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高中数学选修2-3计数原理概率知识点总结 (1)

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-19 20:32
tags:高中数学概率公式

高中数学考不到原题-海口高中数学是什么版本

2020年9月19日发(作者:郭献瑞)


选修2-3定理概念及公式总结
第一章基数原理
1.分类计数原理:做一件 事情,完成它可以有n类办法,在第一类办法中有
m
1

不同的方法,在第二 类办法中有
m
2
种不同的方法,……,在第n类办法中有
m
n

不同的方法那么完成这件事共有 N=m
1
+m
2
+……+m
n
种不同的方法
2 .分步计数原理:做一件事情,完成它需要分成n个步骤,做第一步有m
1
种不同
的方 法,做第二步有m
2
种不同的方法,……,做第n步有m
n
种不同的方法,那
么完成这件事有N=m
1
×m
2
×……m
n
种不同的方法
分类要做到“不重不漏”,分步要做到“步骤完整”
3.两个计数原理的区别:
如果完成一件事,有n类办法,不论哪一类办法中的哪一种方法, 都能独立完成
这件事,用分类计数原理,
如果完成一件事需要分成几个步骤,各步骤都不可缺 少,需要完成所有步骤才能
完成这件事,是分步问题,用分步计数原理
4.排列:从n个不同 的元素中取出m个(m≤n)元素并按一定的顺序排成一列,叫做从
n个不同元素中取出m个元素的一个 排列.
m
(1)
排列数: 从n个不同的元素中取出m个(m≤n)元素的所有排列的个数.用符号
A
n
表示
m
?n(n?1)(n?2)???(n?m?1)
用于计算, (2)排列 数公式:
A
n
m
?

A
n
n!
n ,m?N
?
,m?n
用于证明。
(n?m)!
??
n
=
n!
=
n
?
n?1
?
???3?2?1
=n(n-1)! 规定0!=15.
A
n
组合:一般地 ,从
n
个不同元素中取出
m
?
m?n
?
个元素并成 一组,叫做从
n
个不
同元素中取出
m
个元素的一个组合
(1)组合数: 从
n
个不同元素中取出
m
?
m?n
?
个元素的所有组合的个数,用
C
n
表示
m
A
n
m
n(n?1)(n?2)
L
(n?m?1)
(2)组合数公式:
C?
m
?
用于计算,
A
m
m!
m
n

C
m
n
?
n!
(n,m?N
?
,且m?n)
用于证明。
m!(n?m)!


(3)组合数的性质:
mn?m0m
m
m?1
?C
n
?1
; ②
C
n

C
n
.规定:
C
n
.
?1

C
n
+
C
n
n?11n

C
n
?C
n
?n

C
n
?1

6.二项式定理及其特例:
1
n< br>?1
(1)
二项式定理
?
a
?
b
?
?
C
n
0
a
n
?
C
n
ab
???
C
n
r
a
n
?r
b
r
? ??
C
n
n
b
n
n
?
N
?

n
??
1,2,?,
n
??
叫做二项式系数。 展开式 共有n+1项,其中各项的系数
C
n
r
?
r?
?
0 ,
1rr
x?L?C
n
x?L?x
n
. (2)特例:(1?x)
n
?1?C
n
7.二项展开式的通项公式:

T
r?1
?
C
n
r
a
n
?r
b
r
(为展开式的第r+1项)
8.二项式系数的性质:
(1)对称性:在
?
a?b
?
展开式中,与首末两端 “等距”的两 个二项式系数相等,
n
mn?m
?C
n

C
n
直线
r?
n
是图象的对称轴.
2
(2)增减性与最 大值:当
r?
n
?1
2
时,二项式系数逐渐增大,由对称性知它的< br>后半部分是逐渐减小的,且在中间取得最大值。

n
是偶数时,在中间一项< br>T
n?2
的二项式系数
C
取得最大值;
2
n?1< br>2
n
n?1
2
n
n
2
n

n
是奇数时,在中间两项
T
n?1

T
n?3
的二 项式系数
C
2
2

C
取得最大值.
9.各二项式系数和:
1
C
n
0
?
C
n
?
C
n
2
??
C
n
n
?

2
n

(1)
(2)
C
n
?
C
n
?
C
n
???
C
n
?
C
n
?
C
n
???2
024135
n
?1

10.各项系数之和:(采用赋值法)
例:求
解:

x
?
2x?3y
?
9
的各项系数之和
?
2x?3y
?
9
?a
0
x
9
?a
1
x
8< br>y?a
2
x
7
y
2
???a
9
y< br>9

?1,y?1
,则有
?
2x?3y
?
? a
0
?a
1
?a
2
???a
9
?
?
2?3
?
??1

99
故各项系数和为-1


第二章 概率
知识点:
1、随机变量:如果随机试验可能出现的结 果可以用一个变量X来表示,并且X
是随着试验的结果的不同而变化,那么这样的变量叫做随机变量. 随机变量常用
大写字母X、Y等或希腊字母ξ、η等表示。
2、离散型随机变量:在上面的射 击、产品检验等例子中,对于随机变量X所有可能的值能一
一列举出来,这样的随机变量叫做离散型随机 变量.
3、离散型随机变量的分布列:一般的,设离散型随机变量X可能取的值为x
1
,x
2
,..... ,x
i
,......,x
n

X取每一个值 x
i
的概率p
1
,p
2
,..... , p
i
,......, p
n
,则称表为离散型随机变量X 的概率分布,简
称分布列
4、分布列性质① p
i
≥0, i =1,2,… n;② p
1
+ p
2
+…+p
n
= 1.

5、二点分布:如果随机变量X的分布列为:
其中06、超几何分布:一般地, 设总数为N件的两类物品,其中一类有M件,从所有物品中任取
n (n≤N)件,这n件中所含这类物品件数X是一个离散型随机变量,则它取值为m时的概率为
mn?m
C
M
C
N?M
P(X?m)?(0?m?l,l为n和M中的较小的 一个)

n
C
N
7、条件概率:对任意事件A和事件B,在已知 事件A发生的条件下事件B发生的概率,叫
做条件概率.记作P(B|A),读作A发生的条件下B的概 率
8、公式:
9、相互独立事件:事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没 有影响,这样的两个事件
叫做相互独立事件。
P
(
B
|
A< br>)?
P
(
B
)

10、n次独立重复试验:在相同条 件下,重复地做n次试验,各次试验的结果相互独立,一般
就称它为n次独立重复试验
11、二项分布:

设在n次独立重复试验中某个事件A发生的次数设为X.如果在一 次试验中
某事件发生的概率是p,事件A不发生的概率为q=1-p,那么在n次独立重复试验中 ,事 件A
kkn?k
恰好发生k次的概率是
P(X?k)?C
n
pq(其中 k=0,1, ……,n)
于是可得随机变量X的分布列如下:
这样的离散型随机变量X服从参数为n,p二项分布,记作X~B(n,p) 。
12、数学期望:一般地,若离散型随机变量X的概率分布为


则称
E (X)?x
1
p
1
?x
2
p
2
?L?x< br>n
p
n
为离散型随机变量X的数学期望或均值(简称为期望).
2 22
13、方差:
D(X)?(x
1
?E(X))p
1
?( x
2
?E(X))p
2
?L?(x
n
?E(X))p
n
叫随机变量X
的方差,简称方差。
14、集中分布的期望与方差一览:

期望

两点分布

二项分布,
X

B

n,p


超几何分布
N

M

n






方差

15、正态分布:
若正态变量概率密度曲线的函数表达式为
的图像,其中解析式中的实数
?

?
是参数,且
?
?0

?

?
分 别表示总体的期望与标准差.
期望为
?
与标准差为
?
的正态分布通 常记作
N(
?
,
?
)
,正态变量概率密度曲线的函数的图象
称为正态曲线。
16、正态曲线基本性质:
(1)曲线在x轴的上方,并且关于直线x=
?
对称.
(2)曲线在x=< br>?
时处于最高点,并且由此处向左、右两边无限延伸时,曲线逐渐降低,呈现
“中间高, 两边低”的形状.
(3)曲线的形状由
?
确定.
?
越大,曲线越 “矮胖”,表示总体的分布越分散;
2
?
越小,曲线越“高瘦”,表示总体的分布越集中.
17、3
?
原则:
容易推出,正变量在区间
(
?
?2
?
,
?
?2
?
)
以外取值的概率只有%,在< br>(
?
?3
?
,
?
?3
?
)
以外
取值的概率只有% 由于这些概率很小,通常称这些情况发生为小概率事件.也就是说,通常认< br>为这些情况在一次试验中几乎是不可能发生的.

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