人教A版数学必修四高一答案

高中数学学习材料
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德化一中2007－2008学年度上学期期末考
高一数学参考答案
第Ⅰ卷
（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共6 0分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
题
号
答
案
1
B
2
C
3
B
4
A
5
C

6
B
7
D
8
C
9
B
10
A
11
D
12
C
第Ⅱ卷
（非选择题 共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．
13．
[2,??)
14.
62
15 .
?5
16.
(3,??

)


三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分12分）
已知集合
S?{x|x?px?q?0}
,< br>T?{x|x?(p?3)x?6?0}
，且
S
（1）求
log
9
(3p?q)
的值.
（2）求
S
解：(1) ∵
S
22
T?{3}

T
；
T?{3}
，∴
3?S
且
3?T
.
2
?
?
3?3p?q?0
于是有
?
2
------------------------------------------------2分
?
?
3?(p?3)?3?6?0
解得
?
?
p?2
------------------ ----------------------------------------4分
q??3
?

∴
log
9
(3p?q)?log
9
(3?2?3)?log
9
3?
(2) 由（1）知
p?2,q??3

1
-------------------------------6分
2
∴
S?{x|x?2x?3?0}?{?1,3}
， ---------------------------------------------8分
2
T?{x|x
2
?5x?6?0}?{2,3}
. ---------------------------------------------10分
∴
S

18．（本小题满分12分）
已知
a?( 7,1)
，
b?(tan(
（1）求
tan
?
的值；
（2）求
sin
?
cos
?
?2cos
?
的值.
解：（1）∵
a?(7,1)
，
b?(tan(
∴
7?1?tan(
∴
7?
2
T
＝｛－1, 2，3｝ ------------------------------------------ -------------12分
?
4
?
?
),1)
， 且
a
∥
b
，
?
4
?
?
),1)
，且
a
∥
b
，
?
4
?
?
)?1?0
，--------------------------------------- ------------3分
1?tan
?
3
?0
，解得
tan
?
?
. ---------------------------------------6分
1?tan
?
4
3
（2）由（1）知
tan
?
?
，
4
si n
?
cos
?
?2cos
2
?

sin
?
?cos
?
?2cos
2
?
ta n
?
?2
＝＝ ---------------------------------------9分 < br>sin
2
?
?cos
2
?
tan
2
?
?1
3
?2
44
4
＝＝ -------------- -------------------------------------------------- ------12分
3
2
25
()?1
4
3
3
另解：由（1）知
tan
?
?
∴
sin
?
?cos
?
，
4
4
3
22
22
又
sin
?
?cos
?
?1
∴
(cos
?
)?cos
?
?1

4
16
2
∴
cos
?
?
----- -------------------------------------------------- -------------------9分
25
3
2
22
∴< br>sin
?
cos
?
?2cos
?
＝
cos< br>?
?2cos
?

4

＝
11
2
111644
----- -------------------------------------------------- -12分
cos
?
???
442525
19．（本小题满分12分）
2
已知函数
f(x)?23sinxcosx?acosx
的图象经过点（0 2）
（1）求函数
f(x)
的单调递减区间；
（2）当
x?
[ ?
??
,]
时，求函数
f(x)
的值域.
64
2
解：（1）∵函数
f(x)?23sinxcosx?acosx
的图象经过点（0 2）
∴
f(0)?2
∴
a?2
----- -------------------------------------------------- -----2分
∴
f(x)?3sin2x?2cos
2
x
＝
3sin2x?cos2x?1


?2sin(2x?
∴ 由
2k
?
?
?
6
)?1
-------- -------------------------------------------------6 分
6
?
3
?
?2k
?
,k?Z
得 2
?
2
?2x?
?
k
?
?
?
6
?x?
2
?
?k
?
,k?Z

3
∴函数
f(x)
的单调递减区间函数
f(x)
的单调递减区间为
[ k
?
?
?
6
,
2
?
?k
?
],k?Z
-------------------------------------- ---------------8分
3
（2）由（1）知
f(x)?2sin(2x?
∵
x?
[?
∴
?
?
6
)?1

??
??
2
?

,]
∴
??2x??
64663
1
?
?sin(2x?)?1
-------------------------------------------------- ------10分
26
∴
0?f(x)?3
，即函数
f(x)
的值域为
[0,3]
---------------------------12分
20．（本小题满分12分）
已知向量
OA?(2,2),OB?(?4,1)
，点P在
x
轴 的非负半轴上（O为原点）.
（1）当
PA?PB
取得最小值时，求
OP
的坐标；
（2 ）设
?APB?
?
，当点
P
满足（1）时，求
cos
?
的值.
解：（1）设
OP?(x,0)
(x?0)
，---- -------------------------------------------------- --1分
则
PA?(2?x,2)
，
PB?(?4?x,1)
------------------------------------------3分

2
∴
PA?PB?(2?x)(?4?x)?2?1
?x?2x?6

2

?(x?1)?7

(x?0)
----------------------------------------------5分
∴当
x?0
时，
PA?PB
取得最小值
?6
，此 时，
OP?(0,0)
----------------7分
（2）由（1）知
OP?(0,0)
，
PA?PB
＝－6
PA?OA,PB?OB
---------------------------- ----------------------------10分
∴
cos
?
?
PA?PB?6334
-----------------------------12分
???
34
|PA||PB|
22?17
21．（本小题满分12分）
已知函数
f( x)?lg
1?x
的定义域为集合
A
，
a,b?A

1?x
（1）判断
f(x)
的奇偶性；
（2）求证：
f( a)?f(b)?f(
解：（1）由
a?b
)

1?ab
1?x
?0
，得
?1?x?1

1? x
1?x
∴函数
f(x)?lg
的定义域
A
＝
{x |?1?x?1}
，它关于原点对称.---------3分
1?x
1?x1?x
?1
1?x
又
f(?x)?lg?lg()??lg??f(x)
，
1?x1?x1?x
∴函数
f(x)
是奇函数. ---------- -------------------------------------------------- -----------6分
另解：由
1?x
?0
，得
?1?x?1

1? x
1?x
∴函数
f(x)?lg
的定义域
A
＝
{x |?1?x?1}
，它关于原点对称.------------3分
1?x
1?x1?x
又
f(?x)?f(x)?lg

?lg
1?x1?x
(1?x)(?1x)
?

0
＝
lg1
(1?x)(1?x)
＝
lg
∴
f(?x)??f(x)

∴ 函数
f(x)
是奇函数. ------------------------------ ---------------------------------------6分
（2）∵
f(a)?f(b)?f(
1?a1?b
)?f()
1?a1?b

=
lg
(1?a)(1?b)1?a?b?ab?lg

(1?a)(1?b)1?a?b?ab
a?b
a?b1?ab?a?b

f(
--------------------------------10分
)?lg
1?ab
?lg
a?b
1?ab1?ab?a?b
1?
1?ab
a?b
∴
f(a)?f(b)?f()
---- -------------------------------------------------- -----12分
1?ab
1?

22．（本小题满分14分）
b?R
， 定义在
R
上的函数
y?f(x)
，
f( 0)?0
，当
x?0
时
f(x)?1
，且对任意的
a、有
f(a?b)?f(a)?f(b)
.
(1)求
f(0)
的值；
(2)求证：对任意的
x?R
，恒有
f(x)?0
；
(3)若
f(x)?f(2x?x)?1
，求
x
的取值范围.
解：（1）解：令
a?b?0
，则
f(0)?f(0).

又
f(0)?0
，
f(0)?1
. ------------ -------------------------------------------------3 分
（2）证明：当
x?0
时，
?x?0
，∴
f(?x)? 1

∵
f(0)?f(x)?f(?x)?1
，∴
f(x)?< br>2
2
1
?0

f(?x)
又
x?0
时，
f(x)?1?0

∴对任意的
x?R
，恒有
f(x)?0
. ------------------------------------------------8分
（3）解：设
x
1
?x
2
，则
x
2
?x
1
?0
. ∴
f(x
2
?x
1
)?1
. 又
f(x
1
)?0

∴
f(x
1
)? f(x
2
)?f(x
1
)?f[(x
2
?x
1)?x
1
]?f(x
1
)?f(x
2
?x
1< br>)?f(x
1
)

=
f(x
1< br>)[1?f(x
2
?x
1
)]?0

∴
f(x
1
)?f(x
2
)
.
∴
f(x)
是
R
上的增函数. --------------------- -------------------------------------12分

由
f(x)?f(2x?x)?1
，
f(0)?1
得
f(3x?x)?f(0)
.
∴
3x?x?0
，∴
0?x?3

∴所求的x的取值范围为
(0,3)
---------------------- --------------------------14分
2
22