高中数学知识点总结五：概率统计

教育是一项良心工程，教学质量是我们的生命！
（）

创想教育个性化辅导讲义
教师姓名： ； 授课日期： 年 月 日； 星期 ；上课时间：
教学计划编号
学生姓名
课程内容形式


课时数：
□2h □3h

年级

班型：
□1对1辅导 □精品小班

科目

□新授课 □习题课 □知识串讲课 □学习方法课 □阶段性考试 □讲评试卷
第一步：本讲知识要点及考点分析

本讲知识点标题



填写说明
难度分级 考纲要求 考频分级 常考题型及高考占分












难度分级：容易、较易、一般、较难、困难 考纲要求：了解、理解、掌握、灵活运用、综合运用
考频分级：必考、常考、高频、中频、低频 常考题型与高考占分：近五年高考试题分析得出

第二步：本讲专题知识梳理
（教育理念：没有不好的学生，只有不会教的老师！）

概率
考试内容：

随机事件的概率．等可能性事件的概率．互斥事件有一个 发生的概率．相互独立事件同时发生的概率．独
立重复试验．
考试要求：

（1）了解随机事件的发生存在着规律性和随机事件概率的意义．
（2）了解等可能性事件的概率的意义，会用排列组合的基本公式计算一些等可能性事件的概率。 （3）了解互斥事件、相互独立事件的意义，会用互斥事件的概率加法公式与相互独立事件的概率乘法公式< br>计算一些事件的概率．
（4）会计算事件在n次独立重复试验中恰好发生κ次的概率．
知识要点

1. 概率：随机事件A的概率是频率的稳定值，反之，频率是概率的近似值.
2. 等可能事件的概率：如 果一次试验中可能出现的结果有年n个，且所有结果出现的可能性都相等，那么，
每一个基本事件的概率 都是
1
m
，如果某个事件A包含的结果有m个，那么事件A的概率
P(A)?
.
n
n
3. ①互斥事件：不可能同时发生的两个事件叫互斥事件. 如果 事件A、B互斥，那么事件A+B发生(即A、B
中有一个发生)的概率，等于事件A、B分别发生的概 率和，即P(A+B)=P(A)+P(B)，推广：
P(A
1
?A
2
???A
n
)?P(A
1
)?P(A
2
)???P(A< br>n
)
.
②对立事件：两个事件必有一个发生的互斥事件叫对立事件. 例如： 从1～52张扑克牌中任取一张抽到“红
．．．．．．．．．．．．．．．
桃”与抽到“黑桃” 互为互斥事件，因为其中一个不可能同时发生，但又不能保证其中一个必然发生，故不是
对立事件.而抽 到“红色牌”与抽到黑色牌“互为对立事件，因为其中一个必发生.
互斥
注意：i.对立事件 的概率和等于1：
P(A)?P(A)?P(A?A)?1
.
对立
ii.互为对立的两个事件一定互斥，但互斥不一定是对立事件.
③相互独立事 件：事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响.这样的两个事件叫做相互独立
事件 . 如果两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即P(A·B)=P(A)·P(B). 由此，
当两个事件同时发生的概率P（AB）等于这两个事件发生概率之和，这时我们也可称这两个事件 为独立事
件.例如：从一副扑克牌（52张）中任抽一张设A：“抽到老K”；B：“抽到红牌”则 A应与B互为独立事件[看
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上去A与B有关系很 有可能不是独立事件，但
P(A)?
4
?
1
,P(B)?
2 6
?
1
,P(A)?P(B)?
1
.又事件AB表示“既
5 21352226
抽到老K对抽到红牌”即“抽到红桃老K或方块老K”有
P(A?B)?2
?
1
，因此有
P(A)?P(B)?P(A?B)
.
5226
推广：若事件
A
1
,A
2
,?,A
n< br>相互独立，则
P(A
1
?
A
2
?
A
n
)
?
P(A
1
)
?
P(A
2
)
?
P(A
n
)
.
注意：i. 一般地，如果事件A与B相互独立，那么A 与
B,A
与B，
A
与
B
也都相互独立.
ii. 必然事件与任何事件都是相互独立的.
iii. 独立事件是对任意多个事件来讲，而互斥事件是对同 一实验来讲的多个事件，且这多个事件不能同时发
生，故这些事件相互之间必然影响，因此互斥事件一定 不是独立事件.
④独立重复试验：若n次重复试验中，每次试验结果的概率都不依赖于其他各次试验的 结果，则称这n次
试验是独立的. 如果在一次试验中某事件发生的概率为P，那么在n次独立重复试验 中这个事件恰好发生k
kn?k
次的概率：
P
n
(k)?C
k
.
n
P(1?P)
4.
对任何两个事件都有
P(A?B)?P(A)?P(B)?P(A?B)


概率与统计
考试内容：
抽样方法.总体分布的估计．总体期望值和方差的估计考试要求
（1）了解随机抽样了解分层抽样的意义，会用它们对简单实际问题进行抽样
（2 ）会用样本频率分布估计总体分布
（3）会用样本估计总体期望值和方差．
．
：
．
．
知识要点
一、随机变量.
1. 随机试验的结构应该是不确定的.试验如果满足下述条件：
①试验可以在相同的情形下重复进行；②试 验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；③每次试
验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次 试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果.
它就被称为一个随机试验.
2. 离散型 随机变量：如果对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散
型随机变 量.若ξ是一个随机变量，a，b是常数.则
?
?a
?
?b
也是一个 随机变量.一般地，若ξ是随机变量，
f(x)
是连续函数或单调函数，则
f(
?
)
也是随机变量.也就是说，随机变量的某些函数也是随机变量.
设离散型随机 变量ξ可能取的值为：
x
1
,x
2
,?,x
i
,?

ξ取每一个值
x
1
(
i?
1,2,
?< br>)
的概率
P(
?
?x
i
)?p
i
， 则表称为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列.
?

x
1

x
i

x
2

… …
p
2

p
1

p
i

P … …
有性质①
p
1
?0,i?1,2,?
； ②
p
1
?p
2
???p
i
???1
. < br>注意：若随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的变量叫做连续型随机变量.例如：
?
?[0,5]
即
?
可以取
0～5之间的一切数，包括整数、小数、无理数.
3. ⑴二项分布：如果在一次试验中某事件发生的概率是P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好 发生k
kn?k
次的概率是：
P(ξ?k)?C
k
[其中
k ?0,1,?,n,q?1?p
]
n
pq
于是得到随机变量ξ的概率分 布如下：我们称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作
?
～B（n·p），其中n，
k n?k
p为参数，并记
C
k
?b(k;n?p)
.
n
pq
⑵二项分布的判断与应用.
①二项分布，实际是对n次独立重复试验 .关键是看某一事件是否是进行n次独立重复，且每次试验只有两
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种结果，如果不满足此两条件，随机变量就不服从二项分布.
②当随机变量的总体很大且抽取 的样本容量相对于总体来说又比较小，而每次抽取时又只有两种试验结
果，此时可以把它看作独立重复试 验，利用二项分布求其分布列.
4. 几何分布：“
?
?k
”表示在第k次 独立重复试验时，事件第一次发生，如果把k次试验时事件A发生记为
A
k
，事A不发 生记为
A
k
,P(A
k
)?q
，那么
P(ξ?k) ?P(A
1
A
2
?A
k?1
A
k
)
.根据相互独立事件的概率乘法分式：
k?1
P(ξ?k)?P(A
1
)P (A
2
)?P(A
k?1
)P(A
k
)
?
qp(k
?
1,2,3,
?
)
于是得到随机变量ξ的概率分布列.
?

1
q
2
qp
3
q
2
p

…
…
k
q
k?1
p

…
… P
我们称ξ服从几何分布 ，并记
g(k,p)?q
k?1
p
，其中
q?1?p.k?1,2, 3?

5. ⑴超几何分布：一批产品共有N件，其中有M（M＜N）件次品，今抽取
n(1?n?N)
件，则其中的次品
数ξ是一离散型随机变量，分布列为
P(ξ?k) ?
kk
C
M
?C
N
n
?
?
Mn
C
N
?(0?k?M,0?n?k?N?M)
.〔分子是从M件次品中
r
?0
，则k的范围可以写为k=0，1，…，取k件，从N-M件正品中取n- k件的取法数，如果规定
m
＜
r
时
C
m
n.〕
⑵超几何分布的另一种形式：一批产品由 a件次品、b件正品组成，今抽取n件（1≤n≤a+b）， 则次品数ξ
的分布列为
P(ξ?k)?
n?k
C
k
a
?C
b
C
a?
n
b
k
?
0,1,
?
,n.
.
⑶超几何分布与二项分布的关系.
设一批产品由a件次品、 b件正品组成，不放回抽取n件时，其中次品数ξ服从超几何分布.若放回式抽取，
则其中次品数
?
的分布列可如下求得：把
a?b
个产品编号，则抽取n次共有
(a?b)
n
个可能结果，等可能：
kn?k
(η?k)
含
C
k
个结果，故
P(η?k)?
n
ab
kn?k
C
k
n
ab
(a?b)
n
?C
k
n
(
a
a
k
a
n?k
)
.[我
)(1?),k
?
0,1,2,
?
,n
，即
?
～
B(n?
a?ba?b
a?b
们先为k个次品选定位置，共
C
k
n
种 选法；然后每个次品位置有a种选法，每个正品位置有b种选法] 可以
证明：当产品总数很大而抽取个 数不多时，
P(ξ?k)?P(η?k)
，因此二项分布可作为超几何分布的近似，无
放回抽样可近似看作放回抽样.
二、数学期望与方差.
1. 期望的含义：一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为
?

x
1

x
i

x
2

…
p
2

p
1

p
i

P …
…
…
则称
E
?
?x
1
p
1
?x
2p
2
???x
n
p
n
??
为ξ的数学期望或平 均数、均值.数学期望又简称期望.数学期望反映了离
散型随机变量取值的平均水平.
2. ⑴随机变量
?
?a
?
?b
的数学期望：
E
?
?E(a
?
?b)?aE
?
?b

①当
a?0
时，
E(b)?b
，即常数的数学期望就是这个常数本身.
②当
a ?1
时，
E(
?
?b)?E
?
?b
，即随机变量ξ 与常数之和的期望等于ξ的期望与这个常数的和.
③当
b?0
时，
E(a< br>?
)?aE
?
，即常数与随机变量乘积的期望等于这个常数与随机变量期望的乘 积.
⑵单点分布：
E
?
?c?1?c
其分布列为：
P(< br>?
?1)?c
.
ξ 0 1
⑶两点分布：
E
?
?0?q?1?p?p
，其分布列为：（p + q = 1）
P q p
⑷二项分布：
E
?
?
?
k?
k!(n?k)!
p
n!
k
?q
n?k
?n p
其分布列为
?
～
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（）
B(n,p)
.（P为发生
?
的概率）

⑸几何分布：
E
?
?
1
其分布列为
?
～
q(k,p)
.（P为发生
?
的概率） < br>p
3.方差、标准差的定义：当已知随机变量ξ的分布列为
P(
?
?x
k
)?p
k
(k?1,2,?)
时，则称
D
??
(x
1
?
E
?
)
2
p
1< br>?
(x
2
?
E
?
)
2
p
2
???
(x
n
?
E
?
)
2
pn
??
为ξ的方差. 显然
D
?
?0
，故
??
?D
?
.
??
为ξ的根方差或标准差.
随机变量ξ的方差与 标准差都反映了随机变量ξ取值的稳定与波动，集中与离散的程度.
D
?
越小，稳定性 越
．．．．．．．
高，波动越小.
．．．．．．．
4.方差的性质. ⑴随机变量
?
?a
?
?b
的方差
D(
?
)?D(a
?
?b)?a
2
D
?
.（a、b均为常数）
⑵单点分布：
D
?
?0
其分布列为
P(
?
?1)?p

⑶两点分布：
D
?
?pq
其分布列为：（p + q = 1）
⑷二项分布：
D
?
?npq

⑸几何分布：
D
?
?
q
p
2
ξ
P
0
q
1
p

5. 期望与方差的关系.
⑴如果
E
?
和
E
?
都存在， 则
E(
?
?
?
)?E
?
?E
?

⑵设ξ和
?
是互相独立的两个随机变量，则
E(
??
)?E
?
?E
?
,D(
?
?
?
)?D
?
?D
?

⑶期望与方差的转化：
D
?
?E
?
2
?(E
?
)
2
⑷
E(
??E
?
)?E(
?
)?E(E
?
)
（因为E
?
为一常数）
?E
?
?E
?
?0
.
三、正态分布.（基本不列入考试范围）
1.密度曲线与密度函数：对于连续型随机变量ξ， 位于x轴上方，ξ落在任一区间
[a,b)
内的概率等于它与x
轴.直线
x? a
与直线
x?b
所围成的曲边梯形的面积
（如图阴影部分）的曲线叫ξ的密度曲线，以其作为
图像的函数
f(x)
叫 做ξ的密度函数，由于“
x?(??,??)
”
是必然事件，故密度曲线与x轴所夹部分面积等于1.
a
b
▲
y< br>y=f(x)
x
(x?
?
)
2
2
?
2
2. ⑴正态分布与正态曲线：如果随机变量ξ的概率密度为：
f(x)?
1
2
??
e
?
. （
x?R,
?
,
?为常数，且
，称ξ服从参数为
?
,
?
的正态分布，用
?
～
N(
?
,
?
2
)
表示.
f(x )
的表达式可简记为
N(
?
,
?
2
)
，它 的密度
?
?0
）
曲线简称为正态曲线.
⑵正态分布的期望与方差： 若
?
～
N(
?
,
?
2
)
，则ξ的 期望与方差分别为：
E
?
?
?
,D
?
?
?
2
.
⑶正态曲线的性质.
①曲线在x轴上方，与x轴不相交.
②曲线关于直线
x?
?
对称.
③当
x?
?
时曲线处于最高点，当x向左、向右远离时，曲线不断地降低，呈现出“中间高、两边低”的钟形
曲线 .
④当
x
＜
?
时，曲线上升；当
x
＞
?
时，曲线下降，并且当曲线向左、向右两边无限延伸时，以x轴为渐
近线，向x轴无限的靠近.
⑤当
?
一定时，曲线的形状由
?
确定，
?
越大，曲 线越“矮胖”.表示总体的分布越分散；
?
越小，曲线越“瘦
高”，表示总体的分布越 集中.
3. ⑴标准正态分布：如果随机变量ξ的概率函数为
?
(
x
)?
1
2
?
e
?
x
2
2
(??
?x?
??)
，则称ξ服从标准正态分布.
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（）
即
?
～
N(0,1)
有
?
(x)?P(
?
?x)
，
?< br>(x)?1?
?
(?x)
求出，而P（a＜
ξ
≤b）的计算则 是
P(a?
?
?b)?
?
(b)?
?
(a)
.
注意：当标准正态分布的
?(x)
的X取0时，有
?(x)?0.5< br>当
?(x)
的X取大于0的数时，有
?(x)?0.5
.比如
?(
0.5?
?

?
)?0.0793?0.5
则
0.5?
?
?
必然小于0，如图.
▲
y
S
⑵ 正态分布与标准正态分布间的关系：若
?
～
N(
?
,
?2
)
则ξ的分布函数通
x
?
μ
常用
F(x)
表示，且有
P(ξ?x)?F(x)?
?
()
.
σ
x
a
标准正态分布曲线

S
阴
=0.5
Sa=0.5+S
4.⑴“3
?
”原则.
假设检验是就正态总体而 言的，进行假设检验可归结为如下三步：①提出统计假设，统计假设里的变量服
从正态分布
N(
?
,
?
2
)
.②确定一次试验中的取值
a
是否落入范围
(
?
?3
?
,
?
?3
?)
.③做出判断：如果
a?(
?
?3
?
,
?< br>?3
?
)
，接受统计假设. 如果
a?(
?
?3?
,
?
?3
?
)
，由于这是小概率事件，就拒绝统计假 设.
⑵“3
?
”原则的应用：若随机变量ξ服从正态分布
N(
?< br>,
?
2
)
则 ξ落在
(
?
?3
?< br>,
?
?3
?
)
内的概率为99.7％ 亦即
落在(
?
?3
?
,
?
?3
?
)
之 外的概率为0.3％，此为小概率事件，如果此事件发生了，就说明此种产品不合格（即
ξ不服从正态分 布）.

第三步：例题精讲（必考题型、常考题型、典型题型）


(全国卷）19. （本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）
．．．．．．．． ．
乒乓球比赛规则规定：一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次， 依次
轮换。每次发球，胜方得1分，负方得0分。设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得1分的概率 为0.6，
各次发球的胜负结果相互独立。甲、乙的一局比赛中，甲先发球。
（Ⅰ）求开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率；
（Ⅱ）表示开始第4次发球时乙的得分，求的期望。
(新课标卷）18.（本小题满分12分）
某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干只玫 瑰花，然后以每枝10元的价格出售，乳沟
当天卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾处理。
（Ｉ）看 花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量n（单位：
枝，

（ＩＩ）花点记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：
）的函数解析式。

以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率。
（i） 若花店一天购进16枝玫瑰花，x表示当天的利润（单位：元），求x的分布列，数学期望
及方差；
（ii） 若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？

（天津卷）16（本小题满分13分）
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现有4个人去参加某 娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性，约定：每个
人通过掷一枚质地均匀 的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数
大于2的人去参加乙游 戏.
（Ⅰ）求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；
（Ⅱ）求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；
（Ⅲ）用X，Y分 别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记
?
?X?Y
，求随机变量
?< br>的分布
列与数学期望.
（四川卷）17（本小题满分12分）
某种有奖销售 的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一
瓶”字样即为 中奖，中奖概率为.甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料。
（Ⅰ）求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率；
（Ⅱ）求中奖人数ξ的分布列及数学期望Eξ.
（重庆卷）17（本小题满分13分，（I）小问5分，（II）小问8分）
在甲、乙等6个 单位参加的一次“唱读讲传”演出活动中，每个单位的节目集中安排在一起，若采用抽签
的方式随机确定 各单位的演出顺序（序号为1,2,……6），求：
（I）甲、乙两单位的演出序号至少有一个为奇数的概率；
（II）甲、乙两单位之间的演出单位个数
?
的分布列与期望。
（山东卷）20（本小题满分12分）
某学校举行知识竞赛,第一轮选拔共设有
A,B,C,D
四个问题，规则如下：
① 每位参加者计分器的初始分均为10分，答对问题
A,B,C,D
分别加1分、2 分、3分、6分，答错任一
题减2分；
② 每回答一题，计分器显示累计分数，当累计分数小 于8分时，答题结束，淘汰出局；当累计分数大于或
等于14分时，答题结束，进入下一轮；当答完四题 ，累计分数仍不足14分时，答题结束，淘汰出局，
当累计分数大于或等于14分时，答题结束，进入下 一轮；当答完四题，累计分数仍不足14分时，答
题结束，淘汰出局；
③ 每位参加者按问题
A,B,C,D
顺序作答，直至答题结束.
假设甲同学对问题A,B,C,D
回答正确的概率依次为
(Ⅰ)求甲同学能进入下一轮的概率；
（ Ⅱ）用
?
表示甲同学本轮答题结束时答题的个数，求
?
的分布列和数学的E
?
.
（陕西）19 （本小题满分12分）
为了解学生身高情况， 某校以10%的比例对全校700名学生按性别进行出样检查，测得身高情况的统计图
如下：
来 源:Z+xx+]
1
6
3111
,,,
，且各题回答正确与否相互之 间没有影响.
4234

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（）


（
（
（
）估计该小男生的人数；
）估计该校学生身高在170~185cm之间的概率；
）从样本中身高在165~180c m之间的女生中任选2人，求至少有1人身高在170~180cm之间的概率。
设A表示事件“从样 本中身高在165~180cm之间的女生中任选2人，求至少有1人身高在170~180cm之间
（ 浙江）19(本题满分l4分)如图．一个小球从M处投入，通过管道自 上而下落A或B或C已知小球从
每个叉口落入左右两个 管道的可能性是相等的．
某商家按上 述投球方式进行促销活动，若投入的小球落到A，B，c．则
分别设为l，2，3等奖．
(I)已知获得l，2，3等奖的折扣率分别为50％．70％．90％．记
随变量< br>?
为获得(k=I,2,3)等奖的折扣率．求随变量
?
的分布列及期望
E
?
；
(II)若有3人次(投入l球为l人次)参加促销活动．记随机变量
?
为获
得1等奖或2等奖的人次。求
P(
?
?2)
．

答案：















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