高二数学概率的一般加法公式

3.2.2概率的一般加法公式(选学)
【预习达标】
1、 叫做互斥事件（或称 ）．
⑴“互斥”所研究的是两个或多个事件的关系；
⑵ 因为每个事件总是由几个基本事件（不同的结果）组成，从集
合的角度讲，互斥事件就是它们交集为 ，也就是没
有共同的基本事件（相同的结果）．
1、 叫做互为对立事件，事件A的对立事件 记做
?
，由于A与
?
是互斥事件，所以
P
?
??
=P（A∪
?
）
=P（A）+P（
?
）又由Ω是是 必然事件得到P(Ω)=1,所
以 ，即 ．
⑴ “ ”是所研究的互斥事件中两个事件的非
此即彼的关系；
⑵可理解为： 是A在所有的结果组成
的全集中的补集，即由全集中的所有不是A的结果组成
?
；
⑶对立事件的 两个必要条件
是 ： ， ；
⑷对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件；
⑸对立事件是指两个事件，而互斥事件可能是有多个．
【预习检测】

1、 从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而

不对立的事件是（ ）
A、至少有一个黑球与都是黑球
B、至少有一个黑球与至少有一个红球
C、恰好有一个黑球与恰好有两个黑球
D、至少有一个黑球与都是红球
2、下列说法正确的是（ ）
A、事件A、B中至少有一个发生的概率一定比A、B中恰
有一个发生的概率大．
B、事件A、B同时发生的概率一定比A、B中恰有一个发
生的概率小．
C、互斥事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件．
D、互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件
3、一人在打靶中连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事
件是（ ）
A、至多有一次中靶 B、两次都中靶
C、两次都不中靶 D、只有一次中靶
4、从一批羽毛球产品中任取一个，如果其质量小于4.8克的概率是
0. 3，质量不小于4.85克的概率是0.32，那么质量在
?
4.8,4.85
?克范围
内的概率是（ ）
A、0.62 B、0.38 C、0.70 D、0.68
5、盒子中有大小、形状均相同的一些黑球、白球和 黄球，从中摸出
一个球，摸出黑球的概率是0.42，摸出黄球的概率是0.18，则摸

出的球是白球的概率是 ，摸出的球不是黄球的概率
是 ，摸出的球或者是黄球或者是黑球的概率
是 ．

【典例解析】

例1、判断下列各对事件是否是互斥事件，并说明道理
某小组3名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加演讲比赛，
其中
1恰有一名男生和恰有两名男生；
○
2至少有一名男生和至少有一名女生；
○
3至少有一名男生和全是男生；
○
4至少有一名男生和全是女生
○
例2、某地区的年降水量在下列范围内的概率如表：
年降水量
mm
概率
0.12 0.25 0.16 0.14
?
100,150
?

?
150,200
?

?
200,250
?

?
250,300
?

1求年降水量在
?
100, 200
??
mm
?
范围内的概率；
○
2求年降水量在?
150,300
??
mm
?
范围内的概率．
○例3，某射手在一次射击训练中，射中10环，9环，8环、7环的概
率分别是0.21，0.23 ，0.25，0.28，计算这个射手在一次射击中：
1射中10环或7环的概率；
○

2不够7环的概率．
○
【双基达标】

一、选择题：
1、如果事件A，B互斥，那么（ ）
A、
A?B
是必然事件 B、
A?B
是必然事件
C、
A与B
一定互斥 D、
A与B
一定不互斥
2、若
P(A?B)?1
，则互斥事件A与B的关系是（ ）
A、A、B没有关系 B、A、B是对立事件
C、A、B不是对立事件 D、以上都不对
3、在第3，6，16路公 共汽车的一个停靠站（假定这个车站
只能停靠一辆公共汽车），有一位乘客需要在5分钟之内乘
上车赶到厂里，他可乘3路或6路公共汽车到厂里，已知
3路车、6路车在5分钟之内到此车站的概率为 0.20和0.60，
则该乘客在5分钟内乘上所需车的概率是（ ）
A、0.20 B、0.60 C、0.80 D、
0.12．
4、甲乙两人下棋，甲获胜的概率是40%，甲不输的概率是90%，同
甲、乙两人下成和棋的概率 为（ ）
A、60% B、30% C、10% D、50%
5、把一副扑克牌中的4个K随机分给甲、乙、丙、丁四个人，每人

得到1张扑克牌，事件“甲分到红桃K”与事件“乙分到梅花K”
是（ ）
A、对立事件 B、不可能事件
C、互斥但非对立事件 D、以上都不对
二、填空题：
6、现在有语文、数学、英语、物理和化学共5本书，从中任取1本，
取出的是理科书的概率为
7、甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是
1
，乙获胜的概率是
1
，
23
则乙不输的概率是
8、某产品分甲、乙、丙三级，其中 乙、丙两级均属次品，若生产中
出现乙级品概率为0.03，丙级品的概率为0.01，则对产品抽查一
件，抽得正品的概率为
三、解答题：
9、甲 、乙两个篮球运动员在相同的条件下投篮命中率分别为0.82、
0.73，则“在一次投篮中至少有一 人投篮命中的概率为
P=0.82+0.73=1.55”这句话对不对？为什么？
10、向 三个相邻的军火库投一个炸弹，炸中第一军火库的概率为
0.025，炸中第二、第三军火库的概率各为 0.1，只要炸中一个，另两
个也要发生爆炸，求军火库发生爆炸的概率．

【能力达标】
一、选择题：

1、 活期存款本上留有四位数密码， 每位上的数字可在0到9这十
个数字中选取，某人忘记了密码的最后一位，那么此人取款时，
在 对前三个数码输入后，再随意按一个数字键，正好按对他原来
所留密码的概率为（ ）
A、
1
B、
1
C、
1
D、
1

910100
10002、一箱机器零件中有合格品4件，次品3件，从中任取2件，其中
事件：
1恰有一件次品和恰有2件次品；
○
2至少有一件次品和全是
○
次品；
3至少有一件合格品和至少有 一件次品；
○
4至少有一件次品和全是
○
合格品．
四组中是互斥事件的组数是
A、1组 B、2组 C、3组 D、4组
二、填空题：
3、某家庭电话，打进电话响第一声时 被接的概率是0.1，响第二声时
被接的概率是0.2，响第三声时被接的概率是0.3，响第四声时被
接的概率是0.3，则电话在响第五声之前被接的概率是 ；
4、乘客在某电 车站等待26路或16路电车，该站停靠16、22、26、
31四路电车，假定各路电车停靠的频率一 样，则乘客期待电车首
先停靠的概率等于 ；
三、解答题：
5、袋中有 红、黄、白3中颜色的球各1只，从中每次任取1只，有

放回的抽取3次，求：
13只全是红球的概率；
○
23只颜色全相同的概率；
○
33只颜色不全相同的概率；
○
43只颜色全不相同的概率．
○

【数学快餐】

1、一枚硬币连掷3次，设事件A表示“掷3 次硬币有一次出现
正面”，事件B表示“掷3次硬币有两次出现正面”，事件C表示“掷
33次硬币有三次出现正面”，已知
P(A)?
，
P(B)?
3
, P(C)?
1
，求：
8
88
事件D“掷三次硬币出现正面的概率”．
2、厂家在产品出厂前，需对产品做检验，厂家将一批产品发给商家
时，商家按合同规定也需随 机抽取一定数量的产品做检验，以决定是
否接收这批产品.若厂家库房中的每件产品合格的概率为0.8 ，从中任
意取出4件进行检验.求至少有1件是合格品的概率;


3.1.4概率的加法公式
【预习达标】
1、不可能同时发生的两个事件， 互不相容事件 （2）空集
2、不同时发生且必有一个发生的两个事件； Ｐ（Ａ）＋Ｐ（
?
）

=1；Ｐ（
?
）=1－Ｐ（Ａ）
⑴对立； ⑵事件Ａ的对立事件
?
； （３）Ａ∩
?
＝Φ
Ａ∪
?
=Ω
【预习检测】
1、C 2、D 3、C 4、B 5、0.40，0.82，0.60
【典型解析】
例1 解：
○
1是互斥事件
道理是：在所选的2名同学中，“恰有1名男生”实质是选出的是
“1名男生和1名女
它与“恰有两名男生”不可能同时发生，所以是一对互斥事件．
2不可能是互斥事件
○
理由是：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“两名
都是男生”两种结 < br>“至少有1名女生”包括“1名女生，以名男生”和“两名都是女
生”两种结果，它们可同时发生 ．
3不可能是互斥事件
○
理由是：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生 ”和“两名
都是男生”，这与“全是男生”可同时发生．
4是互斥事件
○
理由是：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“两名都
是男生”两种结果，它和“全是女 生”不可能同时发生．
评注：互斥事件是概率知识中重要概念，必须正确理解．

1互斥事件是对两个事件而言的，若有A、B两个事件，当事件A发
○
生时，事件B就不发 生；当事件B发生时，事件A就不发生（即
事件A、B不可能同时发生），我们就把这中不可能同时发生 的两
个事件叫做互斥事件，否则就不是互斥事件；
2对互斥事件的理解，也可以从集合的角度去加以认识．
○
如果A、B时两个互斥事 件，反映在集合上，是表示A、B这两个
事件所含结果组成的集合彼此互不相交．
如果事件< br>A
1
,A
2
,
?
,A
n
中的 任何 两个都是互斥事件，那么称事件
A
1
,A
2
,
?
, A
n
彼此互斥，反映在集合上，表示为由各个事件所含的结
果组成的集合彼此互不相交 ．
例2 解：
?
、
?
150,200
?
、?
200,250
?
、
?
250,300
?
1 记这个地区的年降水量在
?
100,150
○
（mm）范围内分别为事件A、 B、C、D．这四个事件是彼此互斥
的，根据互斥事件的概率加法公式，年降水量在
?
100,200
??
mm
?
范围
内的概率是
P(A?B)?P(A)?P(B)?0.12?0.25?0.37

2年降水量在
?
150,300
?
（mm）范围内的概率是
○
P
?
B?C?D
?
=
P
?
B
?
?P
?
C
?
?P
?
D
?
=0. 25+0.16+0.14=0.55
答案：年降水量在
?
100,200
??
mm
?
范围内的概率是0.37，年降水量在
?
150,300
?
（mm）范围内的概率是0.55.
评注：互斥事件的概率加法公式是一个很基本 的计算公式，解题时要
在具体的情景中判断事件是否为互斥事件．如果两个事件在一次

< br>试验中，一个发生另一个就不发生，或者说两个事件不同时发生，
这样的事件是互斥事件．
例3解：
1记“射中10环”为事件A，记“射中7环”为事件B，由于在第
○一次射击中，A与B不可能同时发生，故A与B是互斥事件，“射
中10环或7环”的事件为A+B ，故
P(A?B)
=
P(A)
+
P(B)
=0.21+0. 28=0.49
2记“不够7环”的事件为E，则事件
E
为“射中7环或8环或9环
○
1
可知“射中7环”或10环”，由○、“射中8环”等等是彼此互斥
事件 ，
?
P(E)
=0.21+0.23+0.25+0.28=0.97，从而
P(E)
=1—
P(E)
=1
—0.97=0.03．
答案：射中10环或7环的概率为0.49；射不够7环的概率为0.03．
评注：
1必须分析清楚事件A、B互斥的原因，只有互斥事件才可考虑用概
○
率的和公式．
2所求的事件必须是几个互斥事件的和．
○
3只有满足上述两点才可用公式
P(A?B)
=
P(A)
+
P(B)
.
○
4当直 接求某一事件的概率较为复杂或根本无法求时，可先转化为求
○
2
发现，某人射不够7 环的可能性已其对立事件的概率，由本题○
经很小．
【双基达标:】
一.选择题

1、B 2、B 3、C 4、D 5、D
二.填空题
6、 7、 8、0.96
三.解答题
9、解：这句话不对，首先，任何事件的概率不能超过1；其次，事
件A “甲投篮命中”和事件B“乙投篮命中”不是互斥事件，所
以所求事件的概率不等于两事件概率之和的简 单相加．
【能力达标】
一.选择题
1、B 2、B
二.填空题
3、0.9 4、
三.解答题
5、解：
1记“3只全是红球”为事件A，从袋中有放回的抽取3次，每次取
○
1只，共会出现
3?3?3=27
种等可能的结果，其中
3
5
5
6
1
2
3只全是红球的结果只有一种，故
事件A的概率为
P(A)?
1

27
2“3只颜色全相同”只可能是这样三种情况：“3只全是红球”（事
○
件A），“3只全是黄球”（事件B），“3只全是白球”（事件C），且
它们之间是或者关 系，故“3只颜色全相同”这个事件可记为A+B+C，
由于事件A、B、C不可能同时发生，因此他们 是互斥事件；再由

于红、黄、白球个数一样，故不难得到
P(B)?P(C) ?P(A)?
1
1
,故
P(A?B+C)?P(A)?P(B)?P(C)?

27
9
33只颜色不全相同的情况较多，如有两只球同色而与另一只球不同
○
色，可以两只同红色或同黄色或同白色；或三只颜色全不相同，
这些情况一一考虑起 来比较麻烦，现在记“3只颜色不全相同”为
事件D，则事件
D
为“3只颜色全相同” ，显然事件D与
D
是对立事
件．
18
?
P(D)
=1-
P(D)
=1-=
99< br>4要使3只颜色全不相同，只可能是红、黄、白各一只，要分三次抽
○
取，故3次抽到红 、黄、白各一只的可能结果有3×2×1＝6种，
故3只颜色不全相同的概率为
62
＝
279
6、解：设A、B、C分别表示炸弹炸中第一、第二、及第三军火库这
三个事件 ，已知
P(A)
=0.025,
P(B)
=
P(C)
=0. 1,又设D＝
?
军火库爆炸
?
，
则D=A+B+C,其中A、B、C 是互不相容事件（因为只投掷了一个
炸弹，故不可能同时炸中两个以上的军火库），故由加法定理有P（D）=P(A+B+C)
=
P(A)+P(B)+P(C)
=0.025+0 .1+0.1=0.225


【数学快餐】
1、解：
由题意可知，
D=ABC
,且A、B、C彼此互斥，所以
P(D)?P(A BC）
=
P(A)?P(B）+P
?
C
?
=
7
8

2、解：记“厂家任取4件产品检验，其中至少有1件是合格品”为< br>事件A
用对立事件A来算，有
P
?
A
?
?1 ?P
?
A
?
?1?0.2
4
?0.9984