高一数学必修四总复习题及答案

第1题．已知
A
0)B(0，，3)C(cos
?
，sin< br>?
)
，其中
，B，C
三点的坐标分别是
A(3，，
π 3π
．
?
?
?
22
（1）若
AC?BC
，求
?
的值；
uuuruuur
uuuruuur
2sin
2
?
?sin2
?
（2）若
AC
的值．
·BC ??1
，求
1?tan
?
解：（1）有
A(3，，0)B(0，，3 )C(cos
?
，sin
?
)
．
uuuruuur
AC?(cos
?
?3，sin
?
)
，
BC?(cos< br>?
，sin
?
?3)
．
uuuruuur
Q
AC?BC
，
?(cos
?
?3)
2
?sin
2
?
?cos
2
?
?(sin
?
?3)
2< br>，
?cos
?
?sin
?
，
?tan
?< br>?1
．
π3π
5π
，
?
?
?
．
?
?
?
224
uuuruuur
·BC?(cos
?
?3，sin
?
)(cos
?
，sin
?
?3)
（2）由（1）知
AC
Q
1?3(cos
?
?sin?
)
，
uuuruuur
Q
AC
·
BC?? 1
，
?1?3(cos
?
?sin
?
)??1
，
2
?cos
?
?sin
?
?
．
3
平方，得
2sin
?
cos
?
??
，
5
9
2sin
2
?
?sin2
?
2sin
2
?
?2sin
?
cos
?
2sin
?< br>(sin
?
?cos
?
)5
????2sin
?cos
?
??
．
sin
?
cos
?
?sin
?
1?tan
?
9
1?
cos
?
cos
?
第2题．向量
e
1
，e
2
是夹角为
60
o
的两个单位向量，求向量
a?2e
1
?e
2
与
b??3e
1
?2e
2
的夹角．
·e
2?3e
1
·e
2
?2e
2
2
??4?e
1
e
2
cos60
o
??
， 解：
a·b?(2 e
1
?e
2
·)(?3e
1
?2e
2
)< br>??6e
1
2
?4e
1
7
2
a?2e
1
?e
2
?(2e
1
?e
2
)
2
?4e
1
2
?e
2
2
?4e
1
·e2
?5?4cos60
o
?7
，
b??3e
1
?2e
2
?(?3e
1
?2e
2
)
2
? 9e
1
2
?4e
2
2
?12e
1
·e2
?13?12cos60
o
?7
．
7
a·b
2
??
1
． 夹角
?
满足
cos
?
??
ab2
7?7
?
?
向量
a
与
b
的夹角为
120
o
．
第3题．我们知道，函 数的性质通常指函数的定义域、值域、周期性、奇偶性等，请你选择适当的顺序
探究函数
f(x )?1?sinx?1?sinx
的性质，并在此基础上，作出函数
f(x)
在
[?π，π]
上的图象．
?
1?sinx
≤
0，
解：①
Q
?
1?sinx
≥
0，
?

?f(x)
的定义域为< br>R
；
②
Qf(?x)?1?sin(?x)?1?sin(?x)
? 1?sinx?1?sinx?f(x)
，
?f(x)
为偶函数．
③
Qf(x?π)?f(x)
，
?f(x)
是周期为
π
的周期函数；
xx
?
xx
?
xxxx
??
④
Q
f(x)?
?
sin ?cos
?
?
?
sin?cos
?
?sin?cos?si n?cos
，
2
?
2
?
2222
?
2< br>?
2
22
x
?
π
?
?
当
x ?
?
0，
?
时，
f(x)?2cos
；
2
?
2
?
x
?
π
?
当
x?
?，
π
?
时，
f(x)?2sin
．
2
?2
?
?
π
?
?
当
x?
?
0，
?
时，
f(x)
单调递减，
?
2
?
?< br>π
?
当
x?
?
，
π
?
时，
f(x)
单调递增．
?
2
?
又
Qf(x)
是周期 为
π
的偶函数，
π
??
?f(x)
在
?
k
π
，k
π
?
?
(
k?Z
)
上单 调递减．
2
??
x
?
π
?
⑤
Q
当
x?
?
0，
?
时，
f(x)?2cos?[2，2]；
2
?
2
?
当
x?
?
，
π
?
时，
f(x)?2sin?[2，2]
，
2
2
?
π
?
?
?
x
2]
；
?f(x)
的值域为
[2，
由以上性质可得
f(x)
在
[?π，π]
上的图象如图所示．
第4题．已知
cos
?
?
?
答案：< br>?
?
?
π
?
3
π3π
?
，，则cos
?
?
．
≤
?
?
?
4
?
5
22
2

10
第5题．给出下列命题：①存在实数
x
，使
sinx?cosx ?
π
；②若
?
，
?
是锐角
△ABC
的内角 ，则
3
7π
?
ππ
?
2
sin
?
?cos
?
；③函数
y?sin
?
x?
?
是偶函数 ；④函数
y?sin2x
的图象向右平移个单位长度，
2
?
24?
3
π
??
?
的图象．
4
??
其中正确命题的序号是 ．
答案：①②③
得到y?sin
?
2x?
o
tan31
o
?
． 第6题．
tan29
o
?tan31
o
?3tan29·
答案：
3

第7题．函数
y?
cosx?1
的值域是 ．
sinx?2

答案：
?
?，0
?
第8题．要由函数
y?sin
?
Ａ．向左平移
Ｂ．向左平移
Ｃ． 向右平移
Ｄ．向右平移
?
4
?
?
3
?
π< br>??
1
x?
?
的图象得到函数
y?sinx
的图象， 下列变换正确的是（ ）
6
??
2
π
个单位长度，再将各点横坐标变为2倍
6
π
1
个单位长度，再将各点横坐标变为
62
π
个单位长度，再将各点横坐标变为2倍
3
π
1
个单位长度，再将各点横坐标变为
32
答案：Ｄ
第9题．已知函数
f(x)?a(sinx?cosx)?b
，若
a?0，且
x?[0，π]
时，
f(x)
的值域是
[3，4]
，则
a，b
的值分别是（ ）
5?2
Ａ．
?1?2，
2?2
Ｃ．
?1?2，
答案：Ｂ


5?2
Ｂ．
1?2，
2?2
Ｄ．
1?2，< br>第10题．定义在
R
上的函数
f(x)
，既是偶函数又是周期函数，若
f(x)
的最小正周期是
π
，且当
x?
?
0，?
时，
f(x)?sinx
，则
f
?
Ａ．
?< br>?
π
?
?
2
?
?
5π
?
?
的值为（ ）
?
3
?
1

2
Ｂ．
3

2
Ｃ．
?
3

2
Ｄ．
1

2
答案：Ｂ
132tan13
o
1?c os50
o
oo
sin6，b?，c?
第11题．设
a?cos6?
，则有（ ）
221?tan
2
13
o
2
Ａ．
a?b?c

答案：Ｄ
Ｂ．
a?b?c
Ｃ．
b?c?a
Ｄ．
a?c?b

uuuruuuruuur
第12题．在平面上，已知点
A(21)，，B(0，，2)C(?21)，，O(0，0)< br>，给出下面的结论：①
AB?CA?BC
；②
uuuruuuruuuruuu ruuuruuur
OA?OC?OB
；③
AC?OB?2OA
．其中正确结 论的个数是（ ）
Ａ．1个
答案：Ｂ
第13题．2002年8月，在北京召 开的国际数学家大会会标如图1所示，它是由
相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形， 若直角三角形中较小
锐角为
?
，大正方形的面积是1，小正方形的面积是
于（ ）
Ａ．1 Ｂ．
?
4个
的
等
Ｂ．2个 Ｃ．3个 Ｄ．0个
1
，则
sin
2
?
?cos< br>2
?
的值
25
7

25
24

25
Ｃ．
7

25
Ｄ．
?

答案：Ｄ
sin75
o
)
，
b
?(cos15
o
，sin15
o
)
，则
a? b
的值为（ ） 第14题．已知向量
a
?(cos75
o
，
Ａ．
1

2
Ｂ．
2

2
Ｃ．
3

2
Ｄ．1
答案：Ｄ
第15题．若
?
为三角形的内角， 且
sin
?
?cos
?
??
Ａ．
1
，则< br>tan2
?
等于（ ）
5
Ｄ．
24

7
Ｂ．
?
24

7
Ｃ．
?
24

7
uuur

7

24
答案：Ｂ
第16题．已知
M(3，?2)，N(?5，?1)
，且
MP?
Ａ．
(?81)，

答案：Ｂ
第17题．已知
a?1
，
b?2
，
a
与
b
的夹角为
60
o
，
c?3a?b
，
d?
?
a?b
，若
c?d
，则实数
?
的值
为（ ）
Ａ．
Ｂ ．
?
?1，?
r
1
uuuu
MN
，则
P< br>点坐标为（ ）
2
Ｄ．
(8，?1)

?
?
3
?
?

2
?
Ｃ．
?
1，
?

?
3
?
?
2
?
7

2
Ｂ．
?
7

2
Ｃ．
7

4
Ｄ．
?
7

4
答案：Ｃ
sin2x ?2sin
2
x
7π
?
π
?
3
17π第18题．若
cos
?
?x
?
?
，，求的值．
?x?
1?tanx
124
?
4
?
5
2sinx cosx?2sin
2
x1?tanx
?
π
?
?sin2x ·?sin2x·tan
?
?x
?
， 解：原式
?
1?ta nx1?tanx
?
4
?
17π7π5ππ
，
??x??? x?2π
．
12434
?
π
?
3
又
co s
?
?x
?
?
，
?
4
?
5Q
44
?
π
??
π
?
?sin
??x
?
??
，
tan
?
?x
?
??< br>，
53
?
4
??
4
?
?
π
??
π
?
7
sin2x??cos
?
?2x
?< br>?1?2cos
2
?
?x
?
?
，
?
2
??
4
?
25
故原式
?
7
?
4
?
28
?
?
?
?
??
．
25
?
3
?
75
第19题．某船以6kmh的速度向东航行，船上有人测 得风自北方来；若船速加倍，则测得风自东北来，
求风速大小．
解：分别取正东、正北方向为
x
轴，
y
轴，建立直角坐标系，令
x
轴，
y
轴正方向上的单位向量分别为
i，j
，
并设表示风速的向量为
x
i ?
y
j
，起初船速为
6i
，船上的人测得的风速为
?pj
(p?0)
，则
x
i?
y
j
?6i
??p
j
，可解得
x?6
．
后来船上的人测得风速为
?q
(i?j)
(q?0)
，
?
x
i?
y
j
?12i
??q
(i?j)
，
于是
x?12?y??q??6
，
?
表示风速的向量为
6i?6j
，

风速大小为
6i?6j?62
kmh.
即所求风速为
62
kmh．
第20题．已知
f(
?
)??cos2
?
?4asin
（1）求
g(a)
的表达式；
（2）当
g(a)?2
时，求
a
的值．
解：（1）
f(
?
)?
1
2
?
2
cos
?
3
?a
2
?2a?
，若
f(
?
)
的最小值 为
g(a)
．
22
1?cos2
?
?2asin
?
?a
2
?2a?1

2
?sin
2
?< br>?2asin
?
?a
2
?2a?1?(sin
?
?a )
2
?2a?1
，
若
?1
≤
a
≤
1
，则当
sin
?
?a
时，
g(a)?2a?1
；
若
a?1
，则当
sin
?
?1
时，
g (a)?a
2
?2
；
若
a??1
，则当
sin< br>?
??1
时，
g(a)?a
2
?4a?2
，
（2）当
a??1
时，令
a
2
?4a?2?2
，得
a??4
或
a?0
（舍去）．
当
?1
≤
a≤
1
时，令
2a?1?2
，得
a?
1
； 2
当
a?1
时，令
a
2
?2?2
，得
a?0
（舍去）．
1
．
2
?
π
?
第2 1题．已知函数
f(x)?x·sinx
，则
f
?
?
?，
f(1)
及
?
4
?
综上所述，当
g(a)? 2
时，
a??4
或
a?
?
π
??
π
?
?
4
??
3
?
?
π
??
π< br>?
Ｃ．
f
??
?f(1)?f
?
?
?

?
3
??
4
?
答案：Ｃ
Ａ．
f
?
?
?
?f(1)?f
??

?
π
?
f
??
的大小关系为（ ）
?
3
?
?
π
??
π
?
Ｂ．
f(1)?f??
?f
?
?
?

?
3
??
4
?
?
π
??
π
?
Ｄ．
f
??< br>?f
?
?
?
?f(1)

?
3
??
4
?
uuur
uuuruuur
第22题．
△ABC
中
D
为
BC
边的中点，已知
AB?
a
，
AC?
b
，则在下列向量中与
AD
同向的向量是
（ ）
Ａ．
a?b

a?b
Ｂ．
ab
?

ab
Ｃ．
ab
?

ab
Ｄ．
ba?ab

答案：Ａ