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高中数学必修四向量练习题(附解析)

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-19 23:21
tags:高中数学必修四向量

高中数学条件概率优质课视频-职业高中数学平面向量测试题

2020年9月19日发(作者:江衡)


精品教育
向量专项练习参考答案
一、选择题
1.(文)(201 4·郑州月考)设向量
a
=(
m,
1),
b
=(1,
m
),如果
a

b
共线且方向相反,则
m
的值为 ( )
A.-1
C.-2
[答案] A
[解析] 设
a

λb
(
λ
<0),即
m

λ
且1=
λm
.解得
m
=±1,由于
λ
<0,∴< br>m
=-1.
[点评] 1.注意向量共线与向量垂直的坐标表示的区别,若
a
=(
x
1

y
1
),
b
=(x
1

y
2
),则
B.1
D.2
x
1
a

b
?
x
1
y
2

x
2
y
1
=0,当
a

b
都是 非零向量时,
a

b
?
x
1
x
2

y
1
y
2
=0,同时还要注意
a

b< br>与
x
2
=不等价.
2.证明共线(或平行)问题的主要依据: (1)对于向量
a

b
,若存在实数
λ
,使得
b

λa
,则向量
a

b
共线(平行).
(2)
a
=(
x
1

y
1
),
b
=(
x
2

y
2
),若
x
1< br>y
2

x
2
y
1
=0,则向量
a< br>∥
b
.
(3)对于向量
a

b
,若|a
·
b
|=|
a
|·|
b
|,则
a< br>与
b
共线.
要注意向量平行与直线平行是有区别的.
y
1
y
2
m
(理)(2013·荆州质检)已知向量
a
=(2, 3),
b
=(-1,2),若
ma

nb

a-2
b
共线,则=( )
n
A.-2
1
C.-
2
[答案] C
[解析] 由向量
a
=(2,3),
b
=(-1,2)得
ma

nb
=(2m

n,
3
m
+2
n
),
a
-2
b
=(4,-1),因
B.2
1
D.

2< br>m
1

ma

nb

a
-2
b
共线,所以(2
m

n
)×(-1)-(3
m
+2
n
)×4=0,整理得=-.
n
2
ab
2.(201 4·山东青岛期中)设
a

b
都是非零向量,下列四个条件中,一定能使+=
|
a
||
b
|
0成立的是( )
1
A.
a
=-
b

3
B.
a

b

-可编辑-


精品教育
C.
a
=2
b

[答案] A
D.
a

b

[解析] 由题意得 =-,而表示与
a
同向的单位向量,-表示与
b
反向的
|
a
||
b
||
a
||
b
|
1
单位向 量,则
a

b
反向.而当
a
=-
b
时,< br>a

b
反向,可推出题中条件.易知B,C,D
3
都不正确, 故选A.
[警示] 由于对单位向量、相等向量以及共线向量的概念理解不到位从而导致错误,特abab
a
别对于这些概念:(1)单位向量,要知道它的模长为1,方向同
a< br>的方向;(2)对于任意非
|
a
|
零向量
a
来说,都 有两个单位向量,一个与
a
同向,另一个与
a
反向;(3)平面内的所有单位
向量的起点都移到原点,则单位向量的终点的轨迹是个单位圆;(4)相等向量的大小不仅相
等 ,方向也必须相同,而相反向量大小相等,方向是相反的;(5)相等向量和相反向量都是
共线向量,但 共线向量不一定是相等向量,也有可能是相反向量.
→→
3.(2015·广州执信中学期中 )在△
ABC
中,点
P

BC
上,且
BP
=2
PC
,点
Q

AC

→→→
中点,若
PA
=(4,3),
PQ
=(1,5),则
BC
=( )
A.(-2,7)
C.(2,-7)
[答案] B
→→→
[解析] 由条件知,
PC
=2
PQ

PA
=2(1,5)-(4,3)=(-2,7),
→→

BP
=2
PC
=(-4,14),
→→→

BC

BP

PC
=(-6,21).
→→→
4.在四边形
ABCD
中,
AB

a
+2
b

BC
=-4
a

b

CD< br>=-5
a
-3
b
,其中
a

b
不共 线,
则四边形
ABCD
为( )
A.平行四边形
C.梯形
[答案] C
→→→→→
[解析] ∵
AD

AB

BC

CD
=-8
a
-2
b
=2BC

∴四边形
ABCD
为梯形.
B.矩形
D.菱形
B.(-6,21)
D.(6,-21)
-可编辑-


精品教育
→→→
5.(文)(2014·德州模拟)设
OB

xOA

yOC

x

y
∈R 且
A

B

C
三点共线(该直线不
过点
O
),则
x

y
=( )
A.-1
C.0
[答案] B
→→
[解析] 如图,设
AB

λAC

B.1
D.2
< br>→→→→→→→→

OB

OA

AB
=< br>OA

λAC

OA

λ
(
OC< br>-
OA
)
→→→→→

OA

λOC
λOA
=(1-
λ
)
OA

λOC


x
=1-
λ

y

λ
,∴x

y
=1.
[点评] 用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题 的基本功.在进行向量运算时,
要尽可能将它们转化到平行四边形或三角形中,以便使用向量的运算法则 进行求解.充分利
用平面几何的性质,可把未知向量用已知向量表示出来.
→→
(理 )(2013·安庆二模)已知
a

b
是不共线的两个向量,
AB< br>=
xa

b

AC

a

yb
(
x

y

R),若
A

B

C
三点共线,则点
P
(
x

y
)的轨迹是( )
A.直线
C.圆
[答案] B
[解析] ∵
A

B

C
三点共线,
→→
∴存在实数
λ
,使
AB

λAC
.
B.双曲线
D.椭圆
?
x

λ

则< br>xa

b

λ
(
a

yb
)?
?
?
xy
=1,故选B.
1=
λy
?

6.(2014·湖北武汉调研)如图所示的方格纸中有定点
O

P
Q

E

F

G

H,则
OP


OQ
=( )

-可编辑-


精品教育


A.
OH


C.
EO

[答案] D
[解析] 由平行四边形法则和图示可知,选D.

B.
OG


D.
FO


二、填空题
?
ππ?
7.已知
a
=(2,-3),
b
=(sin
α
,cos
2
α
),
α

?
-,
?
,若
a

b
,则tan
α
=________.
?
22
?
3
[答案] -

3
sin
α
cos
2
α
[解析] ∵
a< br>∥
b
,∴=,∴2cos
2
α
=-3sin
α

2-3
∴2sin
2
α
-3sin
α
-2=0,
1
∵|sin
α
|≤1,∴sin
α
=-,
2< br>33
?
ππ
?

α

?
-,
?
,∴cos
α
=,∴tan
α
=-.
23
?
22
?
8.(文)(2014·宜春质检)如图所示,在△
ABC
中 ,
H

BC
上异于
B

C
的任一点,M
→→→

AH
的中点,若
AM

λAB
μAC
,则
λ

μ
=________.
-可编辑-


精品教育

[答案]
1

2
→→→
[分析] 由
B

H

C
三点共线可用向量
AB

AC
来表示
AH
.
→→→→
[解析] 由
B

H

C
三点共 线,可令
AH

xAB
+(1-
x
)
AC
,又
M

AH
的中点,所以
AM
1

1< br>→
1111
→→→→

AH

xAB
+(1 -
x

AC
,又
AM

λAB

μAC
.所以
λ

μ

x
+(1-
x< br>)=.
222222
[点评] 应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边 形法则或三角形法则进
行向量的加、减或数乘运算,共线向量定理的应用起着至关重要的作用.当基底确 定后,任
一向量的表示都是唯一的.

(理)(2014·河北二调)在△
ABC
中,
AC
=1,
AB
=2,
A
=,过点< br>A

AP

BC
于点
P

3
→→→

AP

λAB

μAC
,则
λ μ
=________.
10
[答案]

49

→→→→→
[解析] 由题意知
AB
·
A C
=2×1×cos=-1,∵
AP

BC
,∴
AP
·
BC
=0,即(
λAB

3
μAC
)·(AC

AB
)=0,
5

2

2< br>∴(
λ

μ
)
AB
·
AC

λAB

μAC
=0,即
μ

λ
-4
λ

μ
=0,∴
μ

λ
,①
2
→ →

P

B

C
三点共线,∴
λ

μ
=1,②
2
?
?
λ

7
由 ①②联立解得
?
5
μ

?
?
7
→→→
2510
,即
λμ
=×=.
7749

9 .(文)已知
G
是△
ABC
的重心,直线
EF
过点
G
且与边
AB

AC
分别交于点
E

F< br>,
AE
11
→→→

αAB

AF

βAC
,则+=______.
αβ
[答案] 3
-可编辑-


精品教育

2

1
→→
[解析] 连结
AG
并延长交
BC

D
,∵
G
是△< br>ABC
的重心,∴
AG

AD
=(
AB
+< br>AC
),
33
→→

EG

λGF

1

λ
→→→→→→

AG

AE< br>=
λ
(
AF

AG
),∴
AG
=< br>AE

AF

1+
λ
1+
λ
1< br>→
1

α

λβ


AB

AC

AB

AC

331+
λ1+
λ
α
1
?
=,
?
1+
λ
3

?
λβ
1
?
?
1+
λ
3














三、解答题

13
?

?
α
1+
λ


?
13< br>λ

?
?
β
1+
λ

11
∴+=3.
αβ
→→→
10.(文)已知
O
(0,0)、
A
(2,-1)、
B
(1,3)、
OP

OA
+< br>tOB
,求
(1)
t
为何值时,点
P

x
轴上?点
P

y
轴上?点
P
在第四象限?
(2)四点
O

A

B

P
能否成为平 行四边形的四个顶点,说明你的理由.
→→→
[解析] (1)
OP
OA

tOB
=(
t
+2,3
t
-1). < br>1
若点
P

x
轴上,则3
t
-1=0,∴< br>t
=;
3
若点
P

y
轴上,则
t
+2=0,∴
t
=-2;
-可编辑-


精品教育
1
?
t
+2>0
若点
P
在第四象限,则
?
,∴-2<
t
<.
3
?
3
t
-1<0< br>→→
(2)
OA
=(2,-1),
PB
=(-
t-1,-3
t
+4).
→→
若四边形
OABP
为平行 四边形,则
OA

PB
.

?

t
-1=2

?
无解.
-3
t
+4=-1
?
∴ 四边形
OABP
不可能为平行四边形.
同理可知,当
t
=1时,四 边形
OAPB
为平行四边形,当
t
=-1时,四边形
OPAB
为平
行四边形.
(理)已知向量
a
=(1,2),
b
= (cos
α
,sin
α
),设
m

a
+< br>tb
(
t
为实数).
π
(1)若
α
=,求 当|
m
|取最小值时实数
t
的值;
4
π
(2)若
a

b
,问:是否存在实数
t
,使得向量
a

b
和向量
m
的夹角为,若存在,请求出
4

t
;若不存在,请说明理由.
π2232
[解析] (1)∵
α< br>=,∴
b
=(,),
a
·
b
=,
4222
∴|
m
|=

2
a

tb
2=5+
t
2
+2
ta
·
b

32t

2
2
t
+32
t
+5=
1
+,
2
322
∴当
t
=-时,|
m
|取到最小 值,最小值为.
22

-可编辑-

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