高中数学 第三章 概率 3.2.1 古典概型的特征和概率计算公式 3.2.2 建立概率模型练习

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7
.(2018陕西榆林高一测验)某汽车站每天均有3辆开往省城的分上、中、下等级的客车
.
某天王先
生准备在该汽车站乘车去省城办事,但他不知道客车的车况,也不知道发车顺序
.< br>为了尽可能乘上上
等车,他采取如下策略:先不上第一辆,如果第二辆比第一辆好则上第二辆,否 则上第三辆,那么他乘
上上等车的概率为
.

解析共有6种发车 顺序:
①
上、中、下;
②
上、下、中;
③
中、上、下;④
中、下、上;
⑤
下、中、上;
⑥
下、上、中(其中画线的表示 王先生所乘的车),所以他乘上上等车的概率为
.

答案
8
.某商场举行有奖促销活动,顾客购买一定金额的商品后即可抽奖
.
抽奖方法是:从装有2个 红球
A
1
,
A
2
和1个白球
B
的甲箱与装 有2个红球
a
1
,
a
2
和2个白球
b
1< br>,
b
2
的乙箱中,各随机摸出1个球,若摸
出的2个球都是红球则中奖 ,否则不中奖(所有的球除颜色外都相同)
.

(1)用球的标号列出所有可能的摸出结果
.

(2)有人认为:两个箱子中 的红球比白球多,所以中奖的概率大于不中奖的概率,你认为正确吗?请说
明理由
.

解(1)所有可能的摸出结果是
(
A
1
,
a
1),(
A
1
,
a
2
),(
A
1
,
b
1
),(
A
1
,
b
2
), (
A
2
,
a
1
),(
A
2
,a
2
),(
A
2
,
b
1
),(
A
2
,
b
2
),(
B
,
a
1< br>),(
B
,
a
2
),(
B
,
b1
),(
B
,
b
2
)
.

(2)不正确
.
理由如下:
由(1)知,所有可能的摸出结果共12种,其 中摸出的2个球都是红球的结果为
(
A
1
,
a
1
) ,(
A
1
,
a
2
),(
A
2
,< br>a
1
),(
A
2
,
a
2
),共4种 ,所以中奖的概率为,不中奖的概率为1
-
.
故这种说法不正确
.

9
.
导学号36424065为加强大学生实践、创新能力和团队精神的培养,促进高 等教育
教学改革,教育部门主办了全国大学生智能汽车竞赛
.
该竞赛分为预赛和决赛两 个阶段,参加决赛的
队伍按照抽签方式决定出场顺序
.
通过预赛,选拔出甲、乙、丙三 支队伍参加决赛
.

(1)求决赛中甲、乙两支队伍恰好排在前两位的概率;
(2)求决赛中甲、乙两支队伍出场顺序相邻的概率
.

解三支队伍所有可能 的出场顺序的基本事件为:(甲,乙,丙),(甲,丙,乙),(乙,甲,丙),(乙,丙,
甲),(丙 ,甲,乙),(丙,乙,甲),共6种
.

(1)设“甲、乙两支队伍恰好排在前两位 ”为事件
A
,事件
A
包含的基本事件有:(甲,乙,
丙),(乙,甲 ,丙),共2种,所以
P
(
A
)
=.

所以甲、乙两支队伍恰好排在前两位的概率为
.

(2)设“甲、乙两支队伍 出场顺序相邻”为事件
B
,事件
B
包含的基本事件有:(甲,乙,丙),(乙 ,
甲,丙),(丙,甲,乙),(丙,乙,甲),共4种,所以
P
(
B
)
=.

所以甲、乙两支队伍出场顺序相邻的概率为
.

B组
1
.
甲、乙两人玩猜数字游戏,先由甲在心中任想一个数字,记为a
,再由乙猜甲刚才所想的数字,把乙
猜的数字记为
b
,且
a< br>,
b
∈{1,2,3,4},若
|a-b|
≤1,则称甲、乙“心有灵 犀”
.
现任意找两人玩这个
游戏,得出他们“心有灵犀”的概率为(

)
A
.
B
.

C
.
D
.

解析甲、乙所猜数字的情况有
(1,1),(1,2),(1,3), (1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3 ,4),(4,1),(4,2),(
4,3),(4,4)共16种情况,其中满足
|a-b |
≤1的情况有
(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(2,3),(3,2) ,(3,3),(3,4),(4,3),(4,4)共10种情况,故所求概率为
.

答案A
2
2
.
若
A=
{1,2,3},
B=
{
x
∈R
|x-ax+b=
0,
a
∈
A
,
b
∈
A
},则
A
∩
B=B
的 概率是(

)
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A
.
B
.
C
.
D
.
1
2
解析随着
a
,
b
的取值变化,集合
B
有3
=
9种可能,如表,经过验证很容易知道 其中有8种满足
A
∩
B=B
,所以概率是
.
故选C
.

B
a
1 2 3
b
1
2
3
{1
?
}
?? {1,2}
?? ?

答案C
2
3
.
连续抛掷质地均匀的骰子两次,得到 的点数分别记为
a
和
b
,则使直线3
x-
4
y=< br>0与圆(
x-a
)
+
(
y-
b
)
2
=
4相切的概率为(

)
A
.
B
.
C
.
D
.

2
解析连续抛掷质地 均匀的骰子两次的所有试验结果有36种,要使直线3
x-
4
y=
0与圆(< br>x-a
)
+
(
y-
b
)
2
=
4相切,则应满足
=
2,即满足
|
3
a-
4
b| =
10,符合题意的(
a
,
b
)有(6,2),(2,4),一共2 个
.
所以
由古典概型得所求概率为,故选D.
答案D
4
.
第1,2,5,7路公共汽车都在一个车站停靠,有一位乘客等候着1路或5路公共汽车,假定各路公
共汽车首先到站的可能性相等,那么首先到站的正好为这位乘客所要乘的车的概率
是
.

解析因为4种公共汽车先到站共有4种结果,且每种结果出现的可能性相等,所以“首先 到站的车
正好是所乘车”的结果有2种,故所求概率为
.

答案
5
.
有6根细木棒,长度分别为1,2,3,4,5,6,从中任取3根首尾相接,能搭成三角形 的概率
是
.

解析从这6根细木棒中任取3根首尾相接,共有
(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,2,6),(1,3,4),(1,3,5 ),(1,3,6),(1,4,5),( 1,4,6),(1,5,6),(2,3
,4),(2, 3,5),(2,3,6),(2,4,5),(2,4,6),(2,5,6),(3,4,5),(3,4, 6),(3,5,6),(4,5,6)20种,能构
成三角形的取法有(2,3,4),(2,4,5 ),(2,5,6),(3,4,5),(3,4,6),(3,5,6),(4,5,6),共有7种情况,< br>所以由古典概型概率公式可得所求概率为
P=.

答案
6
.
小敏和小慧利用“土”“口”“木”三个汉字设计一个游戏,规则如下:将这三个汉字分别写在
背面都相同的三张卡片上,背面朝上,洗匀后抽出一张,放回洗匀后再抽出一张,若两次抽出的汉字
能构 成上下结构的汉字(如“土”“土”构成“圭”)则小敏获胜,否则小慧获胜
.
你认为这个游戏
对谁有利?请用列表的方法进行分析,并对构成的汉字进行说明
.

解这个游戏对小慧有利
.

每次游戏时,所有可能出现的结果如下:

第二张
卡片 土 口 木
第一张卡片

(土,(土,(土,
土
土) 口) 木)
(口,(口,(口,
口
土) 口) 木)
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(木,(木,(木,
土) 口) 木)
总共有9种 结果,且每种结果出现的可能性相同,其中能组成上下结构的汉字的结果有4
种:(土,土)“圭”,( 口,口)“吕”,(木,口)“杏”或“呆”,(口,木)“呆”或“杏”
.
所以小敏获
木
胜的概率为,小慧获胜的概率为
.
所以这个游戏对小慧有利
.

7
.
某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动
.
参加活动的 儿童需转动如图所示的转盘两次,
每次转动后,待转盘停止转动时,记录指针所指区域中的数
.
设两次记录的数分别为
x
,
y.
奖励规则如
下:
①
若
xy
≤3,则奖励玩具一个;
②
若
xy
≥8,则奖励水杯一个;
③
其余情况奖励饮料一瓶
.

假设转盘质地均匀,四个区域划分均匀
.
小亮准备参加此项活动
.


(1)求小亮获得玩具的概率;
(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小,并说明理由
.

解用数 对(
x
,
y
)表示儿童参加活动先后记录的数,则基本事件空间
Ω< br>与点集
S=
{(
x
,
y
)
|x
∈N ,
y
∈N,1
≤
x
≤4,1≤
y
≤4}一一对应< br>.

因为
S
中元素的个数是4
×
4
=
16,
所以基本事件总数
n=
16
.

(1)记“
xy< br>≤3”为事件
A
,则事件
A
包含的基本事件数共5个,即
(1 ,1),(1,2),(1,3),(2,1),(3,1)
.

所以
P
(
A
)
=
,
即小亮获得玩具的概率为
.

(2)记“
xy
≥8”为事件
B
,“3
8”为事件
C.

则事件
B
包含的基本事件数共6个,
即(2,4),(3,3),(3,4),(4,2),(4,3),(4,4)
.

所以
P
(
B
)
=.

事件
C
包含的基本事件数共5个,
即(1,4),(2,2),(2, 3),(3,2),(4,1)
.

所以
P
(
C
)
=.

因为,
所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率
.

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