高中数学第8章统计与概率8.2概率8.2.1概率的加法

第八章 随机试验+概率的加法公式
一、学习目标：
1.掌握互斥事件和对立事件的概率及互斥事件的教法公式；
2.灵活应用概率公式解决一些问题。
二、学习重、难点：
1.学习重点：互斥事件和对立事件的概念以及互斥事件的加法公式；
2.学习难点：互斥事件与对立事件的区别与联系。

三、新课过程
1．随机对照试验
随机选取试验组和对照组是安排试验的基本原则，随机对照试验是指随机选 取试验组和
对照组的试验．我们把对照组中的处理方法称为使用安慰剂．
2．概率的加法公式
如果
Ω
的事件
A
1
，
A
2
，…，
A
m
两两互斥，则
P
(
A
1
∪
A
2
∪…∪
A
m
)＝
P
(
A
1< br>)＋
P
(
A
2
)＋…＋
P
(
Am
)．
我们把概率的加法公式称为概率的可加性，可加的前提是事件两两互斥．
四、课堂探究
1．概率的可加性的前提是事件两两互斥，互斥与对立有什么异同？
提示：对立事件是互斥事件的一种特殊情况，互斥不一定对立，对立一定互斥．当计算
事件
A< br>的概率
P
(
A
)比较复杂，困难时，常用公式
P
(< br>A
)＝1－
P
(
A
)求解．
2．必修五古典概型中 我们就接触过概率的加法公式
P
(
A
∪
B
)＝
P< br>(
A
)＋
P
(
B
)，与本节的概率
加法公式 有什么区别和联系？
提示：本节的概率加法公式是必修中概率加法公式的一个推广，它们有共同的前提 是事
件两两互斥；但必修中概率加法公式每个基本事件发生的可能相同，本节所述的事件发生的
概率可以不相同，但事件间必须互斥．
五、课堂精讲：
类型一、互斥事件的概率

[例1] (1)由经验得知，在人民商场付款处排队等候付款的人数及其概率如下：
排队人数

概率

0

0.11

1

0.16

2

0.3

3

0.29

4

0.1

5人及以上
0.04
则至多2人排队的概率为( )
1

A．0.3
C．0.57
B．0.43
D．0.27
[解析] 例(1)记“没有人排队”为事件
A
，“1人排队 ”为事件
B
，“2人排队”为事
件
C
，
A
，
B
，
C
彼此互斥．记“至多2人排队”为事件
E
.则
P< br>(
E
)＝
P
(
A
＋
B
＋
C
)＝
P
(
A
)＋
P
(
B
)
＋
P
(
C
)＝0.11＋0.16＋0.3＝0.57.
1
变式1：围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为，都是白子
7
12
的概率是.则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是( )
35
11217
A. B. C. D．1
73535
[解析]变式1：设“从中取出2粒都是黑子”为事件
A
，
“从中取出2粒都是白子”为事件
B
，
“任意取出2粒恰好是同一色”为事件
C
，
则
C
＝
A
∪
B
，且事件
A
与
B
互斥．
112 17
所以
P
(
C
)＝
P
(
A
)＋
P
(
B
)＝＋＝.
73535
17
即任意取出2粒恰好是同一色的概率为.
35
[答案] (1)C (2)C
运用互斥事件的概率加法公式解题时，首先要分 清事件间是否互斥，同时要学会把一个
事件分拆成几个互斥事件，但应考虑周全，不重不漏．
类型二、对立事件的概率
[例2] 一名射手在某次射击训练中，射中10环、9环、8环、 7环的概率分别为
0.21,0.23,0.25,0.28，计算这个射手在这次射击中：
(1)射中10环或7环的概率；(2)射中的环数低于7环的概率．
[解] (1)设“射中10环”为事件
A
，
“射中7环”为事件
B
，
由于在这次射击中，
事件
A
与事件
B
不可能同时发生，
故事件
A
与事件
B
是互斥事件，
“射中10环或7环”的事件为
A
∪
B
.
∴
P< br>(
A
∪
B
)＝
P
(
A
)＋
P
(
B
)＝0.21＋0.28＝0.49.
∴射中10环或7环的概率为0.49.
2

(2)“低于7环”从正面考虑有以下几种情况：
射中6环，5环，4环，3环，2环，1环，0环．
但由于这些概率都未知，故不能直接求解．
可考虑从反面入手．
“低于7环”的反面是“大于或等于7环”，
即7环，8环，9环，10环，由于这两个事件必有一个发生，
故是对立事件，故可用对立事件的方法处理．
设“低于7环”为事件
E
，
则事件
E
为“射中7环或8环或9环或10环”．
由(1)知“射中7环”“射中8环”“射中9环”“射中10环”彼此互斥．
故
P
(
E
)＝0.21＋0.23＋0.25＋0.28＝0.97，
从而P
(
E
)＝1－
P
(
E
)＝1－0.97＝0 .03.
∴射中的环数低于7环的概率为0.03.

解决此类问题的规律是：
(1)①必须分清事件
A
、
B
是否互斥，只有互斥事件才能用概率的 加法公式；②所求事件
必须是几个互斥事件的和．满足以上两点才能用
P
(
A
∪
B
)＝
P
(
A
)＋
P
(
B
)．
(2)当直接求某一事件的概率较为复杂或根本无法求时，可先转化为求其对立事件的概
率．
变式训练2．某单位36人的血型类别是：A型12人，B型10人，AB型8人，O型6人．现
从这36人中任选2人，求此2人血型不同的概率．
解：这2人血型不同的情况有：
1人A型1人B型；1人A型1人AB型；
1人A型1人O型；1人B型1人AB型；
1人B型1人O型；1人AB型1人O型．共6种情况。
而其反面是血型相同，只有4种情况．
法一：从36人中任选2人，共有C
36
种选法，2人血型不同的概率为：
C
12
C
10
C
12
C
8
C
12
C
6
C
10
C
8
C
10
C
6
C
8
C
6
34
P
＝
2
＋2
＋
2
＋
2
＋
2
＋
2
＝.
C
36
C
36
C
36
C
36
C< br>36
C
36
45
法二：由于“2人血型不同”与“2人血型相同”为对 立事件，
C
12
＋C
10
＋C
8
＋C
6
1134
因而2人血型不同的概率为：
P
＝1－＝1－＝.
2
C
36
4545
2222
1
2

3

六、课堂练习：
1．某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得，1 000张奖券为一个开奖
单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖
的事件分 别为
A
，
B
，
C
，求：
(1)
P
(
A
)，
P
(
B
)，
P
(
C< br>)；
(2)1张奖券的中奖概率．
1
解：(1)
P
(
A
)＝，
1 000
P
(
B
)＝
P
(
C
)＝
101
＝ ，
1 000100
501
＝.
1 00020
111
，，.
1 00010020
故事件
A
，
B
，
C
的概率分别为
(2)1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、 二等奖．
设“1张奖券中奖”这个事件为
M
，则
M
＝
A< br>∪
B
∪
C
.
∵
A
，
B
，
C
两两互斥，
∴
P
(
M
)＝
P
(
A
∪
B
∪
C
)＝
P
(
A
)＋
P
(
B
)＋< br>P
(
C
)
＝
1＋10＋5061
＝，
1 0001 000
61
故1张奖券的中奖概率约为.
1 000

2、随机抽取的9个同学中，至少有2个同学在同一月份出生的概率是________(默认每
个月的 天数相同，结果精确到0.001)．
[解析] 每个同学的生日月份都有12种可能，故9人的生日 月份共有12个．至少有2
个人的生日在同一月份，若正面求解则分类情况复杂，故可化为求其对立事件 的概率．其对
立事件为“所有人的出生月份都不同”有A
12
种可能．
[解：] 总事件数为12个，
至少两人在同一月份出生的对立事件是“所有人出生月份均不相同”，
A
12
则其概率为1－
9
≈1－0.0155
12
＝0.9845≈0.985.
答案：0.985

9
9
9
9
4

七、课后作业：
1．有一个游戏，其规则是甲、乙、丙、丁四个人从同一地点随机地向东、南、西、北
四个方向前进，每 人一个方向．事件“甲向南”与事件“乙向南”是( )
A．互斥但非对立事件
C．相互独立事件
B．对立事件
D．以上都不对
解析：选A 由于每人一个方向，故“甲向南”意味着“乙向南”是不可能的，故是互
斥事件，但不是对立事件．
2．在所有的两位数(10～99)中，任取一个数，则这个数能被2或3整除的概率是( )
542
A. B. C.
653
1
D.
2
602
解析：选C 共90个数字，被2或3整除的数有45＋30－15＝60，故概率为＝.
903
3．从5张500元，3张800元，2张1 200元演唱会的门票中任取3张．则所取3张中
至少有2张价格相同的概率为( )
1793
A. B. C.
41204
D.
23

24
解析：选C 3张中没有价格相同的取法有C
5
C
3
C
2
＝30，
则3张中至少有2张相同的概率为1－
303
3
＝.
C
1 0
4
111
4．从一批乒乓球产品中任选一个，如果其重量小于2.45 g的概率是0.22，重量不小
于2.50 g的概率是0.20，那么重量在2.45 g～2.50 g范围内的概率是________．
解析：重量在2.45 g～2.50 g范围内的概率是1－0.22－0.20＝0.58.答案：0.58
5．同时抛掷两个均匀的正方 体玩具(各个面上分别标以数1,2,3,4,5,6)，则向上的一
面数之积为偶数的概率为____ ____．
解析：向上的一面数之积为奇数，当且仅当两个正方体向上的一面的数都为奇数，其可C
3
·C
3
1
能出现的结果数为C·C，因此向上的一面数之积 为奇数的概率
P
＝＝，从而向上的
6×64
1
3
1
3
11
133
一面数之积为偶数的概率为：1－
P
＝1－＝.答案：
444
6．银行部门收费项目多，手续繁琐，营业网点少等是人们比较关心的问题，银行部门虽 增
加了部分自助存取款功能的ATM机，也简化了部分手续，但仍没有彻底扭转这种局面．经统
计，在某银行营业大厅排队办理业务的人数及其概率如下：
排队人数

概率

0～10人

0.12

11～20人

0.27

21～30人

0.30

31～40人

0.23

41人以上
0.08
计算：(1)至多20人排队的概率；
5

(2)至少11人但不超过40人排队的概率．
解：记“有0～10人排队” 、“有11～20人排队”、“有21～30人排队”、“有31～
40人排队”、“至多20人排队” 、“至少11人但不超过40人排队”的事件分别为
A
，
B
，
C，
D
，
E
，
F
，则
A
与
B< br>是互斥事件，事件
B
，
C
，
D
两两互斥，从而 (1)
P
(
E
)＝
P
(
A
∪
B
)＝
P
(
A
)＋
P
(
B
)
＝0.12＋0.27＝0.39；

(2)
P
(
F)＝
P
(
B
∪
C
∪
D
)＝
P
(
B
)＋
P
(
C
)＋
P
(
D
)
＝0.27＋0.30＋0.23＝0.80.

到绿球的概率为
1
4
.
6