概率的加法公式

《概率的加法公式》教学设计




1、教学目标：
（1）知识与技能目标：通过探究式教学，使学生正确理解“互斥事件”，“ 彼此互斥”
和“对立事件”的概念，理解并掌握当A，B互斥时“事件AUB”的含义，了解两个互斥事
件的概率加法公式，并会利用两个对立事件的概率和为1的关系，简化一些概率的运算，同
时， 会应用所学知识解决一些简单的实际问题。
（2）过程与方法目标：在本节教学中，通过日常生活中的 大量实例，鼓励学生动手试
验，引导学生学会如何观察、推理、归纳、类比、引申、反思和评价，注重培 养学生的数学
交流表达的能力，知识间纵横迁移的视角转换能力，提高直觉思维能力。
（3） 情感态度与价值观目标：增强学生合作学习交流的机会，感受与他人合作的重要
性，同时养成手、口、眼 、耳、脑五官并用的良好习惯。
2、教学重点、难点：
本节的教学重点是互斥事件和对立事 件的概念以及互斥事件的加法公式，教学难点是
互斥事件与对立事件的区别和联系。
3、教学过程：
新授课之前的准备工作：（1）将全班学生分成若干组，每组8人，原则是自 愿组合，
老师适当调整，使每个小组尽可能具备讨论问题的氛围基础。（2）精选出9个合适的题目制成思考题单，课前发到各个小组，各小组就自己感兴趣的问题分析思考，以奠定上课时各
组之间研 究问题的基础。（3）做好相应的多媒体演示课件，根据教学情况之需适时演示。
师：1个盒内放有1 0个大小相同的乒乓球，其中5个红球，3个绿球，2个黄球，若从
中任取一个球，得到红球记为“事件 A”，从中任取一个球，得到绿球记为“事件B”，从
中任取一个球，得到黄球记为“事件C”，则事件 A、B、C之间存在什么关系？
（学生暂时还不能解决这个问题。）

师：请同学们首先思考这样一个问题：如果从盒中摸出一个球是红球，则说明事件A
怎样？
生：事件A发生。
师：很好，那么如果从盒中摸出一个球是绿球，即事件B发生，则说明事件A又怎样？
生：事件A没有发生。

师：通过对以上两个问题的探究，你发现事件A和事件 B具有怎样的关系？（让学生
思考）
生甲：事件A和事件B不能同时发生。
师：事件A和事件B就叫互斥事件，请同学们给互斥事件下个定义。
生乙：在一次试验中事件 A和事件B不可能同时发生，这种不可能同时发生的两个事
件叫做互斥事件。
师：很好，那么事件B与事件C是怎样的关系？事件A与事件C又是怎样的关系？
生：两个都是互斥事件。
师：如果事件A、B、C其中任何两个都是互斥事件（两两互斥）， 就说A、B、C彼此
互斥，那么四个及四个以上的事件是否也能存在这种关系呢？若能请你把它推广到n 个。
生丙：能，就以上题为例，把盒中的球的颜色增加到若干种即可，有几种颜色就能有
几个 互斥事件。
师：很好，我们再来思考另一个问题，请同学们联想集合的知识，思考能否用集合的
知识来解释互斥事件的概念？
生丁：从集合角度看两个互斥事件是指由两个事件所含基本事件组成的集合不相交。
师：若n个事件彼此互斥呢？
生戊：n个事件彼此互斥是指n个事件所含的基本事件组成的集合彼此都不相交。
师：请同学们看屏幕，用维恩图图（2）、图(3)来深刻理解互斥事件。


师：从集合角度看，若图(4)中的全集U中仅有两个集合，两集合是什么关系？其对应的事件A、B又有什么特殊关系呢？

生：集合A、B不相交，集合A、B的并集是全集，事件A、B互斥。
师：对，例如在上面问 题中，若把“如果从盒中摸出1个球，得到红球记为“事件A”；
得到的不是红球（即绿球或黄球）记为 “事件B”，事件A与B是否能同时发生？
生：不能。
师：事件A与B是互斥事件吗？

生：是
师：事件A与B必有一个发生吗？
生：必有一个发生。 < br>师：这时事件A与B互为对立事件，请同学们给对立事件下个定义。（学生通过的小
组讨论与概括 ，自然得到结论与定义，让学生表述定义。）
生戊：集合A、B互为补集，从事件的角度看，若事件A 与B互斥，且A与B中必有一
个发生，则称事件A与B是对立事件。
生甲：不能同时发生且必有一个发生的两个事件叫做互为对立事件。
师：两个同学回答得都很 好，甲回答得更简炼，请同学们思考互斥事件与对立事件存
在怎样的联系？
生：对立事件一定互斥事件，互斥事件不一定是对立事件。
做练习：若从一幅去掉大小王的扑 克牌中，任取一张，判断下列每对事件中哪些是互
斥事件，若是请判断各事件是否为对立事件。
A、“抽出红桃”与“抽出黑桃A”；
B、“抽出牌的点数是3的倍数”与“抽出牌的点数为2的倍数”；
C、“抽出牌的点数为3的倍数”与“抽出牌的点数为5的倍数”；
D、“抽出牌的点数小于6”与“抽出牌的点数大于4”；
E、“抽出是红桃”与“抽出不是红桃”。
（学生思考）
学生甲：A、C、E为互斥事件，其中E为对立事件，B、D不是互斥事件。
师：通过以上问 题的解决，你能否根据你们手中的扑克牌，以小组为单位提出一个有
关互斥事件或对立事件的问题吗？请 试试看。
（通过学生独立思考与讨论，由每小组各提出一个问题大家来讨论评判）
甲组学生 代表：从一副去掉大小王的扑克牌中（52张）任取2张。“抽出的至少一张
牌为红桃”和“抽出的两张 牌没有红桃”。
生：既是互斥事件也是对立事件。
师：下面我们回归到最初的问题情景中， 请同学们思考以下问题。1个盒内放有10个
大小相同的乒乓球，其中5个红球，3个绿球，2个黄球， 若从中任取一个球，求（1）取到
红球的概率；（2）取到绿球的概率？
生甲：取到红球概率12；
取到绿球概率310；
师：很好，若把“从中摸出一个 球，得到红球或绿球记作事件AUB，则怎样的事件表示
该事件发生？怎样求该事件的概率？它与事件A 与B的概率存在怎样的关系？”
生乙：从盒中摸出一个球是红球或绿球时，“表示事件AUB发生”， 事件AUB的概率
等于事件A与事件B的概率之和。
师：哪位同学能说明P（AUB）=P（A）+P（B）成立的理由 ？
生丙：假定A、B是 互斥事件，在n次试验中，事件A出现的频数是n
1
，事件B出现的
频数是n
2
，则事件AUB出现的频数正好是n
1
+n
2
，所以事件AUB的 频率为（n
1
+n
2
）n=n
1
n+n
2
n。
而n
1
n是事件A出现的频率，n
2
n是事件B出现的频率， 因此由概率的统计定义知P
（AUB）=P（A）+P（B）。
（学生回答，老师总结、板书。）
师：例1、抛掷一颗骰子，观察掷出的点数，设事件A为“ 出现奇数点”，B为“出现

2点”，已知P（A）=12，P（B）=16，求“出现奇 数点或2点”的概率。
生甲：事件C：“出现奇数点或2点”的概率是事件A“出现奇数点”的概率与 事件
B“出现2点”的概率之和。即P（C）=P(A)+P(B)=12+16=23。（学生回答， 教师板书）
师：例2、在数学考试中，小明的成绩在90分以上的概率是0.18，在80~89分的 概率
是0.51，在70~79分的概率是0.15，在60~69分的概率是0.09，分别计算小明 在数学考试
中取得80分以上成绩的概率和小明考试及格的概率。
生：解：分别记小明的考试 成绩在90分以上，在80~89分分别为事件B、C，这两个事
件彼此互斥，因此小明的考试成绩在8 0分以上的概率是P（BUC）=P（B）+P（C）
=0.18+0.51=0.69。（学生回答， 老师板书）
师：请同学们仔细观察例2，计算小明考试及格的概率。（学生思考）
生：接着 第一个问题，再设小明考试成绩在70~79分，60~69分为事件D、E，所以小
明考试及格的概率 ，即成绩在60分以上的概率为P（BUCUDUE）=P（B）+P（C）
+P(D)+P(E)=0 .18+0.51+0.15+0.09=0.93。
师：若事件A
1
、A
2
??A
n
两两互斥（彼此互斥），那么事件“A
1
UA
2
U??A
n
”发生的概
率如何表示？
生：P（A
1
UA
2
U??UA
n
）=P（A
1
）+P（A
2
）+??+ P（A
n
）
师：这就是互斥事件的概率加法公式。若A与B是 对立事件，根据对立事件的意义，
你能得AUB的概率吗？
生：P（AUB）=P（A）+P（B）=1
师：为什么？
生：AUB是必然事件。
师：很好，例2中的问题改为求小明考试不及格的概率，设考试不及 格为“事件A”，
及格为事件“B”。
（让学生观察，计算，希望学生通过观察发现对立事件概率的计算公式。）
生：小明考试不及格的概率P（A）=1-P（B）=0.07
师：哪位同学总结一下，本题给我们提出了哪些解题方法与数学思想？
生甲：所求事件概率转化为彼此互斥事件的概率的和。
生乙：若求一个事件的概率，可转化为求其对立事件的概率，体现“正难则反”的转
化思想。
师：哪位同学能归纳出求解方法和步骤，以及应当注意的问题？（师生共同讨论）
生丙：解题步骤可归纳为4步：
（1）引用数学符号表示问题中的有关事件；
（2）判断各事件的互斥性；
（3）应用概率的加法公式进行计算；
（4）写出答案。
如果A、B两个事件不互斥，就不能运用互斥事件的概率加法公式。若A、 B为互斥事
件，才能运用概率的加法公式。
练习：在同一时期内，一条河流某处的年最高水平在各个范围内的概率如下：
年最高水
位

概率

低于10m

0.1

10~12m

0.28

12~14m

0.38

14~16m

不低于16m

0.16

0.08

计算在同一时期内，河流这一处的年最高水位在下列范围内的概率。

（1）10~16m；（2）低于12m；（3）不低于14m；
生：(1)0.92 (2)0.38 (3)0.24
师：让我们回顾一下这节课
（1）从本节课的学习中你有何收获？
（2）如何得出有关概念、规律和公式？
生甲：??
生乙：??
（学生先总结，老师补充得到）
转化思想，特殊到一般的推理方法。
师：我们这节课从具体实例出发，通过观察，探索，讨论 得出了互斥事件的概念和对
立事件的概念，大胆猜测了互斥事件的概率求和公式，并给出证明，而且用这 些公式解决一
些实际问题，整个过程采用了由特殊到一般的推理方法，这也是我们探索自然规律，认识发
现自然规律，应用自然规律常用的方法，希望同学们以后在学习中努力多探索多发现，想信
在未 来的世界领奖舞台上，会出现在座的各位，谢谢。
作业：课本P109，练习A 1题2题
课本P110，练习B 2题
教学设计说明
一、教学内容的特点及处理
概率是研究随机现象规律的学科，它为人们认识客观世界提供了重要的思维模式和解
决问题的办法，同时 为统计学的发展提供了理论基础，本节课内容具有重要的地位，体现数
学来源于生活服务于生活的本质。 对于本节课教材中的概念和公式也都是从生活的实例中探
究、归纳，猜想、证明得出的。
二、教学目标的确定
数学教学中应该以知识为依托，以思想方法为核心，以提高学生的能力素 质为目的，
根据本节课教材的特点和新课标对本节课的教学要求从知识与技能，过程与方法，情感态度< br>与价值观三方面确定了相应的教学目标，不仅要求学生在老师引导下主动探索过程中对用到
的数学 思想方法和思维方法有一定的领悟和认识，还达到培养能力的目的。
三、教学方法的选择
在 本节课教学中，我设计了大量的实际问题，让学生理论和实际相联系，与此同时，
我还在教学中让学生分 组讨论，参与到教学中，在整个教学中我还注意通过创设情景，引导
学生，培养他们独立思考的能力，允 许学生争论，为课堂教学营造了民主，热烈的学术氛围。