高考数学概率统计知识点总结(文理通用)

概率与统计知识点及专练

（一）统计基础知识：

1. 随机抽样：
（1）．简单随机抽样：设一个总体的个数为N，如果通过逐个抽取的方法从中抽取一个样 本，且每次抽取时各个个体
被抽到的概率相等，就称这样的抽样为简单随机抽样.常用抽签法和随机数表 法.
（2）．系统抽样：当总体中的个数较多时，可将总体分成均衡的几个部分，然后按照预先定出的 规则，从每一部分抽
取1个个体，得到所需要的样本，这种抽样叫做系统抽样（也称为机械抽样）. < br>（3）．分层抽样：当已知总体由差异明显的几部分组成时，常将总体分成几部分，然后按照各部分所占的 比进行抽样，
这种抽样叫做分层抽样.

2. 普通的众数、平均数、中位数及方差：
（1）.众数：一组数据中，出现次数最多的数
x?
（2）.平均数：常规平均数：
x
1
?x
2
?????x
n
n

（3）.中位数：从大到小或者从小到大排列，最中间或最中间两个数的平均数
1
s
2
?[(x
1
?x)
2
?(x
2
?x)< br>2
?????(x
n
?x)
2
]
n
（4）. 方差：
（5）.标准差：s
3 .频率直方分布图中的频率：
（1）.频率 =小长方形面积：
f?S?y
距
?d
；频率=频数总数； 频数=总数*频率
（2）.频率之和等于1：
f
1
?f
2
?????f
n
?1
；即面积之和为1：
S
1
?S
2
?????S
n
?1

4. 频率直方分布图下的众数、平均数、中位数及方差：
（1）.众数：最高小矩形底边的中点
（2）.平均数：
x?x
1
f
1
?x
2
f
2
?x
3
f
3< br>?????x
n
f
n

x?x
1
S
1
?x
2
S
2
?x
3
S
3< br>?????x
n
S
n

（3）.中位数：从左到右或者从右到左累加，面积等于0.5时
x
的值
2222
s?(x?x)f?(x?x)f?????(x?x)f
n

1122n
（4）.方差：
（5）.标准差：s

5. 线性回归直线方程：
?
?b
?
(x
i
?x )(y
i
?y)
i?1
n
?
?a
?
?bx
?
其中：（1）.公式：
y
?
(x
i
?x)
i?1
n
2
?
?
x
i
y
i
?nxy
i?1
n
22
?
x
i
?nxi?1
n
（展开）

?
?
?y?bxa

（2）.线性回归直线方程必过样本中心
(x,y)

（3）.
b?0:
正相关；
b?0:
负相关
（4）.线性 回归直线方程：
y?bx?a
的斜率
b
中，两个公式中分子、分母对应也相等 ；中间可以推导得到
6. 回归分析：
??
?
?
?
?< br>（1）.残差：
?
i
?y
i
?y
?
i
e
（残差=真实值—预报值）
分析：
?
i
e
越小越好
（2）.残差平方和：
i?1
?
i
)
?
(
y
i
?y
n
2

分析：①意义：越小越好； ②计算：
i?1
n
?
i
)
2
?
(
y
1
?y
?
1
)
2
?
(
y
2?y
?
2
)
2
?????
(
y
n?y
?
n
)
2
?
(
y
i
?y
n

R
2
?1?
（3）.拟合度（相关指数）：
?
i
)
?
(
y
i
?y
i?1
n2
?
(y
i
?y)
i?1
2

分析：①.
R
2
?
?
0,1
?
的常数； ②.越大拟合度越高
r?
（4）.相关系数：
?
(x
i
? x)(y
i
?y)
i?1
22
?
(x
i
? x)
?
(y
i
?y)
i?1i?1
nn
n
?
?
x
i
y
i
?nx?y
i?1
22?
(x
i
?x)
?
(y
i
?y)
i? 1i?1
nn
n

分析：①.
r?[?1,1]
的常数； ②.
r?0:
正相关；
r?0:
负相关
③.


r?[0,0.25]
；相关性很弱；
r?(0.25,0.75)
；相关性一般；
r?[0.75,1]
；相关性很强

7. 独立性检验：
（1）.2×2列联表（卡方图）：
（2）.独立性检验公式
2×2
x
1

x
2

b

d

合计
y
1

y
2

合计
a

c

a?c

a?b

c?d

n(ad?bc)
2
k?
(a?b)(c?d)( a?c)(b?d)
①．
2

②．上界P对照表：
b?d

n


（3）.独立性检验步骤：
n( ad?bc)
2
k?
(a?b)(c?d)(a?c)(b?d)
①．计算 观察值
k
：
②．查找临界值
k
0
：由犯错误概率P，根据上 表查找临界值
k
0

③．下结论：
k?k
0
即认为 有P的没把握、有1-P以上的有把握认为两个量相关；












k?k
0
：即认为没有1-P以上的把握认为两个量是相关关系。

（二）概率基础知识：

m
1.等可能性事件(古典概型)的概率：P(A)＝
n
;
计算步骤：
（1）.计算一次试验的基本事件总数
n
;
（2）.设所求事件A，并计算事件A包含的基本事件的个数
m
;
P(A)?
m
n
求值; （3）.依公式
2. 互斥事件的概率：P(A＋B)＝P(A)＋P(B);
3. 对立事件的概率：P(A)＋P(
A
)＝P(A＋
A
)＝1.
4. 相互独立事件同时发生的概率：P(A·B)＝P(A)·P(B);
5. 独立重复试验的概率：P
n
(k)＝
C
n
k
p
k
(1?p)
n?k
.
6. 离散型随机变量的分布列：
（1）定义与性质：一般地设离散型 随机变量
?
（或
或X
）可能取的值为
x
1
，
x
2
，……
x
i
……，
?
取每一个值
x
i

（
i?
1，2，……）的概率P（
?
?x< br>i
）=
P
i
，则称下表为随机变量
?
的概率分布，简 称
?
的分布列.



由概率的性质可知，任一离散型随机变量的分布列都具有下述两个性质：
①
P
i
?0
，
i?
1，2，…; ②
P
1
?P
2
?
…=1.
（2）随机变量的数学期望和方差：
①离散型随机变量的数学期望：
E
?< br>?
x
1
p
1
?
x
2
p
2< br>???
x
n
p
n
??
；期望即平均值，反映随机变量 取值的平均水平.
2
22
②离散型随机变量的方差：
D
?
?(x
1
?E
?
)p
1
?(x
2
?E?
)p
2
?
…
?(x
n
?E
?
)p
n
?
…
?

x
1

P1
x
2

P2
…
…
x
i

P
i

…
…
P
方差反映随机变量取值的稳定 与波动，集中与离散的程度，
2
③基本性质：
E(a
?
?b)?aE
?
?b
；
D(a
?
?b)?aD
?
.
D
?
越小，稳定性越高，波动越小

7. 常见的离散型随机变量的分布列：
（1）二项分布：
①二项分布的定义:
n
次独立重复试验中，事件A发生的次数
?
是一个随机变量，其所有可能的取值为0，1，2， …n，
kkn?k
并且
P
k
?P(
?
?k)?C< br>n
pq
，其中
0?k?n
，
q?1?p
，随机变量< br>?
的分布列如下：
?

0
00n
C
n
pq

1
11n?1
C
n
pq

…
…
k

kkn?k
C
n
pq

…

n

nn0
C
n
pq

P
kk n?k
C
p
?
?
~B(n,p)
n
n
称这 样随机变量服从二项分布，记作，其中、为参数，并记：
pq?b(k;n,p)
.
②二项分布的数学期望与方差：
若
?
～B(n，p)，则
E
?
?np
D
?
=npq（这里q=1-p）

（2）几何分布：
①几何分布的定
义:在独立重复试验中，某事件第一次 发生时所作的试验的次数
?
是一个取值为正整数的离散型随机
变量，“
?< br>?k
”表示在第k次独立重复试验时事件第一次发生.随机变量
?
的概率分布为 ：
?

1
p
2
qp
3
q
2
p

…
…
k
q
k?1
p

…
…
P

②几何分布的数学期望与方差：
E
?
?
q
1
2
p
，D
?
=
p
其中q=1-p. 如果随机变量
?
服从几何分布，
P(
?
?k)?g(k,p)
，则
（3）超几何分布：对一般情形，一批产品共
N
件，其中有
M
件不合格品，随机取出的
n
件产品中不合格品数 < br>rn?r
C
M
C
N?M
P(X?r)?
n
H (n,M,N)
，其中：
C
N

X
的分布如下表所示，则称
X
服从超几何分布，记为
X

X

P

0

0n
C
M
C
N?M
n
C
N

1

1n?1
C
M
C
N?M
n
C
N

2

2n?2
C
M
C
N?M
n
C
N

…
l

ln?l
C
M
C
N?M
n
C
N

…

超几何分布的另一种形式：一批产品由a件次品、b件正品组成，今抽取n 件(1≤n≤a+b)，则次品数ξ的分布列为
kn?k
C
a
C
b< br>P(
?
?k)?,k?0,1,2....n
n
C
a?b.
（4）正态分布：
1
2
??
?
(x?
?
)
2
2
?
2
①正态分布的定义及性质：如果连续型随机变量
?
的概率密度函数为
2
并且
?
＞0，则称?
服从正态分布，记为
?
~N
（
?
，
?
）.
f(x)?e
，x
?R
其中
?
、
?
为常数，
②正态
分布的数学期望与方差： 期望值E
?
=μ（即平均数，对称轴）
2
方差
D
??
?
（方差越大曲线越分散越矮胖，方差越小曲线越集中越高瘦）
③标准正态分布：
当
?
=0，
?
=1时
?
服从标准的正态分布，记作
?
~N
（0，1）
▲
y
S
x
a
④两个重要的公式：
标准正态分布曲 线
S
阴
=0.5
Sa=0.5+S
?
(?x)?1?
?
(x)

P(a?
?
?b)?
?
(b)?
?
(a)
.
⑤“3
?
”原则：在实际应 用中，通常服从正态分布
的随机变量
?
的值一般都
落
入范围
(
?
?3
?
,
?
?3
?
)
之间，
概率为99.7％，即落在
(
?
?3
?
,
?
?3
?
)
之外的概率为0.3％，几乎是不可能发生的，此为小概率事件，如果此事 件发生
了，就说明此种产品不合格（即ξ不服从正态分布）.
⑥正态分布在三个特殊区间内取值的概率值：

8.解答离散型随机变量的分布列及相关问题的一般思路：
（1） 明确随机变量可能取哪些值；
（2）结合事件特点选取恰当的计算方法计算这些可能取值的概率值；
（3）根据分布列和期望、方差公式求解．