概率及其计算

第十三章 概率与统计
本章知识结构图



































若Y＝aX＋b，则
E(Y)＝aE(X)＋b
2
D(Y)＝aD(X)
超几何分布

简单随机抽样

随机抽样

系统抽样

分层抽样

频率分布表和频率分布直方图
样本频率分布
估计总体
统计
用样本估计总体

样本数字特征
估计总体
变量间的相关关系

正态分布

列联表（2×2）独立性分析

两个变量的
线性相关
总体密度曲线

茎叶图

众数、中位数、平均数

方差、标准差

散点图

回归直线

抽签法

随机数表法

共同特点：抽样
过程中每个个体
被抽到的可能性
（概率）相等
概率的基本性质

古典概型

几何概型

用随机模拟法求概率

概率
条件概率

事件的独立性

互斥事件

P(A＋B)＝P(A)＋P(B)
对立事件

P(?A)＝1－P(A)
P(A ? B)
P(B | A)＝
P(A)

P(A ? B)＝P(A)·P(B)
n次独立重复试验恰好
发生k次的概率为
k
kn
－
k
P
n
(k)＝C
n
p(1－p)
X～B(1，p)

E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)

X～B(n，p)

E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)

X～H(N，M，n)

M
E(X)＝n
N

n MM
N－n
D(X)＝
N
?
1－
N
?
??
N－1

两点分布

随机变量

常用的分布及
期望、方差

二项分布

第一节 概率及其计算
考纲解读
1.了解随机事件发生的不确定性、频率的稳定性、概率的意义、频率与概率的区别。
2.了解两个互斥事件的概率的加法公式。
3.掌握古典概型及其概率计算公式。
4.了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率。
5.了解几何概型的意义。
命题趋势探究
1.本部分为高考必考内容，在选择题、填空题和解答题中都有渗透。
2.命题设置以两种概型的概率计算及运用互斥、对立事件的概率公式为核心内容，题型及分
值稳定， 难度中等或中等以下。
知识点精讲
一、必然事件、不可能事件、随机事件
在一定条件下：
①必然要发生的事件叫必然事件；
②一定不发生的事件叫不可能事件；
③可能发生也可能不发生的事件叫随机事件。
二、概率
在相同条件下，做次重复实验，事件A发生次，测得A发生的频率为，当很大 时，A发
生的频率总是在某个常数附近摆动，随着的增加，摆动幅度越来越小，这时就把这个常数叫做A的概率，记作。对于必然事件A，；对于不可能事件A，=0.
三、基本事件和基本事件空间
在一次实验中，不可能再分的事件称为基本事件，所有基本事件组成的集合称为基本事件空
间。
四、两个基本概型的概率公式

1、古典概型
条件：1、基本事件空间含有限个基本事件 2、每个基本事件发生的可能性相同
P
?
A
?
?
A包含基本事件数card(A)
=
基本事件总数 card(?)

2、几何概型
条件：每个事件都可以看作某几何区域
?
的子集A，A的几何度量（长度、面积、体积或时
间）记为
?
A
.

P
?
A
?
?
?
A
。
?
?
五、互斥事件的概率
1、互斥事件
在一次实验中不能同时发 生的事件称为互斥事件。事件A与事件B互斥，则
P
?
A?B
?
?P
?
A
?
?P
?
B
?
2、对立事件
。
事件A,B互斥，且其中必有一个发生，称事件A,B对立，记作
B?A
或
A?B
。
P
?
A
?
?1?p
?
A
?
。
3、互斥事件与对立事件的联系
对立事件必是互斥事件，即“事件A，B对立”是”事件A，B互斥“的充分不必要条件。
题型归纳及思路提示
题型176 古典概型
思路提示
首先确定事件类 型为古典概型，古典概型特征有二：有限个不同的基本事件及各基本事件发
生的可能性是均等的；其次计 算出基本事件的总数及事件A所包含的基本事件数；最后计算
P
?
A
?
?
A包含基本事件数
基本事件总数
。
例
13.1
设平 面向量
a
m
?
?
m,1
?
，
b
n
?
?
2,n
?
，其中
m,n?
?
1.2,3,4
?


（1）
请列出有序数组
?
m,n
?
的所有可能结果；
（2） 若“使得
a
m
?
?
a
m
?bn
?
成立的
?
m,n
?
为事件A，求事件A发生的概率 。
分析：两向量垂直的充要条件是两向量的数量积为0，从而可得
m
与
n< br>的关系，再从以上
?
m,n
?
的16个有序数组中筛选出符合条件的， 即得事件A包含的基本事件个数。
解析：（1）由
m,n?
?
1.2,34
有序数组
?
m,n
?
的所有可能结果为
?
1,1< br>?
，
?
,
，
?
1,2
?
,
?
1,3
?
,
?
1,4
?
，
?
2,1
?
,
?
2,2
?
,
?
2,3
?
,
?
2,4
?
，
?
3,1
?
,
?
3,2
?
,
?
3,3
?
,
?
3,4
?
，
?
4,1
?
,
?
4 ,2
?
,
?
4,3
?
,
?
4,4
?
共16个。
（2）因为
a
m
?
?
m,1?
，
b
n
?
?
2,n
?
，所以
a
m
?b
n
?
?
m?2,1?n
?
. 又
a
m
?
?
a
m
?b
n
?
，得
?
m,1
?
?
?
m?2,1?n
?
?0
，即
m
2
?2m?1?n?0
，所以
n?
?
m?1
?
2
。故事件A包含的

基本事件有
?
2,1
?
和
?
3,4
?< br>，共2个，由古典概型概率计算公式得
P
?
A
?
?
2 1
?
。
168
评注：①解题时，将所有基本事件全部列出是避免重复和遗 漏的有效方法，注意在列举时，
必须按照某一顺序来列举；②本题以向量为载体，利用向量的运算和关系 等向量的基本知识
解决概率问题，是将两类知识结合得较好的一道题目。
变式1 电子钟一 天显示的时间从00：00
~
23：59，每一时间都由4个数字组成，则一天
中任取 一时刻显示的4个数字之和为23的概率为（ ）
A.
?
?
?
?
变式2 连抛两次骰子的点数分别为
m,n
，记向量
a?
?
m,n
?
，向量
b?
?
1,?1
?
，
a
与
b
的
夹角为
?
，则
?
?
?
0,
A.

例13.2 （2012重庆理15）某艺校在一天的6节课中随机安排语文，数学，外语三门文
化课和其它三门艺术 课各1节，则在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概
率为____________（ 用数字作答）。
6
解析： 6节课随机安排，共有
A
6
?720< br>种不同的方法。课表上相邻两节文化课之间最多间
1111
B. C. D.
18
?
?
?
?
?
2
?
的概率是（ ）
15
57
B. C. D.
26
1212
321
隔1节艺术课，有以下三种情况：①三门文化 课间有2节艺术课：有
A
3

A
3
A
2
? 72
种方法；
3113
②三门文化课间有1节艺术课：有
A
3
③三门文化课间有0节艺术课：
C
3
A
2
A
3
? 216
种方法；
34
有
A
3
A
4
?144
种方法。共有72+216+144=432种符合题意的安排方法，故所求概率为
P?
4323
=
。
7205

变式1 （2012上海理11）三 位同学参加跳高，跳远，铅球项目的比赛，若每人都选择其中
两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全 相同的概率是______________（结果用最简分数
表示）。
变式2 甲乙两人 一起去游“2011西安世园会”，他们约定：各自独立地从1到6号景点中
任选4个进行游览，每个景 点参观1小时，则最后一小时他们同在一个景点的概率是（ ）
A.
11
15
B. C. D.
96
3636
变式3 在某地的奥运火炬传递活动中，有编号1，2，3，?，18 的18名火炬手，若从中
任选3人，则选出的3名火炬手的编号能组成以3为公差的等差数列的概率为（ ）
A.

1111
B. C. D.
5168306408
题型177 几何概型的计算

思路提示
首先确定事件类型为几何概型并明确其几何区域（长度、面积、体积 或时间），其次计算出
基本事件区域的数值和事件A包含区域数值 ，最后计算
P(A)?
A事件区域数值（长度、面积、体积或时间）
，解几何概型问题的关键是
基本事件区域数值（长度、面积、体积或时间）
画图、求面积。
例13.3 （2012辽宁理10）在长为12cm的线段AB上任取一点C，现作一矩形，邻边长分
别为线段AC,CB的长，则该矩形面积小于32
cm
2
的概率为（ ）
A.
1124
B. C. D.
6335
解析： 设
AC?x
，则
CB?12?x
，且
0?x?12
，所以
x
?
12?x
?
表示矩形的面积，令
x
?
12?x
?
?32
，解得：
x?4
或
x?8
，如图 13-1所示，

故所示的概率为
P?
4?42
?
.故选
C
.
123
2
变式1
A?2,log
2
t
，
B?xx?14x?24?0
，
x,t?R
，
A?B
.
??
??
（1）定义 区间
a,b
的长度为
b?a
，
A
的长度为3，则
t
=_________.
（2）某函数
f
?
x
?
的值域为
B
，且
f
?
则
t
的取值范围为_____ __.
x
?
?A
的概率不小于
0.6
，
例13.4 （2012福建理6）如图13-2所示，在边长为
1
的正方形
OABC
中 任取一点
P
，则
点
P
恰好取自阴影部分的概率为（ ）
??

A.
1111
B. C. D.

4567
解析：由题意可知，阴影部分的面积是由函数
y?x, y?x
围成的几何图形的面积，利用

1
2
3
1
2
1
1
2

所以由定积分可知：

S
阴影
=
?
xdx?
?
xdx?

x?x?

，又
S
正方形OABC
=1，
003
0
2
0
6
1
几何概型知，所求的概率为
P?
.
故选
C
.
6
11
评注：利用线性规划和积分 知识求面积，是解决相关的几何概型问题的常见方法.
变式
1

小波通过 做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到
圆心的距离大于
11< br> ，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于，则去打篮球；否则，
24
在家看书，则 小波周末不在家看书的概率为
_____________.
变式
2
（< br>2012
北京石景山一模理
13
）如图
13-3
所示，圆O
：
x
2
?y
2
?
?
2
内正 弦曲线
y?sinx
与
x
轴围成的区域记为
M
（图中阴影部 分），随机往圆
O
内投一个点
A
，则该点
A
落在区域
M
内的概率是
__________.

变式
3
（< br>2012
湖北理
8
）如图
13-4
所示，在圆心角为直角的扇 形
OAB
中，分别以
OA
，
OB
为直径作两个半圆，在扇形
OAB
内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（

）


A.
1?
2
?
B.
1121
?
C. D.

2
?
?
?
例
13.5
已知
f
______.
?
x
?
??x
2
?ax?b,,ab?
?
0,4
?
,
a,b?R
，则
f
?
1
?
?0

的概率为
解析 几何概型
?：
0?b?4
,A??且-1+a?b?0,
作出
?
，
A
的区域图（如图13-5所示）.
?
0?a ?4

9
?
9
19
?
?
?4?4?1 6
,
?
A
??3?3?
,则
P
?
A< br>?
?
A
?
2
?
.
?
?
1632
22

x
变式1
A=
x?1?x?0
，
B?x|ax?b?2?1?0,0?a?2,1? b?3
??
?
?

（1）
a,b?N
，求
A?B??
的概率；
（2）
a,b?R
，求
A?B=?
的概率.
例13.6 甲乙两人约定在20：00到21：00之间相见，并且先到者必须等迟到者40分钟方
可离去，如果两 人出发是各自独立的，在20：00到21：00各时刻相见的可能性是相等的，
求两人在约定时间内能 相见的概率。
分析 由题意知，当甲乙两人到达目的地的时间相差小于或等于40分钟时两人便能在约定
时间内相见。
解析 设甲乙两人分别于
x
时和
y
时到达约定地点，要使两人能在 约定时间范围内相见，当
且仅当
?
22
?x?y?
.记20：00 为0时，21：00为1时，两人到达约见地点的所有可能
33
时刻
?
x,y
?
满足
?
?
0?x?1
，结果可用如图13-6所示的单 位正方形（包括边界）内的点来
0?y?1
?
2
3
， 可用 2
3
?
x?y?
?
?
表示，两人能在约定时间内相见的 时刻
?
x,y
?
的所有可能满足
?
?
y?x?< br>?
?
如图13-6所示的阴影部分（包括边界）来表示。

< br>?
111
?
1?1?2?
?
??
?
?
233
?
=
8
. 故所求概率为
P
?
1?19
评注：对问题中事件模型的认识与转化是解决问题的关键，这里涉及两个人的时间转化为二
维面 积问题计算.
变式1 甲乙两艘轮船都要停靠在同一泊位，它们可能在一昼夜的任意时刻到达.如果甲乙
两船停靠泊位的时间 分别为4小时和2小时，求有一艘轮船停靠泊位时必须等待一段时间的
概率。

变式2 小明家的晚报在下午5：30
~
6：30之间的任何一个时刻随机地被送 到，小明一家
人在下午6：00
~
7：00之间的任何一个时刻随机地开始晚餐。 < br>（1）你认为晚报在晚餐开始之前被送到和在晚餐开始之后被送到哪一种可能性更大？（不
用计算 ）.
（2）晚报在晚餐开始之前被送到的概率是多少？


最有效训练题53（限时40分钟）
1、甲乙丙三人随意坐下一排座位，乙正好坐中间的概率为（ ）
A.
1111
B. C. D.
2346
2、从
?
1,2,3,4,5
?
中随机选取一个数为
a
，从
?
1,2,3
?
中随机选取一个数为
b
，则
b?a
的概率是（ ）
A.
4321
B. C. D.
5555
3、两根相距3
m
的木杆上系一根拉直的绳子，并在绳子上挂一彩 珠，则彩珠与两端距离都
大于
1
m
的概率为（ ）
A.
1112
B. C. D.
234 3
4、先后抛掷两枚均匀的正方体骰子（它们的六个面分别标有点数1，2，3，4，5，6），骰子朝上的面的点数分别为
X,Y
，则
log
2X
Y?1
的概率为（ ）
M

11
51
B. C. D.
62
3612
5、在边长为18
cm
的线段
AB
上 任取一点
M
，并以线段
AM
为边作正方形，则这个正
A. 方形的面积介于36
cm
2
与81
cm
2
之间的概率为 （ ）
A.
5111
B. C. D.
6236
6、甲乙分别从正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，则所得的两 条直线相互垂直
的概率是（ ）
A.
3456
B. C. D.
18181818
7、从一副混合后的扑克牌（52张）中随机 抽取1张，事件
A
为“抽得红桃
K
”，事件
B
为
“抽得的是黑桃”，则概率
P
?
A?B
?
=___________ _（结果用最简分数表示）.
8、一个正三角形的外接圆的半径为
1
，向该圆内随机投一点
P
，点
P
恰好落在正三角形
外的概率是___________.
9、已知函数< br>f
?
x
?
?ax?
?
b?1
?
x? b?1
，且
a?
?
0,3
?
，则对于任意的
b?R
，函数
2
F
?
x
?
?f
?
x
?
?x
总有两个不同的零点的概率是_________ .
10、现有10个数，它们能构成一个以1为首项，
?3
为公比的等比数列，若从 这10个数中
随机抽取一个数，则它小于8的概率是_____________.
11、在平面直角坐标系
xOy
中，平面区域
W
中的点的坐标
?
x,y
?
满足
x?y?5
，从
22
区域
W
中随机取点
M< br>?
x,y
?
.
（1）
x?z,y?z
，求点
M
位于第四象限的概率；
（2）已知直线
l
：
y? ?x?b
?
b?0
?
与圆
O
：
x?y?5
相交所截得的弦长为
15
，求
22
y??x?b
的概率。

12、某商场电梯从1层出发后可以在2，3，4层停靠.已知该电梯在1层载有4位乘客， 假
设每位乘客在2，3，4层下电梯是等可能的，求这4位乘客中至少有一名乘客在第2层下电
梯的概率。