高中数学排列组合概率练习题

高中数学排列组合概率练习题
1．如图，三行三列的方阵中有9个数
a
ij
(i?1,2,3;j?1,2,3)
，从中任取三
个数，则至少有两个数位于 同行或同列的概率是
（A）
3
7
（B）
4
7
（C）
1
14
（D）
13
14

?
a
11
a
12
a
13
?
??
a
21
a
22
a
23
??
?
aaa
?
?
313233
?
答案：D
解析：若取出3个数，任意两个不同行也不同列， 则只有6种取法；而从9个数中任意取3
个的方法是
C
9
．所以
1?
3
6
C
9
3
?
13
14
． 2．同室四人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡，则四
张贺年卡 不同的分配方式有
（A）6种 （B）9种 （C）11种 （D）13种
答案：B 解析：设四人分别是甲、乙、丙、丁，他们写的卡片分别为
a,b,c,d
，则甲有三种拿 卡片的
方法，甲可以拿
b,c,d
之一．当甲拿
b
卡片时，其余三人 有三种拿法，分别为
badc,bcda,bdac
．类似地，当甲拿
c
或< br>d
时，其余三人各有三种拿法．故共有9种拿法．
3．在平面直角坐标系中，
x
轴正半轴上有5个点，
y
轴正半轴上有3个点，将
x
轴正半轴上这5个点和
y
轴正半轴上这3个点连成15条线段，这15条线段在第一象限内的交点最 多
有
（A）30个 （B）20个 （C）35个 （D）15个
答案：A
解析：设想
x
轴上任意两个点和
y
轴上任意两个点可以构成一个四边 形，则这个四边形唯一
的对角线交点，即在第一象限，适合题意．而这样的四边形共有
C
5
?C
3
?30
个，于是最
多有30个交点．
推广1： ．在平面直角坐标系中，
x
轴正半轴上有
m
个点，
y
轴正半 轴上有
n
个点，将
x
轴
正半轴上这
m
个点和
y
轴正半轴上这
n
个点连成15条线段，这15条线段在第一象限内的
交点 最多有
C
n
?C
m
个
变式题：一个圆周上共有12个点，由这些点所连的弦最多有＿＿个交点．
答案：
C
12


4．有5本不同的书，其中语文书2本， 数学书2本，物理书1本．若将其随机的并排摆放
到书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率是
（A）
1
5
4
22
22
（B）
2
5
（C）
3
5
（D ）
4
5

答案：B
解析：由古典概型的概率公式得< br>P?1?
2A
2
A
2
A
3
?A
3< br>A
2
A
2
A
5
5
222322
?< br>2
5
．
5．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同 学参加各
个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为
（A） （B）
3
11
2
（C）
2
3
（D）
3
4

答案：A
解析：每个同学参加的情形都有3种，故两 个同学参加一组的情形有9种，而参加同一组的
情形只有3种，所求的概率为p=
3
9
?
1
3
．
6．从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A =“取到的2个数之和为偶数”，事件B=
“取到的2个数均为偶数”，则
P(B|A)?
A．
1
8
B．
1
4
C．
2
5
D．
1
2

答案：B
解 析：
P(A)?
2
5
，
P(AB)?
1
10
，
P(B|A)?
P(AB)
P(A)
?
1
4
．
7．甲、乙两队进行排球决赛．现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两
局才 能得冠军．若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为
A．
答案：D
解析：由题得甲队获得冠军有两种情况，第一局胜或第一局输第二局胜，所以甲队获得冠军
的概率
P?


8．如图，用K、A
1
、A
2
三类不同 的元件连成一个系统．当K正常工作且A
1
、A
2
至少有一
个正常工 作时，系统正常工作．已知K、A
1
、A
2
正常工作的概率依次为0.9、0 .8、0.8，则
系统正常工作的概率为
1
2
?
113
??
．所以选D．
224
1
2
B．
3
5
C．
2
3
D．
3
4

A
1
K
A
2

A．0.960 B．0.864 C．0.720 D．0.576

答案：B
1
解析：系统正常工 作概率为
C
2
?0.9?0.8?(1?0.8)?0.9?0.8?0.8?0.8 64
，所以选B.
9．甲乙两人一起去“2011西安世园会”，他们约定，各自独立地从1 到6号景点中任选4
个进行游览，每个景点参观1小时，则最后一小时他们同在一个景点的概率是
（A）
1
36
（B）
1
9
（C）
5
36
（D）
1
6

答案：D
解析：各自独立地从1到6号景点中任选4个进行游览有
C
6
C
6
C
5
C
5
C
4
C
4
C
3
C
3
种，且等可
能，最后一小时他们同在一个景点有
C
6
C
5
C
5
C
4
C
4
C
3
C
3
种，则最后一小时他们同在一个景
点的概率是
p?
C
6< br>C
5
C
5
C
4
C
4
C
3< br>C
3
1
6
1
6
1
5
1
5< br>1
4
1
4
1
3
1111111
1
3
1111111
11111111
CCCCCCCC
?
1
6
，故选D．
10．在集合
?
1,2,3,4,5
?
中任取 一个偶数
a
和一个奇数
b
构成以原点为起点的向量
?
?(a ,b)
．从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形．记所
??有作成的平行四边形的个数为
n
，其中面积不超过则
．．．
4
的 平行四边形的个数为
m
，
（A）
4
15
m
n
?
( )
（B）
1
3
（C）
2
5
（D）
2
3

答案：B 解析：基本事件：
从(2,1),(2,3),(2,5),(4,1),(4,5),(4,3) 选取2个，n?C
6
?3?5?15
.其
中面积为2的平行四边形的个数(2,3)(4,5);(2,1)(4,3);(2,1)(4,1)
；其中面积为4的平行四< br>边形的为
(2,3)(2,5);(2,1)(2,3)
； m=3+2=5故
m
n
?
5
15
?
1
3
2
. < br>11．如图，矩形ABCD中，点E为边CD的中点，若在矩形ABCD内部随机取一个点Q，
则 点Q取自△ABE内部的概率等于
A．
1
4
B．
1
3
C．
1
2
D．
2
3

答案：C
解析：显然
?ABE
面积为矩形
ABCD
面积的一半，故选C．
12．在
(x?
答案：6
4
3y)
20
展开式中，系数为有理数的项共有 项．

r20?r
4
rrr20?rr
x(3y)?C
20
(
4
3)xy(0?r?20)
要使系解析：二项式展开式的通项公式为
T
r?1
?C
20
数为有理数，则r必为4的倍数，所以r可为0.、4、8、 12、16、20共6种，故系数为有
理数的项共有6项.
13．集合
M?{1,2 ,3,4,5,6,7,8,9,10}
，从集合
M
中取出4个元素构成集合
P
，并且集合
P
中任意两个元素
x,y
满足
|x?y|?2
，则这样的集合
P
的个数为＿＿＿＿．
答案：35
解析：其实就 是从1到10这十个自然数中取出不相邻的四个数，共有多少方法的问题．因
此这样的集合
P< br>共有
C
7
?35
个．
14．在一个正六边形的六个区域栽种 观赏植物，如右图所示，要求同一块中种同一种植物，
相邻的两块种不同的植物，现有4种不同的植物可 供选择，则有＿＿＿种栽种方案．
4


答案：732
解析：共 分三类：（1）A、C、E三块种同一种植物；（2）A、B、C三块种两种植物（三块
中有两块种相同 植物，而与另一块所种植物不同）；（3）A、B、C三块种三种不同的植物．将
三类相加得732．
15．
根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为
0.5
，购买乙种 保险但
不购买甲种保险的概率为
0.3
，设各车主购买保险相互独立．
(I)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；
(Ⅱ)
X
表示该地的100位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数，求X的期
望
E(X)
．
解：（I）设A表示事件“购买甲种保险”，B表示购买乙种保险．
A?B?A?(AB)
并且
A
与
AB
是互斥事件，所以
P(A?B)?P(A)?P(AB)?0.5?0.3?0.8

答：该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率为
0.8
．

（II）由（I）得任意1位车主两种保险都不购买的概率为
p?p(AB)?1?0.8? 0.2
．
又
X?B(3,0.2)
，所以
E(X)?20
．所以
X的期望
E(X)?20
．