高中数学必修五数列教学案

2020年9月19日发(作者：单印章)

2
（3）
a
n
?n?n
；
n?1
（4）
a
n
?5?2
．
数列
数列（一）
教学目标
了解数列的概念、了解数列的分类、了解数列是一种特殊的 函数，会用图象法的列表法表示数
列. 理解数列通项公式的概念，会根据通项公式写出数列数列的前几 项，会根据简单数列的前几项写出数列
的通项公式；

2．数列
?< br>3n?1
?
的第
50
项是________________． 3．
37
是否为数列
?
3n?1
?
中的项？如果是，是 第几项？


4．写出数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：
① 1， 3， 5， 7；
重点难点
数列通项公式的概念理解，及由通项公式写出数列的前几项.

引入新课

一、学前准备：自学课本P29～31
1．数列： 称为数列．
2．项： 叫做这个数列的项．
说明：数列的概念和记号
?
a
n
?
与 集合概念和记号的区别：
（1）数列中的项是有序的，而集合中的项是 的；
（2）数列中的项可以重复，而集合中的元素 ．
3．数列的分类： ①按项数分类：有穷数列(项数有限的数列)
无穷数列( )
②按项与项间的大小关系分类：递增数列(< br>a
n?1
?a
n
)
递减数列( )
常数列( ) …
4．数列是特殊的函数：
在 数列
?
a
n
?
中，对于每一个正整数
n
(或
n?
?
1,2,...,k
?
），都有一个数
a
n
与之对应，因此，数列可以看成
是 为定义域的函数
a
n
?f(n)
，当 时，所 对应的一列函数值．反过来，对于函数
2
2
?13
2
?14
2
?15
2
?1
② ；
,,,
2345

课堂小结

数列的概念、表示形式、通项公式及由通项公式写出前几项；数列与集合、函数的异同.
课后训练

一、基础题
1．不是数列
n?(?1)
?
2n
?
中的一项的是
（1）
0
（2）
5
（3）
24
（3）
99

2．已知数列
f(n)?2n?1n?N
?
，则函数
f(n)
的图象是
（1）一条直线 （2）在第一象限的一条射线
（3）一条直线上的任意一点 （4）一条直线上间隔相等的一些点
nn
3． 通项公式为
a
n
?2?(?1)
的数列
?
a
n?
的第
4
项，第
5
项分别为_______，______．
4．已知数列
?
a
n
?
满足
a
1
?0,
y?f(x)
，如果 有意义，那么就得到一个数列 (强调有序性)．
说明：数列的图象是一些离散的点.
5．通项公式
一般地，如果 来表示．那么这个公式叫做这个数列的通项公式．通项公式可以看成数列的
函数解析式．
a< br>n?1
1
?
，则数列
?
a
n
?
是 数列
a
n
2
（1）递增数列 （2）递减数列 （3）摆动数列 （4）常数列
5．写出数列
?
a
n
?
的前
5
项，并作出它的图象：
（1）
a
n
?2n?3
； （2）
a
n
?3
；
例题剖析

例1
已知数列的第
n
项
a
n
记为
2n?1
，写出这个数 列的首项，第
2
项和第
3
项．



例2
已知数列
?
a
n
?
的通项公式，写出这个 数列的前
5
项，并作出它的图象：
（1）
a
n
?


例3
写出数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：
n为奇数
?
1,
1
n
．
(2?1)
； （4）
a
n
?
?
3
?
2n?1,n为偶数
2
6．数列
?
a
n
?
的通项公式
a
n?n?3n?2
，
56
是此数列中的项吗？若是，是第几项？
（3）
a
n
?

二、提高题
n

n?1
（2）
a
n
?
(?1)

n
2
n
?
1,n为正奇数
?
7．已知数列
?
a
n
?
的通项公式为
a
n
?
?
n
，
,n为正偶数
?
?
2
（1）写出这个数列的前
6
项，并画出图象；
（2）判断
7
是否是该数列的项，若是，是第几项？
1111
（1），
?
，，
?
；
1?22?33?44?5


（2）
0
，
2
，
0
，
2
．
巩固练习

1．根据数列
?
a
n
?
的通项 公式，写出这个数列的前
6
项和第
10
项：
（1）
a
n
?1?3n
；
n
（2）
a
n
?(?1)2n
．




8．写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：
（1）
?
35917
1111
；（2）?1，7，?13，19；（3），，，.
,,?,
24
16256
1?22?33?44?5

1

数列（二）
教学目标
1．进一步熟悉数列及其通项公式的概念；
2．了解数列的递推公式是确定数列的一种方法，会根据给出的递推公式写出数列的前n项；
3．掌握根据数列的前
n
项和确定数列的通项公式．

n
3 ．已知数列
?
a
n
?
的前
n
项和
S
n
?3?2
，求该数列的通项公式．


课堂小结

教学重点
根据数列的前
n
项和确定数列的通项公式．数列的递推公式的理解与应用.

引入新课

的通项公式是a
n
?2
n
?3,则a
1
?
，
a
5
?
，125是这个数列的第_______项．1．已知数列
?
a
n
?

1．数列中递推关系的概念；
2．由数列的前
n
项的和
S
n
求数列的通项公式的过程．
课后训练

2．写出下列数列
{a
n
}
的前5项：
（1）
a
1
?5
，
a
n
?a
n? 1
?3??(n?2)
； （2）
a
1
?2
，
a
n
?2a
n?1
??(n?2)
．


3．写出数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：
①
11
，
10
，
9
，
8
，
7
，…；②
?< br>1
，
1
8
，
?
1
3
15
，
?
1
24
，…

注：由数列的前
n
项写出一个通项公式：
关键在于观察、分析数列的前n
项的特征、特点，找出数列的一个构成规律，再写出一个相应的通项公式．
注意：（1） 并不是所有数列的通项公式都存在；
（2）有的数列的通项公式并不唯一．
4．数列的递推公式：
数列的第
n
项
a
n
与它前 面相邻一项
a
n?1
（或相邻几项）所满足的关系式的递推公式．
5．若记 数列
?
a
n
?
的前n项和为
S
n
，即S
n
?a
1
?a
2
?????a
n
．
?
S
1
(n?1)

试证明：
a
n
?
?
?
S

n
?S
n?1
(n?2)

注意：（1）可作为常用公式； （2）当
a
1
(?S
1
)
满足
S
n
?S
n?1
时，则
a
n
?S
n
?S
n? 1
．
例题剖析

例1 根据下列各数列的前几项，分别写出一个通项公式：
（1）
9
，
99
，
999
，
9999
，…
（2）
0.7
．
0.77
，
0.777
，
0.7777
，…
（3）
2
，
6
，
12
，
20
，
30
，…．


例2 数列
{a
n
}
中，
a
1
?0
，
a
n?1
?
1 ?a
n

3?a
，写出
{a
n
}
的一个通项公式．
n
[来源学科网]


例3 已知数列
?
a
22
n
?
的前n项和分别为 ①
S
n
?2n?n
； ②
S
n
?n?n?1
．
求数列
?
a
n
?
的通项公式．

巩固练习

1．根据下列数列的前几项，分别写出它们的一个通项公式：
（ 1）
7
，
77
，
777
，
7777
，…； （2）
3
，
8
，
15
，
24
，
3 5
，…．


2．已知
a
1
?2
，a
n?1
?a
n
?4
求
a
n
．已知
a
1
?2
，
a
n?1
?2a
n
求
a
n
．

一、基础题
1．数列
?
a
n
?
的通项公式
a
n
?
1
n?1?n，则
17?4
是该数列中的第 项．
2．已知数列
?
a
2
n
?
的通项公式
a
n
?n?4n?12，则
a
4
= ，
a
7
= ，65是它
的第 项 ；从第 项起各项为正；
?
a
n
?
中第 项的值最小，为 ．
3．若数列
?
a
n
?
中，
a
1
?2
，且各项满足
a
n?1
?2a
n
?1
，则该 数列的前四项为 ．
4．若数列
?
a
n
?
中，
a
1
?1
，
a
2
?4
，且各项满足< br>a
n?2
?a
n?1
?2a
n
，则
26是该数列的
第 项．
5．数列
?
a
2< br>n
?
中，
a
1
?1,a
2
?3,a
n
?a
n?1
?a
n?1
?
?
?1
?n?1
?
n?2
?
，则
a
4
= 。
6．数列
?
a
n
?
的通项公式
a
n< br>?log
n?1
?
n?2
?
，则它的前30项的积是 。
n
7．数列
?
a
1?
?
?1
?
n
?
的通项公式
a
n
?
2
，则它的前100项的 和是 。
8．已知数列
?
b
n
?
的通项公式为
b
n
?3?2cos
n
?
2，则
b
m?4
与b
m
的大小关系是 。
二、提高题
9．数列
{a
2
n
}
的通项公式为
a
n
?n?10n?10
，
（1）数列中有多少项为负数？
（2）
n
为何值时，
a
n
有最小值，并求出最小值．


10．（1）已知数列
{a
2
n
}
的 前
n
项之和
S
n
?n?2n?1
，求
a
n
。
（2）已知数列
?
a
n
?
的前
n项和
S
n
满足
log
2
(S
n
?1) ?n?1
，求
?
a
n
?
的通项公式。


三、能力题
11．已知数列的通项公式为
a
n
2
(n?N
?
n
?
n
2
?1
)

（1）
0.98
是否是它的项？
（2）判断此数列的增减性与有界性（注：有界数列指数列的项的数值在一个闭区间上）。

12．已知数列
{a
的前四项依次是
1
，
1?2
，
1?2?2
2
，
1?2?2
2
?2
3
n< br>}
，
（1）写出该数列的一个通项公式； （2）该数列从第几项起大于
2008
？
2

等差数列（一）
教学目标
1．能准确叙述等差数列的定义；
2．能用定义判断数列是否为等差数列；
3．会求等差数列的公差及通项公式．


3．已知
a,b,c成等差数列，求证：
222
111
也成等差数列．
,,
b?cc?aa?b
教学重点
等差数列的定义及等差数列的通项公式．

引入新课

一、学前准备：自学课本P33～35
1．等差数列的定义： ，那么这个数列就叫做等差数列，这个 叫做


运用等差数列的概念，解决一些简单的问题．

课堂小结

课后训练

等差数列的公差，公差通常用字母
d
表示．
用递推公式表示为 或 ．
2．等差数列的通项公式：已知等差数列
?
a
n
?
的首 项是
a
1
，公差是
d
，
则通项
a
n
?
．
推导：
3．判断下列数列是否为等差数列：
（1）
1
，
1
，
1
，
1
，
1
； （2）
4< br>，
7
，
10
，
13
，
16
； （3）
?3
，
?2
，
?1
，
1
，2
，
3
．
4．观察下列数列，写出数列的第五项、第六项和通项公式：
① 4，5，6，7， ， ，…
a
n
=
② 3，0，?3，?6， ， ，…
a
n
= ；
例题剖析

例1已知等差数列
?
a
a
3
n
?
中，
a
2
??9
，
a
??
2
，求
a
1
、
d
和
a
n
．
2
3



例2 已知数列
?
a
n
?
的通项公式
a
n
=
?3n?2
，
（1）写出该数列的前4项； （2）求证：数列
?
a
n
?
是等差数列； （3）判断该数列的单调性．

思考：如果一个数列
?
a
n
?
通项公式为
a
n
?kn?b
，其中
k,b
都是 常数，那么这个数列一定是等差数列吗？

例3
（1）在等差数列
?a
a
n?1
?a
n?1
n
?
中，是否有
a
n
?
2
(n?2)
？
（2）在数列
?
a
a
n?1
?a
n?1
n
?
中，如果对于任意的 正整数
n(n?2)
，都有
a
n
?
2
，
那么数列
?
a
n
?
一定是等差数列吗？


巩固练习

1．求出下列等差数列中的未知项：
（1）
3
，
a
，
5
； （2）
3
，
b
，
c
，
?9
．


2．若
?
a
n
?
是等差数列，
a
15
?8,a
60
?20,
则
a
75
?
。
若
?
a
n
?
是等差数列，
a
5
?11,a
8
?5,
，则d＝________,
a
n
=__________
一、基础题
1．已知下列数列是等差数列，试在括号内填上适当的数：
（1）（ ），
5
，
10
；（2）
1
，
2
，（ ）； （3）
31
，（ ），（ ），
10
．
2．已知等 差数列
x
，
2
，
y
，
?2
，…，则
y?x?
_______________．
3．数列
?
a
n< br>?
中，
a
2
??2,a
n
?a
n?1
?1
，则
a
20
?
。
4． 已知两个数列
x,a
a
2
?a
1
1
,a
2
,a
3
,y
与
x,b
1
,b
2
, y
都是等差数列，且
x?y
，则
b?b
的值为 。
21
5．已知数列
{a
2
n
}
满足：
a
1
?14,a
n?1
?a
n
?
3
(n?N
*
)
，则使
a
n
?a
n?2
?0
成立的
n
的值是 ．
6．（1）在等差数列
?
a
n
?
中，已知
a
15
?10,a
45
?90
，求
a
60
；
（2）在等差数列
?
an
?
中，已知
a
1
?21,a
n
?3,a5
?a
6
?2
，求
n
．


7．已知等差数列
x
，
lg2
，
lg6
，
y，…，求：（1）
x
、
y
的值；（2）数列的通项公式．



8．已知数列

?
a
?
?4lg3< br>n?1
?lg9
n?1
n
通项公式：
a
n
?
n?N
?
?
，求证：数列
?
a
n
?
是等差数列。
[来源学科网]

二、提高题
9．已知
a
1
，
a
2
，
a
3
，…，
a
n< br>，
a
n?1
，…，
a
2n
是公差为
d
的等差数列．
（1）
a
n
，
a
n?1
，…，< br>a
2
，
a
1
也是等差数列吗？如果是，公差是多少？
（2）
a
2
，
a
4
，
a
6
，… ，
a
2n
也是等差数列吗？如果是，公差是多少？


1 0．已知等差数列
?
a
n
?
的首项为
a
1
，公差为
d
．
（1）将数列
?
a
n
?
中 的每一项都乘以常数
a
，所得的新数列仍然是等差数列吗？若是，
公差是多少？ < br>（2）将数列
?
a
n
?
中的所有奇数项按原来的顺序组成的新 数列
?
c
n
?
是等差数列吗？若是，公差是多少？

3

等差数列（二）
教学目标
1．理解等差中项的概念，会求两个数的等差中项；
2．掌握等差数列的特殊性质及应用．

教学重点
等差中项的概念及等差数列性质的应用

引入新课

一、学前准备：自学课本P35～37
1．复习等差数列的定义，通项公式．
?

2．等差数列
?
a
n
中,
a
2
?9,a
5
?33,
则公差为 ．
3．在数列
?
a
n
?
中，
a
1?2,2a
n?1
?2a
n
?1
，则
a
101
= ．
4．在等差数列
?
a
n< br>?
中，已知
a
3
?10
，
a
9
?2 8
，求
a
12
．
5．等差数列
?
a
n< br>?
中，已知
a
1
?
1
3
,a
2?a
5
?4,a
n
?33
，试求
n
的值．



二、等差中项：如果
a,A,b
这三个数成等差数列，那么
A?
，
A
叫做
a,b
的等差中项．若
2b?a?c
，则
a,b,c
成等差数列．
1）
a
1
?a
4
?a< br>7
?12
，则
a
4
?
____（2）
a2
?a
3
?a
23
?a
24
?48
， 则
a
13
?
_____
3．等差数列的有关性质：
（1 ）若
m?n?p?q??
?
m,n,p,q?N
?
?
，则< br>a
m
?a
n
?a
p
?a
q
； （2）下标为等差数列的项
?
a
k
,a
k?m
,ak?2m
,?
?
，仍组成等差数列；
（3）数
?
?< br>a
n
?b
?
（
?
,b
为常数）仍为等差数列 ；
（4）
?
a
n
?
和
?
b
n< br>?
均为等差数列，则
?
a
n
?b
n
?
也为等差数列；
（5）
?
a
n
?
的公差为
d
，则： ①
d?0?
?
a
n
?
为递增数列；②
d?0?
?
a
n
?
为递减数列；③
d?0?
?
a< br>n
?
为常数列；
例题剖析

例1（1）三个数成等差数列，和为15，首末两项积是9，求三个数
（2）成等差数列的四个数之和是26，中间两个数的积是40，求这四个数



例2 在等差数列
?
a
n
?
中，
d< br>为公差，若
m,n,k,l?N
?
且
m?n?k?l

求证：①
a
n
?a
m
?(n?m)d
； ②
a
m
?a
n
?a
k
?a
l
．

变：1．
a
1
?a
4
?a
8
? a
12
?a
15
?2,
则
a
3
?a
13
?__________

2．已知等差数列
?
a
?
中，
a
2
n3
,a
15
是方程
x?6x? ?0
的两实数根，则
a
7
?a
8
?a
9
? ?a
10
?a
11
?___________.

3．已 知
a
2
?a
5
?a
8
?9,a
3
?a
5
?a
7
??21,
，则数列的通项公式
a
n
?________

4．已知等差数列
?
a
n
?
中，
a
1
?a
4
?a
7
?39
，
a
2
?a
5
?a
8
?33
，则
a
3
?a
6
?a
9
?
____
5．已知< br>?
a
n
?
，
?
b
n
?
均为 等差数列，且
a
1
?3
，
b
1
?7
，a
20
?b
20
?48
，则数列
?
a
n
?b
n
?
的第30项为______
例3 已知正数列?
a
?
n
?
和
?
b
n
?对任意
n?N
，
a
n
,b
n
,a
n? 1
成等差数列，且
a
n?1
?b
n
?b
n?1判断数列
?
b
n
?
是
否为等差数列。



判断一个数列是否成等差数列的常用方法：
①定义法：即证明
a
n
?a
n?1
?d
(常数)；
②中项法：即利用中项公式，若
2b?a?c
，则
a,b,c
成等差数列；
③通项公式法：利用公差非零的等差数列，其通项公式是关于
n
的一次函数这一性质．
巩固练习

1．在等差数列
?
a
n
?
中， 若
a
3
?a
8
?m
，则
a
5
?a
6
= ；
2．若
a
1
?a
4< br>?a
7
=45，
a
2
?a
5
?a
8
=39，则
a
3
?a
6
?a
9
的值是 ．
3．在等差数列
{a
n
}
中，
a
4
? a
7
?5
，
a
5
a
6
?6
，则通 项公式
a
n
?
．
课堂小结

等差数列的通项公式及其运用；等差数列的有关性质。

课后训练

一、基础题
1．在等差数列
?
a
n
?
中，已知< br>a
1
?a
2
?a
3
?a
4
?a5
?20
，那么
a
3
等于 ．
2．已知等差数列
?
a
n
?
中，
a
4
? a
5
?a
6
?a
7
?a
8
?20
，则
a
2
?a
10
?
．
3．已知等差数列
?
a2a
2
n
?
，数列①
?n
?
；②
?
a
n
?2
?
；③
?
a
2n
?1
?
；④
?
a
n
?< br>中，
一定是等差数列的是 （填序号）．
4．若
?
a
2
5
n
?
是等差数列，
a3
,a
10
是方程
x?3x
+
4
= 0 的两根，则
a
5
?a
8
?___________

5．一个凸多边形的内角度数成等差数列，它的公差是5°，最小角是120°，则此多边形的边数是____ __
6．在等差数列
?
a
n
?
中，已知
a
1
?83,a
4
?98
，则这个数列有 项在300到500之间．
7．已知等差数列
?
a
n
?
中 ，
a
1
?a
7
?a
13
?4
?
， 则
tan(a
2
?a
12
)
的值为 .
8．已知方程
(x
2
?2x?m)(x
2
?2x?n) ?0
的四个根组成一个首项是
1
4
的等差数列，则
m?n
= ．
二、提高题
9．等差数列?
a
n
?
中，
a
1
?1,a
2
?3
，若在该数列的每相邻两个数中间插入2个数，使它们和原来的数一起
构成一个新的等差 数列。求：
（1）原来数列的第8项是新数列的第几项？新数列的第8项是多少？
（2）新数列的第34项是原数列的第几项？


10．已知等差数列的首 项为
31
，若此数列从第
16
项开始小于
1
，则公差
d
的取值范围是？


4
（

11．如果
a
1
,a
2
,??? ,a
8
为各项都大于零的等差数列，公差
d?0
，则
A．
a
1
a
8
?a
4
a
5
B．
a
1
a
8
?a
4
a
5
C．
a
1
?a
8
?a
4
?a
5
D．
a
1
a
8
?a
4
a
5

三、能力题
11．在等差数列
?
a
n
?
中，已知
a
p
?q
，
a
q
?p


12．如图（1）是一个三角形，分别连结这个三角形三边的中点，将原三角形剖分成4个三角形（如图（2） ），
再分别连结图（2）中间的小三角形三边的中点，又可将原三角形剖分成7个三角形（如图（3）） ．依此类推，
第
n
个图中原三角形被剖分为
a
n
个三角形． 则数列
?
a
n
?
的通项公式是 ；第100个图中原三角形
被剖分为 个三角形？


例3 在等差数列
{a
n
}
中，已知第
1
项到第
10
项的和为
310
，第
11
项到第
20
项的和为
910
，求第
21
项到第
30
项的和．


[来源
巩固练习

?
p?q
?
，求
a
p?q
．
1．某商店 的售货员想在货架上用三角形排列方式展示一种罐头饮料，底层放置
15
个罐头，第
2
层放置
14
个
罐头，第
3
层放置
13
个罐 头……顶层放置一个罐头，这种摆法需要多少个罐头？



2．在等差数列
{a
n
}
中，
（1）已知
a1
?7
，
a
10
??43
，求
S
10
； （2）已知
a
1
?100
，
d??2
，求S
50
；
（3）已知
a
15
??10
，d?2
，求
S
20
； （4）已知
a
5
?8
，
a
9
?24
，求
a
n
和
Sn
．



3．在等差数列
{a
n
}
中，已知
S
8
?100
，
S
16
?39 2
，试求
S
24
．







等差数列（三）
教学目标
掌握等差数列的前
n
项和的公式及推导该公式的数学思想方法，能运用等差数列的前
n
项和的公
式 求等差数列的前
n
项和．培养观察、分析、归纳、推理的能力。

教学重点
掌握等差数列的前
n
项和的公式及推导及公式的运用．

引入新课

1．（1）你如何快速求出
1?2?3???100??

（2）某仓库堆放的一堆钢管，最上面的一层有
4
根钢管，下面的每一层都比上一层多 一根，最下面的一层有
9
根，怎样计算这根钢管的总数呢？
2．等差数列的前
n
项和的公式及推导：
n(a
1
?a< br>n
)
n(n?1)
S
n
?a
1
?a
2
???a
n
①、
S
n
?
； ②、
S
n
?na
1
?d
．
2
2
课堂小结

差数列的前
n
项和的公式及推导方法；求和公式的灵活运用．

课后训练


一、基础题
1．在等差数列{
a
n
}中，若
a
1
?7,a
10
??43
，则
S
10
?
；
2
．等差数列
?
a
n
?
中，
a
2
?a
5
?19< br>，
S
5
?40
，则
a
10
=
；

3．已知等差数列
{a
n
}
和
{b< br>n
}
中，
a
1
?25
，
b
1
?75
，
a
100
?b
100
?100
， 则数列
{a
n
?b
n
}
的前
100
项 的和为 ．
4．在等差数列
{a
n
}
中，
a
4
?a
8
?a
10
?a
14
?20
，则前
17< br>项的和为 ．
5．求下列等差数列各项的和：
（ 1）
1
，
5
，
9
，…，
401
；

6．求和：（公式：
10

公式的推导方法：倒序相加法．①式已知首末项求和；②式用于已知首项和公差求和．
（2）
?3
，
?
3
，
0
，…，
30
；
2
例题剖析

例1 在等差数列
{a
n
}
中，

（1）已知
a
1
?3
，
a
50


?
(a?bk)?(a?b?0)?(a?b?1)?(a?b?2)?
?
? (a?b?n)
）
k?0
n
1
?101
，求
S
50
； （2）已知
a
1
?3
，
d?
，求
S
10< br>．
2
（1）
?
(3?0.25k)
；
k?0
（2）
?
(1?2n)
．
n?0
201315
，
a
n
?
，
S
n
??
，求
a
1
及
n
．
2
22
（2）设S
n
是等差数列
{a
n
}
的前n项和，若
a< br>4
?9
，
S
5
?15
，求数列
{a
n
}
的通项公式．
变式训练：（1）在等差数列
{a
n
}
中，已知
d?


例2 求集合
M?
?
m|m?7n,n?N*且m?100
?
的元素个数，并求这些元素的和．

5


7．在等差数列
{a
n
}
中，
（1）已知
a
1
?20
，
a
n
?54，
S
n
?999
，求
d
及
n
； （2）已知
d?
1
，
n?37
，
S
n
?629
，求
a
1
及
a
n
；
3

51
，
d??
，
S
n
??5
，求
n
及
a
n
；
66
1
（4）已知
d?
，
n?15
，
a
n
??1 0
，求
a
1
及
S
n
．
3
（3）已知
a
1
?


8．已知等差数 列
{a
n
}
的通项公式是
a
n
?2n?1
，求它的前
n
项和．



二、提高题
9．已 知等差数列
{a
n
}
的前
4
项和为
2
，前
9
项和为
?6
，求它的前
n
项和．



三 能力题
10．在等差数列
{a
n
}
中，
（5）设
?
a
n
?
是等差数列，
S
n为数列
?
a
n
?
的前
n
项和，已知
S
7
?7,S
15
?75,T
n
为数列
?
求
T
n
。

例2 设等差数列
{a
n
}
的前
n
项和为
S
n
，且
S
4
?? 62
，
S
6
??75
，
（1）求
a
n
和
S
n
；
（2）求
a
1
?a
2
?a
3
?????a
14
；
（3）求
a
1
?a
2
?a
3
?????a
n
．



例3 已知数列
?
a
n
?
的前
n
项和公式。
（1）这个数列是等差数列吗？求出它的通项公式；
（2）求
S
n
的最小值及取最小值时的
n
的值。
2
（3）又若
S
n
?2n?30n?1
S，这个数列是等差数列吗 ？求出它的通项公式
?
S
n
?
?
的前n项和，
?
n
?
（1）已知
a
1
?a
14
?1
，求此数列的前
17
项的和；
（2）已知
a
11
?20
，求此数列的前
21
项的和；
（3）已知该数列的前
11
项的和
S
11
?66
，求此数列的第
6
项；
（4 ）已知
S
8
?100
，
S
16
?392
， 求
S
24
．


等差数列（四）
教学目标
1．进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前
n
项和公式；
2．掌握数列< br>?
a
n
?
的前
n
项和
S
n
与
a
n
之间的关系；
3．能理解等差数列
n
项和与二次函数间的关系,解决一些实际问题。

教学重点
掌握等差数列的前
n
项和的公式，会用函数观点看待数列问题 ，体会函数思想对解决数列问题
的指导作用

引入新课
1．复习：等差数列的定义、通项公式、前
n
项和公式，等差中项．
2．等 差数列
?
a
n
?
中，
a
2
?a
5
?19
，
S
5
?40
，则
a
10
= ．
3．在等差数列
{a
n
}
中， 公差
d??2
，且
a
1
?a
4
?a
7?????a
97
?50
，
那么
a
3
?a< br>6
?a
9
????a
99
的值是 ．
4．在等差数列
?
a
n
?
中已知
S
8
?48
，
S
12
?168
，求
a
1
和
d
．



变：设
?
a
n
?
是等差数列，若
b
k
?

例4 设等差数列< br>{a
n
}
的前
n
项和为
S
n
，已知
a
3
?12
，
S
12
?0
，
S< br>13
?0
．
（1）求公差
d
的取值范围；
（2） 指出
S
1
,S
2
,S
3
,???,S
12
中哪一个最大，并说明理由．


变：（1）设等差数列
{an
}
的前
n
项和为
S
n
，已知
S3
?S
12
，
则当公差
d?0
时，
S
n
有最 值 ；当公差
d?0
时，
S
n
有最 值 ．
（2）等差数列
{a
n
}
中，公差
d?0
，
3a
8
?5a
13
，则前
n
项和
S
n
取最大值时，
n
的值为___ ．
a
1
?a
2?????a
k
(k?N
?
)
，求证：
?
b< br>n
?
是等差数列。
k
例题剖析

例1（1）在等差 数列
?
a
n
?
中，已知
a
3
?a
99
?200
，求
S
101
；
（2）若一个等差数列的前3项和是34，最后3项和为146，且所有项的和为390，则此数列有 项.
（3）已知共有2n+1项的等差数列
?
a
n
?
，其 奇数项的和为
44
，偶数项的和为
33
，求此数列的中间项及项数．
a
（4）已知两个等差数列
?
a
n
?
、
?
b
n
?
，它们的前n项和分别是S
n
、S
n
′， 若
S
n
?
2n?3
求
9
.
'
S
n
3n?1
b
9
6

课堂小结

2
1．判断数列是等差数列的又一方法:
?
a
n
?
是等差数列
?
S
n
?An?Bn
（其中
A,B
是 常数）；
2．等差数列
?
a
n
?
，
a
1
?0,d?0
,
S
n
有最___值，如何求？ 1．界限法2。二次函数法
课后训练

一 基础题
1．在等差数 列
{a
n
}
中，公差
d?2,S
20
?60
，则
S
21
= 。
2．等差数列
?
a
n
?
中，
S
n
是前
n
项的和，若S
5
?20
，则
a
2
?a
3
?a4
?
。
3．等差数列
?
a
n?
中，
a
2
?a
7
?a
12
?21< br>，则
S
13
= ．

4．在等 差数列
?
a
n
?
中，已知
a
15
?a12
?a
9
?a
6
?20,
，则
S
2 0
= 。
5．已知等差数列
?
a
n
?< br>满足
a
2
?a
4
?4,a
3
?a
5
?10
，则
S
10
?
．
6．已知数列
?
a
n
?
的前
n
项和
Sn
?n?9n?1?c
，若
?
a
n
?
是等差数 列，则
c?
．
2
（2）求前n项和S
n
的最大值.
（3）当S
n
＞0时，求n的最大值.



三、能力题
13．等差数列
?
a
n
?
中，
a
10
?0
，
a
11
?0
，且
a
11
?a
10
，则使
S
n
> 0 的
n
的最小值为 ．



14．已知等差数 列
?
a
n
?
满足：
S
p
?q,S
q
?p
，则
S
p?q
?
。（其中
p,q
是不相等的正整数）。


7．已知等差数列的前 四项和为21，末四项和为67，前
n
项和为286，则项数
n
= 。
8．等差数列
?
a
n
?
的前
n
项和< br>S
n
当首项
a
1
和公差d变化时，若
a
5< br>?a
8
?a
11
是一个定值，则下列各数中为定
值的是 ．
①
S
17
②
S
18
③
S
15
④
S
16

等差数列（五）
教学目标
1．能熟练地应用等差数列前
n
项和公式解决有关问题；
2．能利用数列通项公式与前
n
项和之间的关系解决有关问题．
3．能运用 等差数列的前
n
项和公式解决简单的问题；通过问题的解决培养学生观察、分析的能
力 由特殊到一般的归纳能力.

教学重点
等差数列通项公式及前
n
项和公式的应用．

引入新课

1．复习等差数列的相关知识，熟记公式．
2．记等差数列
?
a
n
?
的前
n
项和为
S
n
，若
a
1
?
9．在等差数列
?
a
n
?
中，已知
a< br>6
?10,S
5
?5
，
（1）求
a
8
和
S
8
； （2）设
b
n
?a
n
，求数列
?
b
n
?
的前
n
项和
T
n
．


10．在等差数列< br>{a
n
}
中，
a
4
??15
，公差
d?3
，求数列
{a
n
}
的前
n
项和为
S
n
的最小值．


二、提高题
11．已知数列
?
a
n
?
的前
n
项和
S
n
?tn ?
?
t?1
?
n?t?3
，若
?
a
n?
是等差数列，
2
1
,S
4
?20,则S
6
?
______
2
3．已知
?
a
n
?< br>是等差数列，
a
1
?a
2
?4,a
7
?a< br>8
?28
，则数列前10项和
S
10
=__________
4．若等差数列
?
a
n
?
的前5项和
S
5
?30,且a
2
?7,则a
7
?_________
5
．
已知
?
a
n
?
等差数列，
a10
?10
，其前10项和
S
10
?70
，则其公差< br>d?
．
6．设
S
n
为等差数列< br>?
a
n
?
的前n项和，
S
4
＝14，
S
10
－
S
7
＝30，则
S
8
＝ ．
例题剖析

例1 在等差数列
?
a
n
?
中，已知
（1）
a
6
?10,S
5
?5
求
a
n
; （2）
S
9
?18,S
n
?240,a
n?4
?3 0
，求
n
；
（3）
a
4
?a
6
?a
8
?a
10
?a
12
?120
，求
2 a
10
?a
12
。

例2 已知等差数列
?< br>a
n
?
的首项
a
1
?3
,且
2a< br>n
?S
n
S
n?1
(n?2)

（1）求证 :
?
求
t
的值及数列
?
a
n
?
的 通项公式．






12．数列
?
a
n
?
是首项为23，公差为整数的等差数列，且第六项为正，第七项为负.
（1）求数列的公差.
?
1
?
?
是等差数列,并求公差;
?
S
n
?
7

（2）求数列
?
a
n
?
的通项公式。


例3 已知数列
?
a
n
?
中，
a
1?
9．已知两个等差数列
?
a
n
?
和
?
b
n
?
的前
n
项和分别为
A
n
和Bn
且
_____________个。
二、提高题
A
n7n?45
a
?
则使得
n
为整数
n
的个数是< br>B
n
n?3
b
n
311
,a
n
?2 ?(n?2)
，数列
?
b
n
?
满足：
b
n
?(n?N*)
.
5a
n?1
a
n
?1
2
10．设
S
n
为公差不为0的等差数列
a
n
的前 n项和，若
S
3
?9S
2
，
S
4
?4S< br>2
，求数列的通项公式。
??
（1）求证数列
?
b
n
?
是等差数列， （2）记数列
?
b
n
?
的前
n
项和为
S
n
，求


例4 已知公差大于零的等差数列
?
a
n
?
的前
n
项和为
S
n
，且满足：< br>（1）求通项
a
n
。（2）若数列
?
b
n
?
满足
b
n
?
的值，若不存在，请说明理由。

[来源学&科&网Z&X&
2S
n?8
的最小值。
n





11．已知数列
?
a
n
?
中, 前
n
项和 为
S
n
，
a
1
?8,a
4
?2
， 且
a
n?2
?2a
n?1
?a
n
?0
。
a
3
?a
4
?117,a
2
?a
5
?22
。
（1） 求数列
{a
n
}
的通项公式；（2） 求
S
n
取得最大值时的
n
的值；
'
?
. （3）求使得
S
n
?0
的
n
的最大值；（4）设
s
n
?|a
1
|?|a
2
|?...?|a
n
|
，求
S
30
S
n
，是否存在非零实数
c
使得
?
b
n
?
为等差数列？若存在求出
c
n?c
1．若等差数列
?
a
n
?
满足
a
1
?a
2
?
…
?a
101
?0
，则 （ ）
A．
a
1
?a
101
?0
B．
a
1
?a
101
?0
C．
a
1
?a
101
?0
D．
a
51
?51

2．等差数列
?
a
n
?
的前
n
项和为
S
n
，
且
a4
?16
，
a
10
?8
，则
S
13< br>=
3．若
?
a
n
?
是等差数列 ，首项
a
1
?0,a
2011
?a
2012
?0, a
2011
a
2012
?0
，则使前
n
项和
S
n
?0
成立的最大自然
数
n
是
课堂小结

等差数列前
n
项和公式的应用；等差数列前
n< br>项和的有关性质及其运用.

巩固练习

课后训练


一、基础题
1．等差数列
?
a
n
?
中，
S
5
?40
，
a
2
?a
5
?19
，则
a
1
?
________．
2．设等差数列的通项公式
a
n
?20?4n
．则该数列的前 项和最大。
3．如果数列
{a
n
}
满足
a
1?3
，






三、能力题
12．观察：
1


1+2+1

1+2+3+2+1

1+2+3+4+3+2+1

……

（1）第
100
行是多少个数的和？这些数的和是多少？
（2）计算第
n
行的值．



[来源学科网ZXXK]
11
??5
，则
a
n
＝ ；
a
n?1
a
n
4．等差数列
?
a
n< br>?
的前
n
项和为
S
n
，若
a
2?a
8
?12
，则
S
9
= ．
5．数列
?
a
n
?
中，a
n
=2n+1，
b
n
?
[来源学#科#网]
等比数列（一）
教学目标
体会等比数列是用来刻画一类离散现象的重要数学模型, 理解等比数列的概念；体会等比数列是
用来刻画一类离散现象的重要数学模型，理解等比数列的概念．

教学重点
等比数列的概念及通项公式．

引入新课

a
1
? a
2
?
?
?a
n
?
，数列
?
b
n
?
的前
n
项和= ．
n
1．观察下列数列有何特点?
（1）
1
，
2
，
4
，
8
，…
（3）
1
，
（2）
10
，
10?
6．一个 凸多边形的内角度数成等差数列，它的公差是5°，最小角是120°，则此多边形的边数是______

7．等差数列
{a
n
}
的前m项和为30，前2m项和为 100，则它的前3m项和为 ．
8．已知
f(x?1)?x?2x,
在等差数列
?
a
n
?
中，
a
1
? f(x?1),a
2
??
2
1
2
1
3
1< br>，
10?()
，
10?()
，…
22
2
23
1
1
1
，，，…
2
4
8
．05
，
10000?1．05
，… （ 4）
10000?1．05
，
10000?1
1
,a
3?f(x),则通项公式a
n
=_ _
2
2．等比数列的定义：____________________ ________________________________ ．
注:（1）“从第二项起”与“前一项”之比为常数
q
,
{a
n< br>}
成等比数列
?
a
n?1
?
=q（
n?N< br>,q≠0）
a
n
8

（2）隐含：任一项
a
n
?0且q?0

（3）_____________时，
{a
n
}
为常数列
3．练习：
（1）判断下列数列是否为等比数列：
①
1
，
1
，
1
，
1
，
1
； ②
0
，
1
，
2
，
4
，
8
； ③
1，
?
1
2
，
1
4
，
?
11< br>8
，
16
；
（2）求出下列等比数列中的未知项：
①
2
，
a
，
8
； ②
?4
，
b
，
c
，
1
2
．
（3）已知下列数列是等比数列，试在括号内填上适当的数：
①、（ ），
3
，
27
； ②、
3
，（ ），
5
； ③
1
，（ ），（ ），
81
8
．
3．等比数列的通项公式的推导与证明：

4．练习：求下列等比数列的公比
q
、第
5
项
a
5
及第
n
项
a
n
：
①
2
，
6
，
18
，
54
，…
q?
______，
a
5
?
______，
an
?
_________；
②
0．3
，
?0．09，
0．027
，
?0．0081
，…
q?
____ __，
a
5
?
______，
a
n
?
__ _______；
③
5
，
5
c?1
，
5
2 c?1
，
5
3c?1
，…
q?
______，a
5
?
______，
a
n
?
_______ __．



例题剖析

例1（1）在等比数列
?
a
2
n
?
中，是否有
a
n
?a
n ?1
?a
n?1
？
（2）如果数列
?
a
2
n
?
中，对于任意正整数
n(n?2)
，都有
a
n
?a
n?1
?a
n?1
，
那么
?
a
n
?
一定是等比数列吗？


例2 在等比数列
?
a
n
?
中，
（1）已知< br>a
3
?20
，
a
6
?160
，求
a
n
； （2）
a
1
?5
，且
2a
n?1
??3a
n
．．



变式提升：1．试在
243
和
3
中间插入
3
个数, 使这
5
个数成等比数列．

2．在数列
?
a
a< br>n
?
中，a
1
=5, 且
n?1
a
?
n
1
．
n
n?
（1）数列是不是等比数列； （2）能否求出数列的通项公式？


例3 已 知等差数列
?
a
a
n
?
的公差为
d
，b
n
?2
n
，求证：数列
?
b
n
?< br>是等比数列．



巩固练习

1．下列哪些数列是等差数列，哪些数列是等比数列？
（1）
lg3，???lg6，???lg12
； （2）
2
2
，???2，???2
?1
，???2
?2
； （3）
a，???a，???a，???a，???a
．

2．已知等比数 列
?
a
2
n
?
的公比为
5
，第
4
项是
5
2
，求前
3
项．
课堂小结

等比数列的概念、通项公式.
课后训练

一、基础题
1．在等比数列
?
a
n
?
中，
（1）若
a
4
?27
，公比
q??3
，求
a
7
； （2）已知
a
2
?18，???a
4
?8
，求
a< br>1
和
q
；
（3）已知
a
5
?4，???a
7
?6
，求
a
9
； （4）若
a
5?a
1
?15
，
a
4
?a
2
?6，求
a
3
．


2．如果一个数列既是等差数列，又是等比数列，则此数列 ．
①为常数数列 ②为非零的常数数列 ③存在且唯一 ④不存在
3．在等比数列
{a< br>n
}
中，已知首项为
9
8
，末项为
1
3,公比为
2
3
，则项数n等于_____.
4．各项均为正数等比数列 ｛a
n
｝中，
a
4
?4,a
8
?64
，那 么公比
q
等于
5．等比数列
?
a
n
?
中，已知
a
1
?a
2
?324
，
a3
?a
4
?36
，则
a
5
?a
6= ．
6．在
8
3
和
27
2
之 间插入三个数，使五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为 ．
7．已知数列?
a
a
n
n
?
是公比q≠±1的等比数列，则在{a< br>n
+a
n+1
},{a
n+1
－a
n
}，{
a
}，
?
na
n
?
这四个数列中，是等
n ?1
比数列的有 个。
8．计算机的成本不断降低，若每隔3年计算机价格 降低
13
，现在价格为8100元的计算机，9年后的价格可
降为 ．
9．已知等差数列
{a
n
}
中的四项：
?1,a
1
,a
2
,?4
，等比数列
{b
n
}
中 的四项：
?1,b
1
,b
2
,b
3
,?4
，（1）分别求出
{a
n
}
与
{b
a
1
n
}
的公差和公比；（2）求出
a
2
?
b
的值。
2

10．已知数列
?
a
n
?
满足：lg a
n
＝3n＋5，试用定义证明
?
a
n
?
是等比数 列.



二、提高题
11．等比数列的前
3
项依次是
a，???2a?2，???3a?3
，试问
?
27
2是否为这个数列中的项？
如果是，是第几项？




9

[来源学*科*网]


12．在两个非零实数
a
和
b
之间插入
2
个数，使它们成等比数列，试用
a
和
b表示这个等比数列的公比．




13．（选作）已知数列
?
a
n
?
的前
n
项和为
S
n，
S
n
?
2．在等比数列
?
b
n
?
中，
b
4
?3
，则该数列前七项之积= ．
3．在等比数列
?
a
n
?
中，
a
2??2
，
a
5
?54
，则
a
8
= ．
1．在等比数列
?
a
n
?
，已知
a
1
?5
，
a
9
a
10
?100
，则
a
18
= ．
4．等比数列
?
a
n?
中，
a
4
?7,a
8
?63
，则
a
6
= 。
5．已知等比数列
?a
n
?
中，
a
4
?a
7
??512, a
3
?a
8
?124
，公比
q?Z
，则
a
10
= 。
6．在等比数列
?
a
n< br>?
中，
a
n
?0,a
6
?a
10
? a
3
?a
5
?41,a
4
?a
8
?5，则
a
4
?a
8
=
1
(a
n
?1)(n?N
?
)

3
（1）求
a
1
,a
2
;
（2）求证：数列
{a< br>n
}
是等比数列，并求
{a
n
}
的通向公式.




例3 在等差数列
{a
n
}< br>中，公差
d?0
，且
a
2
是
a
1
和
a
4
的等比中项，已知
a
1
，
a
3
，



等比数列（二）
教学目标
1．进一步熟练掌握等比数列的定义及通项公式；
2．理解等比中项的概念，会求同号两数的等比中项；熟悉等比数列的有关性质；
3．灵活应用等比数列的定义、通项公式、性质解决相关问题．

a
k
1
,a
k
2
,a
k
3
,
成等比数列，求 数列
k
1
,k
2
,k
3
,???,k
n< br>的通项
k
n
．
a
n
k
教学重点
等比中项的概念，等比数列的性质的应用

引入新课

1．复习等比数列的定义、通项公式．
2．等比中项：如果
a,G,b
这三个数成等比数列，那么
G?
，
G
叫做
a,b
的等比中项．思考：
①若
G?a?b
，则
a,G,b
一定成等比数列吗？
2
②等比数列
?
a
n
?
中，
a
n
?a
n?1
?a
n ?1
（证明等比数列的两种方法之一）。
巩固练习

1．若
a，G ，b
成等比数列，则称
G
为
a
和
b
的等比中项．
（1）
45
和
80
的等比中项为 ； （2）已知两个数
k?9
和
6?k
的等比中项是
2k
， 则
k?
．
2．在等比数列
{a
n
}
中，若
a
7
a
9
?4,a
4
?1,则
a
12
?
_____.
2
2
3．在等比数 列
{a
n
}
中，
若a
4
,a
8
是 方程
x?11x?9?0
的两个实根，则
a
6
?
_____ .
2a?a
2
3．在等比数列
?
a
n
?
中，设
a
1
,a
2
,a
3
,a
4
成等比数列，其公比为2，则
1
的值= ；
2a
3
?a
4
4．等比数列
?
a
n
?
中，
a
2
?a
3
?6,a
2
a
3
?8,则q?
．
912
5．在等比数列中，
a
1
?,a
n
?, q?
，则项数n= ．
833
6．已知在等比数列
?
a
n
?
中，各项均为正数，且
a
1
?1,a
1
?a
2
?a
3
?7,
则数列
?
an
?
的通项公式是
a
n
?
．
等比数列的概念及性质、通项公式的应用，等比中项概念.

课堂小结

课后训练

一、基础题
1．首项为
3
，末项为
3 072
，公比为
2
的等比数列的项数有 项．
2．若
9
与
x
的等差中项是
45
，则
x?
______ ____；
9
与
x
的等比中项是____________．
3． 在等比数列
?
a
n
?
中，
a
1
?a
2
?30，a
3
?a
4
?120
，则
a
5
?a
6
的值是___________．
4．在等比数列{a
n
}中，如果a
6
=6,a
9
=9，那么a
3
等于 。
5．等比数列
?
a
n
?
中，
a
3a
4
a
5
?27
，则
a
1
?a
2
例题剖析

n
例1 已知等比数列
?
a
n< br>?
的通项公式是
a
n
?3?2
，求首项
a
1
和公比
q
，并画出该数列的图像．问表示这个
数列的点
?
n ,a
n
?
在什么函数的图像上？


n
思考：如 果一个数列
{a
n
}
的通项公式为
a
n
?aq(a ?0,q?0)
，那么这个数列为等比数列吗？
例2 在等比数列
?
a
n
?
中，
q
为公比，若
m,n,k,l?N
?且
m?n?k?l

n?m
求证：①
a
n
?a
m
?q
； ②
a
m
?a
n
?a
k
?a
l
．
a
7
= 。
6．数列
?
a
n
?
成等比数列，
a
n
?0
，
a
3
a
5
?2a
4
a
6
?a
5
a
7
?81
，则
a
4
?a
6
= 。
7．等比数列
?
a
n
?
中，
a
n?0a
3
?a
6
?32
，则
log
2
a
1
?log
2
a
2
??log
2
a8
=



变式训练：
8．已知
a,b,c
成等比数列，
a,x,b和b,y,c
都成等差数列，
x y?0
，则
ac
?
的值为 。
xy
9．已知等差数列
?
a
n
?
的公差
d?0
，a
1
,a
3
,a
9
成等比数列，则
a
1
?a
3
?a
9
= 。
a
2
?a
4
?a
10
10

10．已知
a
1
,a
2
,a8
为各项都大于0的等比数列，公比
q?1
，则
a
1
? a
8
与a
4
?a
5
的大小关系
（1）定义法：若< br>为 。
二、提高题
11．三个正数
a，b，c< br>成公比大于
1
的等比数列，
a?b?c?62
，
lga?lg b?lgc?3
，求
a、b、c
．


12．已知各项都 为正数的等比数列
?
a
n
?
中，已知
a
1
a
5
?2a
3
a
5
?a
3
a
7< br>?36,
并且
a
2
a
4
?2a
3
a
5
?a
4
a
6
?100
，
求数列的通项公 式.



三、能力题
13．如图，在边长为
1
的等边
?ABC
中，连结各边中点得
?A
1
B
1
C
1
，再连结
?A
1
B
1
C
1
各 边中点得
?A
2
B
2
C
2
…
[
a
n
?
常数对任意的整数
n?1
成立，则数列
{a
n
}
为等比数列；
a
n?1
2
（2）中项法：若
a
n?1
?a
n?1
?a
n
对任意的整数
n?1成立，则数列
{a
n
}
为等比数列；
an?b
（3） 通项公式法：若
a
n
?k?m
(k?0)
，则数列
{an
}
为等比数列．
二、练习1．判断：
（1）已知
a
n
?a
n?1
?q(n?2，q?0)
，则
?
a
n
?
成等比数列．
n
（2）已知
a
n
?c?q (cq?0)
，则
?
a
n
?
成等比数列．






（ ）
（ ）
（3）已知
2，

???2，???2
成等比数列，则
a，b，c
成等差数列．
（ 4）已知
lga，???lgb，???lgc
成等差数列，则
a，b，c
成 等比数列．
abc
（ ）
（ ）
?
是等比数列． 如此 继续下去，证明：
S
?ABC
，S
?A
1
B
1C
1
，S
?A
3
B
2
C
3
，














[来源:]
[来源:]
A
2． 等比数列
{a
n
}
中，
a
n
?0
，
a
3
a
4
?4
，则
log
2
a
1
?log
2
a
6
的值为 。
3． 已知等差数列
?
a
n
?
的公差为2，若
a
1
,a
3
,a
4
成等比数列， 则
a
2
?
。
例题剖析

C
1

A
2

B
2

C
2

B
1

例1 三个实数
6,3,?1
排成一行，在
6
和
3
之间插入两个实数，
3
和
?1
之间插入一个实数使得这六个数中
的 前三个、后三个分别成等差数列，且插入的三个数本身依次成等比数列，那么所插入的这三个数的和可能
是：①
719
；②
3
；③；④
7
．其中正确的序号是 ．
4
4
B
C
b
A
1

14 ．是否存在都大于
2
的一对实数
a,b
?
a?b?1
?，使得
ab,,a?b,a?b
可以按照某一次序排成一个等比
a
数列？ 若存在，求出所有的实数对
?
a,b
?
；若不存在，说明理由．


*
例2 在数列
?
a
n
?
中，
a
1
?2
，
a
n?1
?4a
n
?3n? 1
，
n?N
．
（1）证明数列
?
a
n
?n
?
是等比数列； （2）求数列
?
a
n
?
的通项公式



例3 在等比数列
?
a
n
?
中，
a
11
?0
，公比
q?
?
0,1
?
，且
a
1
a
5
?2a
3
a
5
?a
2
a
8
?25
，又
a
3
与
a
5
的等比 中项为
2，①求
a
n
；②设
b
n
?log
2
a
n
，数列
?
b
n
?
的前
n< br>和为
S
n
，当



n*
例4 设数列
?
a
n
?
的前
n
项和为
S
n
，已知
a
1
?a,a
n?1
?S
n
?3 ,n?N

n
（1）设
b
n
?S
n
?3< br>，求数列
?
b
n
?
的通项公式；
*
（2） 若
a
n?1
?a
n
,n?N
，求
a
的取值 范围。
等比数列（三）
教学目标
1．灵活应用等比数列的定义及通项公式；
2．熟悉等比数列的有关性质，并系统了解判断数列是否成等比数列的方法；
3．灵活应用等比数列定义、通项公式、性质解决一些相关问题

教学重点
等比中项的概念，等比数列的性质的应用

基础知识

一、复习等比数列的定义、通项公式、性质：
1．等比数列的性质
（1）在等比数 列
{a
n
}
中，若
m?n?p?q
，则
a
m
?a
n
?a
p
?a
q
．注意：
a
m
?a
n
?a
m?n
．
（2）在等比数列
{a
n
}
中，
a
n?1
?a
n?1
?a
n
；
a
n?k
?a
n?k
?a
n
(n? k,n,n?k?N)
．
（3）在等比数列
{a
n
}
中，
a
m
,a
m?k
,a
m?2k
,???,a
m?nk
,???
也成等比数列，公比为
q
．
2．数列
{a
n
}
为等比数列的证明方法．
k
2 2
S
1
S
2
??
12
?
S
n最大时，求
n
的值。
n
?


11

巩固练习

abc
1．已知实数
a、b、 c
满足
2?3,2?6,2?12
，那么实数
a、b、c
是 ．
①等差非等比数列
③既是等比又是等差数列


②等比非等差数列
④既非等差又非等比数列
2
求
{a
n
}
和
{b
n
}
的通项公式。


三、能力题
15．已知等比数列
?
a
n
?
中，< br>a
1
?64
，公比
q?1
，
a
2
, a
3
,a
4
又分别是某等差数列的第
7
项，第
3< br>项，第
1
项．
（1）求
?
a
n
?
的通项公式；
（2）设
b
n
?log
2
a
n
，
S
n
为 数列
?
b
n
?
的前
n
项和，问：从第几项起
S
n
?0
？



2．若
a、b、c
成等比数列，则关于x的方程
ax?bx?c?0
．
①必有两个不等实根 ②必有两个相等实根
③必无实根 ④以上三种情况均有可能
课堂小结

课后训练

一、基础题 1
1．在等比数列
?
a
n
?
中，a
1
=,q=2,则a
4
与a
8
的等比中项是 。
8
2．在等比数列
?
a
n
?
中，已知a
5
=－2,则这个数列的前9项的乘积等于 。
3．2，x,y,z,162是成等比数列的五个正整数，则z的值等于 。 < br>4．已知
?
a
n
?
是等比数列，且a
n
＞0 ，a
2
a
4
+2a
3
a
5
+a
4
a
6
=25,那么a
3
+a
5
=
5．数列
?
a
n
?
是公差不为0的等差数列，且
a
7
,a
10
,a
15
是等比数列
?
bn
?
的连续三项，若
b
1
?3
，则
b
n
= 。
6．公比不为
1
的等比数列
?
a
n
?
中，
a
2
?a
3
?a
4
?< br>等比数列（四）
教学目标
知道等比数列前
n
项和公式的推导过程 ，理解前
n
项和公式的含义，并会用公式进行有关计算．

教学重点
等比数列前
n
项和公式以及公式的推导方法

引入新课

1．推导公式：
（1）国王的奖励：．在国际象棋的棋盘上，第1个格子里放1颗麦粒，第2 个格子里放2颗麦粒，第3个
格子里放4颗麦粒，依此类推，每个格子里放的麦粒都是前一个格子里放的 麦粒数的2倍，直到第64个格子
里．奖励的麦粒总数：
1?2?2
2
?2< br>3
???2
63

（2）研究
a
1
?a1
q?a
1
q???a
1
q
2．公式及有关说明：
（1）推导公式的方法；

3．练习：在等比数列
?
a
n
?
中，
2n?1< br>?a
12
?2
33
，若
a
k
?8
， 则
k
等于（ ）
7．已知等比数列
?
a
n
?
的公比为
q
，且数列
?
a
n
?1
?也是等比数列，则
q
= 。
8．等比数列
{a
n
}
中，
a
9
?a
10
?a(a?0)< br>，
a
19
?a
20
?b
，则
a
99
?a
100
= 。
9．在△
ABC
中 ，
tanA
是以
?4
为第
3
项，
4
为第< br>7
项的等差数列的公差，
tanB
是以
项的等比数列的公比，则该三角 形为 。
10．已知
a
1
,a
2
,
的计算，从而导出等比数列的前
n
项和公式．
（2）使用公式的注意点．
1
为第
3
项，
9
为第
6
3
a
8
为各项都大于0的等比数列，公比
q?1
，则
a
1
?a
8
与a
4
?a
5
的 大小关系
为 。
11．设等差数 列
?
a
n
?
的公差
d
不为0，
a
1
?9d
若
a
k
是
a
1
与
a
2k
的等比中项，则
k?
。
二、提高题
12． 已知四个数前3个成等差，后三个成等比，中间两数之积为16，前后两数之积为－128，求这四个数.

（1）
a
1
?3，q?2，n?6，S
n
?_____；（2）
a
1
??1，q??，n?5，S
n
?_____；
（3）
a
1
??4，q?
1
3
111
，S
10
?
_____； （4）
a
1
? 8，q?，a
n
?，S
n
?
_____；
222
，a
k
?243，q?3，S
k
?
____； （5）
a< br>1
??8，q?1，n?10，S
n
?
_____；（6）
a
1
?1
例题剖析

例1 在等比数列
?
a
n
?
中，
S
3
?


例2 求数列
1?



13．数列
{a
n
}
满足
a
1
?1
，
a
n? 1
?2a
n
?1

求证
{a
n
?1}是等比数列；（2）求数列
{a
n
}
的通项公式



14．已知等差数列
{a
n
}
和等比数列
{b< br>n
}
，且公比和公差均为
d(d?0,d?1)
，若
a
1
?b
1
,a
3
?3b
3
,a
5
?5b
5
，
763
，求
a
n
．
，S< br>6
?
22
1111
，???2?，???3?，?，???n?
n
，?
的前
n
项和．
248
2
12

16
变式：求和
?
?
3?2
k
?
；
k?1


例3 设
S
n
是等比数列
?
a
n
?
的前
n
项和，
S
3
，< br>S
9
，
S
6
成等差数列，
求证：
a
2
，a
8
，a
5
成等差数列．


巩固练习

1．某厂去年的产值记为
1
，若计 划在今后五年内每年的产值比上年增长
10%
，则从今年
起到第五年，这个厂的总产值为 ．
2．数列< br>{2
n?1
}
的前
n
项和
S
1
n< br>= ．数列
{
2
n
}
的前
n
项和
S
n
= ．
3．设等比数列
{a
q?2
，前
n
项和为
S
S
n
}的公比
n
，则
4
a
?
．
?
2
4．等比数列
a
n
?
中，
a
n
?48,q?2,S
n
?93
，求
n
、
a
1
．
课堂小结
等比数列前
n
项和公式以及公式的推导方法．
课后训练

一、基础题
1．在等比数列
?
a
n
?
中，
a
1
?2，S
3
?42
，则公比< br>q?
．
2．等比数列
?
a
n
?
的公比为整数，且
a
1
?a
4
?18，a
2?a
3
?12
，则前
8
项和为 ．
3． 在等比数列
?
a
n
?
中，
S
4
?2，S< br>8
?6
，则
a
17
?a
18
?a
1 9
?a
20
?
．
4．等比数列的首项 为
2
，公比为
?1
，则它的前
99
项和为________ ____．
5．等比数列
?
a
n
?
中，
a
1
?5，q?1
，则
S
100
?
．

6．
等比数列
?
a
n
?
中，
（1）
已知
a
1
??1．5，a
（2）
q?1
7
??96
，求
q
和
S
n
；
[来源学科网

]
2
，S??
31
5
8
，求
a
1
和
a
n
；
（3）
已知
a
和
a
39
1
?2，S
3
?26
，求q
n
； （4）
已知
a
3
?
2
，S< br>3
?
2
，求
a
1
和
q
．


[来源学。科。网]


7．（1）在
等比数列
?
a
n
?
中，已知
a
1
?a
n
? 66，a
2
a
n?1
?128，S
n
?126
，求
n，q

[来源学&科&网
（2）
(2?3?5
?1
)?(4?3?5
?2
)???(2n?3?5
?n
)
．




二、提高题
8．已知数列
?
a
n
?
是等差数列，公差
d?0
，
?
a
n< br>?
的部分项组成数列
a
k
1
,a
k
2
,a
k
3
,?,a
k
n
,?
恰好为等比数列，
其中
k
1
?1,k
2
?5,k
3
?17< br>，（1）求
k
n
；（2）求
k
1
?k
2?????k
n
。



三、能力题
9．
设等比数列的首项为
a?(a?0)
，公比为
q?(q?0)
，前< br>n
项和为
80
，其中最大的一项为
54
，又它
的前< br>2n
项和为
6560
，求
a
和
q
值．





等比数列（五）
教学目标
进一 步熟练掌握等比数列的通项公式和前
n
项和公式，通过对有关问题的研究讨论，培养分析
问题，解决问题的能力．

教学重点
前
n
项和公式的应用．

引入新课

一、复习等比数列的前
n
项和公式：
1．等比数列的求和公式：
当
q?1
时， ① 或 ②；当q=1时，

2．等比数列的前
n
项和公式的推导方法：“错位相减”
?q?1
时
S
n
的另一种形式：
S
n
?k?q
n
? k

二、练习：
1．等比数列
?
a
n
?
的各项都是正数，若a
1
＝81，a
5
＝16，则它的前5项和是
2．设等比数列
?
a
n
?
的前n项和为S
n
，若S
3
+S
6
=2S
9
，则数列
?
a
n
?
的公比
q?
．
3．等比数列< br>?
a
n
?
的首项为
1
，公比为
q
， 前n项和为
S
，则数列
?
?
1
?
?
的前< br>n
项之和为 。
?
a
n
?
4．在公比为整 数的等比数列
?
a
n
?
中，已知a
1
＋a
4
＝18，a
2
＋a
3
＝12，那么a
5
＋a6
＋a
7
＋a
8
等于
5． 设
f(n)?2?2
4
?2
7
?2
10
??23n?10
(n?N)
，则
f(n)
= 。
例题剖析

例1 设
{a
n
}
是等比数列， 求证：
S
n
,S
2n
?S
n
,S
3n?S
2n
成等比数列．(注意：等差数列的类似性质)


类 题训练：（1）在等比数列
{a
n
}
中，若
S
10
?49
，
S
20
?112
，则
S
30
= ．
（2）在等比数列
{a
n
}
中，若
S
4
?2
，
S
8
?6
，求
a
17
?a
18
?a
19
?a
20
的值




13

n
例2（1）已知数 列
?
a
n
?
的前
n
项和
S
n?a?b(a?0,1)
，若
?
a
n
?
是等比数列，则
b??1
；反之亦然。
n
（2）已知数列
?
a
n
?
的前
n
项和为
S
n
，
S
n?2?3?1
，求
a
n
。
4．等比数列的前4项和为1，前8项和为17，则这个等比数列的公比为 。 < br>5．在等比数列
?
a
n
?
中，公比为
q
，前
n
项和为
S
n
，
S
99
?56
， 则
a
3
?a
6
?
6．已知等比数列
?
a< br>n
?
中，前n项和S
n
=54,S
2n
=60,则S
3n
=
2222
7．已知
?a
n
?
为等比数列，
a
2
?2
，
a< br>5
?16
，则
a
1
?a
2
?a
3< br>?????a
n
= 。
?a
99
= 。




23n?1
例3 设数列
?
a
n
?
为
1 ,2x,3x,4x,?,nx,?
，求此数列前
n
项的和．



方法：差比数列的前
n
项的和的求法——“错位相减”
例4 设数列
?
a
n
?
的首项a
1
=1,前n项的和S
n
满足关系式3
t
S
n
－(2
t
+3)S
n
－
1
=3
t
(
t
为常数,且
t
>0,
n=2,3,4,……)。（1）求证：数列
?
a
n
?
是等比数列；
（2）设
?
a
n
?
的公比为
f( t)
，作数列
?
b
n
?
，使得b
1
=1, b
n
=
f
(
（3）求和：b
1
b
2
－b
2
b
3
+b
3
b
4
－…+b
2n
－
1
b
2n
－b
2n
b
2n+1< br>
来源学科网
8．设数列
?
x
n
?
满足lnx
n?1
?1?lnx
n
，且
x
1
?x< br>2
??x
10
?10
，则
x
21
?x
22
??x
30
=
22
9．
a
，
b
，
c
是互不相等的正数成等差数列，
x
是
a
，
b
的等比中项，
y
是
b
，
c
的 等比中项，则
x
，
b
，
y
2
可以组成 ．
A．等差数列而非等比数列 B．等比数列而非等差数列
C．既是等差数列又是等比数列 D．既非等差数列又非等比数列
10.．等 比数列
?
a
n
?
中，公比为
q
，前
n项和为
S
n
，若
S
n?1
,S
n
,S
n?2
成A.P，则
q
= 。
二、提高题
1
b
n?1
) (n=2,3,4,…)，求
?
b
n
?
的通项公式。
11 ．等比数列
?
a
n
?
中，
a
1
?1
，且有偶数项，若其奇数项之和为85，偶数项之和为170，求公比
q
及项数。


12．设
{a
n
}
是等差数列，
{b
n
}
是各项都为正数的等比数列，且
a
1
?b
1
?1
，
a
3
?b
5
?21
，
a
5?b
3
?13
。（1）






?
a
n
?
求
{a
n
}
，
{b
n
}
的通项公式； （2）求数列
??
的前n项和
S
n
．
?
b
n
?
巩固练习



三、能力题
13．设等比数列
?
a
n
?
的前n
项和为
S
n
，则
x?S
n
?S
2n
,y?S
n
?
S
2n
?S
3n
?
的大小关系是（ ）
22
1．某厂去年的产值记为
1
，计划在今后五 年内每年的产值比上年增长
10%
，则从今年起到第五年，这个厂的
总产值为 。
n?1
2．数列
{a
n
}
的通项
a
n
?(2n?1)?2
，前
n
项和为
S
n
，求
S
n
．

A．
x?y
B．
x?y
C．
x?y
D．不确定
1 4．已知等比数列
?
a
n
?
的首项
a
1
? 0
，公比
q?
?
?1,0
?
（1）求证：
S
n
?0
恒成立；
（2）设
b
n
?a
n?2
?



课堂小结
1．知三求二。
2．性质
3．若
{an
}
成等差数列（公差为
d
），
{b
n
}成等比数列（公比
q?1
），则数列
{a
n
b
n
}
的前
n
项和可错位相减法
求。
?
0,??
?
，设其前
n
项和为
S
n

3
a
n ?1
，记
?
b
n
?
的前
n
项和为
T
n
，试比较
S
n
与
T
n
的大小
2
课后训练

一、基础题
n
1．已知等比数列
?
a
n
?
的前
n
项和
S
n
?k?3 ?1
，则
k
= 。
7．在等比数列
?
a
n
?
中，若
a
3
?2S
2
?1 ,a
4
?2S
3
?1
，则
q
= 。
3．等比数列
?
a
n
?
中,
a
3?7
,前三项和
S
3
?21
,则公比
q
的值为 。
等比数列（六）
教学目标
1．进一步熟练掌握等比数列的通项公式和前
n
项和公式；
2．提高分析、解决问题能力．

教学重点
灵活应用等比数列的通项公式和前
n
项和公式解决问题．

基础知识

14

一、学前准备：
1．复习等比数列的相关知识，熟记公式．
（1）等比数列的定义： 。
（2）等比数列的通项公式： 。
（3）等比数列的前
n
项和公式： 。
（4）有关等比性质： 。
2．练习（1）在等比数列
?
a
n
?
中，若
S
4
?240,a
2
?a
4
?180
，则
a
7
= ，
q
= ．
（2）等比数列
?
a
n
?
中，
a
2
?9 ,

a
5
?243
，则
?
a
n
?
的前4项和为 。



巩固练习
2
}
、
{a
2n
}
都是等比数 列；②
{lna
n
}
都是等差数列；③
{
1．数列
{a
n
}
是等比数列，下列四个命题：①
{a
n
1
}
、
a
n
{|a
n
|}
都是等比数列；④
{ka
n
}
、
{a
n
?k}(k?0)
都是等比数 列．正确的命题是 ．
2．若方程
x?5x?m?0
与
x?10x?n?0
的四个实数根适当排列后，恰好组成一个首项为
1
的等比数列，
22
k
（3）等比数列的前
n
项和
S
n
?
n
?3
，则
k
的值为 。
2
（4）等比数列
?
a
n
?
中
a
1
?a< br>2
?a
3
?a
4
?a
5
?8,
则< br>n:m
的值为________。

11111
?????2
，则
a
3
= 。
a
1
a
2
a
3
a
4
a
5
课 堂小结

课后训练

一、基础题
例题剖析

*
例1 已知等比数列
?
b
n
?
与数列
?
a
n
?
满足
b
n
?3
n
,n? N

a
（1）判断
?
a
n
?
是何种数列，并给出证明；
（2）若
a
8
?a
13
?m,求b
1
b< br>2
?b
20



2
例2 已知数列{a
n
}
中，
a
1
?3
，对于一切自然数n
，以
a
n
,a
n?1
为系数的一元二次方程
a
n
x?2a
n?1
x?1?0
都有实数根
?
，< br>?
满足
(
?
?1)(
?
?1)?2
，
（1）求证：数列
{a
n
?}
是等比数列；
（2）求通项公式；
（3）求前
n
项和
S
n
．


2
，则
a
1
?
.
3
?
2．在等比数列
{a
n
}
中，对任意
n?N
，都有
a
n
?a
n?1
?a
n?2
，则公比
q?
___ 。
1．在等比数列
?
an
?
中，
S
4
?65
，
q?
3．在等 比数列
?
a
n
?
中，a
3
·a
4
·a
5
＝3，a
6
·a
7
·a
8
＝24， 则a
9
·a
10
·a
11
= 。
4．已知等比数列
?
a
n
?
的公比q=－
a?a
3
?a
5
?a
7
1
,则
1
=___ ___.
a
2
?a
4
?a
6
?a
83
2
5．在正项数列
?
a
n
?
中，
( a
n?3
)?a
n?1
?a
n?5
若
a
3
?2,a
11
?8
，则
a
7
= 。
1
3
6．设等比数列
?
a
n
?
的公比
q?1
，若
a
20
2
a
4x?8x?3?0
的两根，则和是方程
092010
a
2011
?a
2012
= 。
7．设
?
a
n
?
是 等比数列，
a
n
?0
，公比
q?2
，
a
1
?a
2
8．已知
?
a
n
?
是公比为
a
30
?2
30
，则
a
3
?a
6
?a
9
a
30
= 。
a
99
的值是 。
例3 设数列
?
a
n
?
是等差数列，
a
5
=6
（1）当
a
3
?3
时，请在数列
?
a
n< br>?
中找一项
a
m
,使得a
3
,a
5
,a
m
城等比数列；
（2）当
a
3
?2
时，若自 然数
n
1
,n
2
,...n
t
...(t?N*) 满足5?n
1
?n
2
?...?n
t
?...
使得
a
3
,a
5
,a
n
1
,a
n2
...a
n
t
,...
是等比数列，求数列
?
n
t
?
的通项公式。


例4 已知数列
?
a
n
?
，
S
n
是其前
n
项的和， 且
a
n
?7S
n?1
?2
(n?2)
，
a
1
?2
。
（1）求数列
?
a
n
?
的通项公式；
（2）求< br>a
1
?a
4
?a
7
?????a
3n?2< br>关于
n
的表达式子。

1
a
6
?a
9
????
的等比数列，若
a
1
?a
4
?a
7
?????a
97
?100
，则
a
3
?
2
9．已知等比数列
{a
n
}
及等差数列
{b
n
}
，其中
b
1
?0
，公差
d?0
．将这两 个数列的对应项相加，得一新数列
1，1，2，…，则这个新数列的前10项之和为_________ ________.
10．已知
a,b
是两个不相等的正数，在
a,b之间插入
n
个正数
x
1
,x
2
,???,x< br>n
，使
a,x
1
,x
2
,???,x
n,b
成等比数列，
则
n
x
1
x
2
?? ?x
n
= 。
二、提高题
11．在数列
?
a
n
?
中，对任意
n?N
，都有
?
a
n? 2
?a
n?1
?k
（
k
为常数），则称
?
a
n
?
为“等差比数列”
a
n?1
?a
n
下面对“等差比数列”的判断：①
k
不可能为
0
；②等差数列一定是等差比 数列；
③等比数列一定是等差比数列；④通项公式为
a
n
?a?b?c?
a?0,b?0,1
?
的数列一定是等差比数列，其中正确的判
n断为 。
15

n
的通项
a
n
?kn?b
，等比数列
?
a
n
?
的通项是
a
n
?k?q
等．
2
?a< br>15
，
S
n
12．已知数列
?
a
n
?
是公比大于
1
的等比数列，且
a
10
?a
1?a
2
??a
n
，
T
n
?
11
??
a
1
a
2
?
1
，
a
n2．等差（比）数列中，
a
1
,n,d(q),a
n
,S
n
“知三求二”，体现了方程（组）的思想、整体思想．等差（比）数
列的性质能够起到简化 运算的作用．
3．求等比数列的前
n
项和
S
n
时要考虑公 比是否等于
1
，公比是字母时要进行讨论，体现了分类讨论的思想．
求满足
S
n
?T
n
的最小正整数。
三、能力题
13．在等差数列
?
a
n
?
中，若
a
10
?0
，则有等式
a
1
?a
2
??a
n?a
1
?a
2
??a
19?n
，
n?19,n ?N
?
??
二、基础训练
1．已知等差数列
?
a
n
?
的前
n
项和为S
n
，若
a
2
?1,a
3
?3
，则
S
4
= 。
2．设
S
n
为等比数列
?
a
n
?
的前
n
项和，已知
3S
3
?a
4
?2,3S
2
?a
3
?2
,则公比
q
= 。
3．设
S
n
为等差数列
?
a
n
?
的前n 项和，若
S
3
?3,S
6
?24
,
则
a< br>3
= .
4．在等比数列{a
n
}中，
S
4
=1，
S
8
=3，则
a
17
?a
18
?a
19
?a
20
的值是 .
成立，类比等比数列
?
b
n
?
，若
b
9
? 1
，则有怎样的等式成立？


14．定义“等和数列”：在一个数列中， 如果每一项与它的后一项的和都为同一常数，那么这个数列叫做等和
数列，这个常数叫做该数列的公和。 已知数列
{a
n
}
是等和数列，且
a
1
?2
，公和为5，求
a
18
的值及这个数列
的前
n
项和
S
n
.


等差等比数列
n
= 。
a
4
?a
6
??6
，5．设等差数列
?
a
n
?
的前
n
项和为
S
n
。若
a
1
??11
，则当
S
n
取最小值时，
11111
6．已知等比数列
{a
n
}
的前
n
项和为
S
n
，若
S
5
?
3
，a
3
?1
，则
?
= ．
???
a
1
a
2
a
3
a
4
a
5
164
三、典例欣赏：
例1（1）
{a
n
}
是等比数列，
a
1
? a
5
??
等比数列
教学目标
教学重点 等差等比综合运用
一、基础知识

等差数列

a
n?1
?a
n
?d
（常数）
定义



通项公式

前
n
项和公式
15
，
S
4
??5
，求
a
4
< br>2
（2）在等差数列
{a
n
}
中，
a
10< br>?5,d??4,
则
S
n
?______
；
（3） 在等差数列
{a
n
}
中，
a
n
?41,d?2,S
n
?440,
则
a
1
?______
；
a
n?1
?q
?
q?0
?

a
n
a
n
?a
1
q
n?1
， < br>a
n
?a
1
?
?
n?1
?
d

a
n
?a
m
?
?
n?m
?
d
，
d?
a
n
?a
m

n?m
a
n
?a
m
q
n?m
，
q
n?m
?
a
n

a
m
（4）< br>{a
n
}
是等比数列，
a
1
?a
n
?66,a
2
?a
n?1
?128,s
n
?126,
求
n
和公比
q
.



22
例2 已知正数组成的两个数列
{a
n
},{b
n< br>}
，若
a
n
,a
n?1
是关于
x
的 方程
x?2b
n
x?a
n
b
n
b
n?1< br>?0
的两根


中项
n
?
a
1
?a
n
?
n
?
n?1
?
?
a< br>1
?
1?q
n
?
S
n
?S
n
?na
1
?d

?
?
q?1
?

S
n
?
?
1?q
22
?
?
na
1
?
q?1
?
a?b
A?

2
?
G
2
?ab

（1）求证：
{b
n
}
为等差数列；
（2）已知< br>a
1
?2,a
2
?6,
分别求数列
{a
n< br>},{b
n
}
的通项公式；
（3）求数
{

?
例3 已知数列
{a
n
}
的首项
a
1
?2
，且对任意
n?N
，都有
a
n?1
?ban
?c
，其中
b,c
是常数。
性质：1．已知
m,n,p,q?N
，且
m?n?p?q
，
①若
?
a
n
?
是等差数列，则
a
m
?a
n
?a
p
?a
q
；②若
?
a
n< br>?
是等比数列，则
a
m
?a
n
?a
p
?a
q
．
2．设
S
n
是等差（比）数列的前
n
项和，则
S
m
,S
2m
?S
m
,S
3m
?S
2m
,
b
n
}的前n项和s
n
。
2
n
,S
pm
?S
?
p?1
?
m

?
m?1,p?3,m,p?N
?
仍成等差（比）数列．
?
**方法提炼**
1．数列是特殊的函数，有些题目可结合函数知识去解决，体现 了函数思想、数形结合的思想．如等差数列
?
a
n
?
（1）若数列< br>{a
n
}
是等差数列，且
c?2
，求数列
{a
n
}
的通项公式；
（2）若数列
{a
n
}
是等 比数列，且
|b|?1
，当从数列
{a
n
}
中任意取出相邻 的三项，按某种顺序排列成等差数
16

列，求使数列
{ a
n
}
的前
n
项和
S
n
?


四、课后练习：
341
成立的
n
的取值集合。
256
（2）求数列
{a
n
}
的通项公式；
（3 ）若
a
3
是
a
6
与
a
9
的等差中 项，求
q
的值，并证明：对任意的
n?N
，
a
n
是
a
n?3
与
a
n?6
的等差中项．


11．设无穷等差数列
?
a
n
?
的前
n
项 和为
S
n
．
*
1．在等比数列
?
a
n
?
中，若公比
q
=4，且前3项之和等于21，则通项公式
a
n
= 。
2．已知
{a
n
}
为等比 数列，
S
n
是它的前n项和。若
a
2
?a
3
?2a
1
， 且
a
4
与2
a
7
的等差中 项为
5
，则
4
（1）若首项
a
1
?
3，公差
d?1
，求满足
S
2
?(S
k
)
2
的正整数
k
；
k
2
k
2
S
5
= 。
3．设
?
a
n
?
是有正数组成的等比数列，
Sn
为其前
n
项和。已知
a
2
a
4
?1
,
S
3
?7
,则
S
5
?
。
4．设
S
n
为等差数列
?
a
n
?的前
n
项和，若
a
1
?1
，公差
d?2
，
S
k?2
?S
k
?24
，则
k?
。



（2）求所有的无穷等差数列
?
a
n< br>?
，使得对于一切正整数
k
都有
S?(S
k
)
2
成立．
1
5．在等差数列
?
a
n
?
中，若
a
2
?a
4
?a
6
?a
8
?a
10
?80
，则
a
7
?a
8
的值为_ ___ ___．
2
2
6．等差数列
?
a
n
?< br>的前
n
项和为
S
n
，已知
a
m?1
?a
m?1
?a
m
?0
，
S
2m?1
?3 8
,则
m?
．
7．设
?
12．设数列
?
a
n
?
,
?
b
n
?
满足
a
1
?b
1
?6,a
2
?b
2
?4,a< br>3
?b
3
?3
，且数列
?
a
n?1
?a
n
?
n?N
是等差数列，
?
数列
?
b
n
?2
?
n?N
是等比数列。
??
??
?
a
n
?
是公比为
q
的等比数列，
|q|?1< br>，令
b
n
若数列
?
b
n
?
有连续四 项在集合
?a
n
?1(n?1,2,)
（1）求数列
?
a< br>n
?
和
?
b
n
?
的通项公式；
（ 2）是否存在
k?N*
，使
a
k
?b
k
?
?
0,
?
，若存在，求出
k
，若不存在，说明理由。

?
?53,?23,19,37,82
?
中，则
6q?

8．已知{
a
n
}是公差不为0的等差数列,{
b
n
} 是等比数列,其中
a
1
?2,b
1
?1,a
2
?b
2
,2a
4
?b
3
,且存在常数α、
β , 使得
a
n
=
log
?
b
n
?
?< br>对每一个正整数
n
都成立,则
?
= ．
?
?
1
?
2
?
?


*
9．在等比数列
{a
n
}
中，
a
n
?0( n?N)
，公比
q?(0,1)
，且
a
1
a
5?2a
3
a
5
?a
2
a
8
?25。又
a
3
与
a
5
的等比
中项为2.
（1）求数列
{a
n
}
的通项公式；
（2）设
b
n
?log
2
n
，数列
{b
n
}
的前
n
项和为
S
n
，当



1 0．在数列
{a
n
}
中，
a
1
?1
，a
2
?2
，且
a
n?1
?(1?q)a
n?qa
n?1
（
n?2,q?0
）．
*
（1）设b
n
?a
n?1
?a
n
（
n?N
）， 证明
{b
n
}
是等比数列；
a
数列求和问题的基本类型
教学目标
1．掌握一些常见数列的求和方法：公式法，倒序相加法，错位相减法，分组法，
裂项法，并项法等
2．培养学生化归思想。

教学重点
数列求和的求法。

S
S
1
S
2
S
3
?????
n
最大时，求
n
的值。
123n
一、 利用常用求和公式求和
利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法.
1．等差数列求和公式：
2．等比数列求和公式：
3．
S
n
?
?
kk?1
n
2
1
?n(n?1)(2n?1)

6
222
例1 已知
?
a
n
是一个首项为
a
，公比为
q(0?q?1)
的等比数列，求
S
n
?a< br>1
?a
2
?a
3
?
?
?a
n
2
(n?N
*
)



17

二、倒序相加法求和
将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原 数列相加，就可以得到n个
(a
1
?a
n
)

例2 已知函数
f
?
x
?
?
1
a
n
?f (n),
且
a
1
?1
，设
b
n
?a
n
a
n?1
，求数列
{}
的和
S
n

b
n
练习1 求
S
n
?1?
1
4
x
?2
P
2
?
x
2
,y
2
?
是函数
f
?
x
?
图象上的两个点，点
P
且线段
P
1
P
2
?
x?R
?
，
1
?
x
1
,y
1
?
，
111
< br>??????
1?21?2?31?2?3?????n
1
的中点
P< br>的横坐标为．
2
（1）求证：点
P
的纵坐标是定值； < br>（2）若数列
?
a
n
?
的通项公式为
a
n< br>?f
?

三、分组法求和
将数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，分别求和，再将其合并.
2
练习2 等比数列
?
a
n
?
的各项均为正数，且
2a< br>1
?3a
2
?1,a
3
?9a
2
a
6
,

（1）求数列
{a
n
}
的通项公式
?
n
?
?
?
m
?
?
m?N,n?1,2 ,???,m
?
求数列
?
a
n
?
的前m项的和S
m
。
（2）设
b
n
?log
3
a
1
?log
3
a
2
?????log
3
a
n
，求数列
?

六、并项法求和
?
1
?
?
的前
n
项和
?
bn
?
111
例3（1）求数列
1,1?,1??,
224
11
,1???
24
1
?
n?1
的和
2
针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些
项放在一起先求和，然后再求
S
n

例6 求和
s
n?1?3?5?7?
2222
?
6n?5(n
为奇数
)
{a}
a?
（2）已知数列
n
的通项
n
?
n
，求其前
n
项和
S
n

(n
为偶数
)
?
2
11111
练习 数列1，3，5，7，…，(2n－1)＋
n
，…的前n项和S
n
的值等于( )
248162
1111
A．n
2
＋1－
n
B．2n
2
－n＋1－
n
C．n
2
＋1－
n
－
1
D．n
2
－n＋1－
n

222
2


四、错位相减法（乘公比）
主要用于求数列
?
a
n
?b< br>n
?
的前n项和，其中
?
a
n
?
、
?
b
n
?
分别是等差数列和等比数列。
例4 求和
S< br>n
?
?
?
?1
?
n?1
?
2n?1
?

2
练习
1?2?3?4?????2013?2014?


七、探索周期规律求和（小题）
例7 数列
?
a
n
?< br>：
a
1
?1,a
2
?3,a
3
?2,an?2
?a
n?1
?a
n
，求
S
2002
练习 已知函数f(x)对任意x∈R，都有f(x)＝1－f(1－x)，则f(－2)＋f (－1)＋f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝________


2
巩固练习
*
1．设
S
n
?1?2?3???? ?n,(n?N)
，求
f(n)?
3572n?1
?
2
?< br>2
?????
n

2222
2
练习 设数列
{a
n
}
的前
n
项和为
S
n
?2n，
{b
n
}
为等比数列，且
b
1
?a
1
,
b
2
(a
2
?a
1
)?b
1

S
n
的最大值.____________
(n?32)S
n?1
（1） 求数列
{a
n
}
和
{b
n
}
通项公式. （2）设
c
n
?


五、裂项法求和
a
n
，求数列
{c
n
}
前
n
项和
T
n
.
b
n
2．各项为正数的等比数列，
a
5
a< br>6
?9
，求
log
3
a
1
?log
3
a
2
?????log
3
a
10
的值_____ ___。
3．求
1?11?111?????111?
?
??1
之 和____________
??
n个1
4．使数列
1
1?2,
1
2?3
,???,
1
n?n?1
,???
的前n项和
S
n
?3,n的最小值
______。
裂项法的实质是 将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的，
通项分解（裂 项）如：
a
n
?f(n?1)?f(n)

例5 设定义在
R
上的函数
f(x)
对任意实数
x
1
,x
2
满足
f(x
1
?x
2
)?f(x
1)?f(x
2
)?2,
对正整数
n,
令
18
5．在数列
?
a
n
?
中，
a
n
?
1
12n
??????
，又
b
n
?
，求数列?
b
n
?
的前n项的和_______
a
n
?a
n?2
n?1n?1n?1

6．
11
??
1?44?7
?
1
?

(3n?2)?(3n?1)
10．已知数列{a
n
}的前n项和为S
n
，且满足S
n
＋n＝2a
n
(n∈N
*
)．
（1）证明：数列{a
n
＋1}为等比数列，并求数列{a
n
}的通 项公式；
T
n
－2
（2）若b
n
＝(2n＋1)a
n
＋2n＋1，数列{b
n
}的前n项和为T
n
.求满足不等式> 2 013的n的最小值．
2n－1

课后练习
n
1．设
a
n
??2[n?(?1)]
，则
S
10
?
．
2．已知等差数列
?
a
n
?
中，
S
n
?25，S
2n
?100，S
3n
?
．
3．已知
a
n
?3n?2
，则
111
????
= ；
a
1
a
2
a< br>2
a
3
a
n?1
a
n
数列通项公式的求法
教学目标
1．理解数列的通项公式的定义，并会根据条件求数列的通项公式
2．会处理数列与函数，不等式的综合问题

教学重点
通项公式的求法。

题型一 利用累加法求通项公式（从等差数列通项公式求法得到）
形如
a
n?1
?a
n
?f
?
n
?
的递推式
4 ．如果函数
f(x)
满足：对于任意实数
a,b
都有
f(a?b)? f(a)f(b)
，且
f(1)?2
，
则
f(2)f(5)f(9)f(14)f(1274)
?????????
。
f(1)f(3)f(6)f(10)f(1225)
A．700 B．710 C．720 D．730
，a
1
?1
，求数列
{a
n
}
的通项公式。 例1 已知数列
{a
n
}
满足
a
n?1
?a
n
?2n?1
练习 在数列{
a
n
}中，
a
1
?3
,
a
n?1
?a
n
?
5．数列{a
n
}、{b
n
}都是等差数列，a1
＝5，b
1
＝7，且a
20
＋b
20
＝60 .则{a
n
＋b
n
}的前20项的和为( )

5．证明
a?a


n
7．在数列
?
a< br>n
?
中，若
a
1
?1
，
a
n
a
n?1
?4
，求数列的前2
n
项的和；
1
，求通项公式
a
n

n(n?1)
nn?1b?a
n?2
b
2
?
?
?b
n
?a
n?1
?b
a?b
n?1
．(
a、b?0,a?b< br>)


题型二 利用累乘法求通项公式（从等比数列求通项求法得到）
形如
a
n?1
?f
?
n
?
a
n< br>的递推式
例2 已知数列
{a
n
}
满足
a
n?1
?
n?2
a
n
,a
1
?1
，求数 列
{a
n
}
的通项公式。
n?1
?(n?1)a
n?1
(n?2)
，求
{a
n
}
的通项。
8．已知函数
f
?
x
?
满足对于任意的实数
x,y，都有
f
?
x?y
?
?f
?
x
?f
?
y
?
，且
f
?
1
?
?< br>（1）求
f
?
2
?
,f
?
3
?的值；
（2）求证数列
{f(n)}
为等比数列；
（3）设
a
n
?(n?1)?f
?
n
?
，
n?N
, 求证：
a
1
?a
2
?
?
1
。
2
，a
n
?a
1
?2a
2
?3a
3
?
变式 已知数列
{a
n
}

a
1
?1


题型三 利用待定系数法或构造法求通项公式
?a
n
?3

（1）形如a
n?1
?pa
n
?q
?
p?1,p?0,q?0?
的递推式
例3 已知数列
{a
n
}
满足
a
n
?3a
n?1
?5
，
a
1
?1
，求数列
{a
n
}
的通项公式
练习 已知
a
1
?1,a
n?1
?2a
n
?1
，求
a
n






2?
9．设各项均为正数 的数列
?
a
n
?
的前
n
项和为
S
n
,满足
4S
n
?a
n?1
?4n?1,n?N,
且
a
2
,a
5
,a
14
构成等比数列.
（1）证明:
a
2
?4a
1
?5
;
（2）求数列
?
a
n
?
的通项公式;
11
??
（3）证明:对一切正整数
n
,有
a
1
a
2
a
2
a
3

11
??

a
n
a
n?1
2
（2）形如
a
n?1
?pa
n
?f
?
n
??
p?0
?
的递推式
n
例4 设
a
1
?1
，且
a
n?1< br>?3a
n
?2?3
，
?
n?N
?
?
，求
a
n

19

变式 数列?
a
n
?
中，
a
1
?6,a
2
?27,a
n?2
?6a
n?1
?9a
n
?0
，
（1）求证：数列
{a
n?1
?3a
n
}
成等比数 列；
（2）求数列
?
a
n
?
的通项公式
a
n
。
例12 若数列{
a
n
}中，
a
1=2且
a
n
?

2
3?a
n
，求它的通项公式是
a
n
.
?1
（
n
?2
）
课后练习：
1．数列满足：lg(1?a
1
?a
2
?????a
n
)?n?1,n ?N
?
，则
a
n
=


题型四 取倒数法（构造）
2．已知数列
{a
n
}
满足
a
1
?2
，
3a
n?1
?2an
?1
，求
a
n
=___________________
n
3．已知数列
?
a
n
?
满足：
a
1
?1
，
a
n?1
?3a
n
?(2n?1)?3
，求通项
a
n
=________________
a
n?1
例5 已知数列
?
a
n
?
中 ，其中
a
1
?1,
，且当
n
≥2时，
a
n
?
，求通项公式
a
n

2a
n?1
?1
变式 已知数列
{a
n
}的首项
a
1
?
22
4．已知数列
{a
n
}
中，
a
n?1
?a
n
?4n，a
1
? 1，a
n
?0
，求
{a
n
}
的通项
an
=______________．
n
5．已知数列
{a
n
}
满足
a
1
?2a
2
?3a
3
? ??na
n
?2
，求
{a
n
}
的通项
a< br>n
=______________
2a
n
2
，
a
n?1
?
，
n?1,2,3,
…．
a
n
?1
3
（1） 证明：数列
{
1
?1}
是等比数列；
a
n
6．已 知数列
?
a
n
?
的前
n
项和为
S
n
，且满足
a
1
?1
，
S
n
?
7 ．设数列
?
a
n
?
满足
a
1
?3a
2
?3a
3
?…?3
2n?1
(n?1)a
n
， 求数列
?
a
n
?
的通项公式。
2
a
n< br>?
n
*
，
n?N
．求数列
?
a
n< br>?
的通项；
3
（2）求通项
a
n




题型五、 利用
s
n
与
a
n
的关系求通项

8．已 知数列
{a
n
}
中，
a
1
?1
，当
n?2
时，
a
n
?2S
n
S
n?1
?0
，
（1）求证数列
{



9．数列
?
a
n
?
满足：
a
1
?
1
}
为等差数列；
S
n
（2）求
{a
n
}
的通项
a
n
．
?s
1
(n?1)
a
n
?
?
注意一定要讨论第一 项是否满足通项公式。
s?s(n?2)
?
nn?1
例6 已知下面数列 的前
n
项和
S
n
，求数列
{a
n
}
的通项公式
n
2
（1）
S
n
?2n?3n
（2）
S
n
?3?1

88
a
2
?()< br>2
a
3
?
77
8
?()
n?1
a< br>n
?n(n?1),(n?N
*
)
，
7
（1）求< br>a
n
；（2）数列
?
a
n
?
中是否存在最大 值？若存在，求出；若不存在，说明理由。
n
10．已知数列
?
a
n
?
满
a
n+1
=a
n
+2?3+1,a
1
=3
，求数列
?
a
n
?
的通项公式。

n
11．已知数列
?
a
n
?
满
a
n+1
=3a
n
+2?3+1,a
1
=3
，求数列
?
a
n
?
的通项公式。
4
12．已知数列
?a
n
?
满足
a
n?1
?3a
n
，a
1
=7
，求数列
?
a
n
?
的通项公 式。


变式（1）
a
n?1
?2S
n
,a
1
?1
，求通项
a
n

（2）已知数列
?
a
n
?
的前
n
项和
S
n
与< br>a
n
满足：
a
n
,S
n
,S
n?
通项
a
n
。
六、取对数法
例11 若数列{< br>a
n
}中，
a
1
=3且
a
n?1
? a
n
（
n
是正整数），则它的通项公式是
a
n
=▁ ▁▁
七、平方（开方）法
2
1
(n?2)
成等比数列，且
a
1
?1
，求数列
?
a
n
?
的
2
13．已知数列
?
a
n
?
中
a
1
?1
且
a
n?1
?
14．求下列数列的通项公式
a
n
（
n?N
），求数列的通项公式。
，
an
?1
?
a
1
?3
?
a
1
? 2
（1）
?
（2）
?

a?3a
a??3a?4(n?2)
n
n?1< br>?
n?1
?
n

20

?
a
1
?3
?
a
1
?2
?
（3）
?
（4）
4a
n
< br>?
32
?
a
n?1
?a
n
?
an?1
?
3a?4
n
?

?
a
1?3
?
a
1
?1
（5）
?
（6）
?

a?4a?5
a?2a?3
n
n
?n?1
?
n?1


例4 如图，是一个边长为
1< br>的正三角形，将每边三等份，以中间一段为边向形外作正三角形，并擦去中间一
段，得图（2）， 如此继续下去，得图（3）…试求第
n
个图形的边长和周长．





（1）
（2） （3）

?
a
1
?2
?
a
1
?1
?
（7）
?
（8）
?
a
n?1
n?1

?
a
n?1< br>?a
n
?(2n?1)
?
a
?
n
?
n


巩固练习

1．某厂去年的产值是
138
万 元，计划在今后
5
年内每年比上一年产值增长
10%
，这
5
年
数列的实际应用
教学目标
会运用等差数列、等比数列的通项公式、前n
项和公式解决有关问题，通过对有关问题的研究
讨论，培养分析问题，解决问题的能力．

教学重点
数列的应用．

引入新课

思考 ：（1）一个剧场设置了20排座位，第一排有38个座位，往后每一排比前一排多2个座位，这个剧场共
有 个座位。
（2）某厂产值的月平均增长率为
p
，则年平均增长率为

应用题的解题步骤：


．1?2．6
） 的总产值是 ______________________．（精确到万元，
1
2．某种汽车购车时费用 为10万元，每年的保险、养路、汽油费共9千元，汽车的年维修费逐年以等差数列
递增，第一年为2千 元，第2年为4千元，第3年为6千元，……问这种汽车使用 年后报废合算？（即
汽车的年平均费用最底）

6
课堂小结

课后训练

一 基础题
1．某林场年初有森林木材存量
Sm
，木材以每年25%的增长率生长，而每年末要砍伐固定的木材量为
xm
。
为实现经 过2次砍伐以后木材存量增长50%，则
x
的值应是 。
2 ．一件家用电器现价2000元，可实行分期付款，每月付款一次且每次付款数相同，购买后一年还清，月利率为0.8%，按复利计算（每一个月的利息计入第二个月的本金），那么每期应付款
（
1.008
12
33
?1.1)

例题剖析

例1 教育储蓄是一种零存整取定期储蓄存款，它享受整存整取利率，利 息免税．教育储蓄的对象为在校小
学四年级（含四年级）以上的学生．假设零存整取3年期教育储蓄的月 利率为
2．1‰
.
（1）欲在
3
年后一次支取本息合计
2
万元，每月大约存入多少元？
（2）零存整取
3
年期教育储蓄每月至多存入多少元？此时
3
年后本 息合计约为多少（精确到
1
元）？




例2
2004
年初向银行申请个人住房公积金贷款
20
万元购买住房, 月利率< br>3．375%
，按复利计算，每月等额
还贷一次，并从贷款后的次月初开始还贷，如果< br>10
年还清，那么每月应还贷多少元?
（参考数据：
1．003375
120
?1．50
）



例3 假设某市2004年新建住房400万平方米，其中有250万平方米是中低价房， 预计在今后的若干年内，
该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%，另外，每年新建住房中，中低价 房的面积均比上一年增加50
万平方米，那么，到哪一年底，
（1）该市历年所建中低价房的 累计面积（以2004年为累计的第一年）将首次不少于4750万平方米？
（2）当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%？



21
3．
如图，设正
?ABC
的边长为
20 cm
，取
BC
得中点
E
，作正
?BDE
；取边DE
的中点
G
，作正
?DFG
，
如此继续下去，可得一 列正
?ABC
，
?BDE
，
?DFG
，…，求前
2 0
个正三角形的面积之和．



B
D


F
G



E





A
C

4?10
8

t
，每吨占地
1m
2
，环保部门每回收或处理
1t
废旧物
4．资料表明：
2000
年我国工业废弃垃圾达
7．
[来源: ]
资，相当于消灭
4t
工业废弃垃圾，如果某环保部门
2002
年共 回收处理了
10
4
t
废旧物资，且以后
每年的回收量递增
2 0%
．
（1）
2010
年能回收多少吨废旧物资？（结果保留两位有效数字）
（2 ）从
2002
年到
2010
年底，可节约土地多少
m
2？

．2
8
?4．30
，
1．2
9
? 5．16
）


（参考数据：
1

5．社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游 业，根据规划，本年度投入
800万元，以后每年的投入将比上一年减少，本年度估计旅游业收入为40 0万元，由于该项目的建设对旅
游业的促进作用，预计今后旅游业收入每年比上年增加
1
，
4
1
5
（3）设
?
a
n
?
是公差为正数的等差数列，若
a
1
?a
2
?a
3
? 15
，
a
1
a
2
a
3
?80
，则
a
11
?a
12

（4）若等差数列
?
a
n
?
的前
n
项和为
S
n
， 且
a
n?3
?10(n?7)
，
S
7
?14
，
S
n
?72
，则
n?
____
2例4（1）数列
{a
n
}
中,
S
n
?n?5n ?4,
则
a
n
?
______________
（1）设
n
年（本年度为第一年）总投入为
a
n
万元，旅游业总收入为
b
n
万元，写出
a
n
和
b
n
的表达式；
（2）至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入？


6．一辆邮政车 自
A
城驶往
B
城，沿途有
n
个车站（包括起点站
A
和终点站
B
），每停靠一站便要卸下前面各
站发往该站的邮袋各一个，同时又 要装上该站发往后面各站的邮袋各一个，设该车从各站出发时邮政车内的
邮袋数构成一个有穷数列
?
a
k
?
(k?1,2,3,???,n)

试求：（1）
a
1
,a
2
,a
3

（2）邮政车从第
k
站出发时，车内共有邮袋数多少个？
（3）求数列
?
a
k
?
的前
k
项和
S
k
.



（2）已知等差数列
?
a
n
?的公差
d?0
，且
a
1
,a
3
,a
9
成等比数列，则
a
1
?a
3
?a
9
?
a
2
?a
4
?a
10
（ 3）等差数列
{a
n
}
共有
2n?1
项，其中奇数项之和为 319，偶数项之和为290，则其中间项为_____
（4）等差数列
?
a
n
?
中，
S
12
?354,
前12项中，偶数项之和和奇 数项之和之比为
32:27,
则公差

_d?________
（5 ）已知两个等差数列
?
a
n
?
和
?
b
n< br>?
的前
n
项和分别为
A
n
和B
n
且
是_____________个
例5（1）已知等差数列
?
a
n
?
中，
a
2
?6,a
5
?15,
若
b
n
?a
2n
，则数列
?
b
n
?
的前5项和等于________
（2）已知
S
n
为等差数列
?
a
n
?
的前
n
项和，若
a
2
?a
4
?a
15
是一个确定的常数，则数列
?
S
n?
是常数的项为
_____________
A
n
7n?4 5
a
?
则使得
n
为整数
n
的个数
B
n
n?3
b
n
数列复习一
期末复习专题：数列一
例1 根据下面各数列的前
n
项的值，写出数列的一个通项公式．
（3）设
Sn
是等差数列
?
a
n
?
的前
n
项和， 若
1
,??
（2）0．9，0．99，0．999，0．9999，……
7
14916
（3）
?
，…… （4）
0,

2,

0,

2,

0,

2........
_______
,,?,
2?45?78?101 1?13
（1）1，0，
,0,,0,
2
例2（1）已知数列
?a
n
?
，
a
n
?2n?10n?3
，它的最小 项是
1
3
1
5
S
3
1
S
?,
则
6
?
____________
S
6< br>3S
12
（4）在等差数列
?
a
n
?
中，满 足
3a
4
?7a
7
, 且
a
1
?0
，若
S
n
取得最大值，则
n?
_________
例6 设等差数列
?
a
n
?
的前
n
项和为
Sn
，若
S
4
?10,S
5
?15
，则
a
4
的最大值为__ ____.
例7 等差数列
{a
n
}
中，
a
3
?8,s
3
?33
，
（1）求数列
{a
n
}
的前
n
项和的最大值；
（2）求数列
{|a
n
|}
的前
n
项和
T
n
。



例8 在等差数列
{a
n
}
中，公差
d
>0，前
n
项的和为
S
n< br>，且满足
a
2
a
3
?45,a
1
?a
4
?14

（1）求数列
{a
n
}
的通项公式。
（2）数列
?
a
n
?
中,
a
n
?
n?3
n?30
,当
n?
_______时，
a
n
最大
2
（3）已知数列
{a
n
}
中，
a
n
?n?kn
且
{a
n
}
是递增数列，求实数k
的取值范围
（4）在数列
{a
n
}
中，前
n
项和
S
n
?120?10(n?12)(项数；若没有，请说明理由。

10
n
)
。试问：该数列中有 没有最大的项？若有，求其
11
例3（1）已知
{a
n
}
为 等差数列，
a
1
?a
3
?a
5
?105,a
2
?a
4
?a
6
?99
，则
a
20等于
（2）设等差数列
{a
n
}
的前n项之和为< br>S
n
，
已知
S
10
?100
，
则< br>a
4
?a
7
?
____________

s
n
构造一个新数列
{b
n
}
，若
{b
n
}
也是等差数列，求非零常数
C
；
n?C
b
n
(n?N
*
)
的最大值。 （3）在（ 2）的条件下，求
f
?
n
?
?
?
n?25
?
b
n?1
（2）通项公式
b
n
?


巩固练习
22

1．等差数列
?
a< br>n
?
各项都是负数，且
a
3
?a
8
?2a< br>3
a
8
?9,
则它的前10项和
S
10
?< br>___________
22
2．已知数列
?
a
n
?
中，其中
a
1
?1,
，且当
n
≥2时，
a
n
?
a
n?1
，通项公式
a
n
?___ ______

2a
n?1
?1
1
2

1 6．设等差数列{a
n
}的首项a
1
及公差d都为整数，前n项和为S
n.

（1）若a
11
=0,S
14
=98,求数列?
a
n
?
的通项公式；



< br>（2）若a
1
≥6，a
11
＞0，S
14
≤77，求 所有可能的数列
?
a
n
?
的通项公式.
3．在等差数列< br>?
a
n
?
中，若
a
2
?a
4
?a
6
?a
8
?a
10
?80
，则
a< br>7
?a
8
的值为____ ___
4．数列
?a
n
?
的前n项和S
n
满足log
2
(S
n
+ 1) = n + 1，则a
n
= _____. 2
17．已知正项数列
?
a
n
?
的前
n
项和为
S
n
，
S
n
是
与（
(a
n
?1)
的等比中项

5．若一个等差数列共
n
项，前3项 的和为34,最后3项的和为146,且所有项的和为390,则此数列的项数为____.
（1）求 证：数列
6．若数列
?
a
n
?
中，
a
1< br>=2且
a
n
?
是 ．
*
8．已知数列
?
a
n
?
对于任意
p，q?N
，有
a
p
?a
q
?a
p?q
，若
a1
?
?
S
?
n
2
3?a
n
， 它的通项公式是
a
n
?________

?1
（
n
?2
）
1
4
a
为等差数列；（2）若
b
n
?
n
，
?
b
n
?
的前
n
项的和为
T
n
，求
T
n
；
n
2
7．在等差数列
{a
n
}
中，公差
d??2
，且
a
1
?a
4
?a
7
?????a
97
?5 0
，那么
a
3
?a
6
?a
9
????a< br>99
的值
（3）在（2）的条件下，是否存在常数
m
,使得数列
?
说明理由。

?
T
n
?m
?
?为等比数列？若存在，试求出
m
，若不存在，
?
a
n?2
?
1
，则
a
36
?

9

数列复习（二）
例1（1）已知数列
?1,a
1
,a
2< br>,?4
成等差数列,
?1,b
1
,b
2
,b
3
,?4
成等比数列，则
og
9．已知正项等比数列
?
a< br>n
?
，
a
1
?2
，又
b
n
?l
2
a
n
，且数列
?
b
n
?
的 前7项和
T
7
最大，
T
7
?T
6
，且T
7
?T
8
，
a
2
?a
1
的 值为__________
b
2
则数列
?
a
n
?
的公比
q
的取值范围是____________
10．将全体正整数排成一个三角形数阵：
1
2 3
4 5 6
7 8 9 10
。 。 。 。 。
按照以上排列的规律，第
n
行（
n?3
）从左向右的第3个数为 _______
11．已知数列
?
a
n
?
中，
a
1
?2,a
2
?1,
1?2a
n
?
是公比 为2的等比数列，则
a
6
?
__________ （2）设
a1
?2,
数列
?
（3）若数列
?
a
n
?
中，
a
1
=3且
a
n?1
?a
n
（
n
是正整数），则它的通项公式是
a
n
=▁▁
2*n
（4）数列
?
a
n
?
中，已知对任意
n? N
，a
1
?a
2
?a
3
?
…
?a
n
?3?1,
则
a
1
?a
2
?a
3
?
…
?a
n
等于
22 22
例2（1）已知等比数列
?
a
n
?
的公比为
2
，若
OB?a
2002
OA?a
2003
OC
，且
A、B、C
三点共线（直线不过
原点
O
），则
a
2 004
?a
2005
＝_____________
（2）在等比数列?
a
n
?
中，公比
q?2,
a
1
?a
2
?a
3
????a
99
?77,
则
a< br>3
?a
6
????a
99
?
_______
18
（3）已知数列
?
a
n
?
是各项为正数的等比数列， 且
a
1
?a
2
???a
18
?2
，若q?2
，
211
??(n?2,n?N)
，其通项公式
an
=____
a
n
a
n?1
a
n?1
12．等差数列
?
a
n
?
中，
a
10
? 0
，
a
11
?0
，且
a
11
?a
10
，则使
S
n
> 0 的
n
的最小值为 ．
13．已知在等差数列
?
a
n
?
中，若
4a
2
?a
10
?a
??
?24
，则
S
11
为定值，由于印刷问题，括号处的数模糊不清，
可推得括号内的数为_______．
则
a
3
?a
6
?a
9
???a
18?
_____________
例3（1）在等比数列
{a
n
}
中，若
S
10
?49
，
S
20
?112
，则
S
30
= ．
（2）已知等比数列< br>?
a
n
?
中前
8
项的和
S
8
?30,
前
16
项的和
S
16
?150,
求S
20




例4 数列
?
a< br>n
?
的前
n
项和为
S
n
,
已知a
1
?1,
a
n?1
?
1?a
n
?< br>14．等差数列
?
a
n
?
的首项为
a
，公差 为
1,
b
n
?
，且对任意的
n?N
，
b< br>n
?b
8
恒成立，则实数
a
的取
a
n
值范围为______________


15．设
a
1,d
为实数，首项为
a
1
，公差为
d
的等差数列
?
a
n
?
的前
n
项和为
S
n
， 满足
S
5
S
6
+15=0。
（1）若
S
5
=5，求
S
6
及
a
1
；
（2）求
d
的取值范围。

n?2
?
S
?
S
n
，证明：
?
n
?
是等比数列
n
?
n
?
23

例5 在等比数列
?
a
n
?
中，
a
11
?0
，公比
q?
?
0,1
?
，且
a
1
a
5
?2a
3
a
5
?a
2
a
8
?25
，又
a
3
与
a
5
的等比 中项为
2，①求
a
n
；②设
b
n
?log
2
a
n
，数列
?
b
n
?
的前
n< br>和为
S
n
，当


?
例6 （1）已知数 列
?
a
n
?
中，
a
1
?20
，< br>a
n?1
?a
n
?2n?1
，
n?N
，则数 列
?
a
n
?
的通项公式
a
n
?
．
?
（2）已知数列
{a
n
}
满足
a
1
?1,
3S
n
?(n?2)a
n
（
n?N
），其中
S
n
表示这个数列前
n
项的和，则
6．数列
{a
n
}
满足：
a
1
?1,a
n
?a< br>1
?
111
，若
a
n
?1004
，则
a
2
?a
3
???a
n?1
（
n?2,n?N< br>）
23n?1
n?
__________.
*
7．在数列< br>?
a
n
?
中，
a
1
?2
，
a
n?1
?4a
n
?3n?1
，
n?N
．则数列< br>?
a
n
?
的通项公式为_________________ S
1
S
2
??
12
?
S
n
最 大时，求
n
的值。
n
8．已知四个数前3个成等差，后三个成等比，中间两 数之积为16，前后两数之积为－128，则这四个数为
____________________
9．已知数列
?
a
n
?
中，
S
n
是它的前n项和，且
S
n?1
?4a
n
?2(n?N
?)
，
a
1
?1
，
（1）设
b
n?a
n?1
?2a
n
(n?N
?
)
，求证：数 列
?
b
n
?
是等比数列；
（2）设
c
n
?
a
n
2
n
(n?N
?
)
，求证 ：数列
?
c
n
?
是等差数列；
a
n
?
____________
（3）已知数列
{a< br>n
}
满足
a
n
?3a
n?1
?5
，
a
1
?1
，则数列
{a
n
}
的通项公式为 ______________
n
（4）设
a
1
?1
，且
a
n?1
?3a
n
?2?3
，
?
n?N< br>?
?
，则
a
n
?____________

（5）已知数列
?
a
n
?
满足：
a
n?1
?2S
n
,
a
1
?1,
通项
a
n
=________________
例7（1）已知数列1，（1＋
（3）求数列
?
a
n
?
的通项公式．









10．数列
?
a
n< br>?
满足
a
1
?3a
2
?3a
3
?. ..?3
2n?1
11111111
1
），（1＋＋），（1＋＋＋），…， （1＋＋＋…＋
n?1
）．则此数
22424824
2
a
n
?
列的前
n
项和
S
n
＝______________．
（2）数列
?
a
n
?
的通项公式
a
n
?
n
,
n?N
?

3
1
n?1?n?2
（1） 求
a
n
（2）若
b
n
?
，其前
n
项和
S
n
?32，
，则
n
=
n
,
求
?
b
n
?
的前
n
项和
S
n

a
n


11．已知数列< br>?
a
n
?
是等差数列，公差
d?0
，
?a
n
?
的部分项组成数列
a
k
1
,a
k
2
,a
k
3
,???a
k
n
,???< br> 恰好为等比数列，
其中
k
1
?1,k
2
?5.k< br>3
?17,

（1）求
k
n
；
（2）求
k
1
?k
2
?????k
n
。




（3）已知数列
{a
n
}
的通项
a
n
?
?


?
6n?5(n< br>为奇数
)
?
2
n
(n
为偶数
)
，求 其前
n
项和
S
n
．
巩固练习
n
1．已 知等比数列
?
a
n
?
的前
n
项和
S
n
?k?3?1
，则
k
=
2．在 等比数列
{a
n
}
中，若
S
4
?2
，S
8
?6
，则
a
17
?a
18
?a< br>19
?a
20
的值为__________
3．等比数列
?
a
n
?
中，公比为
q
，前
n
项和为
S
n
，若
S
n?1
,S
n
,S
n?2< br>成等差数列，则
q
=
1
x
3
数列
{b
n
}
(b
n
?0)
的首项为
c
，且前
n
项和
S
n
满足
S
n
－< br>S
n?1
=
S
n
+
S
n?1
（n?2
）.
12．已知点（1，）是函数
f(x)?a(a?0,
且< br>a?1
）的图象上一点，等比数列
{a
n
}
的前
n< br>项和为
f(n)?c
,
（1）求数列
{a
n
}
和
{b
n
}
的通项公式；
1
4．数列
?
a
n
?
中，a
1
，a
2
－a
1
，a
3
－a
2
，…，a
n
－a
n
－
1
…是首项为1、公比为
的等比数列，则a
n
等于
1
1000
3
}
前
n
项和为
T
n
，问
T
n
>（2）若数列{的最小正整数
n
是多少? n
5．设已知数列
?
a
n
?
满足：
a
1
?1
，
a
n?1
?3a
n
?(2n?1)?3< br>，求通项
a
n
=________________
b
n
b
n?1
2009
.



24

13．已知数列
?
a
n
?
满足，
a
n?1
?a
n
?4n?3(n?N? ).

（1）若数列
?
a
n
?
是等差数列， 求
a
1
的值；
（2）当
a
1
?2
时，求数列
?
a
n
?
的前
n
项和
S
n
；
2
a
n
?a
n?1
（3）若对任意
n?N?,
都有
?5
成立，求
a
1
的取值范围．
a
n
?a
n?1
2


25