高考最全数学公式统计与概率

149.分类计数原理（加法原理）
N?m
1
?m
2
??m
n
.
150.分步计数原理（乘法原理）
N?m
1
?m
2
??m
n
.
151.排列数公式
m
=
n(n?1)?(n?m?1)
=A
n
n！
*
.(
n
，
m
∈N，且m?n
)．
(n?m)！
注:规定
0!?1
.
152.排列恒等式
mm?1
(1）
A
n
;
?(n?m?1)A
n
n
m
A
n?1
;
n?m
mm?1
（3）
A
n
?nA
n?1
; < br>（2）
A
n
?
m
nn?1n
（4）
nAn
?A
n?1
?A
n
;
mmm?1
（5）
A
n
.
?1
?A
n
?mA
n
(6)
1!?2?2!?3?3!?
153.组合数公式
?n?n!?(n?1)!?1
.
C
m
n
=
n！
A
n
m
n(n?1)
?
(n?m?1)
*
==(∈N，
m?N
，且
m?n
).
n
m
1?2 ?
?
?m
m！?(n?m)！
A
m
154.组合数的两个性 质
m
n?m
(1)
C
n
=
C
n
;
m
m?1m
(2)
C
n
+
C
n
=
C
n?1
.
0
注:规定
C
n
?1
.
155.组合恒等式
n?m?1
m?1
C
n
;
m
n
mmC
n
（2）
C
n
?
?1
;
n?m< br>n
m?1m
（3）
C
n
?C
n?1
;
m
（1）
C
n
?
m
（4）
?
C
r?0
r
r
n
r
n
=
2
; n
rr?1
（5）
C?C
r
r
?1
?C
r
r
?2
???C
n
?C
n?1
.
0 12rn
(6)
C
n
?C
n
?C
n
??? C
n
???C
n
?2
n
.
135024
(7)
C
n
?C
n
?C
n
???C
n?C
n
?C
n
??2
n?1
.
123n
(8)
C
n
?2C
n
?3C
n
???nC
n
?n2
n?1
.
r0r?110rrr(9)
C
m
C
n
?C
m
C
n
?
?
?C
m
C
n
?C
m?n
.
021222n2n
(10)
(C
n
)?(C
n
)?(C< br>n
)???(C
n
)?C
2n
.

156.排列数与组合数的关系
mm
.
A
n
?m！?C
n
157．单条件排列
以下各条的大前提是从
n
个元素中取
m
个元素的排列.
（1）“在位”与“不在位”
mm?1
m?1
①某（特）元必在某位有A
n?1
种；②某（特）元不在某位有
A
n
?A
n?1
（补集思想）
1m?1m1m?1
?A
n?1
A
n?1（着眼位置）
?A
n?1
?A
m?1
A
n?1
（着眼元素）种.
（2）紧贴与插空（即相邻与不相邻）
km?k
①定位紧贴：< br>k(k?m?n)
个元在固定位的排列有
A
k
A
n?k
种.
n?k?1k
②浮动紧贴：
n
个元素的全排列把k个元排在一起的排 法有
A
n?k?1
A
k
种.注：此类问题
常用捆绑法； < br>③插空：两组元素分别有k、h个（
k?h?1
），把它们合在一起来作全排列，k个的 一
hk
组互不能挨近的所有排列数有
A
h
A
h?1
种.
（3）两组元素各相同的插空
m
个大球
n
个小球排成一列，小球必分开，问有多少种排法？
n< br>A
m
n
?1
当
n?m?1
时，无解；当
n? m?1
时，有
n
?C
m?1
种排法.
A
n
n
（4）两组相同元素的排列：两组元素有m个和n个，各组元素分别相同的排列数为
Cm?n
.
158．分配问题
（1）(平均分组有归属问题)将相异的
m
、
n
个物件等分给
m
个人，各得
n
件，其分配< br>方法数共有
N?C
mn
?C
mn?n
?C
mn?2n
?
?
?C
2n
?C
n
?
nnnnn
(mn)!
.
m
(n!)
（2）(平均分组无归属问题)将相异的
m
·
n
个物体等分为无记号或无顺序的
m
堆，其
分配方法 数共有
nnnnn
C
mn
?C
mn
(mn)!
? n
?C
mn?2n
...?C
2n
?C
n
. N??
m
m!m!(n!)
（3）(非平均分组有归属问题)将相异的
P (P=n
1
+n
2
++n
m
)
个物体分给
m
个人，物件
必须被分完，分别得到
n
1
，
n
2< br>，?，
n
m
件，且
n
1
，
n
2，?，
n
m
这
m
个数彼此不相等，则
n
mn
1
n
2
其分配方法数共有
N?C
p
?Cp
C
n
?m!?
?n
1
...
m
p! m!
.
n
1
!n
2
!...n
m
!+n
m
)
个物体分给
m
个人，
物件必须被分完，分别得 到
n
1
，
n
2
，?，
n
m
件，且
n
1
，
n
2
，?，
n
m
这
m
个数中分别有a、
（4）(非完全平均分组有归属问题)将相异的
P(P=n1
+n
2
+
b、c、?个相等，则其分配方法数有
N?
n
m
n
1
n
2
C
p
?C
p
C
n
?m!
?n
1
...
m
a!b!c!...
（5）(非平均分组无归属问题)将相异的
P(P=n
1
+n
2+
p!m!
.
n
1
!n
2
!...n
m
!(a!b!c!...)
+n
m
)
个物体分为任意的
n
1
，

?
n
2
，?，
n
m件无记号的
m
堆，且
n
1
，
n
2
，? ，
n
m
这
m
个数彼此不相等，则其分配方法数
p!
有
N?
.
n
1
!n
2
!...n
m!
（6）(非完全平均分组无归属问题)将相异的
P(P=n
1
+n2
++n
m
)
个物体分为任意的
n
1
，
n
2
，?，
n
m
件无记号的
m
堆，且
n
1
，
n
2
，?，
n
m
这
m
个数中分别有a、b、c、?个相等，
p!
则其分配方法数有
N?
. n
1
!n
2
!...n
m
!(a!b!c!...)< /p>

个物体分给甲、乙、丙，??
+n
m
）
等
m< br>个人，物体必须被分完，如果指定甲得
n
1
件，乙得
n
2件，丙得
n
3
件，?时，则无论
n
1
，
n2
，?，
n
m
等
m
个数是否全相异或不全相异其分配方 法数恒有
n
m
n
1
n
2
N?C
p
?C
p
C
n
?
?n
1
...
m
（7）(限定分组有归属问题)将相异的
p
（
p?n
1
+n
2
+
p!
.
n
1
!n
2
!...nm
!
159．“错位问题”及其推广
贝努利装错笺问题:信
n
封信与
n
个信封全部错位的组合数为 f(n)?n![
111
???
2!3!4!
?(?1)
n1
]
.
n!
推广:
n
个元素与
n
个位置,其中至少有
m
个元素错位的不同组合总数为
1234
f(n,m) ?n!?C
m
(n?1)!?C
m
(n?2)!?C
m
(n ?3)!?C
m
(n?4)!
??(?1)C(n?p)!?
pp
m
?(?1)C(n?m)!
p
C
m
?(?1)
p
?
A
n
p
mm
m

1234
C
m< br>C
m
C
m
C
m
?n![1?
1
?< br>2
?
2
?
4
?
A
n
A
n< br>A
n
A
n
m
C
m
?(?1)
m]
.
A
n
m
160．不定方程
x
1
+x
2
+
(1)方程
x
1
+x
2
+
(2) 方程
x
1
+x
2
+
(3) 方程
x1
+x
2
+
n?1
+x
n
?m
的解的 个数
n?1
个.
+x
n
?m
（
n,m?N?
）的正整数解有
C
m?1
1
个.
+x
n
?m
（
n,m?N
?
）的非负整数解有 < br>C
n
n
?
?
m?1
+x
n
?m（
n,m?N
?
）满足条件
x
i
?k
(
k?N
?
,
2?i?n?1
)
+x
n
?m
（
n,m?N
?
）满足条件
x
i
?k
(
k?N
?
,
2?i?n?1
)
2n?1
?(?1)
n?2
C
n
n
?
?
C
m?1?(n?2)k
个.
2
的非负整数解有
C
m?1
?(n?2)(k?1)
个.
(4) 方程
x
1
+x
2
+
161.二项式定理
0n1n?12n?22rn?rrnn
(a?b)
n
?C
n
a?C
n
ab?C
n
ab?
?
?C
n
a b?
?
?C
n
b

的正整数解有
C
n ?1
?C
1
C
n?1
?C
2
C
n?1?
n?m?1n?2m?n?k?2n?2m?n?2k?3
二项展开式的通项公式
rn?rr
1，2?，n)
.
T
r?1
?C
n< br>ab
(r?0，
162.等可能性事件的概率
P(A)?
m
.
n
163.互斥事件A，B分别发生的概率的和
P(A＋B)=P(A)＋P(B)．
164.
n
个互斥事件分别发生的概率的和
P(A
1
＋A
2
＋?＋A
n
)=P(A
1
)＋P(A
2
)＋?＋P(A
n
)．
165.独立事件A，B同时发生的概率
P(A·B)= P(A)·P(B).
166.n个独立事件同时发生的概率
P(A
1
· A
2
·?· A
n
)=P(A
1
)· P(A
2
)·?· P(A
n
)．
167.n次独立重复试验中某事件恰好发生k次的概率
k k
P
n
(k)?C
n
P(1?P)
n?k
.

168.离散型随机变量的分布列的两个性质

（1）
P,2,< br>i
?0(i?1
（2）
P
1
?P
2
)
;
??1
.