高中数学回归方程公式详解-特别喜欢高中数学能学好吗
第六部分 概率与统计万能知识点及经典题型Ⅰ
【考题分析】
1、考试题型:选择填空1个,解答题:18(必考)
2、考题分值:17分;
3、解答题考点:①频率直方图的应用,②线性回归直线的应用,③独立性检验和概率
4、难度系数:0.7-0.8左右,(120分必须全对,100以上者全对)
【知识总结】
一、普通的众数、平均数、中位数及方差
1、
众数:一组数据中,出现次数最多的数。
2、平均数:①、常规平均数:
x?
x?
?x
2
?
2
?????x
n
?
n<
br>x
1
?x
2
?????x
n
②、加权平均数:
x?
11
?
1
?
?
2
?????
?
n
n
3、中位数:从大到小或者从小到大排列,最中间
或最中间两个数的平均数。
4、方差:
s
2
?
1
[(x<
br>1
?x)
2
?(x
2
?x)
2
?????(
x
n
?x)
2
]
n
二、频率直方分布图下的频率
1、频率
=小长方形面积:
f?S?y
距
?d
;频率=频数总数
2、频率之
和:
f
1
?f
2
?????f
n
?1
;同
时
S
1
?S
2
?????S
n
?1
;
三、频率直方分布图下的众数、平均数、中位数及方差
1、众数:最高小矩形底边的中点。
x?x
1
S
1
?x<
br>2
S
2
?x
3
S
3
?????x
n
S
n
2、平均数:
x?x
1
f
1
?x2
f
2
?x
3
f
3
?????x
n<
br>f
n
3、中位数:
从左到右或者从右到左累加,面积等于0.5时
x
的值。
4、方差:
s
2
?(x
1
?x)
2
f
1
?(x2
?x)
2
f
2
?????(x
n
?x)2
f
n
?
?a
?
?bx
?
四、线性回归直线方程:y
?
?
其中:
b
?
(x
i
?x)(y
i
?y)
i?1
n
?
(x
i
?x)
i?1
n
2
?
?
x
i
y
i
?n
xy
i?1
n
n
?
x
i
?nx
2
i?1
2
?
?
?y?bx
,
a
1、线性回归直线方程必过样本中心
(x,y)
;
?
?0:
正相关;
b
?
?0:
负相关。
2、
b
?
中,两个公式中分子、分母对应也相等;中间可以推导得到。
?<
br>?a
?
?bx
?
的斜率
b
3、线性回归直线方程:<
br>y
五、回归分析
?
i
?y
i
?y
?
i
(残差=真实值—预报值)。
1、残差:
e
?
i
越小越好;
分析:
e
?
i
)
2
, 2、残差平方和:
?
(
y
i
?y
i?1
n
?
i
)
2
?
(
y
1
?y
?
1
)
2
?
(
y
2
?y
?
2
)
2
????
?
(
y
n
?y
?
n
)
2
分析:①意义:越小越好; ②计算:
?
(
y
i
?y
i
?1
n
3、拟合度(相关指数):
R
2
?1?
?
i
)
?
(
y
i
?y
i?1
n
n2
?
(y
i
?y)
i?1
,
2
分析
:①.
R
2
?
?
0,1
?
的常数;
②.越大拟合度越高;
4、相关系数:
r?
?
(x
i
?x
)(y
i
?y)
i?1
n
?
(x
i
?x)
?
(y
i
?y)
2
i?1i?1
nn
?<
br>2
?
x
i
y
i
?nx?y
i?1
n
?
(x
i
?x)
?
(y
i
?y)
2
i?1i?1
nn
2
分析:①.
r?[?1,1]
的常数;
②.
r?0:
正相关;
r?0:
负相关
③.
r?[0,0.25]
;相关性很弱;
r?(0.25,0.75)
;相关性一般;
r?[0.75,1]
;相关性很强;
六、独立性检验
1、2×2列联表:
2、独立性检验公式
①.
k
2
?
2
x
1
x
2
b
合计
n(ad?bc)
(a?b)(c?d)(a?c)(b?d)
y
1
y
2
合计
a
a?b
②.犯错误上界P对照表
c
a?c
d
b?d
c?d
n
3、独立性检验步骤
n(ad?bc)
2
①.计算观察值
k
:
k?
;
(a?b)(c?d)(a?c)(b?d)
②.查找临界值
k
0
:
由犯错误概率P,根据上表查找临界值
k
0
;
③.下结论:
k?k
0
:即犯错误概率不超过P的前提下认为:
,有1-P以上的把握认为:
k?k
0
:即犯错误概率超过P的前提认为: ,没有1-P以上的把握认为:
;
【经典例题】
题型1 与茎叶图的应用
例1(2014全国)某市为考核甲
、乙两部门的工作情况,学科网随机访问了50位市民。根据这50位市民
(1)分别估计该市的市民对甲、乙
部门评分的中位数;
(2)分别估计该市的市民对甲、乙
部门的评分做于90的概率;
(3)根据茎叶图分析该市的市民对
甲、乙学科网两部门的评价。
题型2 频率直方分布图的应用
例2(2015广东)某城市100户居民的月平均用电量(单位:度),以
[
160
,180
)
,
[
180,200
)
,
[
2
00,220
)
,
[
220,240
)
,
[
240,260
)
,
[
260,280
)
,
[<
br>280,300
]
分组的频率分布直方图如图2,
(1)求直方图中
x
的值;
(2)求月平均用电量的众数和中位数; (3)在月平均用电量为
[
220,240
)
,
[
24
0,260
)
,
[
260,280
)
,
[
280,300
]
的四组用户中,用分层抽样的方法抽取11户居民,则
月平均用电量
在
[
220,240
)
的用户中应抽取多少户?
练习2 (2014全国1)从某企业生产的某种产品
中抽取100件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量表得
如下频数分布表:
质量指标值分组 [75,85) [85,95) [95,105) [105,115)
[115,125)
频数 6 26 38 22 8
(1)在答题卡上作出这些数据的频率分布直方图:
(2)估计这种产品质量指标值的平均数
及方差
(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);
(3)根据以上抽样调查数据,能否
认为该企业生
产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产
品至少要占全部产品的80%”的
规定?
题型3 计算线性回归方程
例3(2015重庆)随着我国经
济的发展,居民的储蓄存款逐年增长.设某地区城乡居民人民币储蓄存款(年底余
额)如下表:
年份 2010 2011 2012 2013 2014
时间代号
t
1 2 3 4 5
储蓄存款
y
(千亿元)
5 6 7 8 10
?
?a
?
?bt
?
(1)求
y
关于
t
的回归方程
y
(2)用所求回归方程预测该地区2015年(
t
=6)的人民币储蓄存款.
练习3(2014全国2)某地区2007年至2013年
农村居民家庭纯收入y(单位:千元)的数据如下表:
年份 2007 2008 2009
2010 2011 2012 2013
年份代号
t
1 2 3 4 5 6
7
人均纯收入
y
2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9
(1)求
y
关于
t
的线性回归方程;
(2)利用(1)中
的回归方程,分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况,并预测该
地区2
015年农村居民家庭人均纯收入.
题型4 线性回归分析
例4(2016全国3)下
图是我国2008年至2014年生活垃圾
无害化处理量(单位:亿吨)的折线图.
注:年份代码1–7分别对应年份2008–2014.
(1).由折线图看出,可用线性回
归模型拟合
y
与
t
的关系,请
用相关系数加以说明;
?<
br>?a
?
?bt
?
(系数精确到0.01),
(2).求出y
关于
t
的回归方程
y
预测2016年我国生活垃圾无害化处理
量.
参考数据:
?
y
i?1
7
i
?9.32,
?
t
i
y
i
?40.17
,
i?1
7
?
(y?y)
i
i?1
7
2
?0.55
,≈2.646.
参考公式:
r?
?
(t?t)(y?y)
ii
i?1
n
?
(t
i
?t)
i?1
n
2
?
(y
i
?y)
i?1
n
)
)
)
)
回归方程
y?a?bt
中:
b?
,
2
?
(t?t)(y?y)
ii
i?1
n
?
(t?t)
i
i?1
n
))
)
a=y?bt.
,
2
题型5 独立性检验综合应用
例5.为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关,对本班6
0人进行了问卷调查得到了如下的2×2列联表:
(1)用分层抽样的方法在喜爱打篮球的学生中抽6人,其中男生抽多少人?
(2)在上述抽取的人中选2人,求恰有一名女生的概率;
(3)你是否有95%的把握认为喜爱打篮球与性别有关?说明你的理由。
练习5.
为调查某市学生百米运动成绩,从该市学生中按照男女比例
随机抽取50名学生进行百米测试,学生成绩全部都介于13秒到18秒之
间,将测试结果按
如下方式分成五组,第一组
?
13,14
?
,
第二组
?14,15
?
,
?
第
五组
?
17,18?
,如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图.
(1)求这次测试成绩的平均数、众数和中位数、
(2)设
m,n
表示从第
一组和第五组的所有学生中任意抽取的两名学生的百
米测试成绩,即
m,n?
?
13,14
?
?
?
17,18
?
,求事件“
m?
n?2
”的概率;
(3)根据有关规定,成绩小于16秒为达标.如果男女生使用相同的达
标标
准,则男女生达标情况如下表:
完成上表,并根据上表数据,能否有99﹪的把握认为“体育达标与性
达标
别有关”?
不达标
总计
男
24
女
12
总计
50
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