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[实用参考]高中数学选修2-3计数原理概率知识点总结.doc

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-19 20:34
tags:高中数学概率公式

高中数学必修一数学教材答案-双曲线在高中数学中的地位

2020年9月19日发(作者:相润)


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选修2-3定理概念及公式总结
第一章基数原理
1 .分类计数原理:做一件事情,完成它可以有n类办法,在第一类办法中有
m
1
不同的方法,在第二类办法中有
m
2
种不同的方法,……,在第n类办法中有m
n

不同的方法那么完成这件事共有N=m
1
+m
2
+……+m
n
种不同的方法
2.分步计数原理:做一件事情,完成它需要分 成n个步骤,做第一步有m
1
种不同
的方法,做第二步有m
2
种不同 的方法,……,做第n步有m
n
种不同的方法,那
么完成这件事有N=m
1< br>×m
2
×……m
n
种不同的方法
分类要做到“不重不漏”,分步要做到“步骤完整”
3.两个计数原理的区别:
如 果完成一件事,有n类办法,不论哪一类办法中的哪一种方法,都能独立完成
这件事,用分类计数原理,
如果完成一件事需要分成几个步骤,各步骤都不可缺少,需要完成所有步骤才能
完成这件事,是 分步问题,用分步计数原理.
4.排列:从n个不同的元素中取出m个(m≤n)元素并按一定的顺序 排成一列,叫做从
n个不同元素中取出m个元素的一个排列.
m
(1)
排列 数:从n个不同的元素中取出m个(m≤n)元素的所有排列的个数.用符号
A
n
表示
m
?n(n?1)(n?2)???(n?m?1)
用于计算, (2)排列数公式:
A
n
m
?

A
n
n!
n,m?N
?
,m?n
用于证明。
(n?m)!
??
n
=< br>n!
=
n
?
n?1
?
???3?2?1
=n (n-1)!规定0!=15.组合:一般地,
A
n

n
个不同元素 中取出
m
?
m?n
?
个元素并成一组,叫做从
n
个 不同元素中取出
m
个元素的一个组合
(1)组合数:从
n
个不同元 素中取出
m
?
m?n
?
个元素的所有组合的个数,用
Cn
表示
m
A
n
m
n(n?1)(n?2)(n?m? 1)
(2)组合数公式:
C?
m
?
用于计算,
A
m
m!
m
n

C
m
n
?
n!(n,m?N
?
,且m?n)
用于证明。
m!(n?m)!
(3)组合数的性质:
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mn?m0mmm?1
?C
n
?1< br>;②
C
n

C
n
.规定:
C
n.
?1

C
n
+
C
n
n?11n< br>③
C
n
?C
n
?n

C
n
?1

6.二项式定理及其特例:
1
n
?1
(1)
二项式定理
?
a
?
b
?
?
C
n
0
a
n
?
C
n
ab
?
?
?
C
n
r
a
n
?r
b
r
?
??
C
n
n
b
n
n
?
N
?
n
??
1,2,
?
,
n
??
叫做二 项式系数。
展开式共有n+1项,其中各项的系数
C
n
r
?
r
?
?
0,
1
x?
(2)特例:
(1?x)n
?1?C
n
rr
?C
n
x??x
n
.
7.二项展开式的通项公式:
T
r?1
?
C
n
r
a
n
?r
b
r
(为展开式的第r+1项)
8.二项式系数的性质:
(1)对称性:在
?
a?b
?
展 开式中,与首末两端“等距”的两个二项式系数相等,
n
mn?m
?C
n
C
n

直线
r?
n
是图象的对称轴. 2
(2)增减性与最大值:当
r?
n
?1
2
时,二项式 系数逐渐增大,由对称性知它的
后半部分是逐渐减小的,且在中间取得最大值。

n
是偶数时,在中间一项
T
n?2
的二项式系数
C
取得最大值 ;
2
n?1
2
n
n?1
2
n
n
2
n

n
是奇数时,在中间两项
T
n?1

T
n?3
的二项式系数
C
2
2

C
取得 最大值.
9.各二项式系数和:
(1)
1
C
n
0
?
C
n
?
C
n
2
??
C
nn
?
2
n

(2)
C
n
?
C
n
?
C
n
???
C
n
?
Cn
?
C
n
???2
024135
n
?1

10.各项系数之和:(采用赋值法)
例:求
解:

x?
2x?3y
?
9
的各项系数之和
99
?
2 x?3y
?
9
?a
0
x
9
?a
1
x
8
y?a
2
x
7
y
2
???a
9
y
9

?1,y?1
,则有
?
2x?3y
?
?a
0
?a
1
?a
2
???a
9?
?
2?3
?
??1

第二章概率
故各项系数和为-1
知识点:
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1、随机变量:如果随机试验可能出现的结果可以用一个变量P 来表示,并且P
是随着试验的结果的不同而变化,那么这样的变量叫做随机变量.随机变量常用
大写字母P、P等或希腊字母ξ、η等表示。
2、离散型随机变量:在上面的射击、产品检验等例子中 ,对于随机变量P所有可能的值能一
一列举出来,这样的随机变量叫做离散型随机变量.
3、 离散型随机变量的分布列:一般的,设离散型随机变量P可能取的值为P
1
,P
2,.....,P
i
,......,P
n

P取每一个值P< br>i
的概率p
1
,p
2
,.....,p
i
, ......,p
n
,则称表为离散型随机变量P的概率分布,简称分布


4、分布列性质①p
i
≥0,i=1,2,…n;②p
1
+p
2
+…+p
n
=1.

5、二点分布:如果随机变量P的分布列为:

其中06、超几何分布 :一般地,设总数为N件的两类物品,其中一类有M件,从所有物品中任取n(n
≤N)件,这n件中所 含这类物品件数P是一个离散型随机变量,则它取值为m时的概率为
mn?m
C
MC
N?M
P(X?m)?(0?m?l,l为n和M中的较小的一个)

n
C
N
7、条件概率:对任意事件A和事件B,在已知事件A发生的条件下事件B发 生的概率,叫
做条件概率.记作P(B|A),读作A发生的条件下B的概率
8、公式: < br>P
(
B
|
A
)?
P
(
A
?
B
)
,
P
(
A
)?0.
P
(A
)

9、相互独立事件:事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率 没有影响,这样的两个事件
叫做相互独立事件。
P
(
B
|
A
)?
P
(
B
)

10、n次独立重复试验:在相同 条件下,重复地做n次试验,各次试验的结果相互独立,一般
就称它为n次独立重复试验
11 、二项分布:设在n次独立重复试验中某个事件A发生的次数设为P.如果在一次试验中
某事件发生的概 率是p,事件A不发生的概率为q=1-p,那么在n次独立重复试验中,事件A
kkn?k
恰 好发生k次的概率是
P(X?k)?C
n
pq
(其中k=0,1,……,n)
于是可得随机变量P的分布列如下:
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这样的离散型随机变量P服从参数为n,p二项分布,记作P~B(n,p)。
12、数学期望:一般地,若离散型随机变量P的概率分布为

则称
E(X )?x
1
p
1
?x
2
p
2
??x
n
p
n
为离散型随机变量P的数学期望或均值(简称为期望).
?(xn
?E(X))
2
p
n
叫随机变量P
22
13 、方差:
D(X)?(x
1
?E(X))p
1
?(x
2?E(X))p
2
?
的方差,简称方差。
14、集中分布的期望与方差一览:

两点分布

二项分布,
P

B

n,p


超几何分布
N

M

n
15、正态分布:
若正态变量概率密度曲线的函数表达式为
期望

E(X)?p

E(X)?np

E(X)?
nM

N
方差

D(X)?pq

D(X)?npq


f(x)?
1
e
2
??
?
(x?
?
)
2
2
?
2
,x?(??,??)

的图像,其中解析式中的实数
?

?
是参数,且
?
?0
?

?
分别表示总体的期望与标准差.
期望为
?< br>与标准差为
?
的正态分布通常记作
N(
?
,
?
)
,正态变量概率密度曲线的函数的图象
称为正态曲线。
16、正态曲线基本性质:
2

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(1)曲线在P轴的上方,并且关于直线P=
?
对称.
(2)曲线在P=< br>?
时处于最高点,并且由此处向左、右两边无限延伸时,曲线逐渐降低,呈
现“中间高, 两边低”的形状.
(3)曲线的形状由
?
确定.
?
越大,曲线越“ 矮胖”,表示总体的分布越分散;
?
越小,曲线越“高瘦”,表示总体的分布越集中.
17、3
?
原则:
容易推出,正变量在区间
(
?
?2
?
,
?
?2
?
)
以外取值的概率只有4.6% ,在
(
?
?3
?
,
?
?3
?
)< br>以外取值的概率只有0.3%由于这些概率很小,通常称这些情况发生为小概率事件.也就是说,通
常认为这些情况在一次试验中几乎是不可能发生的.
P(
?
?
?
,
?
?
?
)?68.3%

P(
?
?2< br>?
,
?
?2
?
)?95.4%

P(
?
?3
?
,
?
?3
?
)?99.7%

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