高中数学必修3概率统计知识点归纳

概率统计知识点归纳


平均数、众数和中位数


平均数、众数和中位数．要描述一组数据的集中趋势， 最重要也是最常见的方法就是用这 “三
数 ”来说明．


一、正确理解平均数、众数和中位数的概念


1．平均数



平均数是反映一组数据的平均水平的特征数，反映一组数据的集中趋势．平均

数的大小与一组数据里的每一个数据都有关系，任何一个数据的变化都会引起平均数的变化．

２．众数 在一组数据中出现次数最多的数据叫做这一组数据的众数． 一组数据中的众数有时不
唯一．众数着眼于对各数出现的次数的考察， 这就告诉我们在求一组数据的众数时， 既不需要排列，又
不需要计算，只要能找出样本中出现次数最多 的那一个（或几个）数据就可以了．当一组数据中有数据多
次重复出现时，它的众数也就是我们所要关心 的一种集中趋势．


３．中位数 中位数就是将一组数据按大小顺序排列后， 处在最中间的一个数 （或处在最中间
的两个数的平均数）．一组数据中的中位数是唯一的．


二、注意区别平均数、众数和中位数三者之间的关系


平均数、众数和中位数都是描述一组数据的集中趋势的量， 但它们描述的角度和适用的范围
又不尽相同．在具体问题中采用哪种量来描述一组数据的集中趋势， 那得看数据的特点和要关注的问题．


三、能正确选用平均数、众数和中位数来解决实际问题


由于平均数、 众数和中位数都是描述一组数据的集中趋势的量， 所以利用平均数、 众数和中位数
可以来解决现实生活中的问题．






极差、方差、标准差


极差、方差和标准差都是用来研究一组数据的离散程度的， 反映一组数据的波动范围或波动大小


的量 .


一、极差


一组数据中最大值与最小值的差叫做这组数据的极差，即极差








=最大值 -最小值 .极差能够反映数

.

据的变化范围 ,差是最简单的一种度量数据波动情况的量，它受极端值的影响较大

二、方差

方差是反映一组数据的整体波动大小的特征的量


.它是指一组数据中各个数据与这组数据的平均

数的差的平方的平均数，它反映的是一组数据偏离平均值的情况 .方差越大，数据的波动越大；方差越
小，数据的波动越小 .


1

求一组数据的方差可以简记先求平均，

再求差，然后平方，最后求平均数 .一组数据 x
1
、x
2
、x
3
、, 、


x
n
的平均数为 x ，则该组数据方差的计算公式为：


S [( x
1
x )
2

( x
2
x )
2

n


2
1
( x
n
x )
2
]
.





三、标准差


在计算方差的过程中， 可以看出方差的数量单位与原数据的单位不一致， 在实际的应用时常常
将求出的方差再开平方，此时得到量为这组数据的标准差 .



即标准差 =

方差 .







四、极差、方差、标准差的关系


方差和标准差都是用来描述一组数据波动情况的量，常用来比较两组数据的波动大小 . 两组数据中极
差大的那一组并不一定方差也大 . 在实际问题中有时用到标准差，是因为标准差的单位 和原数据的单位一
致，且能缓解方差过大或过小的现象 .






一、 随机事件的概率


1、必然事件： 一般地，把在条件

S 下，一定会发生的事件叫做相对于条件


S 的必然事件。

2、不可能事件： 把在条件 S 下，一定不会发生的事件叫做相对于条件


S 的不可能事件。

3、确定事件： 必然事件和不可能事件统称相对于条件



S 的确定事件。

S 的随机事件。

.

4、随机事件： 在条件 S 下可能发生也可能不发生的事件，叫相对于条件

7、概率：随机事件 A 的概率是频率的稳定值，反之，频率是概率的近似值


概率的正确解释： 随机事件在一次试验中发生与否是随机的， 但随机性中含有规律性。 认识了这
种随机中的规律性，可以比较准确地预测随机事件发生的可能性。


二、 概率的基本性质


1、事件的关系与运算


（1）包含。对于事件 A 与事件 B，如果事件 A 发生，则事件 B 一定发生，称事件 B 包含事件 A
（或事件 A 包含于事件 B），记作 B A(或A B)。



不可能事件记作



。

A且 A B
，则称事件

A

与事件

B

相等，记作

A=B

。

（2）相等。 若
B



（3）事件 A 与事件 B 的并事件（和事件）：某事件发生当且仅当事件


A 发生或事件 B 发生。

A 发生且事件 B 发生。

（4）事件 A 与事件 B 的交事件（积事件）：某事件发生当且仅当事件



2

（5）事件 A 与事件 B 互斥：
A

B
为不可能事件，即
A B=

，即事件 A 与事件 B 在任何一次

试验中并不会同时发生。



（6）事件 A 与事件 B 互为对立事件：
A



B
为不可能事件，
A B
为必然事件，即事件

A 与事

件 B 在任何一次试验中有且仅有一个发生。
2、概率的几个基本性质





（1）
0 P( A) 1
.
（2）必然事件的概率为 1.
P( E) 1
.
（3）不可能事件的概率为 0.
P( F )

0
.



（4）事件 A 与事件 B 互斥时， P(A



B)=P(A)+P(B) ——概率的加法公式。

B
为必然事件，
P( A B) 1
.

（5）若事件 B 与事件 A 互为对立事件，，则
A



三、古典概型


1、基本事件的特点：（1）任何两个事件是互斥的；


（2）任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本事件的和。


2、古典概型：（1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；


（2）每个基本事件出现的可能性相等。








具有这两个特点的概率模型称为古典概型。





3、公式：
P( A)=

四、几何概型

A包含的基本事件的个数

基本事件的总数



1、几何概型： 每个事件发生的概率只有与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例的概率


模型。


2、几何概型中，事件

A 发生的概率计算公式：


P( A)




构成事件 A的区域长度（面积或体积）

试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）

三类概率问题的求解策略



对于一个概率题， 我们首先要弄清它属于哪一类型的概率，

因为不同的类型需要采取不同类型的


概率公式和求解方法；其次，要审清 题意，注意问题中的关键语句，因为这些关键语句往往蕴含着解


题的思路和方法。






3

一、可能性事件概率的求解策略


对于可能性事件的概率问题， 利用概率的古典定义来求可能性事件的概率时， 应注意按下列步骤进
行：求出基本事件的总个数 n;②求出事件 A 中包含的基本事件的个数 m;③求出事件 A 的概率，即




P( A)

m
n
二、互斥事件概率的求解策略


对于互斥事件的概率问题， 通常按下列步骤进行： ①确定众事件彼此互斥； ②众事件中有一个发
生；先求出众事件分别发生的概率，然后再求其和。


对于某些复杂的互斥事件的概率问题，一般应考虑两种方法：一是“直接法” ，将所求事件的概率化成
一些彼此互斥的事件的概率的和； 二是用“间接法”，即先求出此事件的对立事件的概率
P( A)
，



再用
P( A) 1

P( A)
求出结果。



三、相互独立事件同时发生的概率的求解策略


对于相互独立事件同时发生的概率问题， 其求解的一般步骤是： ①确定众事件是相互独立的； ②
确定众事件会同时发生；③先求每个事件发生的概率，再求它们的积。






概率的计算方法


一、公式法



利用公式


（随机事件）
P


随机事件可能出现的结果数











随机事件所有可能出现的结果数

就可以计算随机事件的概率， 这里
（必然事件）

P


1 ，




（不可能事件）
，如果

A



为不确定事件，那么


P




0

二、列表法

＜

P（ A）



0


1




例．如果每组 3 张牌，它们的牌面数字分别是

1，2，3，那么从每组牌中各摸出一张牌，两张牌


4 的概率是多少？


的牌面数字和为几的概率最大？两张牌的牌面数字和等于






解：利用列表法：


第一张牌的牌面数字




1

2

3

第二张牌的牌面数字




1

2



（1，1）

（1，2）

（1，3）

（2，1）

（2，2）

（2，3）

4

（3，1）

（3，2）

（3，3）

3

列表中两次出现 1，2，3 点的可能性相同，因而共有 9 中可能，而牌面数字和等于

4 的情况有

（1，3），（ 2， 2），（3，1），3 中可能，所以牌面数字和等于

4 的概率等于

，即

．









31

9

3

三、树状图法


如上题的另一中解法，就利用用树状图法来解：




开始







1

1

2


2


1

2

3


3

1

2


3

3


（ 2）

（3） （ 4）（3）（4）（5）（ 4） （5）（6）











总共 9 种情况，每种情况发生的可能性相同，而两张牌的牌面数字和等于

共 3 次，因此牌面数字和等于

4 的概率最大，概率为等于




4 的情况出现得最多，



3
，即
1

．

9

3


四、面积法

几何概型的概率的求解方法往往与面积的计算相结合


例．如图，矩形花园

ABCD，AB 为 4 米， BC 为 6 米，小鸟任意落下，则小鸟落在阴影区的概率


是多少？


D

C

解：矩形面积为： 4×6＝24（米
2
），


阴影部分面积为：


P



























12


1

4 6 12
（米

2
），

2

1



．

A


B

（小鸟落在阴影区）

24

2


5