高中数学概率统计知识万能公式

高中数学概率统计知识万能公式
第六部分 概率与统计万能知识点及经典题型Ⅰ
【考题分析】
1、考试题型:选择填空1个,解答题:18(必考)
2、考题分值:17分;
3、解答题考点:①频率直方图的应用,②线性回归直线的应用,③独立性检验与概率
4、难度系数:0、7-0、8左右,(120分必须全对,100以上者全对)
【知识总结】
一、普通的众数、平均数、中位数及方差
1、 众数:一组数据中,出现次数最多的数。
2、平均数:①、常规平均数:
x?
x?
?x
2
?
2
?????x
n
?
n< br>x
1
?x
2
?????x
n
②、加权平均数:
x?
11

?
1
?
?
2
?????
?
n
n
3、中位数:从大到小或者从小到大排列,最中间 或最中间两个数的平均数。
4、方差:
s
2
?
1
[(x< br>1
?x)
2
?(x
2
?x)
2
?????( x
n
?x)
2
]

n
二、频率直方分布图下的频率
1、频率 =小长方形面积:
f?S?y
距
?d
;频率=频数总数
2、频率之与:
f
1
?f
2
?????f
n
?1
;同时
S
1
?S
2
?????S
n
?1
;
三、频率直方分布图下的众数、平均数、中位数及方差
1、众数:最高小矩形底边的中点。
x?x
1
S
1
?x
2
S
2
?x< br>3
S
3
?????x
n
S
n
2、平均数:< br>x?x
1
f
1
?x
2
f
2
?x3
f
3
?????x
n
f
n

3、中位数:

从左到右或者从右到左累加,面积等于0、5时
x
的值。
4、方差:
s
2
?(x
1
?x)
2
f
1
?(x2
?x)
2
f
2
?????(x
n
?x)2
f
n

?
?a
?
?bx
?

四、线性回归直线方程:
y
?
?
其中:
b
?
(x
i
?x)(y
i
?y)
i?1
n
?
(x
i
?x)
i?1
n
2
?
?
x
i
y
i
?nxy
i?1
n
22
?
x
i
?nx
i?1
n
?

?
?y?bx
,
a
1、线性回归直线方程必过样本中心
(x,y)
;
?
?0:
正相关;
b
?
?0:
负相关。 2、
b
?
中,两个公式中分子、分母对应也相等;中间可以推导得到。
?< br>?a
?
?bx
?
的斜率
b
3、线性回归直线方程:< br>y
五、回归分析
?
i
?y
i
?y
?
i
(残差=真实值—预报值)。 1、残差:
e
?
i
越小越好; 分析:
e
?
i
)
2
, 2、残差平方与:
?
(
y
i
?y
i?1
n
?
i
)
2
?
(
y
1
?y
?
1
)
2
?
(
y
2
?y
?
2
)
2
???? ?
(
y
n
?y
?
n
)
2
分析:①意义:越小越好; ②计算:
?
(
y
i
?y
i ?1
n
3、拟合度(相关指数):
R
2
?1?
?
i
)
?
(
y
i
?y
i?1
n
n2
?
(y
i
?y)
i?1
,
2
分析 :①、
R
2
?
?
0,1
?
的常数; ②、越大拟合度越高;
4、相关系数:
r?
?
(x
i
?x )(y
i
?y)
i?1
n
?
(x
i
?x)
?
(y
i
?y)
2
i?1i?1
nn
?< br>2
?
x
i
y
i
?nx?y
i?1
n
?
(x
i
?x)
?
(y
i
?y)
2
i?1i?1
nn

2
分析:①、
r?[?1,1]
的常数; ②、
r?0:
正相关;
r?0:
负相关
③、
r?[0,0.25]
;相关性很弱;
r?(0.25,0.75)
;相关性一般;
r?[0.75,1]
;相关性很强;

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六、独立性检验
1、2×2列联表:
2、独立性检验公式
①.
k
2
?

2
x
1

x
2

b

合计
n(ad?bc)

(a?b)(c?d)(a?c)(b?d)
y
1

y
2

合计
a

a?b

c

a?c

d

b?d

c?d

n

②.犯错误上界P对照表
3、独立性检验步骤
n(ad?bc)
2
①.计算观察值
k
:
k?
;
(a?b)(c?d)(a?c)(b?d)
②.查找临界值
k
0
: 由犯错误概率P,根据上表查找临界值
k
0
;
③.下结论:
k?k
0
:即犯错误概率不超过P的前提下认为: ,有1-P以上的把握认为:

k?k
0
:即犯错误概率超过P的前提认为: ,没有1-P以上的把握认为: ;
【经典例题】
题型1 与茎叶图的应用
例1(2014全国)某市为考核甲 、乙两部门的工作情况,学科网随机访问了50位市民。根据这50位市民
(1)分别估计该市的市民对甲、乙部
门评分的中位数;
(2)分别估计该市的市民对甲、乙部
门的评分做于90的概率;
(3)根据茎叶图分析该市的市民对
甲、乙学科网两部门的评价。
题型2 频率直方分布图的应用
例2(2015广东)某城市100户居民
的月平均用电量(单位:度 ),以
[
160,180
)
,
[
180,200
)
,
[
200,220
)
,
[
220,240
)
,
[
240,260
)
,
[
260,280< br>)
,
[
280,300
]
分组的频率分布直方图如图2,
(1)求直方图中
x
的值;
(2)求月平均用电量的众数与中位数; (3)在月平均用电量为
[
220,240
)
,
[
24 0,260
)
,
[
260,280
)
,
[
280,300
]
的四组用户中,用分
层抽样的方法抽取11户居民,则月平均用电量 在
[
220,240
)
的用户
中应抽取多少户？
练习2 (2014全国1)从某企业生产的某种产品中抽取100件,测
量这些产品的一项质量指标值,由测量 表得如下频数分布表:
质量指标值分组
频数
[75,85)
6
[85,95)
26
[95,105)
38
[105,115)
22
[115,125)
8

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(1)在答题卡上作出这些数据的频率分布直方图:
(2)估计这种产品质量指标值的平均数 及方差
(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);
(3)根据以上抽样调查数据,能否 认为该企业生
产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产
品至少要占全部产品的80%”的 规定？
题型3 计算线性回归方程
例3(2015重庆)随着我国经济的发展,居 民的储
蓄存款逐年增长、设某地区城乡居民人民币储
蓄存款(年底余额)如下表:
年份
时间代号
t

储蓄存款
y
(千亿元)
2010
1
5
2011
2
6
2012
3
7
2013
4
8
2014
5
10
?
?a
?
?bt
?

(1)求y
关于
t
的回归方程
y
(2)用所求回归方程预测该地区201 5年(
t
=6)的人民币储蓄存款、
练习3(2014全国2)某地区2007年至 2013年农村居民家庭纯收入y(单位:千元)的数据如下表:
年份 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013
年份代号
t
1 2 3 4 5 6 7
人均纯收入
y
2、9 3、3 3、6 4、4 4、8 5、2 5、9
(1)求
y
关于
t
的线性回归方程;
(2)利用 (1)中的回归方程,分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况,并预测该地区< br>2015年农村居民家庭人均纯收入、
题型4 线性回归分析
例4(2016全 国3)下图就是我国2008年至2014年生活垃圾无
害化处理量(单位:亿吨)的折线图、
注:年份代码1–7分别对应年份2008–2014、
(1)、由折线图瞧出,可用线性回 归模型拟合
y
与
t
的关系,请
用相关系数加以说明;
?< br>?a
?
?bt
?
(系数精确到0、01),
(2)、求出y
关于
t
的回归方程
y
预测2016年我国生活垃圾无害化处理 量、
参考数据:
?
y
i?1
7
i
?9.32,
?
t
i
y
i
?40.17
,
i?1
7
?
(y?y)
i
i?1
7
2
?0.55
,≈2、646、
参考公式:
r?
?
(t?t)(y?y)
ii
i?1
n
?
(t
i
?t)
i?1
n
2
?
(y
i
?y)
i?1
n
)
) )
)
，
回归方程
y?a?bt
中:
b?
2
?
(t?t)(y?y)
ii
i?1
n
?
(t?t)
i
i?1
n
))
)
a=y?bt.

，
2
题型5 独立性检验综合应用
例5、为了解某班学生喜爱打篮球就是 否与性别有关,对本班60人进行了问卷调查得到了如下的2×2列联表:
(1)用分层抽样的方法在喜爱打篮球的学生中抽6人,其中男生抽多少
人？
(2)在上述抽取的人中选2人,求恰有一名女生的概率;
(3)您就是否有95%的把握认为喜爱打篮球与性别有关？说明您的理由
。

练习5、 为调查某市学生百米运动成绩,从该市学生中按照男女比例

高中数学概率统计知识万能公式
随机抽取50名学生进行百米测试,学生成绩全部都介于13秒到18秒之
间,将测试结果按 如下方式分成五组,第一组
?
13,14
?
,
第二组
?14,15
?
,
?
第
五组
?
17,18?
,如图就是按上述分组方法得到的频率分布直方图、
(1)求这次测试成绩的平均数、众数与中位数、
(2)设
m,n
表示从第 一组与第五组的所有学生中任意抽取的两名学生的百米测试成绩,即
m,n?
?
13, 14
?
?
?
17,18
?
,
求事件“
m? n?2
”的概率;
(3)根据有关规定,成绩小于16秒为达标、如果男女生使用相同的达标标准,则男女生达标情况如下表:
完成上表,并根据上表数据,能否有99﹪的把握认为“体育达标与性
男 女 总计
别有关”？
达标 24
不达标 12
总计 50