高中数学概率统计知识万能公式(文科)

第六部分 概率与统计万能知识点及经典题型Ⅰ
【考题分析】
1、考试题型：选择填空1个，解答题：18（必考）
2、考题分值：17分；
3、解答题考点：①频率直方图的应用，②线性回归直线的应用，③独立性检验和概率
4、难度系数：0.7-0.8左右，（120分必须全对，100以上者全对）

【知识总结】
一、普通的众数、平均数、中位数及方差
1、 众数：一组数据中，出现次数最多的数。
2、平均数：①、常规平均数：
x?
x1
?x
2
?????x
n
x
?
?x
2
?
2
?????x
n
?
n
②、加权平均数：
x?
11

n
?
1
?
?
2
?????
?
n
3、中位数：从大到小或者从小到大排列，最中间 或最中间两个数的平均数。
4、方差：
s
2
?
1
[(x< br>1
?x)
2
?(x
2
?x)
2
?????( x
n
?x)
2
]

n

二、频率直方分布图下的频率
1、频率 =小长方形面积：
f?S?y
距
?d
；频率=频数总数
2、频率之 和：
f
1
?f
2
?????f
n
?1
；同 时
S
1
?S
2
?????S
n
?1
；

三、频率直方分布图下的众数、平均数、中位数及方差
1、众数：最高小矩形底边的中点。
2、平均数：
x?x
1
f1
?x
2
f
2
?x
3
f
3
? ????x
n
f
n
x?x
1
S
1
?x2
S
2
?x
3
S
3
?????x
n< br>S
n

3、中位数：

从左到右或者从右到左累加，面积等于0.5时
x
的值。
4、方差：
s
2
?(x
1
?x)
2
f
1
?(x2
?x)
2
f
2
?????(x
n
?x)2
f
n


?
?a
?
?bx
?

四、线性回归直线方程：y
?
?
其中：
b
?
(x
i
?x)(y
i
?y)
i?1
n
n
?
(x
i
? x)
i?1
2
?
?
x
i
y
i
?n xy
i?1
n
22
?
x
i
?nx
i?1< br>n
?

?
?y?bx
,
a
1、线性回归直线方程必过样本中心
(x,y)
；
?
?0:
正相关；
b
?
?0:
负相关。 2、
b
?
中，两个公式中分子、分母对应也相等；中间可以推导得到。
?< br>?a
?
?bx
?
的斜率
b
3、线性回归直线方程：< br>y

五、回归分析
?
i
?y
i
?y
?
i
（残差=真实值—预报值）。 1、残差：
e
?
i
越小越好； 分析：
e
?
i
)
2
， 2、残差平方和：
?
(
y
i
?y
i?1
n
?
i
)
2
?
(
y
1
?y
?
1
)
2
?
(
y
2
?y
?
2
)
2
???? ?
(
y
n
?y
?
n
)
2
分析：①意义：越小越好； ②计算：
?
(
y
i
?y
i ?1
n
3、拟合度（相关指数）：
R
2
?1?
?
i
)
?
(
y
i
?y
i?1
n
n2
，
?
(y
i
?y)
i?1
2
分析 ：①.
R
2
?
?
0,1
?
的常数； ②.越大拟合度越高；
4、相关系数：
r?
?
(x
i
?x )(y
i
?y)
i?1
n
?
(x
i
?x)
?
(y
i
?y)
2
i?1i?1
nn
?< br>2
?
x
i
y
i
?nx?y
i?1
n
?
(x
i
?x)
?
(y
i
?y)
2
i?1i?1
nn

2

分析：①.
r?[?1,1]
的常数； ②.
r?0:
正相关；
r?0:
负相关
③.
r?[0,0.25]
；相关性很弱；
r?(0.25,0.75)
；相关性一般；
r?[0.75,1]
；相关性很强；
六、独立性检验
1、2×2列联表：
2、独立性检验公式
①．
k
2
?

2
x
1

x
2

b

合计
n(ad?bc)

(a?b)(c?d)(a?c)(b?d)
y
1

y
2

合计

②．犯错误上界P对照表
a

c

a?c

a?b

d

b?d

c?d

n


3、独立性检验步骤
n(ad?bc)
2
①．计算观察值
k
：
k?
；
(a?b)(c?d)(a?c)(b?d)
②．查找临界值
k
0
： 由犯错误概率P，根据上表查找临界值
k
0
；
③．下结论：
k?k
0
：即犯错误概率不超过P的前提下认为： ,有1-P以上的把握认为：

k?k
0
：即犯错误概率超过P的前提认为： ,没有1-P以上的把握认为： ;
【经典例题】
题型1 与茎叶图的应用
例1（2014全国）某市为考核甲 、乙两部门的工作情况，学科网随机访问了50位市民。根据这50位市民
（1）分别估计该市的市民对甲、乙
部门评分的中位数；
（2）分别估计该市的市民对甲、乙
部门的评分做于90的概率；
（3）根据茎叶图分析该市的市民对
甲、乙学科网两部门的评价。








题型2 频率直方分布图的应用
例2（2015广东）某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以
[
160 ,180
)
，
[
180,200
)
，
[
2 00,220
)
，
[
220,240
)
，
[
240,260
)
，
[
260,280
)
，
[< br>280,300
]
分组的频率分布直方图如图2，
（1）求直方图中
x
的值；
（2）求月平均用电量的众数和中位数； （3）在月平均用电量为
[
220,240
)
，
[
24 0,260
)
，
[
260,280
)
，
[
280,300
]
的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则
月平均用电量 在
[
220,240
)
的用户中应抽取多少户？

练习2 （2014全国1）从某企业生产的某种产品 中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量表得
如下频数分布表：
质量指标值分组 [75，85) [85，95) [95，105) [105，115) [115，125)
频数 6 26 38 22 8
(1)在答题卡上作出这些数据的频率分布直方图：
(2)估计这种产品质量指标值的平均数 及方差
(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；
(3)根据以上抽样调查数据，能否 认为该企业生
产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产
品至少要占全部产品的80%”的 规定？











题型3 计算线性回归方程
例3（2015重庆）随着我国经 济的发展，居民的储蓄存款逐年增长.设某地区城乡居民人民币储蓄存款（年底余
额）如下表：
年份 2010 2011 2012 2013 2014
时间代号
t
1 2 3 4 5
6 7 8 10
储蓄存款
y
（千亿元）
5
?
?a
?
?bt
?

（1）求
y
关于
t
的回归方程
y
（2）用所求回归方程预测该地区2015 年（
t
=6）的人民币储蓄存款.










练习3（2014全国2）某地区2007年至 2013年农村居民家庭纯收入y（单位：千元）的数据如下表：
年份 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013
年份代号
t
1 2 3 4 5 6 7
人均纯收入
y
2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9
（1）求
y
关于
t
的线性回归方程；
（2）利用 （1）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该
地区2015年农村居民家庭人均纯收入.

题型4 线性回归分析
例4（2016全国3）下 图是我国2008年至2014年生活垃圾
无害化处理量（单位：亿吨）的折线图.
注：年份代码1–7分别对应年份2008–2014.
(1).由折线图看出，可用线性回 归模型拟合
y
与
t
的关系，请
用相关系数加以说明；
?< br>?a
?
?bt
?
（系数精确到0.01），
(2).求出y
关于
t
的回归方程
y
预测2016年我国生活垃圾无害化处理 量.
参考数据：
?
y
i?1
7
i
?9.32，
?
t
i
y
i
?40.17
，
i?1
7
?
(y?y)
i
i?1
7
2
?0.55
，≈2.646.
参考公式：
r?
?
(t?t)(y?y)
ii
i?1
n
?
(t
i
?t)
i?1
n
2
?
(y
i
?y)
i?1
n
?
? ?
?
回归方程
y?a?bt
中：
b?
，
2
?
(t
i?1
n
i
?t)(y
i
?y)
i
?
(t
i?1
n
??
?
，
a=y?bt.

?t)
2







题型5 独立性检验综合应用
例5.为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关 ，对本班60人进行了问卷调查得到了如下的2×2列联表：
(1)用分层抽样的方法在喜爱打篮球的学生中抽6人，其中男生抽多少人？
(2)在上述抽取的人中选2人，求恰有一名女生的概率；
(3)你是否有95%的把握认为喜爱打篮球与性别有关？说明你的理由。








练习5. 为调查某市学生百米运动成绩,从该市学生中按照男女比例
随机抽取50名学生进行百米测试,学生成绩全部都介于13秒到18秒之
间,将测试结果按 如下方式分成五组,第一组
?
13,14
?
,
第二组
?14,15
?
,
?
第
五组
?
17,18?
,如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图.
(1)求这次测试成绩的平均数、众数和中位数、
(2)设
m,n
表示从第 一组和第五组的所有学生中任意抽取的两名学生的百
米测试成绩,即
m,n?
?
13,14
?
?
?
17,18
?
,求事件“
m? n?2
”的概率;
(3)根据有关规定,成绩小于16秒为达标.如果男女生使用相同的达 标标
准,则男女生达标情况如下表:

完成上表,并根据上表数据,能否有99﹪的把握认为“体育达标与性
达标
别有关”？
不达标

总计





男
24


女

12

总计


50