高中数学概率与统计解答题)汇总

概率与统计解答题
1、A、B是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验 。每个试验组由4
只小白鼠组成，其中2只服用A，另2只服用B，然后观察疗效。若在一个试验组中， 服用
A有效的小白鼠的只数比服用B有效的多，就称该试验组为甲类组。设每只小白鼠服用A
有 效的概率为
21
,服用B有效的概率为.
32
（Ⅰ）求一个试验组为甲类组的概率；
（Ⅱ）观察3个试验组，用
?< br>表示这3个试验组中甲类组的个数，求
?
的分布列和数学期
望。
（Ⅰ ）解：设A
i
表示事件“一个试验组中，服用A有效的小白鼠有i只”，i=0，1，2；
B
i
表示事件“一个试验组中，服用B有效的小白鼠有i只”，i=0，1，2
1
依题意有 P(A
1
)=2××=, P(A
2
)=×=, P(B
0
)=×=, P(B
1
)=2××=,
33933922
4
222
14 14144
所求的概率为p=P(B
0
A
1
)＋P(B
0< br>A
2
)＋P(B
1
A
2
)=×＋×＋×= …………6分
4
9
4
9299
4
（Ⅱ） ?的可能取值为0，1，2，3，且 ?~B(3,),
9
5
3
1254 5
2
100
2
×(
4
)
2
×
5< br>=
80
, ∴ P(?=0)=()=, P(?=1)=C
1
××()=, P(?=2)=C
3
99
243
3
99
729
9
243
4
3
64
P(?=3)=()= ∴ ?的分布列为
9
729
?
p
`0
125

729
1
100

243
2
80

243
3
64

729
44
数学期望E?=3×= ……………12分
93< br>2、设
b
和
c
分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，用随机变量
?
表示方程
x
2
?bx?c?0
实
根的个数（重根按一个 计）．
（Ⅰ）求方程
x
2
?bx?c?0
有实根的概率；
（Ⅱ）求
?
的分布列和数学期望；
2
（Ⅲ）求在先后两次出现的点 数中有5的条件下，方程
x?bx?c?0
有实根的概率．
.解:（I）基本事件总数为
6?6?36
，
2
若使方程有实根，则
??b?4c?0
，即
b?2c
。
当
c?1
时，
b?2,3,4,5,6
； 当
c?2
时，
b?3,4,5,6
；

当
c?3
时，
b?4,5,6
； 当
c?4
时，
b?4,5,6
；
当
c?5
时，
b?5,6
； 当
c?6
时，
b?5,6
,
目标事件个数为
5?4?3?3?2?2?19,

19
.

36
172117
(II)由题意知，
?
?0,1,2
，则
P(
?
?0)?
，
P(
?
?1)??,P(
?
?2)?
，
36361836
因此方程
x
2
?bx?c?0
有实根的概率为
故
?
的分布列为
?

P
0 1 2
17

36
1

18
17

36
?
的数学期望
E
?
?0?
17117
?1?? 2??1.

361836
(III)记“先后两次出现的点数中有5”为事 件M，“方程
ax
2
?bx?c?0
有实根” 为事件
N，则
P(M)?
P(MN)7
117
?
. ，
P(MN)?
，
P(NM)?
P(M)11
3636
3、如图是在竖直平面内的一个“通道游戏”．图中竖直线段和斜线段都表示通道，并且在交
点处相遇 ，若竖直线段有第一条的为第一层，有二条的为第二层，……，依次类推．现
有一颗小弹子从第一层的通 道里向下运动．记小弹子落入第
n
层第
m
个竖直通道（从
左至右）的 概率为
P(n,m)
．（已知在通道的分叉处，小弹子以相同的概率落入每个通
道）
（Ⅰ）求
P(2,1),P(3,2)
的值，并猜想
P(n,m)
的表达式．（不必证明）

?
4?m,1?m?3
（Ⅱ）设小弹子落入第6 层第
m
个竖直通道得到分数为
?
，其中
?
?
?，
m?3,4?m?6
?
试求
?
的分布列及数学期望．
入口
第1层
第2层
第3层
第4层

?
1
??
1
?
1
解：（1）
P(2,1)?C
1
0< br>????
?
，…………2分
?
2
??
2
?
2

01
1
1
?
1
??
1
?
…………4分
P(3,2)?C
2
?
????
?
2
??
2
?
2
m?1
C
n1

P(n,m)?
n
?
…………6分
?1
2
1< br>C
5
0
1
C
5
5
,P(6,2)?P(6, 5)?
5
?,
（2）
P(6,1)?P(6,6)?
5
?
232232
11




C
5
2
10
P(6,3)?P(6,4)?
5
?

232

?

P




3 2 1
2

32

10

32
20

32
…………9分
…………12分
E
?
?
23

16

4、2009年10 月1日，为庆祝中华人们共和国成立60周年，来自北京大学和清华大学的共
计6名大学生志愿服务者被 随机平均分配到天安门广场运送矿泉水、清扫卫生、维持
秩序这三个岗位服务，且运送矿泉水岗位至少有 一名北京大学志愿者的概率是
3
。
5
（1）求6名志愿者中来自北京大学、清华大学的各几人；
（2）求清扫卫生岗位恰好北京大学、清华大学人各一人的概率；
（3）设随机变量ζ为在维持秩序岗位服务的北京大学志愿者的人数，求ζ分布列及期望。
解：（1） 记“至少一名北京大学志愿者被分到运送矿泉水岗位”为事件A，则A的对立事件
为“没有北京大学志愿 者被分到运送矿泉水岗位”，设有北京大学志愿者x个，1≤x<6，
C
6
2?x
3
那么P（A）=
1?
2
?
，解得x=2，即来 自北京大学的志愿者有2人，来自清华
C
6
5
大学志愿者4人； -----------------------3分
（2）记清扫卫生岗位恰好北京大学、清华大学志愿者各有一人为事件E，
11
C
2
C
4
8
那么P（E）==，
2
C
6
15
所以清扫卫生岗位恰好北京大学、清华大学志愿者各一人的概率是< br>（3）ξ的所有可能值为0，1，2，

8
；-------6分
15

2112
C
4
C
2
C
4
C
2
8
21
P（ξ=0）=
2
=，P（ξ=1）=， P（ξ=2）==，-----8分
?
22
15
C
6
5< br>C
6
C
6
15
所以ξ的分布列为
------------------------11分
2812
E
?
?0??1??2??
’ --------------12分
515153
命题意图：本题考查了排列、组合、概率 、数学期望等知识，考查了含有“至多、至少、
恰好”等有关字眼问题中概率的求法以及同学们利用所学 知识综合解决问题的能力。
5、小白鼠被注射某种药物后，只会表现为以下三种症状中的一种：兴奋、 无变化（药
．．
物没有发生作用）、迟钝．若出现三种症状的概率依次为
、、,
现对三只小白鼠注射这种
药物．
（I）求这三只小白鼠表现症状互不相同的概率；
（II）用
?
表示三只小白鼠共表现症状的种数，求
?
的颁布列及数学期望 ．
．．
111
236
，,3)
解：（Ⅰ）用
A
i
(i?12
表示第一只小白鼠注射药物后表现症状为兴奋、无变化、及迟钝，
，2,3)
表示第二只小白鼠注射药物后表现症状为兴奋、无变化、及迟钝， 用
B< br>i
(i?1
，2,3)
表示第三只小白鼠注射药物后表现症状为兴奋、无变化、 及迟钝. 用
C
i
(i?1
三只小白鼠反应互不相同的概率为
3< br>P?A
3
P(A
1
B
2
C
3
) …………………3分
1111
?6????
………………………5分
2366
（Ⅱ）
?
可能的取值为
1，2，3
.
?
1
??
1
??
1
?
1
P(
??1)?P(A
1
B
1
C
1
?A
2
B
2
C
2
?A
3
B
3
C
3
)?
??
?
??
?
??
?
,
?
2
??
3
??
6
?
6
1
，………………… ……………………8分
6
112
P(
?
?2)?1?P(
?
?1)?P(
?
?3)?1???
．或
663
P(
?
?3)?
333

P (
?
?2)
?C
3
2
?P(A
1
B
1
C
2
?A
1
B
1
C
3
?A< br>2
B
2
C
1
?A
2
B
2
C
3
?A
3
B
3
C
1
?A
3
B
3
C
2
)
?
1
?
1
?
1
?
1
?C(
??
??
??
?
?
2
?
3
?
2
?
6
2
3
22.……………………10分
22
?
1
?
1
?
1
?
1
?
1
?
1
?
1
?
12
?
??
??
??
??
??
??
??< br>?)?
?
3
?
6
?
3
?
2
?
6
?
2
?
6
?
33
所以，
?< br>的分布列是
22
?

P


所以，
E
?
?1?
1 2 3
1

6
2

3
1

6
121
?2??3??2
．…………12分
632
6、 某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取
该流水线上的40件产品作为样本称出它们 的重量（单位：克），
?
495,500
?
，
?
510,5 15
?
.重量的分组区间为
?
490,495
?
，. . . ，
由此得到样本的频率分布直方图，如图所示
（Ⅰ）根据频率分布直方图，求重量超过505克的产品数量；
（Ⅱ）在上述抽取的40件产品中任取2件，设
?
为重量超过505
克的产品数量，求
?
的分布列；
（Ⅲ）从流水线上任取5件产品，估计其中恰有2件产品的
重量超过505克的概率.
解：（Ⅰ）重量超过505克的产品数量是
40?(0.05?5?0.01?5)?12
件 -------2分
（Ⅱ）
?
的所有可能取值为0,1,2 （只有当下述没做或都做错时，此步写对给1分）
< br>2112
C
28
63C
12
C
28
56C< br>12
11
,
P(
?
?1)?
,,
P(< br>?
?0)?
2
??P(
?
?2)??
22
C
40
130C
40
130C
40
130
（以上（Ⅱ）中的过程可省略，此过程都对但没列下表的扣1分）
?
的分布列为

?

0 1 2

635611

P

130130130

------9分（每个2分，表1分）
（Ⅲ）由（Ⅰ）的统计数据知，抽取的40件产品中有12件产品的重量超过505克，
其频率 为
0.3
，可见从流水线上任取一件产品，其重量超过505克的概率为
0.3
，
令
?
为任取的5件产品中重量超过505克的产品数，则
?
~B (5,0.3)
，------11
分
223
故所求的概率为
p(
?
?2)?C
5
(0.3)(0.7)?0.3087
------13分

7、张先生家住H小 区，他工作在C科技园区，从家开车到公司上班路上有L
1
，L
2
两
条路线（如图），L
1
路线上有A
1
，A
2
，A
3
三个路口，各路口遇到红灯的概率均为
线上有B
1
，B
2
两 个路口，各路口遇到红灯的概率依次为
（Ⅰ）若走L
1
路线，求最多遇到1次红灯的概 率；
．．
（Ⅱ）若走L
2
路线，求遇到红灯次数
X
的数学期望；
（Ⅲ）按照“平均遇到红灯次数最少”的要求，请你帮助张先生从
上述两条路线中选择一条最好 的上班路线，并说明理由．
解：（Ⅰ）设走L
1
路线最多遇到1次红灯为A事件，则
1
；L
2
路
2
A
2

L
1

L
2

B
2

A
3

C
33
，．
45
H
A
1

B
1

1111
01
P( A)=C
3
?()
3
?C
3
??()
2
?
． 4分
2222
1
所以走L
1
路线，最多遇到1次红灯的概率为．
2
（Ⅱ）依题意，
X
的可能取值为0，1，2
331
P(X=0)=(1?)?(1?)?
，
4510
33339
，
P(X=1)=?(1?)?(1?)??
454520
339
．

8分
P(X=2)=??
4520
随机变量
X
的分布列为：
0 1 2
X

199

P
102020
19927
． 11分
EX??0??1??2?
10202020
1
（Ⅲ）设选择L1
路线遇到红灯次数为
Y
，随机变量
Y
服从二项分布，
YB(3,)
，
2
13
所以
EY?3??
． 12分
22
因为
EX?EY
，所以选择L
2
路线上班最好 14分
8、某商场一号电梯从1层出发后可以在2、3、4层停靠.已知该电梯在1层载有4位乘客，假设每位乘客在2、3、4层下电梯是等可能的.
(Ⅰ) 求这4位乘客中至少有一名乘客在第2层下电梯的概率；
(Ⅱ) 用
X
表示4名乘客在第4层下电梯的人数，求
X
的分布列和数学期望.
解：(Ⅰ) 设4位乘客中至少有一名乘客在第2层下电梯的事件为
A
, 1分
1
由题意可得每位乘客在第2层下电梯的概率都是， 3分
3
?
2
?
65
则
P(A)?1?P(A)? 1?
??
?
6分
?
3
?
81
.
(Ⅱ)

X
的可能取值为0,1,2,3,4, 7分
4

由题意可得每个人在第4层下电梯的概率均为
1< br>，且每个人下电梯互不影响，
3
所以，
X
1
B(4,)
. 9分

3
0 1 2 3 4
X

P

16

81
32

81
24

81
8

81
1

81
11分
14
E(X)?4??
. 13分
33
9、甲班有2名男乒乓球选手和3名女乒乓球选手，乙班有3名男乒乓球选手和1 名女
乒乓球选手，学校计划从甲乙两班各选2名选手参加体育交流活动.
（Ⅰ）求选出的4名选手均为男选手的概率.
（Ⅱ）记
X
为选出的4名选手 中女选手的人数，求
X
的分布列和期望.
解：（Ⅰ）事件
A
表示“选出的4名选手均为男选手”.由题意知
C
3
2
P(A)?
22
3分
C
5
C
4
?
111
. 5分
??
10220
（Ⅱ）
X
的可能取值为
0,1,2, 3
. 6分
C
3
2
31
P(X?0)?
22
??
， 7分
C
5
C
4
10?620
1121
C
2
C
3
C
3
?C
3
2?3?3?37
， 9分
P(X?1)???
22
C
5
C
4
10?6 20
1
C
3
2
C
3
3?33
， 10分
P(X?3)?
22
??
C
5
C
4
10?620
P(X?2)?1?P(X?0)?P(X?1)?P(X?3)
?
9
. 11分
20
X
的分布列：
X

P

0

1

20
1

7

20
2

9

20
3

3

20
12分

E(X)?0?
179317
. 13分
?1??2??3??
2020202010
10、某校选拔若干名学生组建数学奥林 匹克集训队，要求选拔过程分前后两次进行，当
第一次选拔合格后方可进入第二次选拔，两次选拔过程相 互独立。根据甲、乙、丙三人现
有的水平，第一次选拔，甲、乙、丙三人合格的概率依次为
0. 5
，
0.6
，
0.4
。第二次选拔，
甲、乙、丙三人合格的 概率依次为
0.6
，
0.5
，
0.5
。（1）求第一次选拔 后甲、乙两人中只有
甲合格的概率；
（2）分别求出甲、乙、丙三人经过前后两次选拔后合格的概率；
（3）设甲、乙、丙经过前后两次选拔后恰有两人合格的的概率；
解：（1）分别设甲、乙经 第一次选拔后合格为事件
A
1
、
B
1
；设
E
表示第一次选拔后甲合格、
乙不合格，则
P(E)?P(A
1
?B
1
)
?0.5?0.4?0.2

4分
（2）分别设 甲、乙、丙三人经过前后两次选拔后合格入选为事件
A
、
B
、
C，则
P(A)?0.5?0.6?0.3
，
P(B)?0.6?0.5?0.3
，
P(C)?0.4?0.5?0.2
。
（3）经过前后两次选拔后合格入选的 人数为
?
，则
?
?0
、1、2、3。则
P(
?< br>?0)?0.7?0.7?0.8?0.392
，
P(
?
?1)
?0.3?0.7?0.8?0.7?0.3?0.8?0.7?0.7?0.2?0.434
，
P(
?
?3)?0.3?0.3?0.2?0.018

P(
?
?2)
?1?(0.392?0.434?0.018)
?0.156
（ 或者
P(
?
?2)
?0.3?0.3?0.8?0.7?0.3?0.2
。
?0.3?0.7?0.2?0.156
）
?
?
的概率分布列为

?

0 1 2

8分
3
P

0.392

0.434

0.156

0.018

4

?E
?
?0?0.392?1? 0.434?2?0.156?3?0.018?0.8?
。
5
12分< br>11、某工厂有
120
名工人，其年龄都在
20
～
60
岁之间，
各年龄段人数按
[20
，
30)
，
[30,40 )
，
[40
，
50)
，
[50
，
60]< br>分组，其频率分布直方图如下图所示
.
工厂为了开发新产
品，引进了新的生产设 备，要求每个工人都要参加
A
、
B
两项培训，培训结束后进行结业考试，已知 各年龄段
两项培训结业考试成绩优秀的人数如下表所示
.
假设两
项培训是相互 独立的，结业考试也互不影响。

年龄分组

[20
，
30)
[30
，
40)
[40
，
50)
[50,60]
A
项培训成绩优秀人数

30
36
12
4
B
项培训成绩优秀人数

18
24
9
3 < br>(1)
若用分层抽样法从全厂工人中抽取一个容量为
40
的样本，求各年龄段应 分别抽取的人
数，并估计全厂工人的平均年龄；

(2)
随机从年龄段
[20
，
30)
和
[30,40)
中各抽取
1
人 ，设这两人中
A
、
B
两项培训结业考试成
绩都优秀的人数为
X
，求
X
的分布列和数学期望。


解：（
1）由频率分布直方图知，年龄段
?
20,30
?
，
?
, 30,40
?
，
?
,40,50
?
，
?
, 50,60
?
的人数的频率
0.40；,0.15,；0.1；

分 别为
0.35,；
0.4?40?16；0.15?40?6；0.1?40?4
< br>因为
0.35?40?14；
所以年龄段
?
20,30
?，
?
,30,40
?
，
?
,40,50
?，
?
,50,60
?

应取的人数分别为
14
；
16
；
6
；
4
；……………………………………………… 3分

0.40；,0.15,；0.1；

因为各年龄组的中点值分别为< br>25
；
35
；
45
；
55
；对应的频率分别 为
0.35,；
则
X?25?0.35?35?0.4?45?0.15?55?0. 1?35

由此估计全厂工人的平均年龄为
35
岁
.
………………………………………6分

（
2
）因为年龄段
?
20,30
?
的工人数为
120?0.35?42
人，从该年龄段任取1
人，

由表知，此人
A
项培训结业考试成绩优秀的概率
B
项培训结业考试成绩优秀的概率
305
?
；

427
183
?

427
15
。………………………8分

49
所以
A,B
两项培训结业考试成绩都优秀的概率为
因为年龄段
?
30,40
?
的工人数为
120?0.4?48
人，从该年龄段任取
1
人，由 表知，此
人
A
项培训结业考试成绩优秀的概率
363
?
；< br>B
项培训结业考试成绩优秀的概率
484
2413
?
。

所以
A,B
两项培训结业考试成绩都优秀的概率为。………………10分

4828
由题设
X
的可能取值为
0,1,2
；

P(X?0)?(1?
15317

)(1?)? ;P(X?1)?????
498392498498392
267
31545
,
E(X)?
P(X?2)???
。……………………………………
12
分

392
849392
12、 某研究机构对高三学生的记忆力x和判断力y进行统计分析，得下表数据
x 6 8 10 12
y 2 3 5 6
（1）请画出上表数据的散点图；
?
?a
?
?bx
?
；
（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程
y

（3）试根据（II）求出的线性回归方程，预测记忆力为9的同学的判断力。
?
?
（相关公式：
b
?
xy?nx?y
ii
i?1
2
x
?
i
?nx
i?1
n
2
n
?
.< br>）
?
?y?bx
,
a




解：（Ⅰ）如右图：






┄┄┄┄┄┄┄┄3分
(Ⅱ)解：
i?1
?
x
i
y
i
=6
?
2+8
?
3+10
?
5+12
?
6=158，
n

x
=
n
6?8?10?122?3?5?6
? 9
，
y
=
?4
，
44
2

?< br>x
i
i?1
?6
2
?8
2
?10
2
?12
2
?344
，
?
?4?0.7?9??2.3
，
?
?
158?4?9? 4
?
14
?0.7
，
a
?
?y?bx
b< br>2
344?4?920
故线性回归方程为
y?0.7x?2.3
． ┄┄┄┄┄┄┄┄10分
(Ⅲ)解：由回归直线方程预测，记忆力为9的同学的判断力约为4. ┄┄┄┄12分

13、某高校从参加今年自主招生考 试的学生中随机抽取容量为50的学生成绩样本，得
频率分布表如下：
组号
第一组
第二组
第三组
第四组
第五组
分组 频数
8
①
15
10
5
50
频率
0.16
0.24
②
0.20
0.10
1.00
?
230,235
?

?
235,240
?

?
240,245
?

?
245,250
?

[250,255]

合 计
(1)写出表中①②位置的数据；
(2)为了选拔出更优秀的学生，高校决定在第三、四 、五组中用分层抽样法抽取6名学
生进行第二轮考核，分别求第三、四、五各组参加考核人数；
(3)在(2)的前提下，高校决定在这6名学生中录取2名学生，求2人中至少有1名是第
四组的概 率．
解：(1) ①②位置的数据分别为12、0.3； ………………………………………4分
(2) 第三、四、五组参加考核人数分别为3、2、1； ……………………………8分
(3) 设上述6人为abcdef(其中第四组的两人分别为d，e) ，则从6人中任取2人的所有
情形为：{ab，ac，ad，ae，af，bc，bd，be，bf，c d，ce，cf，de，df，ef}
共有15种．………………………………………………10分
记“2人中至少有一名是第四组”为事件A，则事件A所含的基本事件的种数有9种
所以P(A)?
93
3
?
，故2人中至少有一名是第四组的概率为． ……14分
155
5
14、某市举行一次数学新课程培训，共邀请15名研究不同版 本教材的骨干教师，数据如下
表所示：
版本
性别
人数
人教A版
男教师
6
女教师
3
人教B版
男教师
4
女教师
2
(Ⅰ)从这15名教师中随机选出2名， 则2人恰好是研究不同版本教材的男教师的概率
是多少？
(Ⅱ)培训活动随机选出2名代表发 言，设发言代表中研究人教B版教材的女教师人数为
?
，求随机变量
?
的分布 列和数学期望
E
?
.
2
解：(Ⅰ)从15名教师中随机选出2名共
C
15
种选法， ……(2分)

所以这2人恰好是研究不同版本教材的男教师的概率是
………………(4分)
11
C
6
C
4
8
?
。
2
C
15
35
(Ⅱ)由题意得
?
?0,1,2

………(6分)
21120
C
13
C
2
C
13
26
C
2
C
13
261
；
P(
?
?1)?
；………(9
P(
?
?0)???
P(
?
?2)??
C
22
2
15
35C
15< br>105
C
15
分)
故
?
的分布列为
?

0 1 2
p

26261
35

105

105


所以，数学期望
E
?
?0?
2626
35
?1?< br>105
?2?
14
105
?
15



105
………(10分)
………(12分)