高中数学概率复习

XXXX教育学科教师辅导讲义
讲义编号
学员编号：

年 级：高二 课时数：
学员姓名： 辅导科目：数学 学科教师：
学科组长签名及日期
课 题
授课时间：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）

学员家长签名及日期
概率复习
备课时间：
了解随机事件、必然事件、不可能事件的概念
利用概率知识正确理解现实生活中的实际问题
事件的关系与运算
正确理解古典概型的概念
正确理解几何概型的概念

教学目标


重点、难点


考点及考试要求

用概率的知识解释现实生活中的具体问题．


教学内容
一． 随机事件的概率
基本概念：
（1）必然事件：在条件S下，一定会发生的事件，叫相对于条件S的必然事件；
（2）不可能事件：在条件S下，一定不会发生的事件，叫相对于条件S的不可能事件；
（3）确定事件：必然事件和不可能事件统称为相对于条件S的确定事件；
（4）随机事件：在条件S下可能发生也可能不发生的事件，叫相对于条件S的随机事件；
（ 5）频数与频率：在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数
n
A
为事件A出现的频数；称事件A出现的比例
f
n
(A)=
n
A
为事件A出现的概率：对于给定的随机事件A，如果
n
随着试验次数的增加，事件A发生的频率
f
n
(A)稳定在某个常数上，把这个常数记 作P（A），称为事件A的概率。
（6）频率与概率的区别与联系：随机事件的频率，指此事件发生的 次数n
A
与试验总次数n的比值
n
A
，它具有
n
一 定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增多，这种摆动幅度越来越小。我们把这个常数叫做随机事件的概率，概率从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小。频率在大量重复试验的前提下可以 近
似地作为这个事件的概率

例1 判断下列事件哪些是必然事件，哪些是不可能事件，哪些是随机事件？
（1）“抛一石块，下落”.
（2）“在标准大气压下且温度低于0℃时，冰融化”；

（3）“某人射击一次，中靶”；
（4）“如果a＞b,那么a－b＞0”;
（5）“掷一枚硬币，出现正面”；
（6）“导体通电后，发热”；
（7）“从分别标有号数1，2，3，4，5的5张标签中任取一张，得到4号签”；
（8）“某电话机在1分钟内收到2次呼叫”；
（9）“没有水份，种子能发芽”；
（10）“在常温下，焊锡熔化”．
例2 某射手在同一条件下进行射击，结果如下表所示：
射击次数n
击中靶心次数m
击中靶心的频率
10
8

20
19

50
44

100
92

200
178

500
455

m

n
（1）填写表中击中靶心的频率；
（2）这个射手射击一次，击中靶心的概率约是什么？
解：（1）表中依次填入的数据为：0.80，0.95，0.88，0.92，0.89，0.91.
（2）由于频率稳定在常数0.89，所以这个射手击一次，击中靶心的概率约是0.89。

课堂练习：

1．将一枚硬币向上抛掷10次，其中正面向上恰有5次是（ ）
A．必然事件 B．随机事件
C．不可能事件 D．无法确定
2．下列说法正确的是（ ）
A．任一事件的概率总在（0.1）内
B．不可能事件的概率不一定为0
C．必然事件的概率一定为1 D．以上均不对
3．下表是某种油菜子在相同条件下的发芽试验结果表，请完成表格并回答题。
每批粒数
发芽的粒数
发芽的频率



2
2

5
4

10
9

70
60

130
116

700
282
1500 2000 3000
639 1339 2715

二． 概率的基本性质
1. 概率的几个基本性质：1）必然事件概率为1，不可能事件概率 为0，因此0≤P(A)≤1；2）当事件A与B互
斥时，满足加法公式：P(A∪B)= P(A)+ P(B)；3）若事件A与B为对立事件，则A∪B为必然事件，所以P(A
∪B)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B)
2. 例题分析：
例1 一个射手进行一次射击,试判断下列事件哪些是互斥事件?哪些是对立事件?
事件A：命中环数大于7环； 事件B：命中环数为10环；
事件C：命中环数小于6环； 事件D：命中环数为6、7、8、9、10环.
分析：要判断所给事件是对立还是互斥，首先将两个概念的联系与区别弄清楚，互斥事件是指不可能同时 发生的
两事件，而对立事件是建立在互斥事件的基础上，两个事件中一个不发生，另一个必发生。
解：A与C互斥（不可能同时发生），B与C互斥，C与D互斥，C与D是对立事件（至少一个发生）.

例2 抛掷一骰子,观察掷出的点数,设事件A为“出现奇数点”，B为“出 现偶数点”，已知P(A)=
求出“出现奇数点或偶数点”．
解：记“出现奇数点或偶数点” 为事件C,则C=A∪B,因为A、B是互斥事件，所以P(C)=P(A)+ P(B)=
答：出现奇数点或偶数点的概率为1
例3 如果从不包括大小王的52张扑克牌中 随机抽取一张，那么取到红心（事件A）的概率是
件B）的概率是
11
，
P( B)=，
22
11
+=1
22
1
，取到方块（事
4
1
，
问：
4
（1）取到红色牌（事件C）的概率是多少？
（2）取到黑色牌（事件D）的概率是多少？
解：（1）P(C)=P(A)+ P(B)=
11
（2）P(D)=1—P(C)=

22
1
，得到黑球或黄
3
例4 袋中有12个小球，分别为红球、黑 球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率为
球的概率是
55
，得到黄球或绿球 的概率也是，试求得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率各是多少？
1212
解：从袋中任取 一球，记事件“摸到红球”、“摸到黑球”、“摸到黄球”、“摸到绿球”为A、B、C、D，则有P(B∪11
55121
；P(C∪D)=P(C)+P(D)=；P(B∪C∪D)=1-P(A )=1-=,解的P(B)=,P(C)=,P(D)=
1212336
44
11
1
答：得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率分别是、、．
4
6
4
C)=P(B)+P(C)=

课堂练习：
1．从一堆产品（其中正品与次品都多于2件）中任取2件，观察正品件数与次品件数，判断下列每件事件是不
是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件。
（1）恰好有1件次品恰好有2件次品；
（2）至少有1件次品和全是次品；
（3）至少有1件正品和至少有1件次品；
（4）至少有1件次品和全是正品；




2．抛掷一 粒骰子，观察掷出的点数，设事件A为出现奇数，事件B为出现2点，已知P（A）=
求出现奇数点或2 点的概率之和。


11
，P（B）=，
26
三、古典概型
1、基本概念

古典概型的概率计算公式：P（A）=
A包含的基本事件个数

总的基本事件个数
2、正确理解古典概型的两大特点：1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个 ；2）每个基本事件出现的可
能性相等；
3、例题分析：
例1 掷一颗骰子，观察掷出的点数，求掷得奇数点的概率。
解：这个试验的基本事件共有6个，即（出现1点）、（出现2点）……、（出现6点）
所以基本事件数n=6，
事件A=（掷得奇数点）=（出现1点，出现3点，出现5点），
其包含的基本事件数m=3
所以，P（A）=
m
31
===0.5
n62

例2 从含有两件正品a
1
，a
2
和一件 次品b
1
的三件产品中，每次任取一件，每次取出后不放回，连续取两次，求
取出的两 件产品中恰有一件次品的概率。
解：每次取出一个，取后不放回地连续取两次，其一切可能的结果组成 的基本事件有6个，即（a
1
，a
2
）和，（a
1
，
b
2
），（a
2
，a
1
），（a
2
，b
1
），（b
1
，a
1
），（b
2
，a2
）。其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品，右边的字母表
示第2次取出的产用 A表示“取出的两种中，恰好有一件次品”这一事件，则
A=[（a
1
，b
1
），（a
2
，b
1
），（b
1
，a
1< br>），（b
1
，a
2
）]
事件A由4个基本事件组成，因而，P（A）=
4
2
=
6
3

例3 现有一批产品共有10件，其中8件为正品，2件为次品：
（1）如果从中取出一件，然后放回，再取一件，求连续3次取出的都是正品的概率；
（2）如果从中一次取3件，求3件都是正品的概率．
解：（1）有放回地抽取3次，按抽取 顺序（x,y,z）记录结果，则x,y,z都有10种可能，所以试验结果有10×10
8
3
×10=10种；设事件A为“连续3次都取正品”，则包含的基本事件共有8×8×8=8种，因此， P(A)= =0.512．
3
10
33
（2）解法1：可以看作不放回抽 样3次，顺序不同，基本事件不同，按抽取顺序记录（x,y,z），则x有10种可
能，y有9种可能 ，z有8种可能，所以试验的所有结果为10×9×8=720种．设事件B为“3件都是正品”，则事
件B包含的基本事件总数为8×7×6=336, 所以P(B)=
336
720
≈0.467．
解法2：可以看作不放回3次无顺序抽样，先 按抽取顺序（x,y,z）记录结果，则x有10种可能，y有9种可能，
z有8种可能，但（x,y, z），（x,z,y），（y,x,z），（y,z,x），（z,x,y），（z,y,x），是相同的，所以 试验的所有结果
有10×9×8÷6=120，按同样的方法，事件B包含的基本事件个数为8×7×6 ÷6=56，因此P(B)=
56
≈0.467．
120
4、课堂练习：
1．在40根纤维中，有12根的长度超过30mm，从中任取一根，取到长度超过30mm的纤维的概 率是（ ）
A．
3012
12
B． C． D．以上都不对
4040
30
2．盒中有10个铁钉，其中8个是合格的，2个是不 合格的，从中任取一个恰为合格铁钉的概率是

A．
1141
B． C． D．
54510
3．在大小相同的5个球中，2个 是红球，3个是白球，若从中任取2个，则所取的2个球中至少有一个红球的概
率是 。
4．抛掷2颗质地均匀的骰子，求点数和为8的概率。


四、
几何概型
1、基本概念：（1）几何概率模型：如果每个事件发生的概率只与构 成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，
则称这样的概率模型为几何概率模型；
（2）几何概型的概率公式：
P（A）=
构成事件A的区域长度（面积或体积）
；
试验的全部结果所构成 的区域长度（面积或体积）
（3）几何概型的特点：1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限 多个；2）每个基本事件出现的可能
性相等．
2、 例题分析：
例1 判下列试验中事件A发生的概度是古典概型，
还是几何概型。
（1）抛掷两颗骰子，求出现两个“4点”的概率；
分析：本题考查的几何概型与古典概型的 特点，古典概型具有有限性和等可能性。而几何概型则是在试验中出现
无限多个结果，且与事件的区域长 度有关。
解：（1）抛掷两颗骰子，出现的可能结果有6×6=36种，且它们都是等可能的，因此属 于古典概型；
例2 某人欲从某车站乘车出差，已知该站发往各站的客车均每小时一班，求此人等车时间不多于10分钟的概率． < br>分析：假设他在0～60分钟之间任何一个时刻到车站等车是等可能的,但在0到60分钟之间有无穷多个 时刻,不
能用古典概型公式计算随机事件发生的概率.可以通过几何概型的求概率公式得到事件发生的概 率.因为客车每
小时一班,他在0到60分钟之间任何一个时刻到站等车是等可能的,所以他在哪个时间 段到站等车的概率只与该
时间段的长度有关,而与该时间段的位置无关,这符合几何概型的条件. 解:设A={等待的时间不多于10分钟},我们所关心的事件A恰好是到站等车的时刻位于[50,60] 这一时间段内,因
此由几何概型的概率公式,得P(A)=
60?5011
=，即此人等车时间不多于10分钟的概率为．
6066
小 结：在本例中，到站等车的时刻X是随机的，可以是0到60之间的任何一刻，并且是等可能的，我们称X服从[0,60]上的均匀分布，X为[0,60]上的均匀随机数．

例3 在1万平方 千米的海域中有40平方千米的大陆架储藏着石油，假设在海域中任意一点钻探，钻到油层面的
概率是多 少？
分析：石油在1万平方千米的海域大陆架的分布可以看作是随机的而40平方千米可看作构成事件 的区域面积，
有几何概型公式可以求得概率。
解：记“钻到油层面”为事件A，则P(A)=
储藏石油的大陆架面积
40
==0.004．
所有海域的大陆架面积
10000
答：钻到油层面的概率是0.004．

例4 在1升高产小麦种子中混入了一种带麦诱病的种子，从中随机取出10毫升，则取出的种子中含有 麦诱病的
种子的概率是多少？

解：取出10毫升种子，其中“含有病种子”这一事件记为A，则
P(A)=
取出的种子体积
10
==0.01．
所有种子的体积
1000
答：取出的种子中含有麦诱病的种子的概率是0.01．

例5 取一根长度为3m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于1m的概率有多大？
分 析：在任意位置剪断绳子，则剪断位置到一端点的距离取遍[0，3]内的任意数，并且每一个实数被取到都是等
可能的。因此在任意位置剪断绳子的所有结果（基本事件）对应[0，3]上的均匀随机数，其中取得的 [1，2]内的
随机数就表示剪断位置与端点距离在[1，2]内，也就是剪得两段长都不小于1m。这 样取得的[1，2]内的随机数个
数与[0，3]内个数之比就是事件A发生的概率。
解法1 ：（1）利用计算器或计算机产生一组0到1区间的均匀随机数a
1
=RAND．
（2）经过伸缩变换，a=a
1
*3．
（3）统计出[1，2]内随机数的个数N
1
和[0，3] 内随机数的个数N． < br>（4）计算频率
f
n
(A)=
N
1
即为概率P（A） 的近似值．
N
解法2：做一个带有指针的圆盘，把圆周三等分，标上刻度[0，3]（这里3 和0重合）．转动圆盘记下指针在[1，
2]（表示剪断绳子位置在[1，2]范围内）的次数N
1
及试验总次数N，则
f
n
(A)=
N
1
即为概 率P（A）的近似值．
N
小结：用随机数模拟的关键是把实际问题中事件A及基本事件总体对 应的区域转化为随机数的范围。解法2用转
盘产生随机数，这种方法可以亲自动手操作，但费时费力，试 验次数不可能很大；解法1用计算机产生随机数，
可以产生大量的随机数，又可以自动统计试验的结果， 同时可以在短时间内多次重复试验，可以对试验结果的随
机性和规律性有更深刻的认识．

例6 在长为12cm的线段AB上任取一点M，并以线段AM为边作正方形，求这个正方形的面积介于 36cm
2
与81cm
2
之间的概率．
分析：正方形的面积只 与边长有关，此题可以转化为在12cm长的线段AB上任取一点M，求使得AM的长度介
于6cm与9 cm之间的概率．
解：（1）用计算机产生一组[0，1]内均匀随机数a
1
=RAND．
（2）经过伸缩变换，a=a
1
*12得到[0，12]内的均匀随机数．
（3）统计试验总次数N和[6，9]内随机数个数N
1

（4）计算频率
N
1
．
N
N
1
．
N
记事件A={面积介于36cm
2
与81cm
2
之间} ={长度介于6cm与9cm之间}，则P（A）的近似值为
f
n
(A)=


课堂练习：
1．在500ml的水中有一个草履虫，现从中随机取出2ml水样放 到显微镜下观察，则发现草履虫的概率是（ ）
A．0.5 B．0.4 C．0.004 D．不能确定

2．平 面上画了一些彼此相距2a的平行线，把一枚半径r行线相碰的概率．





3． 甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到
A，B，C，D
四个不同的岗位服务，每个岗位
至少有一名志愿者．
（Ⅰ）求甲、乙两人同时参加
A
岗位服务的概率；
（Ⅱ）求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率；












4． 设进入 某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为
0.5
，购买乙种商品的概率为
0.6，且购买甲种商品与购
买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的。
（Ⅰ）求进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率；
（Ⅱ）求进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率；

5． 甲 、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为
1
与
p
，且乙 投球2次均未命中的概率为
2
1
．
16
（Ⅰ）求乙投球的命中率< br>p
；（Ⅱ）求甲投球2次，至少命中1次的概率；
（Ⅲ）若甲、乙两人各投球2次，求两人共命中2次的概率．












6． 甲、乙两名篮球运动员，投篮的命中率分别为0．7与0．8．
（1）如果每人投篮一次，求甲、乙两人至少有一人进球的概率；
（2）如果每人投篮三次，求甲投进2球且乙投进1球的概率．

7． 沿某大街在甲、乙、丙三个地方设有红、绿交通信号灯，汽车在甲、乙、丙三个地方
通过（绿灯亮通过）的概率分别为
112
，，，对于在该大街上行驶的汽车，
323
求：（1）在三个地方都不停车的概率；
（2）在三个地方都停车的概率；
（3）只在一个地方停车的概率．












8．口袋里装有红色和白色共36个不同的球，且红色球多于白色球．从袋子中取出２个球，
若是同色的概率为
1
，求：
2
(1) 袋中红色、白色球各是多少？

(2) 从袋中任取３个小球，至少有一个红色球的概率为多少？

9． 袋中有大小相同的5个白球和3个黑球，从中任意摸出4个，求下列事件发生的概率．
（1）摸出2个或3个白球； （2）至少摸出一个黑球．


家庭作业：
1． 已知盒子中有散落的棋子15粒，其中6粒是黑子，9粒是白子，已知从中 取出2粒都是黑子的概率是
中取出2粒都是白子的概率是
1
，从
7
1 2
，现从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是多少？
35





2．某班有45个，现要选出1人去检查其他班的卫生，若每个人被选到的机会均 等，则恰好选中学生甲主机会有
多大？




3．已知地铁列车每10min一班，在车站停1min，求乘客到达站台立即乘上车的概率。





4．两根相距6m的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，求灯与两端距离都大于2m的概率．



5．某射手在一次射击训练中，射中10环、8环、7环的概率分别为 0.21，0.23，0.25，0.28，计算该射手在一次
射击中：
（1）射中10环或9环的概率；
（2）少于7环的概率。