【高中教育】2020高中数学第三章概率3

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【高中教育】2020高中数学第三章概率3

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【20xx精选】最新高中数学第三章概率3


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学习目标 1。理解互斥事件、对立事件的概念和实际 意义，能根据
定义辨别事件的互斥、对立关系；2。掌握互斥事件的概率加法计算


公式．
知识点一 互斥事件
思考 一粒骰子掷一次，记事件A：点数大于4；事件B：点数小于

3，则事件A，B可能在一次试验中同时发生吗？


梳理 互斥事件的概念：
________________的两个事件称为互斥事件．

知识点二 事件A＋B
思考 一粒骰子掷一次，A：点数为奇数；事件B：点数大于3，则

A，B至少有一个发生包含哪些基本事件？
梳理 一般地，事件“A，B至少有一个发生”记为 A＋B。如果事件
A，B互斥，那么事件A＋B发生的概率，等于事件A，B分别发生的概
率的 和，即P(A＋B)＝__________________。一般地，如果事件A1，
A2，…，A n两两互斥，那么P(A1＋A2＋…＋An)＝


________________。
知识点三 对立事件
思考 在“知识点一思考”中，一次试验里，A，B是否必有一个发

生？你能定义一个事件C，使A，C必有一个发生吗？

梳理 对立事件及其概率公式：
如果两个互斥事件必有一个发生，那么称这两个事件为对立事件．事

件A的对立事件记为；对立事件概率公式P()＝__________。

类型一 互斥、对立的判定

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例1 判断下列 各对事件是不是互斥事件，并说明理由．
某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加演讲比 赛，



其中：
(1)“恰有1名男生”和“恰有2名男生”；< br>(2)“至少有1名男生”和“至少有1名女生”；


(3)“至少有1名男 生”和“全是男生”；
(4)“至少有1名男生”和“全是女生”．
反思与感悟 如果A、B是两个互斥事件，反映在集合上，是表示A、

B这两个事件所含结果组成的集合彼此互不相交．
跟踪训练1 一个射手进行一次射击，试判断下列事件哪些是互斥事


件？哪些是对立事件？
事件A ：命中环数大于7环； 事件B ：命中环数为10环；
事件C ：命中环数小于6环； 事件D ：命中环数为6、7、8、9、10


环．
类型二 互斥、对立概率公式
例2 如果从不包括大小王的52张扑克牌中随机抽取一张，那么取

到红心(事件A)的概率是，取到方块(事件B)的概率是，问：


(1) 取到红色牌(事件C)的概率是多少？
(2)取到黑色牌(事件D)的概率是多少？
反思与感悟 事件C是事件A与事件B的并事件，且事件A与事件B
互斥，因此可用互斥事件的概率加法公式求解，事 件C与事件D是对

立事件，因此P(D)＝1－P(C)．
跟踪训练2 袋中有12 个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，
从中任取一球，已知得到红球的概率是，得到黑球或黄球的概 率是，

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得到黄球或绿球的概率也是，试求得到黑球、黄球、绿球的概率分别


是多少？
类型三 事件关系的简单应用
例3 某人外出去开会，他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别


为0。3,0。2,0。1,0。4。
(1)求他乘火车或乘飞机去的概率；

(2)求他不乘轮船去的概率；
(3)如果他乘交通工具的概率为0。5，请问他有可能乘哪种交通工

具？
反思与感悟 对于一个较复杂的事件，一般将其分解为几个简单的事

件．当这些事件彼此互斥时，即可用概率加法公式．
跟踪训练3 甲、乙两人下棋，和棋的概率为，乙获胜的概率为，



求：
(1)甲获胜的概率； (2)甲不输的概率．
1．给出以下结论，其中正确命题的个数有________．



①互斥事件一定对立；
②对立事件一定互斥；
③互斥事件不一定对立；

④事件A与B的和事件的概率一定大于事件A的概率；

⑤事件A与B互斥，则有P( A)＝1－P(B)．
2．投掷一枚质地均匀的骰子，若事件A为“向上的点数至少为

5”．则事件是指__________________．
3．口袋内装有一些大小相同的红球、白 球、黑球，从中摸出1个
球，摸出红球的概率是0。42，摸出白球的概率是0。28，那么摸出

黑球的概率是________．

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4．从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么，互斥而




不对立的事件是________．
①至少有一个红球与都是红球；
②至少 有一个红球与都是白球；
③至少有一个红球与至少有一个白球；

④恰有一个红球与恰 有两个红球．
5．某射手在一次射击训练中，射中10环，9环，8环，7环的概率分
别为0。 21,0。23,0。25,0。28，计算这个射手在一次射击中：(1)

射中10环或7 环的概率；(2)不够7环的概率．
1．互斥事件与对立事件的区别与联系：互斥事件是指事件A与事件
B在一次试验中不会同时发生，其具体包括三种不同的情形：(1)事
件A发生且事件B不发生 ；(2)事件A不发生且事件B发生；(3)事件
A与事件B同时不发生．而对立事件是指事件A与事件 B有且仅有一
个发生，其包括两种情形：(1)事件A发生事件B不发生；(2)事件B


发生事件A不发生，对立事件是互斥事件的特殊情形．
2．当事件A与B互斥时，满 足加法公式：P(A＋B)＝P(A)＋P(B)；
3．若事件A与B为对立事件，则A＋B为必然事件 ，所以P(A＋B)＝

P(A)＋P(B)＝1，于是有P(A)＝1－P(B)．

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答案精析




问题导学
知识点一
思考 不可能．
梳理 不能同时发生

知识点二

思考 A，B至少有一个发生包含点数为1，3，4，5，6。

梳理 P(A)＋P(B) P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)

知识点三
思考 不是，比如掷出点数为3，则A，B都不发生，定义C：点数不

大于4，则A，C必有一个发生．

梳理 1－P(A)

题型探究

例1 解 (1)是互斥事件．
理由是：在所选的2名同学中，“ 恰有1名男生”实质是选出的是
“1名男生和1名女生”，它与“恰有2名男生”不可能同时发生，
所以是一对互斥事件．

(2)不是互斥事件．
理由是：“至少有1名 男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都
是男生”两种结果；“至少有1名女生”包括“1名女生 、1名男生”

和“2名都是女生”两种结果，它们可能同时发生．

(3) 不是互斥事件．
理由是：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都

是男生”，这与“全是男生”可能同时发生．

(4)是互斥事件．

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理由是：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都

是男生”两种结果，它和“全是女生”不可能同时发生．
跟踪训练1 解 A 与C 互斥(不可能同时发生)，B 与C 互斥，C 与

D 互斥，C 与D 是对立事件(至少一个发生)．
例2 解 (1)因为C＝A＋B，且A与B不会同时发生，所以事件A与

事件B互斥，根据概率的加法公式得

P(C)＝P(A)＋P(B)＝。
( 2)事件C与事件D互斥，且C＋D为必然事件，因此事件C与事件D


是对立事件，P(D)＝1－P(C)＝。
跟踪训练2 解 设得到黑球、黄球的概率分别为x，y，由题意得


解得x＝，y＝，
所以得到绿球的概率为

1－－－＝。

所以得到黑球、黄球、绿球的概率分别是，，。
例3 解 (1)记“他乘火车”为事件A，“ 他乘轮船”为事件B，
“他乘汽车”为事件C，“他乘飞机”为事件D。这四个事件两两不

可能同时发生，故它们彼此互斥，

所以P(A＋D)＝P(A)＋P(D)

＝0。3＋0。4＝0。7。

即他乘火车或乘飞机去的概率为0。7。

(2)设他不乘轮船去的概率为P，则

P＝1－P(B)＝1－0。2＝0。8，


所以他不乘轮船去的概率为0 。8。
(3)由于P(A)＋P(B)＝0。3＋0。2＝0。5，

P(C)＋P(D)＝0。1＋0。4＝0。5，

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故他可能乘火车或乘轮船去，也有可能乘汽车或乘飞机去．
跟踪训练3 解 (1)“甲获胜”和“和棋或乙获胜”是对立事件，

所以“甲获胜”的概率P＝1－－＝。即甲获胜的概率是。
(2)方法一 设事件A为“甲不输”，可看成是“甲获胜”“和棋”

这两个互斥事件的并事件，


所以P(A)＝＋＝。
即甲不输的概率为。

方法二 设事件A为“甲不输”，可看成是“乙获胜”的对立事件，


所以P(A)＝1－＝。
即甲不输的概率是。

当堂训练

1．2

解析 对立必互斥，互斥不一定对立，


∴②③正确，①错；
又当A∪B＝A时，P(A∪B)＝P(A)，

∴④错；

只有A与B为对立事件时，才有P(A)＝1－P(B)，∴⑤错．

2．向上的点数至多为4 3。0。30

4．④
解析 ①中，若取出的3个 球是3个红球，则这两个事件同时发生，
故它们不是互斥事件，所以①不符合题意；②中，这两个事件不 能同
时发生，且必有一个发生，则它们是互斥事件且是对立事件，所以②
不符合题意；③中，若 取出的3个球是1个红球，2个白球时，它们
同时发生，则它们不是互斥事件，所以③不符合题意；④中 ，这两个

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事件不能同时发生，是互斥事件，若取出的3个球都是红球，则它们


都没有发生，故它们不是对立事件，所以④符合题意．
5．解 设射中10环或7环的概率为P1，不够7环的概率为P2。


(1)P1＝0。2 1＋0。28＝0。49；
(2)P2＝1－0。21－0。23－0。25－0。28

＝0。03。

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