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(完整版)(最全)高中数学概率统计知识点总结

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-19 20:18
tags:高中数学概率公式

高中数学人教版出版时间-高中数学选修4-4和4-5

2020年9月19日发(作者:龚鼎臣)


概率与统计
一、普通的众数、平均数、中位数及方差
1、 众数:一组数据中,出现次数最多的数。
2、平均数:①、常规平均数:
x?
x?
?x
2
?
2
?????x
n
?
n< br>x
1
?x
2
?????x
n
②、加权平均数:
x?
11

?
1
?
?
2
?????
?
n
n
3、中位数:从大到小或者从小到大排列,最中间 或最中间两个数的平均数。
4、方差:
s
2
?
1
[(x< br>1
?x)
2
?(x
2
?x)
2
?????( x
n
?x)
2
]

n
二、频率直方分布图下的频率
1、频率 =小长方形面积:
f?S?y

?d
;频率=频数总数
2、频率之和:
f
1
?f
2
?????f
n
?1
;同时
S
1
?S
2
?????S
n
?1

三、频率直方分布图下的众数、平均数、中位数及方差
1、众数:最高小矩形底边的中点。
x?x
1
S
1
?x
2
S
2
?x< br>3
S
3
?????x
n
S
n
2、平均数:< br>x?x
1
f
1
?x
2
f
2
?x3
f
3
?????x
n
f
n

3、中位数:

从左到右或者从右到左累加,面积等于0.5时
x
的值。
4、方差:
s
2
?(x
1
?x)
2
f
1
?(x2
?x)
2
f
2
?????(x
n
?x)2
f
n

?
?a
?
?bx
?

四、线性回归直线方程:
y
?
?
其中:
b
?
(x
i
?x)(y
i
?y)
i?1
n
?
(x
i
?x)
i?1
n
2
?
?
x
i
y
i
?nxy
i?1
n
22
?
x
i
?nx
i?1
n
?

?
?y?bx
,
a
1、线性回归直线方程必过样本中心
(x,y)

?
?0:
正相关;
b
?
?0:
负相关。 2、
b
?
中,两个公式中分子、分母对应也相等;中间可以推导得到。
?< br>?a
?
?bx
?
的斜率
b
3、线性回归直线方程:< br>y
五、回归分析
?
i
?y
i
?y
?
i
(残差=真实值—预报值)。分析:
e
?
i
越小越好; 1、残差:
e
?
i
)
2
, 2、残差平方和:
?< br>(
y
i
?y
i?1
n
?
i
)
2
?
(
y
1
?y
?
1
)
2?
(
y
2
?y
?
2
)
2
?? ???
(
y
n
?y
?
n
)
2
分析:①意义:越小越好; ②计算:
?
(
y
i
?y
i ?1
n
3、拟合度(相关指数):
R
2
?1?
n
?
i
)
2
?
(
y
i
?y
i?1n
n
?
(y
i
?y)
i?1
2
,分析 :①.
R
2
?
?
0,1
?
的常数; ②.越大拟合度越高;
4、相关系数:
r?
?
(x
i
?x )(y
i
?y)
i?1
?
(x
i
?x)
?
(y
i
?y)
2
i?1i?1
nn
?
2< br>?
x
i
y
i
?nx?y
i?1
n
?
(x
i
?x)
?
(y
i
?y)
2
i?1i?1
nn

2
分析:①.
r?[?1,1]
的常数; ②.
r?0:
正相关;
r?0:
负相关
③.
r?[0,0.25]
;相关性很弱;
r?(0.25,0.75)
;相关性一般;
r?[0.75,1]
;相关性很强;
六、独立性检验
1、2×2列联表:
2、独立性检验公式
①.
k
2
?

2
x
1

x
2

b

d

b?d

合计
n(ad?bc)

(a?b)(c?d)(a?c)(b?d)
y
1

y
2

合计
a

c

a?c

a?b

c?d

n


②.犯错误上界P对照表

3、独立性检验步骤


n(ad? bc)
2
①.计算观察值
k

k?

(a?b) (c?d)(a?c)(b?d)
②.查找临界值
k
0
:由犯错误概率P,根 据上表查找临界值
k
0

③.下结论:
k?k
0
:即犯错误概率不超过P的前提下认为: ,有1-P以上的把握认为:

k?k
0
:即犯错误概率超过P的前提认为: ,没有1-P以上的把握认为: ;
【经典例题】
题型1 与茎叶图的应用
例1(2014全国)某市为考核甲 、乙两部门的工作情况,学科网随机访问了50位市民。根据这50位市民
(1)分别估计该市的市民对甲、乙
部门评分的中位数;
(2)分别估计该市的市民对甲、乙
部门的评分做于90的概率;
(3)根据茎叶图分析该市的市民对
甲、乙学科网两部门的评价。








题型2 频率直方分布图的应用
例2(2015广东)某城市100户居民的月平均用电量(单位:度),以
[
160 ,180
)

[
180,200
)

[
2 00,220
)

[
220,240
)

[
240,260
)

[
260,280
)

[< br>280,300
]
分组的频率分布直方图如图2,
(1)求直方图中
x
的值;
(2)求月平均用电量的众数和中位数; (3)在月平均用电量为
[
220,240
)

[
24 0,260
)

[
260,280
)

[
280,300
]
的四组用户中,用分层抽样的方法抽取11户居民,则
月平均用电量 在
[
220,240
)
的用户中应抽取多少户?





练习2 (2014全国1)从某企业生产的某种产品中抽取100件 ,测量这些产品的一项质量指标值,由测量表得
如下频数分布表:
质量指标值分组 [75,85) [85,95) [95,105) [105,115) [115,125)
频数 6 26 38 22 8


(1)在答题卡上作出这些数据的频率分布直方图:
(2)估计这种产品质量 指标值的平均数及方差
(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);
(3)根据以上抽样 调查数据,能否认为该企业生
产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产
品至少要占全部产 品的80%”的规定?







题型3 计算线性回归方程
例3(2015重庆)随着我国经济的发展,居民
的储蓄存款逐年增长.设某地区城乡居民人民币储蓄存款(年底余额)如下表:
年份 2010 2011 2012 2013
时间代号
t
1 2 3 4
储蓄存款
y
(千亿元) 5 6 7 8
2014
5
10
?
?a
?
?bt
?

(1)求y
关于
t
的回归方程
y
(2)用所求回归方程预测该地区201 5年(
t
=6)的人民币储蓄存款.






练习3(2014全国2)某地区2007年至2013年农村居民家庭纯收入y(单位:千 元)的数据如下表:
年份 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013
年份代号
t
1 2 3 4 5 6 7
人均纯收入
y
2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9
(1)求
y
关于
t
的线性回归方程;
(2)利用(1)中 的回归方程,分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况,并预测该
地区2 015年农村居民家庭人均纯收入.







题型4 线性回归分析
例4(2016全国3)下图是我国2008年至20 14年生活垃圾
无害化处理量(单位:亿吨)的折线图.
注:年份代码1–7分别对应年份2008–2014.
(1).由折线图看出,可用线性回 归模型拟合
y

t
的关系,请
用相关系数加以说明;
?< br>?a
?
?bt
?
(系数精确到0.01),
(2).求出y
关于
t
的回归方程
y
预测2016年我国生活垃圾无害化处理 量.
参考数据:
?
y
i?1
7
i
?9.32
?
t
i
y
i
?40.17

i?1
7
?
(y?y)
i
i?1
7
2
?0.55
,≈2.646.


参考公式:
r?
?
(t?t)( y?y)
ii
i?1
n
?
(t
i
?t)
2
?
(y
i
?y)
2
i?1i?1
nn
)< br>))
)
回归方程
y?a?bt
中:
b?

?
(t?t)(y?y)
ii
i?1
n
?
(t?t)
i
i?1
n
))
)
a=y?bt.


2








题型5 独立性检验综合应用
例5.为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关,对本班6 0人进行了问卷调查得到了如下的2×2列联表:
(1)用分层抽样的方法在喜爱打篮球的学生中抽6人,其中男生抽多少人?
(2)在上述抽取的人中选2人,求恰有一名女生的概率;
(3)你是否有95%的把握认为喜爱打篮球与性别有关?说明你的理由。










练习5. 为调查某市学生百米运动成绩,从该市学生中按照男女比例
随机抽取50名学生进行百米测试,学生成绩全部都介于13秒到18秒之
间,将测试结果按 如下方式分成五组,第一组
?
13,14
?
,
第二组
?14,15
?
,
?

五组
?
17,18?
,如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图.
(1)求这次测试成绩的平均数、众数和中位数、
(2)设
m,n
表示从第 一组和第五组的所有学生中任意抽取的两名学生的百
米测试成绩,即
m,n?
?
13,14
?
?
?
17,18
?
,求事件“
m? n?2
”的概率;
(3)根据有关规定,成绩小于16秒为达标.如果男女生使用相同的达 标标
准,则男女生达标情况如下表:

完成上表,并根据上表数据,能否有99﹪的把握认为“体育达标与性
达标
别有关”?
不达标

总计






24




12

总计


50

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