概率的乘法公式

1.5 概率的乘法公式
1.5.1 条件概率
【问题1】 < br>3张奖券中只有一张能抽奖，现分别由3名同学无放回的抽取，问最后一名同学抽到
奖券的概率是 否比其他同学小？
若抽到中奖券的概率用“
Y
”表示，没有抽到的用“
Y< br>”表示，用
n(A)
表示事件A中基本
事件的个数，那么所有可能抽取情况为< br>??{YYY,YYY,YYY}
，用B表示最后一名同学抽到
中奖奖券的事件，则B?{YYY}
，由古典概型可知，最后一名同学抽到中奖奖券的概率为
p(B)?
n(B)1
?.

n(?)3
【问题2】
如果已经知道第一名同学没有抽到中奖奖券，那么最后一名同学抽到中奖奖券的概率
又是多少？
因为已经知道第一名同学没有抽到中奖奖券，那么所有可能的抽取情况变为
n(B)1
?
，不妨
n(A)2
A?{YYY,YYY}
，由古典概型可知，最后一名 同学抽到中奖奖券的概率为
记为
P(B|A)
.
显然,知道第一名同学的 抽取结果，即知道了事件A的发生，会影响事件B发生的概率，
从而导致了
P(B)?P(B| A)
.
【问题3】


对于上面的事件A和B，计算
P(B|A)
的一般想法是什么？
既然已经知 道了事件A的必然发生，所以只需局限在A发生的范围内考虑问题，在事
件A发生的情况下事件B发生， 等价于事件A和事件B同时发生，即AB发生，对于古
典概型，由于组成事件A的各个基本事件发生的概 率相等，因此其条件概率为
P(B|A)?
n(AB)
. ①
n(A)
为了把条件概率推广到一般情形，我们对上述公式作如下变形：

P(B|A)?
n(AB)m(AB)n(?)P(AB)
??.

n(A)m(A)n(?)P(A)
因此有
P(B|A)?
P(AB)
.

P(A)
这一式子已经不涉及古典概型，可以将它作为条件概率的推广定义.
一般地，设A，B为两个事件，且
p(A)?0
，称
P(B|A)?
P(AB)
②
P(A)
为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率(conditional probability).
一般地，把
P(B|A)
读作A发生的条件下B的概率。
条件概率具有概率的性质，任何事件的条件概率都在0和1之间，即
0?P(B|A)?1.

如果B和C是两个互斥事件，则
P(B?C|A)?P(B|A)?P(C|A).

例1．在5道题中有3道理课题和2道文科题，如果不放回的依次抽取2道题，求：
(1) 第1次抽到理科题的概率；



(2) 第1次和第2次都抽到理科题的概率；
(3) 在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率。
【答案】
设第1次抽到理科题为事 件A，第2次抽到理科题为事件B，则第1次和第
2次都抽到理科题为事件AB.
(1) 从5道题中不放回的依次抽取2道的事件数为
2
n(?)?A
5
?20.


11
根据 分步乘法计数原理，
n(A)?A
3
?A
4
?12
，于是
P(A)?
2
(2) 因为
n(AB)?A
3
?6
，所以
n(A)123
??.

n(?)205

P(AB)?
n(AB)63
??.

n(?)2010
(3) 解法1由(1)(2)可得，在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率为
3
P(AB)
10
1
P(B|A)???.

3
2P(A)
5
解法2 因为
n(AB)?6
，
n(A)?12
，所以
P(B|A)?
n(AB)61
??.

n(A)122
提升：在实际应用中，解法2是一种重要的求条件概率的方法。
例2 .一个家庭有两个小孩，假定生男、生女是等可能的，已知这个家庭有一个是女孩，
问这时另一个小孩是 男孩的概率是多少？
【答案】
一个家庭的两个小孩只有4中可能：｛两个都是男孩｝，｛第一 个是男孩，第
二个是女孩｝，｛第一个是女孩，第二个是男孩｝，｛两个都是女孩｝。由题目假定可知这 4
个基本事件发生是等可能的，根据题意，设基本事件空间为
?
，A=“其中一个是女 孩”，B=“其
中一个是男孩”。则






?
={(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}
A={(男，女)，(女，男)，(女，女)}
B={(男，男)，(男，女)，(女，男)}
问题是求在A发生的情况下，事件B发生的概率，即求
P(B|A).

法一：由上面分析可知
n(A)?3
，
n(A?B)?2
.
由公式①可得
P(B|A)?
2

3



因此所求的条件概率为
2
。
3
32
，
P(A?B)?
.
44
法二：由上面分析可知
P(A)?
由公式②可得
2
2
P(B|A)?
4
?.

3
3
4

因此所求的条件概率为
2
。
3
例3.已知有10只产品，其中6只只正品，4只次品，不放回的抽取两次






(1) 已知第一次抽到的是次品，问第二次抽到正品的概率；
(2) 已知第一次抽到的是正品，问第二次仍然抽到正品的概率；
(3) 二次都抽到正品的概率;
(4) 已知其中一次抽到的是正品，问另一次也抽到正品的概率；
【答案】
根据题意得：
设正品编号为
Z
1
,
Z< br>2
,
Z
3
,
Z
4
,
Z
5< br>,
Z
6
，次品编号为
C
1
,
C
2< br>,
C
3
,
C
4
，基本事件空间是
?
Z
1
Z
2
,Z
1
Z
3
,Z
1< br>Z
4
,Z
1
Z
5
,Z
1
Z
6
,Z
1
C
1
,Z
1
C
2
,Z< br>1
C
3
,Z
1
C
4
,
?
?
ZZ,ZZ,ZZ,ZZ,ZZ,ZC,ZC,ZC,ZC,
?
?
22223 24
?
?
??
Z
5
Z
1
,Z
5< br>Z
2
,
?
,Z
5
Z
6
,Z
5
Z
1
,Z
5
C
1
,Z
5
C2
,Z
5
C
3
,Z
5
C
4
,
?
??
ZZ,
???????
,ZC,ZC,ZC,ZC,
??
6161626364
??
??

?
C
1Z
1
,C
1
Z
2
,
???
C
1
Z
6
,C
1
C
2
,C
1
C3
,C
1
C
4
,
?
?
CZ,CZ,< br>???
CZ,CC,CC,CC,
?
2
??
?
C3
Z
1
,C
3
Z
2
,
???
C
3
Z
6
,C
3
C
1
,C
3C
2
,C
3
C
4
,
?
?
CZ ,CZ,
???
CZ,CC,CC,CC,
?
46414243
?< br>4142
?
，其中共有90个基本事件，设事件
A
i
(i?1 ,2)
表示第
i
次抽到正品，事件
B
i
(i?1,2)表示第
i
次抽到次品，则
(1)
P(A
2
|B< br>1
)?
P(B
1
?A
2
)
2490242< br>???
;
P(B
1
)3690363
P(A
1?A
2
)
3090305
???
;
P(A
1
)5490549
301
?
;
903



(2)
P(A
2
|A
1
)?
(3)
P(A
1
?A
2
)?
(4)
P((A
1
?A
2
)|(A
1
?A
2
))?
P(A< br>1
?A
2
)
3090305
???
.
P( A
1
?A
2
)78907813
例4.一张储蓄卡的密码共有6为数 字，每位数字都可以从0~9中任选一个。某人在银
行自动提款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字 。求



(1) 任意按最后一位数字，不超过2次就按对的概率；
(2) 如果他记得密码的最后一位数字是偶数，不超过2次就按对的概率；
【答案】
设第
i
次按对密码为事件
A
i
(i?1,2)
，则
A?A
1
?(A
1
A
2
)
表示不超过2次就按< /p>

对密码.
(1) 因为事件
A
1
与事件
A< br>1
A
2
互斥，由概率的加法公式得
P(A)?P(A
1
)?P(A
1
A
2
)

?
19?11
??

1010?95
(2) 用B表示最后一位按偶数的事件，则
P(A|B)?P(A
1
|B)?P(A
1
A
2
|B)

?
14?12
??
.
55?45
【习题1.5.1 (A)】

1. 下列式子成立的是( )


A.
P(A|B)?P(B|A)
B.
0?P(B|A)?1

C.
P(AB)?P(A)?P(B|A)
D.
P(A?B|A)?P(B)

【答案】C

2. 在10个形状大小均相同的球中有6个红球和4个白球，不放回地 依次摸出2个球，在
第1次摸出红球的条件下，第2次也摸出红球的概率为( )
5
9
【答案】

12
3. 已知
P(B|A)?
，
P(A)?
，则
P(AB)
等于( )
35
5921
A. B. C. D.
6101515
【答案】 A

4. 抛掷红、黄两颗骰子，当红色骰子的点数为4或6时，两颗骰子的点数之和大于20的
概率是( )
A.
1

4
1

3
1

2
3
D.
5
B. C.
【答案】 A

5. 一个盒子里有20个大小形状相同的小球，其中5个红的，5个黄的，10个绿的，从盒
子中任取一球，若它不是红球，则它是绿球的概率是( )
A.
5

6
3

4
2

3
1
D.
3
B. C.

【答案】C

6. 根据历年气象统计资料，某地四月份吹东风的概率为
又下雨的概率为
A.
9

11
911
，下雨的概率为，既吹东风
3030
8
，则在吹 东风的条件下下雨的概率为( )
30
828
B. C. D.
1159
【答案】 D

7. 某人提出一个问题，甲先答，答对的概率为0 .4，如果甲打错，由乙答，答对的概率为
0.5，则问题由乙答对的概率为________.
3

10
【答案】
8. 100件产品中有5件次品，不放回地抽取 2次，每次抽1件，已知第一次抽出的是次品，
则第2次抽出正品的概率为_______.
95

99
【答案】
9. 从1~100这100个整数中，任取一 数，已知取出的一数是不大于50的数，则它是2或
3的倍数的概率为________.
33

50
【答案】
10. 把一枚硬币任意掷两次，事件A=“第 一次出现正面”，事件B=“第二次出现正面”，求
P(B|A)
.
【答案】

11. 盒中有25个球，其中10个白的、5个黄的、10个黑的，从盒 子中任意取出一个球，
已知它不是黑球，试求它是黄球的概率.
1
3
1
2
【答案】

12. 1号箱中有2个白球 和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱
中取出一球放入2号箱，然后从二号箱 随机取出一球，问：
(1)从1号箱取出的是红球的条件下，从2号箱取出红球的概率是多少？
(2)从2号箱取出红球的概率是多少？
4

9
4

9
【答案】(1) (2)
13. 某校高三(1)班有学生40人，其中共青团员 15人，全班分成4个小组，第一组有学生
10人，共青团员4人。从该班任选一个作学生代表.

(1)求选到的是第一组的学生的概率；
(2)已知选到的是共青团员，求他是第一组学生的概率.
1

4
8

30
【答案】(1)

(2)
【习题1.5.1 (B)】
1. 已知
P(B|A)?
A.
1

2
31
，
P(A)?
，则
P(AB)
= ( )
105
32
B. C.
23
D.
3

50
【答案】 D

2. 由“0”、“1”组成的三维数码组中，若用A表 示“第二位数字为0”的事件，用B表示“第
一位数字为0”的事件，则
P(A|B)
=()
A.
1

2
B.
1

3
C.
1

4

1
D.
8
【答案】A

3. 某地区气象台统计，该地区下雨的概率是
概率 为
42
，刮三级风的概率为，即刮风又下雨的
1515
1
，则在下雨 天里，刮风的概率为( )
10
813
A. B. C.
22528
D.
3

4
【答案】C

4. 一个口袋中装有2个白球和3个黑球，则先摸出一个白球后放回，在摸出一个白球的概
率是( )
A.
2

3
1

4
2

5
1
D.
5
B. C.
【答案】 C

5. 把一枚骰子连续掷两次，已知在第一次抛出是偶数点的情况下，第二次抛出的也是偶数
点的概率为( )
A. 1 B.
1

2
1
C.
3
1

4
D.
【答案】B

6. 设某种动物由出生算起活20岁以上的概率为0.8，活到25岁以上的概率为0.4。现有一
个20岁 的这种动物，问它能活到25岁以上的概率是________.

【答案】

7.一个口袋内装有2个白球，3个黑球，则：
(1) 先摸出1个白球后放回，再摸出1个白球的概率?
(2) 先摸出1个白球后不放回，再摸出1个白球的概率?
2
5
1
4
1
2
【答案】 (1)

(2)

8. 某种元件用满6000小时未坏的概率是
31
，用 满10000小时未坏的概率是，现有一个
42
此种元件，已经用过6000小时未坏，求它能 用到10000小时的概率.
【答案】

9. 某个班级共有学生40人，其中团员 15人，全班分成四个小组，第一组有学生10人，
其中团员4人。如果要在班内任选一人当学生代表.
(1) 求这个代表恰好在第一小组内的概率
(2) 求这个代表恰好是团员代表的概率
(3) 求这个代表恰好是第一小组内团员的概率
(4) 现在要在班内任选一个团员代表，问这个代表恰好在第一小组内的概率
1
4
3
8
2
5
4

15
2
3
【答案】 (1)

(2)

(3)

(4)
10. 市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂占 30%，甲厂产品合格率是95%，乙厂
合格率是80%，求
(1) 市场上灯泡的合格率是多少？
(2) 市场上合格品中甲厂站百分之几？(保留两位有效数字)
【答案】 (1)
90.5%
(2)73.48%

11. 一 个家庭中有两个小孩，已知其中一个是女孩，问：这时另一个小孩也是女孩的概率？
(每个小孩是男孩和 女孩的概率相等)
1
2
【答案】

12. 在一批电子元件中任取 一件检查，是不合格品的概率为0.1，是废品的概率为0.01，已
知取到了一件不合格品，它不是废 品的概率是多少？
【答案】
0.1
13.已知男人中有5%患色盲，女人中有0. 25%患色盲，从100个男人和100个女人中任选
一人.

(1) 求此人患色盲的概率；(2) 如果此人是色盲，求此人是男人的概率.
【答案】 (1)
2.625%
(2)
20

21