(完整)高中数学必修四向量练习题(附解析)

第五章 第二节

一、选择题
1．(文)(2014·郑州月考) 设向量a＝(m,1)，b＝(1，m)，如果a与b共线且方向相反，则
m的值为( )
A．－1
C．－2
[答案] A
[解析] 设a＝λb(λ<0)，即m＝λ且1＝λm.解得m＝±1，由于λ<0，∴m＝－1.
[点评] 1.注意向量共线与向量垂直的坐标表示的区别，若a＝(x
1
，y
1
)，b ＝(x
1
，y
2
)，则
a∥b?x
1
y
2
－x
2
y
1
＝0，当a，b都是非零向量时，a⊥b?x
1
x
2
＋y
1
y
2
＝0，同时还要注意a∥b与x
1
y
1
＝不等价．
x
2
y
2
2．证明共线(或平行)问题的主要依据：
(1)对于向量a，b，若存在实数λ，使得b＝λa，则向量a与b共线(平行)．
(2) a＝(x
1
，y
1
)，b＝(x
2
，y
2
)，若x
1
y
2
－x
2
y
1
＝0，则向量 a∥b.
(3)对于向量a，b，若|a·b|＝|a|·|b|，则a与b共线．
要注意向量平行与直线平行是有区别的．
m
(理)(2013·荆州质检)已知向量 a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若ma＋nb与a－2b共线，则＝
n
( )
A．－2
1
C．－
2
[答案] C
[解析] 由向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)得ma＋nb＝(2m－n,3m＋2n)，a－ 2b＝(4，－1)，
m1
因为ma＋nb与a－2b共线，所以(2m－n)×(－1)－( 3m＋2n)×4＝0，整理得＝－
.
n2
ab
2．(2014·山东青岛 期中)设a，b都是非零向量，下列四个条件中，一定能使＋＝0
|a||b|
成立的是( )
B．2
1
D．
2
B．1
D．2

1
A．a＝－b
3
C．a＝2b
[答案] A
B．a∥b
D．a⊥b
abab
[解析] 由题意得
＝－，而表 示与a同向的单位向量，－表示与b反向的单位
|a||b||a||b|
1
向量，则 a与b反向．而当a＝－
b时，a与b反向，可推出题中条件．易知B，C，D都
3
不 正确，故选A.
[警示] 由于对单位向量、相等向量以及共线向量的概念理解不到位从而导致错误， 特
a
别对于这些概念：(1)单位向量，要知道它的模长为1，方向同a的方向；(2)对于任 意非零
|a|
向量a来说，都有两个单位向量，一个与a同向，另一个与a反向；(3)平面内 的所有单位
向量的起点都移到原点，则单位向量的终点的轨迹是个单位圆；(4)相等向量的大小不仅相
等，方向也必须相同，而相反向量大小相等，方向是相反的；(5)相等向量和相反向量都是
共 线向量，但共线向量不一定是相等向量，也有可能是相反向量．
→→
3．(2015·广州执 信中学期中)在△ABC中，点P在BC上，且BP＝2PC，点Q是AC的
→→→
中点，若P A＝(4,3)，PQ＝(1,5)，则BC＝( )
A．(－2,7)
C．(2，－7)
[答案] B
→→→
[解析] 由条件知，PC
＝2PQ－PA＝2(1,5)－(4,3)＝(－2,7)，
→→
∵BP＝2PC＝(－4,14)，
→→→
∴BC＝BP＋PC＝(－6,21)．
→→→
4．在四边形ABC D中，AB＝a＋2b，BC＝－4a－b，CD＝－5a－3b，其中a，b不共线，
则四边形ABC D为( )
A．平行四边形
C．梯形
[答案] C
→→→→→
[解析] ∵AD
＝AB＋BC＋CD＝－8a－2b＝2BC，
∴四边形ABCD为梯形．
→→→
5．(文)(2014·德州模拟)设OB＝xO A＋yOC，x，y∈R且A，B，C三点共线(该直线不过
B．矩形
D．菱形
B．(－6,21)
D．(6，－21)

点O)，则x＋y＝( )
A．－1
C．0
[答案] B
→→
[解析] 如图，设AB
＝λAC，
B．1
D．2

→→→→→→→→
则OB＝OA＋AB＝OA＋λAC＝OA＋λ(OC－OA
)
→→→→→
＝OA＋λOC－λOA＝(1－λ)OA＋λOC

∴x＝1－λ，y＝λ，∴x＋y＝1.
[点评] 用已知向量来表示另外一些向量是用向量 解题的基本功．在进行向量运算时，
要尽可能将它们转化到平行四边形或三角形中，以便使用向量的运算 法则进行求解．充分利
用平面几何的性质，可把未知向量用已知向量表示出来．
→→
(理)(2013·安庆二模)已知a，b是不共线的两个向量，AB＝xa＋b，AC＝a＋yb(x，y∈R )，
若A，B，C三点共线，则点P(x，y)的轨迹是( )
A．直线
C．圆
[答案] B
[解析] ∵A，B，C三点共线，
→→
∴存在实数λ，使AB＝λAC
.
B．双曲线
D．椭圆 < br>?
?
x＝λ，
则xa＋b＝λ(a＋yb)?
?
?xy＝1， 故选B.
?
1＝λy
?
→
6．(2014·湖北武汉调研)如图所 示的方格纸中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则OP＋
→
OQ＝( )

→

→

[答案] D
[解析] 由平行四边形法则和图示可知，选D.
→
B．OG
→
D．FO

二、填空题
ππ
－，
?
，若a∥b，则tanα＝________. 7．已知a＝( 2，－3)，b＝(sinα，cos
2
α)，α∈
?
?
22
?
[答案] －
3

3
sinαcos
2
α
[解析] ∵a∥b，∴
＝，∴2cos
2
α＝－3sinα，
2
－3
∴2sin
2
α－3sinα－2＝0，
1
∵|sinα|≤1，∴sinα＝－，
2
ππ
33
－ ，
?
，∴cosα＝，∴tanα＝－
.
∵α∈
?
?22
?
23
8．(文)(2014·宜春质检)如图所示，在△ABC中，H为B C上异于B，C的任一点，M为
→→→
AH的中点，若AM＝λAB＋μAC，则λ＋μ＝__ ______.

1
[答案]

2
→→→
[分析] 由B，H，C三点共线可用向量AB
，AC来表示AH.
→→→→
[解析] 由B，H，C三点共线，可令AH
＝xAB＋(1－x)AC，又 M是AH的中点，所以AM
1
→
1
→
1111
→→→→＝
AH
＝
xAB
＋
(1－x)·AC
，又AM＝λAB ＋μAC
.所以λ＋μ＝x＋(1－x)＝.
222222
[点评] 应用平面向量 基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则
进行向量的加、减或数乘运算，共线向量定 理的应用起着至关重要的作用．当基底确定后，
任一向量的表示都是唯一的．
2π
( 理)(2014·河北二调)在△ABC中，AC＝1，AB＝2，A＝，过点A作AP⊥BC于点P，
3
→→→
且AP＝λAB＋μAC，则λμ＝________.
[答案]
10

49
2π
→→→→→
[解析] 由题意知AB
·AC
＝2×1×cos＝－1，∵AP⊥BC，∴AP
·BC
＝0，即(λAB＋
3
→→→
μAC
)·(AC
－AB
)＝0，
5< br>→→→→
∴(λ－μ)AB
·AC
－λAB
2
＋μAC
2
＝0，即μ－λ－4λ＋μ＝0，∴μ＝
λ，①
2
∵P，B，C三点共线，∴λ＋μ＝1，②
?
由①②联立解得
?
5
μ＝
?
7
2
λ＝
7

2510
，即λμ＝
×
＝
.
7749
→
9．(文)已知G是△ABC的重心，直线EF过点G且与边AB、AC分别交于点E、F，AE
11< br>→→→
＝αAB，AF＝βAC，则＋＝______.
αβ
[答案] 3
→
2
→
1
→→
[解析] 连结AG并延长交BC于D，∵G 是△ABC的重心，∴AG
＝
AD
＝
(AB
＋AC
)，33
→→
设EG＝λGF，
1
→
λ
→→→→→→∴AG－AE＝λ(AF－AG
)，∴AG
＝
AE
＋
AF
，
1＋λ1＋λ

1
→
1
→
α
→
λβ
→
∴
AB
＋
AC
＝
AB
＋< br>AC
，
33
1＋λ1＋λ
＝，
?
3
1＋λ
?
∴
?
λβ
1
＝，
?
?
1＋λ< br>3
α
1

＝，
?
α
1＋λ
?∴
?
13λ
＝，
?
β
?
1＋λ
13< br>11
∴＋＝3.
αβ
(理)在△ABC中，过中线AD的中点E任作一条直线 分别交AB、AC于M、N两点，若
→→→→
AM＝xAB，AN＝yAC，则4x＋y的最小 值为________．
9
[答案]

4
→
1
→→→
1
→
[解析] 如图所示，由题意知 AD
＝
(AB
＋AC
)，AE
＝
AD
，
22
又M，E，N三点共线，
→→→
所以AE＝λAM＋(1－λ)AN
(其中0<λ<1)，
→→→→
又AM＝xAB，AN＝yAC，
1
→→→→
所以
(AB
＋AC
)＝λxAB
＋(1－λ)yAC，
4
?
?
4λx＝1，
11
因此有
?
解得x＝，y＝，
4λ4?1－λ?
4?1－λ?y＝1，
?
?
1
令＝t，∴t>1，
λ
11t
则4x＋y＝＋＝t＋

λ
4?1－λ?4?t－1?
159
＝(t－1)＋＋
≥
，
4?t－1?
44
32
当且仅当t＝，即λ＝时取得等号．
23
三、解答题
→→→
10．(文)已知O(0,0)、A(2，－1)、 B(1,3)、OP＝OA＋tOB，求
(1)t为何值时，点P在x轴上？点P在y轴上？点P在第四象限？
(2)四点O、A、B、P能否成为平行四边形的四个顶点，说明你的理由．
→→→
[解析] (1)OP
＝OA＋tOB＝(t＋2,3t－1)．

1
若点P在x轴上，则3t－1＝0，∴t＝；
3
若点P在y轴上，则t＋2＝0，∴t＝－2；
?
?
t＋2>0
1
若点P在第四象限，则
?
，∴－2.
3
?
3t－1<0
?
→→
(2)OA
＝(2，－1)，PB＝(－t－ 1，－3t＋4)．
→→
若四边形OABP为平行四边形，则OA＝PB
.

?
?
－t－1＝2
∴
?
无解．
?
－3t＋4＝－1
?
∴ 四边形OABP不可能为平行四边形．
同理可知，当t＝1时，四边形OAPB为平行四边形，当t＝－1时，四边形OPAB为平
行四边形．
(理)已知向量a＝(1,2)，b＝(cosα，sinα)，设m＝a＋tb(t为实数)．
π
(1)若α＝，求当|m|取最小值时实数t的值；
4
π
(2) 若a⊥b，问：是否存在实数t，使得向量a－b和向量m的夹角为，若存在，请求
4
出t；若 不存在，请说明理由．
π
2232
[解析] (1)∵α＝
，∴b＝(，
)，a·b＝
，
4222
∴|m|＝< br>＝
?a＋tb?
2
＝5＋t
2
＋2ta·b
?t＋
32
2
1
?
＋，
22

t
2
＋32t＋5＝
322
∴当t＝－时，|m|取到最小值，最小值为.
22
?a＋tb?
π
?a－b?·
(2)由条件得cos< br>＝，
4
|a－b||a＋tb|
∵|a－b|＝
5－t
65 ＋t
2
?a－b?
2
＝6，|a＋tb|＝
2
，且t<5
2
?a＋tb?
2
＝5＋t
2
，(a－b)·(a＋tb) ＝5－t，
∴

＝

－5±35
∴t＋5t－5＝0，∴存在t＝满足条件.
2
2

一、选择题
→→→→
11．平面上有四个互异的点 A、B、C、D，满足(AB－BC)·(AD－CD)＝0，则三角形ABC
是( )
A．直角三角形
C．等腰直角三角形
[答案] B
→→→→
[解析] (AB
－BC
)·(AD
－CD
)
→→→→
＝(AB－BC
)·(AD
＋DC
)
→→→→→ →→
＝(AB－BC
)·AC
＝(AB－BC
)·(AB
＋BC)
→→
＝|AB
|
2
－|BC
|
2
＝0，
→→
故|AB
|＝|BC|，即△ABC是等腰三角形．
→→→
1 2．如图，△ABC中，AD＝DB，AE＝EC，CD与BE交于F，设AB＝a，AC＝b，AF＝
xa＋yb，则(x，y)为( )
B．等腰三角形
D．等边三角形

11
?
A.
?
?
2
，
2
?
< br>11
?
C.
?
?
3
，
3
?

[答案] C
→→
[解析] 设CF
＝λCD，∵E、D分别为AC、AB的中点，
1
→→→
∴BE＝BA＋AE＝－a＋
b，
2
1
→→→
BF
＝BC＋CF＝(b－a)＋λ(
a－b)
2
1
?
＝
?
?
2
λ－1
?
a＋(1－λ)b，
22
?
B．
?
?
3
，3
?

21
?
D．
?
?
3
，
2
?

1
λ－1
1－λ
2
2
→→
∵BE与BF共线，∴＝，∴λ＝，
13
－1
2
2
→
2
1
→→→
a－b
?

∴AF＝AC＋ CF＝b＋
CD
＝b＋
?
2
?
33
?
11 11
＝
a＋b，故x＝
，y＝
.
3333
→→
1 3．已知平行四边形ABCD，点P为四边形内部或者边界上任意一点，向量AP＝xAB＋
12
→
yAD，则“0≤x≤，0≤y≤”的概率是( )
23
1
A.
3
1
C.
4
[答案] A
[解析] 根据平面向量基本 定理，点P只要在如图所示的区域AB
1
C
1
D
1
内即可， 这个区
1211
域的面积是整个四边形面积的
×
＝，故所求的概率是
.
2333
2
B．
3
1
D．
2
< br>14．(文)(2014·浙江十校联考)称d(a，b)＝|a－b|为两个向量a，b间的“距离”． 若向量
a，b满足：①|b|＝1；②a≠b；③对任意的t∈R，恒有d(a，tb)≥d(a，b) ，则( )
A．a⊥b
C．a⊥(a－b)
[答案] B
[解析] 由于d(a，b)＝|a－b|，所以对任意的t∈R，恒有d(a，tb)≥d(a，b)，即|a－tb|≥ |a
－b|，由图示可知，向量a－tb的模的最小值是a－b的模，故a－b与b垂直，故选B.
B．b⊥(a－b)
D．(a＋b)⊥(a－b)

?
x，x≥ y
?
y，x≥y
??
(理)(2014·浙江)记max{x，y}＝
?
，min{x，y}＝
?
，设a，b为平面向
??
y，x??

量，则( )
A．min{|a＋b|，|a－b|}≤min{|a|，|b|}
B．min{|a＋b|，|a－b|}≥min{|a|，|b|}

C．m ax{|a＋b|
2
，|a－b|
2
}≤|a|
2
＋|b|
2

D．max{|a＋b|
2
，|a－b|
2
} ≥|a|
2
＋|b|
2

[答案] D
[解析] 由新定 义知，max{x，y}是x与y中的较大值，min{x，y}是x，y中的较小值，
据此可知A、B 是比较|a＋b|与|a－b|中的较小值与|a|与|b|中的较小值的大小，由平行四边形
法则知其 大小与〈a，b〉有关，故A、B错；
当〈a，b〉为锐角时，|a＋b|>|a－b|，此时|a＋ b|
2
>|a|
2
＋|b|
2
.
当〈a，b〉为 钝角时，|a＋b|<|a－b|，此时|a＋b|
2
<|a|
2
＋|b|< br>2
<|a－b|
2
.
当〈a，b〉＝90°时，|a＋b|＝|a－ b|，此时|a＋b|
2
＝|a|
2
＋|b|
2
.
故选D.
二、填空题
→→→
15．(2013·广东江门质检)设a，b 是两个不共线向量，AB＝2a＋pb，BC＝a＋b，CD＝a
－2b，若A、B、D三点共线，则实 数p的值是________．
[答案] －1
→→
[解析] ∵A、B、D三点共线，∴AB
与BD共线，
→→→→
∵AB＝2a＋pb，BD＝BC＋CD＝2a－b，
∴存在实数λ，使2a＋pb＝λ(2a－b)，
∵a与b不共线，∴λ＝1，p＝－1.
16．(2014·广雅中学月考)梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，M、N分别是CD、 AB
n
→→→
的中点，设AB＝a，AD＝b.若MN＝ma＋nb，则＝_____ ___.
m

[答案] －4
1111n
→→→→
[解析] MN
＝MD＋DA＋AN＝－
a－b＋a＝a－b，∴m＝
，n＝－1，∴＝－4.
4244m
三、解答题
π
17．(2014·福建三明检测)已知向量a＝ (sinα，－2)，b＝(1，cosα)，其中α∈(0，)．
2

(1)向量a，b能平行吗？请说明理由．
(2)若a⊥b，求sinα和cosα的值．
(3)在(2)的条件下，若cosβ＝10
π
，β∈(0，)，求α＋β的值．
102
[解析] (1)向量 a，b不能平行．若平行，需sinαcosα＋2＝0，即sin2α＝－4，而－4?[－
1,1] ，
∴向量a，b不能平行．
(2)∵a⊥b，∴a·b＝sinα－2cosα＝0，
即sinα＝2cosα.
又∵sin
2
α＋cos
2
α＝1，
1
∴4co s
2
α＋cos
2
α＝1，即cos
2
α＝
，
5
4
π
∴sin
2
α＝
.又α∈(0，)，
52
255
∴sinα＝，cosα＝
.
55
25510
π
310
(3)由(2)知sinα＝
，cosα＝，cosβ＝，β∈(0 ，
)，得sinβ＝.
5510210
则cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ

＝
510253102
×
－
×
＝－
.
5105102
3π
.
4
又α＋β∈(0，π)，则α＋β＝18．(2014·宁阳一中检测)如图所示，△ABC中，点M是BC的中点，点N在边AC上，
且AN＝2NC，AM与BN相交于点P，求APPM的值．

→→→→→→
[解析] 设BM
＝e
1
，CN
＝e
2
，则AM
＝AC＋CM＝－3e
2
－e
1
，BN
＝2e
1
＋e
2
，
∵A、P、M和B、P、N分别共线，
→→
∴存在λ、μ∈R，使AP＝λAM＝－λe
1
－3λe
2
，

→→
BP
＝μBN＝2μe
1
＋μe
2.
→→→
故BA＝BP－AP＝(λ＋2μ)e
1
＋(3λ＋μ)e< br>2
，
→→→
而BA＝BC＋CA＝2e
1
＋3e
2
，
?
?
λ＋2μ＝2，
?
∴由平面向量基本定理得
?
∴
?
?
?
3λ＋μ＝3，
?
μ＝
3
.
5< br>
4
λ＝
，
5


∴AP
→
＝
4
→
5
AM
，即APPM＝41.