′
＋S
′
V
＝(
S
＋<
br>1
3
SS
′
＋
S
)
h
，
h
＝＝
3×190000
3600＋2400＋1600
＝
1
3
75．
18．参考答案：
如图是过正方体对角
面作的截面．设半球的半径为
R
，正
方体的棱长为
a
，则
C
C'
＝
a
，
OC
＝
A'
2
2
20．
解：(1)
参考答案：如果按方案一，仓库的底面直径变成
16 m，则仓库的体积
256
V<
br>1
＝
1
Sh
＝
1
×π×(
16
)<
br>2
×4＝π(m
3
)．
2
33
3
如果按方案二，仓库的高变成8 m，则仓库的体积
a
，
OC'
＝
R
．
C'
V
2
＝
1
Sh
＝
1
×π×(
12
)
2
×8＝
2
33
288
π(m
3
)．
3
A
O
C
(第18题)
在Rt
△
C'CO
中，由勾股定理，得
CC'
2
＋
OC
2
＝
OC'
2
，
(2) 参考答案：如果按方案一，仓库的底面直径变成16 m，
半径为8 m．
棱锥的母线长为
l
＝
8
2
＋4
2
＝4
5<
br>，
仓库的表面积
S
1
＝π×8×4
5
＝32
5
π(m
2
)．
如果按方案二，仓库的高变成8 m．
棱锥的母线长为
l
＝
8
2
＋6
2
＝10，
仓库的表面积
S
2
＝π×6×10＝60π(m
2
)．
(3) 参考答案：∵
V
2
＞
V
1
，
S<
br>2
＜
S
1
，∴方案二比方案一更加
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经济些．
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