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高中概率讲义

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-19 20:28
tags:高中数学概率公式

高中数学三棱锥的外接球-高中数学老师老王

2020年9月19日发(作者:沈葑湖)



3.1 随机事件的概率
3.1.1 —3.1.2随机事件的概率及概率的意义(第一、二课
时)

1、教学目标: < br>(1)了解随机事件、必然事件、不可能事件的概念;(2)正确理解事件A出现的频率的意
义; (3)正确理解概率的概念和意义,明确事件A发生的频率f
n
(A)与事件A发生的概率P(A)的区别与联系;(3)利用概率知识正确理解现实生活中的实际问题.
2、基本概念:
(1)必然事件:在条件S下,一定会发生的事件,叫相对于条件S的必然事件;
(2)不可能事件:在条件S下,一定不会发生的事件,叫相对于条件S的不可能事件;
(3)确定事件:必然事件和不可能事件统称为相对于条件S的确定事件;
(4)随机事件:在条件S下可能发生也可能不发生的事件,叫相对于条件S的随机事件;
( 5)频数与频率:在相同的条件S下重复n次试验,观察某一事件A是否出现,称n次试
验中事件A出现 的次数
n
A
为事件A出现的频数;称事件A出现的比例
f
n
(A)=
n
A
为事件A
n
出现的概率:对于给定的随机事件A,如果 随着试验次数的增加,事件A发生的频率
f
n
(A)
稳定在某个常数上,把这 个常数记作P(A),称为事件A的概率。
(6)频率与概率的区别与联系:随机事件的频率,指此事 件发生的次数n
A
与试验总次数n
的比值
n
A
,它具有一定 的稳定性,总在某个常数附近摆动,且随着试验次数的不断增多,
n
这种摆动幅度越来越小。我 们把这个常数叫做随机事件的概率,概率从数量上反映了随机事
件发生的可能性的大小。频率在大量重复 试验的前提下可以近似地作为这个事件的概率
(7)似然法与极大似然法:见课本P111
3、例题分析:
例1 判断下列事件哪些是必然事件,哪些是不可能事件,哪些是随机事件?
(1)“平抛一石块,下落”.
(2)“在标准大气压下且温度低于0℃时,冰融化”;
(3)“某人射击一次,中靶”;
(4)“如果
a

b
, 那么
a

b
>0”;
(5)“掷一枚硬币,出现正面”;
(6)“常温下,铁通电后,发热”;
(7)“从分别标有号数1,2,3,4,5的5张标签中任取一张,得到4号签”;
(8)“某电话机在1分钟内收到2次呼叫”;
(9)“没有水份,种子能发芽”;
(10)“在常温下,焊锡熔化”.



1



答:根据定义,事件(1)、(4)、(6)是必然事件;事件(2)、( 9)、(10)是不可能事
件;事件(3)、(5)、(7)、(8)是随机事件.
例2 某射手在同一条件下进行射击,结果如下表所示:
射击次数n
击中靶心次数m
击中靶心的频率
10
8
20
19

50
44

100
92

200
178

500
455

m

n

(1)填写表中击中靶心的频率;
(2)这个射手射击一次,击中靶心的概率约是什么? < br>分析:事件A出现的频数
n
A
与试验次数n的比值即为事件A的频率,当事件A 发生的频率
f
n
(A)稳定在某个常数上时,这个常数即为事件A的概率。
解:(1)表中依次填入的数据为:0.80,0.95,0.88,0.92,0.89,0.91.
(2)由于频率稳定在常数0.89,所以这个射手击一次,击中靶心的概率约是0.89。
小结:概率实际上是频率的科学抽象,求某事件的概率可以通过求该事件的频率而得之。
练习:一个地区从某年起几年之内的新生儿数及其中男婴数如下:
时间范围
新生婴儿数
男婴数
男婴出生的频率
1年内
5544
2883

2年内
9607
4970

3年内
13520
6994

4年内
17190
8892

(1)填写表中男婴出生的频率(结果保留到小数点后第3位);
(2)这一地区男婴出生的概率约是多少?
答案:(1)表中依次填入的数据为:0.520,0.517,0.517,0.517.
(2)由表中的已知数据及公式f
n
(A)=
n
A
即可求出相应的频 率,而各个频率均稳定在常
n
数0.518上,所以这一地区男婴出生的概率约是0.518.
例4 如果某种彩票中奖的概率为
1
,那么买1000张彩票一定能中奖吗?请用概率 的意
1000
义解释。
分析:买1000张彩票,相当于1000次试验,因为每次 试验的结果都是随机的,所以做1000
次试验的结果也是随机的,也就是说,买1000张彩票有可能 没有一张中奖。
解:不一定能中奖,因为,买1000张彩票相当于做1000次试验,因为每次试验 的结果都是
随机的,即每张彩票可能中奖也可能不中奖,因此,1000张彩票中可能没有一张中奖,也
可能有一张、两张乃至多张中奖。

4、课堂小结:概率是一门研究现实世界中广泛 存在的随机现象的科学,正确理解概率的意义
是认识、理解现实生活中有关概率的实例的关键,学习过程 中应有意识形成概率意识,并用
这种意识来理解现实世界,主动参与对事件发生的概率的感受和探索。




2



3.1.3 概率的基本性质(第三课时)
一、教学目标:
1、知识与技能:(1)正确理解事件的包含 、并事件、交事件、相等事件,以及互斥事件、
对立事件的概念;
(2)概率的几个基本性质 :1)必然事件概率为1,不可能事件概率为0,因此0≤P(A)≤1;
2)当事件A与B互斥时,满 足加法公式:P(A∪B)= P(A)+ P(B);3)若事件A与B为对立
事件,则A∪B为必然事件,所以P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1,于是有P(A)=1—P(B)
(3)正确理解和事件与积事件,以及互斥事件与对立事件的区别与联系.
1、 基本概念:
(1)事件的包含、并事件、交事件、相等事件见课本P115;
(2)若A∩B为不可能事件,即A∩B=ф,那么称事件A与事件B互斥;
(3)若A∩B为不可能事件,A∪B为必然事件,那么称事件A与事件B互为对立事件;
(4)当事件A与B互斥时,满足加法公式:P(A∪B)= P(A)+ P(B);若事件A与B为对立事
件,则A∪B为必然事件,所以P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1,于是有P(A)=1—P(B).
2、 例题分析:
例1 一个射手进行一次射击,试判断下列事件哪些是互斥事件?哪些是对立事件?
事件A:命中环数大于7环; 事件B:命中环数为10环;
事件C:命中环数小于6环; 事件D:命中环数为6、7、8、9、10环.
分析:要判断所给事件是对立还是互斥,首先将两个概念的联系与区别弄清楚,互斥事件是
指不 可能同时发生的两事件,而对立事件是建立在互斥事件的基础上,两个事件中一个不发
生,另一个必发生 。
解:A与C互斥(不可能同时发生),B与C互斥,C与D互斥,C与D是对立事件(至少一
个发生).
例2 抛掷一骰子,观察掷出的点数,设事件A为“出现奇数点”,B为“出现偶数点” ,已知
P(A)=
11

P(B)=,求出“出现奇数点或偶数点”. 22
分析:抛掷骰子,事件“出现奇数点”和“出现偶数点”是彼此互斥的,可用运用概率的加法公式求解.
解:记“出现奇数点或偶数点”为事件C,则C=A∪B,因为A、B是互斥事件, 所以P(C)=P(A)+
P(B)=
11
+=1
22
答:出现奇数点或偶数点的概率为1
例3 如果从不包括大小王的52张扑克牌 中随机抽取一张,那么取到红心(事件A)的概率

11
,取到方块(事件B)的概率 是

问:
44
(1)取到红色牌(事件C)的概率是多少?
(2)取到黑色牌(事件D)的概率是多少?
分析:事件C是事件A与事件B的并,且A与B 互斥,因此可用互斥事件的概率和公式求解,
事件C与事件D是对立事件,因此P(D)=1—P(C) .
解:(1)P(C)=P(A)+ P(B)=


11
(2)P(D)=1—P(C)=

22

3



例4 袋中有12个小球,分别为红球、黑球、黄球、绿球,从中任取一球 ,得到红球的概率

155
,得到黑球或黄球的概率是,得到黄球或绿球的概率也是, 试求得到黑球、得
3
1212
到黄球、得到绿球的概率各是多少?
分析:利用方程的思想及互斥事件、对立事件的概率公式求解.
解:从袋中任取一球,记事件 “摸到红球”、“摸到黑球”、“摸到黄球”、“摸到绿球”为A、
55
;P(C∪D)=P( C)+P(D)=;P(B∪C∪
1212
11
121
D)=1-P(A)= 1-=,解的P(B)=,P(C)=,P(D)=
3
36
44
1
1
1
答:得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率分别是、、.
4
6
4
B、C、D,则有P(B∪C)=P(B)+P(C)=


3.2 古典概型(第四、五课时)
3.2.1 —3.2.2古典概型及随机数的产生
一、教学目标:
(1)正确理解古典概型的两大特点:
1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个;
2)每个基本事件出现的可能性相等;
(2)掌握古典概型的概率计算公式:P(A)=
A包含的基本事件个数

总的基本事件个数
(3)了解随机数的概念;
2、基本概念:
(1)基本事件、古典概率模型、随机数、伪随机数的概念见课本P121~126;
(2)古典概型的概率计算公式:P(A)=
A包含的基本事件个数

总的基本事件个数
3、例题分析:
课本例题略
例1 掷一颗骰子,观察掷出的点数,求掷得奇数点的概率。
分析:掷骰子有6个基本事件,具有有限性和等可能性,因此是古典概型。
解:这个试验的基本事件共有6个,即(出现1点)、(出现2点)……、(出现6点)
所以基本事件数n=6,
事件A=(掷得奇数点)=(出现1点,出现3点,出现5点),
其包含的基本事件数m=3
所以,P(A)=
m31
===0.5
n
62
小结:利用古典概型的计算公式时应注意两点:
(1)所有的基本事件必须是互斥的;
(2)m为事件A所包含的基本事件数,求m值时,要做到不重不漏。

4



例2 从含有两件正品a
1
,a
2
和一 件次品b
1
的三件产品中,每次任取一件,每次取出后不放
回,连续取两次,求取出的 两件产品中恰有一件次品的概率。
解:每次取出一个,取后不放回地连续取两次,其一切可能的结果组 成的基本事件有6个,
即(a
1
,a
2
)和,(a
1
,b
2
),(a
2
,a
1
),(a
2
, b
1
),(b
1
,a
1
),(b
2
,a< br>2
)。其中小括号内左边的
字母表示第1次取出的产品,右边的字母表示第2次取出的产 用A表示“取出的两种中,恰
好有一件次品”这一事件,则
A=[(a
1
, b
1
),(a
2
,b
1
),(b
1
,a< br>1
),(b
1
,a
2
)]
4
2
事件A由4个基本事件组成,因而,P(A)==
6
3
例3 现有一批产品共有10件,其中8件为正品,2件为次品:
(1)如果从中取出一件,然后放回,再取一件,求连续3次取出的都是正品的概率;
(2)如果从中一次取3件,求3件都是正品的概率.
分析:(1)为返回抽样;(2)为不返回抽样.
解:(1)有放回地抽取3次,按抽取顺序 (x,y,z)记录结果,则x,y,z都有10种可能,所
以试验结果有10×10×10=10种; 设事件A为“连续3次都取正品”,则包含的基本事件共
3
8
3
有8×8×8 =8种,因此,P(A)=
3
=0.512.
10
3
(2)解法 1:可以看作不放回抽样3次,顺序不同,基本事件不同,按抽取顺序记录(x,y,z),
则x有10 种可能,y有9种可能,z有8种可能,所以试验的所有结果为10×9×8=720种.设
事件B为“ 3件都是正品”,则事件B包含的基本事件总数为8×7×6=336, 所以P(B)=
336
720
≈0.467.
解法2:可以看作不放回3次无顺序抽样,先 按抽取顺序(x,y,z)记录结果,则x有10种
可能,y有9种可能,z有8种可能,但(x,y, z),(x,z,y),(y,x,z),(y,z,x),(z,x,y),
(z,y,x),是相同 的,所以试验的所有结果有10×9×8÷6=120,按同样的方法,事件B包
含的基本事件个数为8 ×7×6÷6=56,因此P(B)=
56
≈0.467.
120
小结: 关于不放回抽样,计算基本事件个数时,既可以看作是有顺序的,也可以看作是无顺
序的,其结果是一样 的,但不论选择哪一种方式,观察的角度必须一致,否则会导致错误.

4、课堂小结:本节主要研究了古典概型的概率求法,解题时要注意两点:
(1)古典概型的使用条件:试验结果的有限性和所有结果的等可能性。
(2)古典概型的解题步骤;
①求出总的基本事件数;
②求出事件A所包含的基本事件数,然后利用公式P(A)=
A包含的基本事件数
< br>总的基本事件个数
(3)随机数量具有广泛的应用,可以帮助我们安排和模拟一些试验,这样可以 代替我们
自己做大量重复试验,比如现在很多城市的重要考试采用产生随机数的方法把考生分配到各个考场中。


5



3.3 几何概型
3.3.1—3.3.2几何概型及均匀随机数的产生
1、教学目标:
(1)正确理解几何概型的概念;
(2)掌握几何概型的概率公式:
P(A)=
构成事件A的区域长度(面积或体积)

试验的全部结果所构成 的区域长度(面积或体积)
(3)会根据古典概型与几何概型的区别与联系来判别某种概型是古典概型还 是几何概型;
(4)了解均匀随机数的概念;
(5)掌握利用计算器(计算机)产生均匀随机数的方法;
(6)会利用均匀随机数解决具体的有关概率的问题.
2、基本概念:(1)几何概率模型: 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面
积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何 概率模型;
(2)几何概型的概率公式:
P(A)=
构成事件A的区域长度(面积或体积)

试验的全部结果所构成 的区域长度(面积或体积)
(3)几何概型的特点:1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限 多个;2)每个
基本事件出现的可能性相等.
3、 例题分析:
课本例题略
例1 判下列试验中事件A发生的概度是古典概型,
还是几何概型。
(1)抛掷两颗骰子,求出现两个“4点”的概率;
(2)如课本P132图3.3-1中的 (2)所示,图中有一个转盘,甲乙两人玩转盘游戏,规定当
指针指向B区域时,甲获胜,否则乙获胜, 求甲获胜的概率。
分析:本题考查的几何概型与古典概型的特点,古典概型具有有限性和等可能性。而 几何概
型则是在试验中出现无限多个结果,且与事件的区域长度有关。
解:(1)抛掷两颗骰 子,出现的可能结果有6×6=36种,且它们都是等可能的,因此属于古
典概型;
(2)游 戏中指针指向B区域时有无限多个结果,而且不难发现“指针落在阴影部分”,概率
可以用阴影部分的面 积与总面积的比来衡量,即与区域长度有关,因此属于几何概型.
例2 某人欲从某车站乘车出差,已 知该站发往各站的客车均每小时一班,求此人等车时间
不多于10分钟的概率.
分析:假设他 在0~60分钟之间任何一个时刻到车站等车是等可能的,但在0到60分钟之间
有无穷多个时刻,不能 用古典概型公式计算随机事件发生的概率.可以通过几何概型的求概
率公式得到事件发生的概率.因为客 车每小时一班,他在0到60分钟之间任何一个时刻到站
等车是等可能的,所以他在哪个时间段到站等车 的概率只与该时间段的长度有关,而与该时
间段的位置无关,这符合几何概型的条件.
解:设A={等待的时间不多于10分钟},我们所关心的事件A恰好是到站等车的时刻位于

6



[50,60]这一时间段内,因此由几何概型的概率公式,得P(A)=
间不多于10分钟 的概率为
60?501
=,即此人等车时
606
1

6< br>小结:在本例中,到站等车的时刻X是随机的,可以是0到60之间的任何一刻,并且是等
可能的 ,我们称X服从[0,60]上的均匀分布,X为[0,60]上的均匀随机数.
练习:1.已知地铁列车每10min一班,在车站停1min,求乘客到达站台立即乘上车的概率。
2.两根相距6m的木杆上系一根绳子,并在绳子上挂一盏灯,求灯与两端距离都大于2m的
概 率.
1

11
21
2.记“灯与两端距离都大于2m”为事件A,则P(A)= =.
6
3
解:1.由几何概型知,所求事件A的概率为P(A)=

例3 在1万平方千米的海域中有40平方千米的大陆架储藏着石油,假设在海域中任意一点
钻 探,钻到油层面的概率是多少?
分析:石油在1万平方千米的海域大陆架的分布可以看作是随机的而4 0平方千米可看作构
成事件的区域面积,有几何概型公式可以求得概率。
解:记“钻到油层面”为事件A,则P(A)=
储藏石油的大陆架面积
40
==0.004.
所有海域的大陆架面积
10000
答:钻到油层面的概率是0.004.

例4 在1升高产小麦种子中混入了一种带麦诱病的种子,从中随机取出10毫升,则取出的
种 子中含有麦诱病的种子的概率是多少?
分析:病种子在这1升中的分布可以看作是随机的,取得的10 毫克种子可视作构成事件的
区域,1升种子可视作试验的所有结果构成的区域,可用“体积比”公式计算 其概率。
解:取出10毫升种子,其中“含有病种子”这一事件记为A,则
P(A)=
取出的种子体积
10
==0.01.
所有种子的体积
1000
答:取出的种子中含有麦诱病的种子的概率是0.01.

例5 在长为12cm的线段AB上任取一点M,并以线段AM为边作正方形,求这个正方形 的面
22
积介于36cm

与81cm之间的概率.

4、课堂小结:1、几何概型是区别于古典概型的又一概率模型,使用几何概型的概率计算公式时,
一定 要注意其适用条件:每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度成比例;
2、均匀随机数在日常生 活中,有着广泛的应用,我们可以利用计算器或计算机来产生均匀
随机数,从而来模拟随机试验,其具体 方法是:建立一个概率模型,它与某些我们感兴趣的
量(如概率值、常数 )有关,然后设计适当的试验,并通过这个试验的结果来确定这些量.




7



解排列组合问题的几种基本方法

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