高中数学概率基础

模块七 统计、概率基础
特别提醒：理科的《随机变量的分布列、均值与方差》这个模块没有编入资料，敬请注意。
第一部分：抽样与统计（必修3）
?
简单抽样
?
１.抽样方法
?
系统抽样

?
分层抽样
?
分层抽样：按对象在总体中所占的比例抽取。
系统抽 样：将对象编号并分组，第一个号在第一组随机抽取，之后按编号等间隔抽取，抽出
的编号成等差数列。
范例1在
1000
个有机会中奖的号码（编号为
000?999
）中 ，在公证部门监督下按照随机
抽取的方法确定后两位数为的号码为中奖号码，该抽样运用的抽样方法是 （ ）
A．简单随机抽样 B．系统抽样 C． 分层抽样 D．以上均不对
分析：实际“间隔距离相等”的抽取，属于系统抽样．
088
，
188，
288
，解析：题中运用了系统抽样的方法采确定中奖号码，中奖号码依次为：
388
，
488
，
588
，
688
，
78 8
，
888
，
988
．答案B
范例2某校共有学生
2000
名，各年级男、女生人数如表．已知在全校学生中随机抽取
1
名，
抽到二年级女生的概率是
0.19
．现用分层抽样的方法在全校抽取
64
名学 生，则应在三年级
抽取的学生人数为（ ）
A．
24
B．
18
C．
16
D．
12


一二三


年级 年级 年级

y
373
女

x


生
分析 ：根据给出的概率先求出
x
的值，这样就
377370
男
z

生人数，问题就解决了． 可以知道三年级的学

生
解析：C 二年级 女生占全校学生总数的
19%
，
即
x?2000?0.19?380
，这样一年级和二年级学生的总数是
373?377?380?370?1500
，三年级学生 有
500
人，用分层抽样抽取的三年级学生
应是
64
?500?16
．答案C．
2000
范例3一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了
1 0000
人，并根据所得数据画了
样本的频率分布直方图（如下图）．为了分析居民的收入与年 龄、学历、职业等方面的
关系，要从这
10000
人中再用分层抽样方法抽出
100
人作进一步调查，则在
?
2500,3500
?
（元）月收入 段应抽出 人．

解析：根据图可以看出月收入在
?
2 500,3500
?
的人数的频率是
故月收入在
?
2500,35 00
?
人数是
10000?0.4?4000
，
?
0.0 005?0.0003
?
?500?0.4
，
故抽取
25
人 ．
２.茎叶图
如图，是甲、乙两人的10次考试的数学成绩，
分别求甲、乙二人10次考试的平均成绩。
分析：该题主要是读懂茎叶图，图中中间那一
列表示成绩分数的最高位。
甲的成绩分别是：99、95、85、83、82、77、
75、71、69、67.（后略）
3.样本平均值
甲
5
2
1
3
5
7
9
5
7
9
9
8
7
6
乙
7
6
9
2
6
4
6
2
3
1
x?x
1
?x
2
?.......?x
n

n
4.样本方差
(x
1
?x)
2
?(x
2
?x)
2
?......?(x
n
?x)
2

S?
n
5. 样本方差
(x
1
?x)
2
?(x
2
?x)
2
?......?(x
n
?x)
2

D?
n
第二部分：概率（必修3）
一。古典概率
备 注：在概率问题中，所谓“事件”，说白了，就是“结果”，比如说“事件A发生”，
就是“出现结果A ”。
计算公式：
p
(A)
?
m

n
n
：表示试验的等可能的基本事件（基本结果）总数。
m
：表示事件A的基本事件（基本结果）总数。
概念理解：①什么是基本事件（基本结果）
基本事件通俗地讲，就是这个事件小到不含其它任何事件。
②什么是等可能的基本事件？
例如：一个骰子连续投
2
次，点数和为
4
的概率为______.
在这个问题中，基本的结果（事件）可以列举出来：
(1,1),(1,2)，……….(1,6)
(2,1),(2,2),………… (2,6)
…………………………
(6,1),(6,2),………….(6,6)共计6 ×6=36个。则36个结果出现的可能性一样，
即等可能。
点数和为
4
包含的结果有：（1，3），（3，1）
（2，2）

故P=
31
?
。
3612
例如：掷两枚骰子，点数和为
4
的概率为______.
在这个问题中，基本的结果（事件）可以列举出来：
(1,1),(1,2)，……….(1,6)
(2,1),(2,2),………… (2,6)
…………………………
(6,1),(6,2),………….(6,6)共计6 ×6=36个。则36个结果出现的可能性一样，
即等可能。
点数和为
4
包含的结果有：（1，3），（3，1）
（2，2）
故P=
31
?
。
3612
为什么“掷两枚骰 子”要把（1，2），（2，1）这样的结果看做两个不同的结
果呢？我们注意到在上面的列表中，如果 把（1，2），（2，1）看做同一个结果，那么
像(1,1),（2，2），….,(6,6)这几个 结果就与其它结果（如（1，2），（2，3）,…….）的
发生不是等可能的。
应用公式
p
(A)
?
m
计算事件A的概率，前提是基本事件等可能发 生。
n
范例1从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a，从{1,2,3}中随机选 取一个数为b，则b>a的
概率是（D）
（A）
4321
(B) （C） (D)
5555
31
?

5?35
解析：“{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a，从{1,2,3}中随机选 取一个数为b”有5
×3种情况，“b>a”有3种情况。故概率为
范例2 从1，2，3，4，5四个数中取出两个数，则这两个数的和为5的概率是_______.
解析：设“这两个数的和为5”为事件A，
“1，2，3，4，5四个数中取出两个数”共有10种可能，故实验的基本事件数为10，
“这两个数的和为5”有
?
1,4,2,3
?
两种可能，故事件A的基本事件 数为2.
??
P(A)?
21
?

105
范例3 从1，2，3，4，5四个数中取出两个数组成一个两位数，则这个两位数是奇数的概
率是______ _.
解析：设“这个两位数是奇数”为事件A，
“1，2，3，4，5四个数中取出两个数 组成一个两位数”共有20种可能，故实验的基本事
件数为20，
“这个两位数是奇数”有12种可能，故事件A的基本事件数为12.
P(A)?
123
?

205
二。互斥事件有一个发生的概率
互斥事件：指不可能同时发生的两个事件叫互斥事件.
从集合角度来看，A、B两个事件互斥 ，则表示A、B这两个事件所含结果组成

的集合的交集是空集.
互斥事件有一 个发生：即事件A或事件B发生，记为A+B，从集合的角度，就是事件A∪B
发生，由于事件A、B互 斥，故
P(A?B)?P(A?B)
=
P(A)?P(B)
.
特别地：P（A+
A
）=P（A）+P（
A
）=1.
范例1甲、乙 两人下棋，甲获胜的概率是40%，甲不输的概率为90%，则甲、乙二人下成
和棋的概率为
A.60% B.30% C.10% D.50%
解析：甲、乙两人下棋，记“甲赢”（即乙输）为事件A,“乙赢”（即甲输 ）为事件B，
“和”为事件C，A、C是互斥事件。
“甲不输”记为事件M，则事件M包含事件A和事件C，
由题P(M)=P(A)+P(C)= 40%+ P(C)= 90%，得P(C)= 50%。
范 例2一个病人服用某种新药后被治愈的概率为0.9.则服用这咱新药的4个病人中至少3
人被治愈的概 率为_______（用数字作答）。【答案】0.9744
33
解析：分情况讨论:若共有 3人被治愈，则
P
1
?C
4
(0.9)?(1?0.9)?0.29 16
；
若共有4人被治愈，则
P
2
?(0.9)
4
?0.6561
，故至少有3人被治愈概率
P?P
1
?P
2
?0.9744

备注：“互斥事件有一个发生的概率”问题，就是研究某个事件的概率时， 需要将这个问题
分为几类，然后将这几类情形的概率加起来。实质就是分类讨论思想的体现。
范例3根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲
种保险的概 率为0.3，设各车主购买保险相互独立。求该地1位车主至少购买甲、乙两
种保险中的1种概率； < br>解析：设“该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种”为事件M，则事件M分两种
情况：“ 车主只购买甲种保险”，记为事件A，“车主只购买乙种保险”记为事件B，
由题
P(A)?0.5,P(B)?0.3,C?A?B,

故
P(M)?P(A?B)?P(A)?P(B)?0.8.

范例4向假设的三座相 互毗邻的军火库投掷一颗炸弹，只要炸中其中任何一座，另外两座
也要发生爆炸．已知炸中第一座军火库 的概率为
0.2
，炸中第二座军火库的概率为
0.3
，
炸中第三座军 火库的概率为
0.1
，则军火库发生爆炸的概率是_________.
分析：记事 件A“炸中第一座军火库”，事件B“炸中第二座军火库”，事件C“炸中第三座
军火库”，事件M为“ 军火库发生爆炸”。
由于只投掷了一颗炸弹，只能炸中某一个军火库，故三个军火库不能同时 炸中，故事件
A、B、C是互斥事件，但只要炸中其中任何一座，另外两座也要发生爆炸，所以军火库发生爆炸，只需炸中三个军火库中的任何一个就可以了，
那么，
P(M)?P(A)? P(B)?P(C)?
0.2?0.3?0.1?0.6

范例5已知关于
x
的一次函数
y?mx?n
．设集合
P?
?
?2,?1,1, 2,3
?
和
Q?
?
?2,3
?
，分别从集
合
P
和
Q
中随机取一个数作为
m
和
n
,则 函数
y?mx?n
是减函数的概率为________.

分析：设“ 函数
y?mx?n
是减函数”为事件A，
m
和
n
的取法共有
5?2?10
种，故实验的
基本事件有10个，函数
y?mx?n
是 减函数，则
m?0
,
m
在P中取，只能取
?2,?1
，n
在Q中取，可取
?2,3
，故函数
y?mx?n
是减函数得m 和n 的取法共有4种取法，即
事件A的基本事件数为4，从而
P(A)?
三．几何概型
几何概型公式：
p(A)?
42
?

105
事件A的区域（长度、面积、体积）

试验区域（长度、面积、体积）
范例1如图，正方形的边长为1，正方形内有一个内切圆，在这个正方形内任取一点，则取
到的 点在圆内的概率是_____________.
分析：这个实验是在正方形内取点，故这个实验的实 验区域是正方形，
正方形的面积
S
正
?1
，设“取到的点在圆内”为 事件A，则事件A
的区域为圆，圆的面积为
∴
P(A)?
?
，
4
S
圆
?
?
。
S
正
4
M
B
N
A
范例2如图：
M
是半径为
R
的圆 周上一个定点，在圆周上
等可能的任取一点
N
，连接
MN
，则弦
MN
的长度
不超过
2R
的概率是 .
分析：这个实验是在圆周上取点N ，故实验区域是整个圆周，圆的周长为
2
?
R
,要使弦
MN
的长度不超过
2R
，图中弧MA及弧MB的弧长恰 好是
2R
，则点N的活动区域在
弧AB上，弧AB的长度为
?
R，设事件A为“弦
MN
的长度不超过
2R
”,则∴
P(A)?< br>弧AB的长度1
?

圆的周长2
S
的概率是________.
4
C
范例3在 面积为S的△ABC的边AB上任取一点P，则△PAC的面积大于
分析：这个实验是在边AB上取点， 故实验区域是边AB，
SS
设事件A为“△PAC的面积大于”,要使△PAC的面积大于
44
设△ABC的边AB上的高为h，则△PAC的边AP上的高也为h ，
AM
p
B
SS
则当△PAC的面积等于
4
时，P 在M处，则△PAC的面积大于
4
时，则P在图中MB上

活动，故P(A)?
MB3
=
AB4
00
范例4 ①如图，有一个直角三角形ABC，∠BCA=90，∠CAB=30，在AB 边上任取一点
M，则使得
CM?CB
的概率为__________.
分析：这个实验是在AB上取点，则实验区域是边AB ，设
AB
=2，
当
CM?CB
时，M在D处，且
AD
=1，要使
CM?CB
，
则M必须线段DA上活动，设事件A为“使得
CM?CB
”,则
AM
D
C
B
P(A)?
DA1
?

AB2
00
②如图，有一个直角三角形ABC，∠BAC=90，∠CAB=30，经过点C作射线交边AB于M，则使得
CM?CB
的概率为__________.
分析：这个实验是在过 C作射线CM，形成∠BCM,由于M在边
AB上，故这个实验区域是∠BAC ，当
CM?C B
时，M在D
0
C
AM
D
B
处，∠ACD=30， 要使
CM?CB
，则M必须线段DA上活动，∠ACM的终边CM在
∠ACD这个区 域内，设事件A为“使得
CM?CB
”,则
P(A)?
?ACD301
??

?ACB903
1
范例5在面积为S的三角形ABC内任取一点P， 则使△PAB的面积S
0
3
________。
分析：这个实验是在△ABC内任取一点P，故实验区域
是△ABC内部，当△PAB的面积 S
0
=
C
E
A
p
F
B
1
S，P在线段EF
3
上（可以推导出EF到AB得距离是ABC的AB边上的高
的11
），故使△PAB的面积S
0
33
S
梯形EFBA
51
区域内活动，设事件A为“△PAB的面积S
0
P(A)?
=
39
S
?ABC
范例6①在区间
(0,10]
内随机地取出一个数
a
，使得
2?a?5
的概 率是________.
分析：如图，画一个数轴，这个实验是在数轴0到10
0
2
10
5
间任取一个数a，，故这个实验的区域是0到10间的
线段，设事 件A为“使得
2?a?5
”，则事件A活动区域是2到5间的线段，∴
P(A)?5?23
?

1010
②在在区间
(0,10]
内随机地取出两个数，使得它们
的差不超过5的概率是________.
分析：如图，画一个数轴，这个实验是在数轴0到10
（图中线段AB）取两个数，设这两个数分别为x、y，
则、y满足：
A
0
x
10
实验区域
0
y
B
10
10

?
0?x?10
,则实验区域是平面直角坐标系内的一个正方形，
?
?
0?y?10
设事件A为“它们的差不超过5”，则事件A满足： 10
B
0
C
A
D
10
x?y?5
，则 事件A的区域是图中的阴影区域，
∴
P(A)?

阴影区面积
100?253
?
=
1004
正方形的面积