最新人教版高中数学必修一函数的单调性优质教案

1.3.1（1）函数的单调性（教学设计）
教学目标
（一）知识与技能目标
学生通过经历观察、归纳、总结、证明等数学活动能够：
1、理解增函数、减函数的概念及函数单调性的定义
2、会根据函数的图像判断函数的单调性
3、能根据单调性的定义证明函数在某一区间上是增函数还是减函数
（二）过程目标
1、培养学生利用数学语言对概念进行概括的能力
2、学生利用定义证明单调性，进一步加强逻辑推理能力及判断推理能力的培养
（三）情感、态度和价值观
1、通过本节课的教学，启发学生养成细心观察，认真分析，严谨论证的良好习惯
2、通过问 题链的引入，激发学生学习数学的兴趣，学生通过积极参与教学活动，获得成功的体验，
锻炼克服困难的 意志，建立学习数学的自信心
教学重点：函数单调性的定义及单调性判断和证明
一、复习回顾，新课引入
1、函数与映射的定义。
2、函数的常用表示方法
3、观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：
①随x的增 大，y的值有什么变化？②能否看出函数的最大（小）值？③函数图象是否具有某种对称
性？
4、作出下列函数的图象：

（1）y=x ； (2)y=x ；
二、师生互动，新课讲解：
观察函数y=x与y=x的图象，当x逐渐增大时，y的变化情况如何？
可观察到的图象特征：
（1）函数
f(x)?x
的图象由左至右是上升的；
（2）函数
f(x)?x
的图象在
y
轴左侧是下降的，在
y
轴右侧是上升的；也就
是图象在区间
(??,0]
上，随着
x
的增大，相应的
f(x)
随着减小，在区间
(0,??)
上，随着
x
的增大，相
应的
f(x)
也随着增大．
归纳：从上面的观察分析 可以看出：不同的函数，其图象的变化趋势不同，同一函数在不同区间上的
变化趋势也不同．函数图象的 这种变化规律就是函数性质的反映．
1．如何用函数解析式
f(x)?x
描述“随着
x
的增大，相应的
f(x)
随着减小”，“随着
x
的增大， 相
应的
f(x)
也随着增大”？
在区间
(0,??)
上任 取
x
1
,x
2
，函数值的大小变化与自变量的大小变化有何关系？如 何用数学符号语言
来描述这种关系呢？
对于函数
f(x)?x
，经过师生讨 论得出：在区间
(0,??)
上，任取两个
x
1
,x
2，当
x
1
?x
2
时，有
2
2
2
2
2
f(x
1
)?f(x
2
)
．这时，我们就 说函数
f(x)?x
2
在区间
(0,??)
上是增函数．
课堂练习
请你仿照刚才的描述，说明函数
f(x)?x
在区间
(? ?,0]
上是减函数．
2．增函数和减函数的定义
设函数
f(x)
的定义域为
I
：
（1）如果对于定义域< br>I
内某个区间
D
上的任意两个自变量的值
x
1
,x< br>2
，当
x
1
?x
2
时，都有
2
f( x
1
)?f(x
2
)
，那么就说函数
f(x)
在区 间
D
上是增函数（increasing function）．区间D叫做函数的
增区间。

（2）请你仿照增函数的定 义给出函数
f(x)
在区间
D
上是减函数的定义．
如果对于定义域
I
内某个区间
D
上的任意两个自变量的值
x
1
,x
2
，当
x
1
?x
2
时，都有
f(x
1
)?f(x
2
)
，
那么就说函数
f(x)
在区 间
D
上是减函数（decreasing function）．区间D叫做函数的减区间。

3．对定义要点分析
问：（1）你能分析一下增函数定义的要点吗？
（2）你能分析一下减函数定义的要点吗？
引导学生分析增（减）函数定义的数学表述，体会 定义中“区间
D
上的任意两个自变量都有…”的含
义．
例题选讲：
例1：（课本P29例1）图2-10是定义在闭区间[-5，5]上的函数y=f(x)的图象，根据图象说 出x=f(x)
的单调区间，以及在每一单调区间上，y=f(x)是增函数还是减函数．

解：函数y=f(x)的单调区间有[-5，-2)，[-2，1)，[1，3)，[3，5]，其中 y=f(x)在区间[-5，-2)，
[1，3)上是减函数，在区间[-2， 1)，[3， 5]上是增函数．

变式训练1：如图为2008年北京奥运会奥林匹克公园场馆自动气 象站某日一天24小时内的气温变化
图（24时与0时气温相同为32?C），观察这张气温变化图：

问：该图形是否为函数图象？定义域是什么？
问：如何用数学语言来刻画温度随时间变化而变化的趋势呢？
例2 证明函数f(x)=3x+2在R上是增函数．
证明：设x
1
，x
2
是R上的任意两个实数，且x
1
＜x
2
，则
f(x
1)-f(x
2
)=(3x
1
+2)-(3x
2
+2)
=3(x
1
-x
2
)．
由x
1
＜x2
，得x
1
-x
2
＜0，
于是 f(x
1
)-f(x
2
)＜0，
即 f(x
1
)＜f(x
2
)．
所以，f(x)= 3x+ 2在R上是增函数．
想一想：函数f(x)=-3x+2在R上是增函数还是减函数？试画出f(x) 的图象，判断你的结论是否正确．
归纳：利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：




1
任取x
1
，x
2
∈D，且x
1
2
； ○
2
作差f(x
1
)－f(x
2
)； ○
3
变形（通常是因式分解和配方）○；

4
定号（即判断差f(x
1
)－f(x
2
)的正负）○；
5
下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）○．
变式训练2：
1
在(0,+
?
)上为减函数。
x
1
（2）证明函数
y?x?
在（1，+∞）上为增函数．
x
（1）证明函数y=
课堂练习：（课本P32练习NO：1；2；3；4）
三、课堂小结，巩固反思：
（1）增减函数的图象有什么特点？

增减函数的图象从左自右是上升的，减函数的图象从左自右是下降的．
（2）用定义证明函数的单调性：
取 值 → 作 差 → 变 形 → 定 号 → 下结论
（3）如果函数
y?f(x)
在区间
D
上是增函数或减函数 ，那么就说函数
y?f(x)
在这一区间具有（严
格的）单调性，区间
D叫做
y?f(x)
的单调区间．
四、布置作业：
A组：
1、（课本P39习题1.3A组NO：1）
2、（课本P39习题1.3A组NO：2）
3、（课本P39习题1.3A组NO：3）
4、证明函数
y?x?
B组：
1、作出函数y =－x +2|x|+3的图象并指出它的的单调区间。（提示：可以看作y=f(|x|)的图象的
作法）
2、(tb0109105)已知函数f(x)是区间(0,+
?
)上的减函数，那么
2
1
在（0，1）上为减函数．
x

(1 )f(3)与f(2)的大小关系是_____________；（答：f(3)(2)f(a-a+1)与f(
C组：
1． 设f(x)是定义在
R
上的增函数，f(xy)=f(x)+f(y)，
1
求f(0)、f(1)的值； ○
2
若f(3)=1，求不等式f(x)+f(x-2)>1的解集． ○
2
33
2
)的大小关系是____________（答：f(a-a+1)
?
f()）
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