2020高中数学---事件的关系与概率运算

第十一章 第86炼 事件的关系与概率运算 概率与随机变量
第86炼 事件的关系与概率运算
一、基础知识
1、事件的分类与概率：
（1）必然事件：一定会发生的事件，用
?
表示， 必然事件发生的概率为
100%

（2）不可能事件：一定不会发生的事件，用?
表示，不可能事件发生的概率为
0%

（3）随机事件：可能发生也 可能不发生的事件，用字母
A,B,C
进行表示，随机事件的概率
P?
?0,1
?

2、事件的交并运算：
（1）交事件：若事件
C
发生当且仅当事件
A
与事件
B
同时发生，则称事件
C为事件
A
与
事件
B
的交事件，记为
A
多个事件 的交事件：
A
1
B
，简记为
AB

A
2
A
n
：事件
A
1
,A
2
,,A
n
同时发生
（2）并事件：若事件
C
发生当且仅当事件
A
与事件
B
中至少一个发生（即
A
发生或
B
发
生）， 则称事件
C
为事件
A
与事件
B
的并事件，记为
A< br>多个事件的并事件：
A
1
B

,A
n
中至少一个发生
A
2
A
n
：事件
A
1
,A
2
,
3、互斥事件与概率的加法公式：
（1）互斥事件：若事件
A
与事件
B
的交事件
AB
为不可能 事件，则称
A,B
互斥，即事
件
A
与事件
B
不可能 同时发生。例如：投掷一枚均匀的骰子，设事件“出现1点”为事件
A
，
“出现3点” 为事件
B
，则两者不可能同时发生，所以
A
与
B
互斥 （2）若一项试验有
n
个基本事件：
A
1
,A
2
,
事件，所以
A
1
,A
2
,
,A
n，则每做一次实验只能产生其中一个基本
,A
n
两两互斥
,A
n
之间均不可能同时发生，从而
A
1
,A
2
,
（3 ）概率的加法公式（用于计算并事件）：若
A,B
互斥，则有
P
?
AB
?
?P
?
A
?
?P
?
B
?< br>
例如在上面的例子中，事件
AB
为“出现1点或出现3点”由均匀的骰子可得
11
，所以根据加法公式可得：
P
?
AB
?
?P< br>?
A
?
?P
?
B
?
?

63
（4）对立事件：若事件
A
与事件
B
的交事件
AB为不可能事件，并事件
AB
为必然事
P
?
A
?
?P
?
B
?
?
件，则称事件
B
为事件
A< br>的对立事件，记为
B?A
，也是我们常说的事件的“对立面”，对

第十一章 第86炼 事件的关系与概率运算 概率与随机变量
立事件概率公式：
P
?
A
?
?1?PA< br>，关于对立事件有几点说明：
① 公式的证明：因为
A,A
对立，所以
A
??
A??
，即
A,A
互斥，而
AA??
，所 以
P
?
?
?
?PA
?
A?P
?
A
?
?PA
，因为
P
?
?
?
?1
， 从而
P
?
A
?
?1?PA

?????
② 此公式也提供了求概率的一种思路：即如果直接求事件
A
的概率所讨论的情况较多时，
可以考虑先求其对立事件的概率，再利用公式求解
③ 对立事件的相互性：事件
B
为 事件
A
的对立事件，同时事件
A
也为事件
B
的对立事件
④ 对立与互斥的关系：对立关系要比互斥关系的“标准”更高一层。由对立事件的定义可
知：
A,B
对立，则
A,B
一定互斥；反过来，如果
A,B
互斥 ，则不一定
A,B
对立（因为可
能
AB
不是必然事件）
4、独立事件与概率的乘法公式：
（1）独立事件：如果事件
A
（或
B
）发生与否不影响事件
B
（或
A
）发生的概率，则称
事 件
A
与事件
B
相互独立。例如投掷两枚骰子，设“第一个骰子的点数是1”为 事件
A
，“第
二个骰子的点数是2”为事件
B
，因为两个骰子的点数 不会相互影响，所以
A,B
独立
（2）若
A,B
独立，则
A
与
B
，
B
与
A
，
A
与
B
也相互独立
（3）概率的乘法公式：若事件
A,B
独立，则
A, B
同时发生的概率
P
?
AB
?
?P
?
A< br>?
?P
?
B
?
，
11
,P
?B
?
?
，设“第一个骰子点数为1，且第二个骰子
66
1
点数为2”为事件
C
，则
P
?
C
?
?P
?
AB
?
?P
?
A
?
?P
?
B< br>?
?
。
36
比如在上面那个例子中，
P
?
A
?
?
（4）独立重复试验：一项试验，只有两个结果。设其中一个结果为事件
A
（则另一个结果
为
A
），已知事件
A
发生的概率为p
，将该试验重复进行
n
次（每次试验结果互不影响），
则在
n
次中事件
A
恰好发生
k
次的概率为
P?C
n
p
?
1?p
?
kk
n?k

① 公式的说明：以 “连续投掷
3
次硬币，每次正面向上的概率为
正面向上”，由均匀的硬币可知
P
?
A
i
?
?
1
”为例，设
A
i
为“第
i
次
3
1
，设
B
为“恰好2次正面 向上”，则有：
2
P
?
B
?
?PA
1
A< br>2
A
3
?PA
1
A
2
A
3
?PA
1
A
2
A
3

??????
?1
??
1
?
而
PA
1
A
2
A
3
?PA
1
A
2
A
3
?PA
1< br>A
2
A
3
?
????

?
2
??
2
?
??????
2

第十一章 第86炼 事件的关系与概率运算 概率与随机变量
?
1
??
1
?
2
?
1
??
1
?
?P
?
B
?
?3?
????
?C
3< br>????
?
2
??
2
??
2
??
2
?
k
223?2

②
C
n
的意义：是 指在
n
次试验中事件
A
在哪
k
次发生的情况总数，例如在上 面的例子中
“3次投掷硬币，两次正面向上”，其中
C
3
代表了符合条件的不 同情况总数共3种
5、条件概率及其乘法公式：
（1）条件概率：
（2）乘法公 式：设事件
A,B
，则
A,B
同时发生的概率
P
?
AB
?
?P
?
A
?
?P
?
B|A
?

（3）计算条件概率的两种方法：（以计算
P
?
B|A
?
为例）
① 计算出事件
A
发生的概率
P
?
A
?
和
A,B
同时发生的概率
P
?
AB
?< br>，再利用
2
P
?
B|A
?
?
P
?< br>AB
?
P
?
A
?
即可计算
② 按照条件概 率的意义：即
B
在
A
条件下的概率为事件
A
发生后，事件< br>B
发生的概率。
所以以事件
A
发生后的事实为基础，直接计算事件B
发生的概率
例：已知6张彩票中只有一张有奖，甲，乙先后抽取彩票且不放回，求在已 知甲未中奖的情
况下，乙中奖的概率。
解：方法一：按照公式计算。设事件
A
为“甲未中奖”，事件
B
为“乙中奖”，所以可得：
11
5
C5
?C
1
1
，则
P
?
AB
?
?
。所以
P
?
A
?
?
，事件
AB
为“甲未中奖且乙中奖”
?
2
6
A
6
6
P
?
B|A
?
?
P
?
AB
?
P
?< br>A
?
?
1

5
方法二：按照条件概率实际意义：考 虑甲在抽取彩票后没有中奖，则留给乙的情况是剩下的
五张彩票中有一张是有奖的，所以乙中奖的概率为
P?
6、两种乘法公式的联系：
独立事件的交事件概率：
P
?AB
?
?P
?
A
?
?P
?
B
?

含条件概率的交事件概率：
P
?
AB
?
?P
?
A
?
?P
?
B|A
?

通过公式不难看出，交事件的概率计算与乘法相关，且事件
A,B
通常存在顺承的关系，
即一个事件发生在另一事件之后。所以通过公式可得出这样的结论：交事件概率可通过乘法
1

5

第十一章 第86炼 事件的关系与概率运算 概率与随机变量
进行计算，如 果两个事件相互独立，则直接作概率的乘法，如果两个事件相互影响，则根据
题意分出事件发生的先后， 用先发生事件的概率乘以事件发生后第二个事件的概率（即条件
概率）
二、典型例题： 例1：从
1,2,3,4,5
这5个数中任取两数，其中：①恰有一个是偶数和恰有一个是 奇数；②
至少有一个是奇数和两个都是奇数；③至少有一个是奇数和两个都是偶数；④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数。上述事件中，是对立事件的是（ ）
A. ① B. ②④ C. ③ D. ①③
思路 ：任取两数的所有可能为
?
两个奇数；一个奇数一个偶数；两个偶数
?
，若是对立事
件，则首先应该是互斥事件，分别判断每种情况：①两个事件不是互斥事件，② “至少有
一个奇数”包含“两个都是奇数”的情况，所以不互斥，③ “至少一个奇数”包含“两个
奇数”和“一奇一偶”所以与“两个偶数”恰好对立，④ “至少有一个奇 数”和“至少有
一个偶数”均包含“一奇一偶”的情况，所以不互斥。综上所述，只有③正确
答案：C
例2：5个射击选手击中目标的概率都是
2
，若这5个选手同时射 同一个目标，射击三次则
3
35
至少有一次五人全部集中目标的概率是（ ）
?
?
1
?
5
??
?
1
?
3
??
?
2
?
5
??
?
2
?3
?
A.
?
1?
??
?
B.
?
1?
??
?
C.
1?
?
1?
??
?
D.
1?
?
1?
??
?

?
?
3?
?
??
?
3
?
?
?
?
?< br>3
?
?
???
??
??
?
3
??
思路：所求中有“至少一次”，且若正面考虑问题所涉及的情况较多。所以考虑从问题的对
立面入手，设所求事件为事件
A
，则
A
为“射击三次没有一次五人均命中目 标”，考虑射击
一次五人没有全命中目标的概率为
1?
??
35
?< br>2
?
?
3
?
5
?
?
2
?< br>5
?
，所以
PA?
?
1?
??
?
，从而可得
?
?
3
?
?
?
?
3
? ?
?
?
2
?
5
?
P
?
A
?
?1?PA?1?
?
1?
??
?

?
?
?
3
?
?
?
3
??
答案：C
例3：甲，乙，丙三人独立的去译一个密码，分别译出的概率为
,,
概率是（ ）
A.
111
，则此密码能译出
534
13
159
B. C. D.
55
6060

第十一章 第86炼 事件的关系与概率运算 概率与随机变量
思 路：若要译出密码，则至少一个人译出即可。设事件
A
为“密码译出”，正面分析问题情
况较多，所以考虑利用对立面，
A
为“没有人译出密码”，则
1
??1
?
2
3
?
1
??
PA?
?
1?
?
?
?
1?
?
?
?
1?
?< br>?
，从而
P
?
A
?
?1?PA?

4
??
3
?
5
5
?
5
??
??
??
答案：C
例4：某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能 连续正确回答出两个
问题，即停止答题，晋级下一轮，假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8， 且每个问
题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率是________ _
思路：因为选手回答4个问题就晋级下一轮，所以说明后两个回答结果正确，且第二次回答
错误（否则第二次与第三次连续正确，就直接晋级了），第一次回答正确错误均可。所以
1
?< br>4
?
16

P??
??
?
5
?< br>5
?
125
答案：
2
16

125
例5：掷3颗骰子，已知所得三个数都不一样，求含有1点的概率
思路：首先 判断出所求的为条件概率，即在3个数都不一样的前提下，含有1点的概率，设
事件
A
表示“含有1点的概率”，事件
B
为“掷出三个点数都不一样”，事件
AB
为 “三个
123
C
3
A
5
5A
6
5
?PB??
点数都不一样且有一个点数为1”，则有
P
?
AB
??
，，所以由
??
33
61869
条件概率公式可得：
P
?
A|B
?
?
P
?
AB
?
P< br>?
B
?
?
1

2
答案：
1

2
例6：甲乙两人进行跳绳比赛，规定：若 甲赢一局，比赛结束，甲胜出；若乙赢两局，比赛
23
55
16181921
A. B. C. D.
25252525
结束，乙胜出。已知每一局甲，乙两人获胜的概率分别为
,
，则甲胜出的概率为（ ）
思路：考虑甲胜出的情况包含两种情况，一种是甲第一 局获胜，一种是甲第一局输了，第二
局获胜，设事件
A
i
为“甲在第
i
局获胜”，事件
B
为“甲胜出”，则
P
?
B
?< br>?P
?
A
1
?
?PA
1
A
2
，
依题意可得：
P
?
A
1
?
?
??2326
，两场比赛相互独立，所以
PA
1
A
2
?PA
1
?P
?
A
2
?
???

55525
????

第十一章 第86炼 事件的关系与概率运算 概率与随机变量
从而
P
?
B
?
?
答案：A
16

25
例7：如图，元件
A
i
?
i?1,2,3,4
?
通过电流的概率均为
0.9
，且各元件是否通过电流相互独
立，则电流能在
M,N
之间通过的概率是（ ）
A.
0.729
B.
0.8829
C.
0.864
D.
0.9891





思路：先分析 各元件的作用，若要在
M,N
之间通过电流，则
A
4
必须通过，且< br>A
1
,A
2
这一组
与
A
3
两条路至 少通过一条。设
A
为“
A
1
,A
2
通过”，则P
?
A
?
?0.9?0.81
，设
B
为“A
3
通
2
过”，
P
?
B
?
? 90.
，那么“至少通过一条”的概率
P?1?PAB?1?PAPB?0.019
，
??????
从而
M,N
之间通过电流的概率为
0.019?0.9 ?0.8829

答案：B
例8：假设每一架飞机的引擎在飞行中出现的故障率为
1?p
，且各引擎是否有故障是独立
的，已知4引擎飞机中至少有3个引擎正常运行， 飞机就可成功飞行；2引擎飞机要2个引
擎全部正常运行，飞机也可成功飞行；要使得4引擎飞机比2引 擎飞机更安全，则
p
的取
值范围是（ ）
A.
?
,1
?
B.
?
,1
?
C.
?
0,
?
D.
?
0,
?

思路：所谓“更安全”是指成功飞行的概率更高，所以只 需计算两种引擎成功的概率即可，
引擎正常运行的概率为
p
，设事件
A
为“4引擎飞机成功飞行”，事件
A
i
为“
i
个引擎正常
运行”，可知引擎运行符合独立重复试验模型，所以
P
?
A
i
??C
4
p
?
1?p
?
ii
4?i
?< br>2
?
?
3
?
?
1
?
?
3< br>?
?
?
2
?
3
?
?
1
?< br>?
3
?
，所以
P
?
A
?
?P
?
A
3
3344
A
4
?
?P
?
A
3
?
?P
?
A
4
?
?C
4p
?
1?p
?
?C
4
p
。设事件
B< br>为“2引擎飞机
233442
成功飞行”，则
P
?
B
?
?p
，依题意：
P
?
A
?
?P
?
B
?
，即
C
4
p
?
1?p
?
? C
4
p?p
，进而
解出
1
?p?1

3

第十一章 第86炼 事件的关系与概率运算 概率与随机变量
答案：B < br>例9：从
1,2,3,
，已知甲取到的是5的倍数，则
,15
中，甲， 乙两人各任取一数（不重复）
甲数大于乙数的概率是_______
思路一:本题涉及条件概 率的问题，设事件
A
为“甲取到的数比乙大”，事件
B
为“甲取到
的 数是5的倍数”，则所求概率为
P
?
A|B
?
。若用公式求解，则需 求出
P
?
AB
?
,P
?
B
?
，事
件
AB
即为“甲取到了5的倍数且甲数大于乙数”，由古典概型可计算出概率。甲能够 取得
数为
5,10,15
，当甲取5时，乙有
C
4
种取法， 当甲取10时，乙有
C
9
种取法，当甲取15时，
111
1
C
4
?C
9
?C
14
9
C
3
1< br>乙有
C
种取法，所以
P
?
AB
?
?
，因为，所以
?
PB??
??
21
A
15
70C
15
5
1
14
11
P
?
A|B?
?
P
?
AB
?
P
?
B
?< br>?
9

14
思路二：本题处理条件概率时也可从实际意义出发，甲取5 ,10,15对乙的影响不同，所以分
1
，此时乙从剩下14个数
3
14中可取的只有1,2,3,4，所以甲取出5且大于乙数的概率
P??
，同理，甲取的是1 0
1
314
19
时，乙可取的由9个数，所以甲取出10且大于乙数概率为< br>P
2
??
，甲取的是15时，乙
314
1
可取14个 数，所以甲取出15且大于乙数的概率为
P
3
?
，所以甲取到的数是5的倍数 后，
3
9
甲数大于乙数的概率为
P?P

?P?P?
123
14
9
答案：
14
情况讨论 。当甲取的是5时，甲能从5的倍数中取出5的概率是
小炼有话说：本题两种处理条件概率的思路均可解 决问题，但第二种方法要注意，所发生过
的只是甲取到5的倍数，但不知是哪个数，所以在分类讨论时还 要乘上某个5的倍数能抽中
的概率。即所求问题转变为“已知抽到5的倍数后，抽到哪个5的倍数（具体 分类讨论）且
甲数大于乙数的概率”。
例10：甲袋中有5只白球，7只红球；乙袋中由4只 白球，2只红球，从两个袋子中任取一
袋，然后从所取到的袋子中任取一球，则取到白球的概率是___ ____
思路：本题取到白球需要两步：第一步先确定是甲袋还是乙袋，第二步再取球。所以本问题< br>实质上为“取到某袋且取出白球的概率”，因为取袋在前，取球在后，所以取球阶段白球的
概率受 取袋的影响，为条件概率。设事件
A
为“取出甲袋”，事件
B
为“取出白球” ，分两

第十一章 第86炼 事件的关系与概率运算 概率与随机变量
种情况进行讨 论。若取出的是甲袋，则
P
1
?P
?
A
?
?P?
B|A
?
，依题意可得：
155
15
??=
；若取出的是乙袋，则
P
?
A
?
?,P
?
B|A< br>?
?
，所以
P
1
21224
212
1421 21
P
2
?PA?PB|A
，依题意可得：
PA?,PB|A??< br>，所以
P
2
???
，
263233
13
综上 所述，取到白球的概率
P?P

?P?
12
24
13
答案：
24
????
????