高中数学条件概率优质课视频-职业高中数学平面向量测试题
精品教育
向量专项练习参考答案
一、选择题
1.(文)(201
4·郑州月考)设向量
a
=(
m,
1),
b
=(1,
m
),如果
a
与
b
共线且方向相反,则
m
的值为
( )
A.-1
C.-2
[答案] A
[解析]
设
a
=
λb
(
λ
<0),即
m
=
λ
且1=
λm
.解得
m
=±1,由于
λ
<0,∴<
br>m
=-1.
[点评] 1.注意向量共线与向量垂直的坐标表示的区别,若
a
=(
x
1
,
y
1
),
b
=(x
1
,
y
2
),则
B.1
D.2
x
1
a
∥
b
?
x
1
y
2
-
x
2
y
1
=0,当
a
,
b
都是
非零向量时,
a
⊥
b
?
x
1
x
2
+
y
1
y
2
=0,同时还要注意
a
∥
b<
br>与
x
2
=不等价.
2.证明共线(或平行)问题的主要依据: (1)对于向量
a
,
b
,若存在实数
λ
,使得
b
=
λa
,则向量
a
与
b
共线(平行).
(2)
a
=(
x
1
,
y
1
),
b
=(
x
2
,
y
2
),若
x
1<
br>y
2
-
x
2
y
1
=0,则向量
a<
br>∥
b
.
(3)对于向量
a
,
b
,若|a
·
b
|=|
a
|·|
b
|,则
a<
br>与
b
共线.
要注意向量平行与直线平行是有区别的.
y
1
y
2
m
(理)(2013·荆州质检)已知向量
a
=(2,
3),
b
=(-1,2),若
ma
+
nb
与
a-2
b
共线,则=( )
n
A.-2
1
C.-
2
[答案] C
[解析] 由向量
a
=(2,3),
b
=(-1,2)得
ma
+
nb
=(2m
-
n,
3
m
+2
n
),
a
-2
b
=(4,-1),因
B.2
1
D.
2<
br>m
1
为
ma
+
nb
与
a
-2
b
共线,所以(2
m
-
n
)×(-1)-(3
m
+2
n
)×4=0,整理得=-.
n
2
ab
2.(201
4·山东青岛期中)设
a
,
b
都是非零向量,下列四个条件中,一定能使+=
|
a
||
b
|
0成立的是( )
1
A.
a
=-
b
3
B.
a
∥
b
-可编辑-
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C.
a
=2
b
[答案] A
D.
a
⊥
b
[解析] 由题意得
=-,而表示与
a
同向的单位向量,-表示与
b
反向的
|
a
||
b
||
a
||
b
|
1
单位向
量,则
a
与
b
反向.而当
a
=-
b
时,<
br>a
与
b
反向,可推出题中条件.易知B,C,D
3
都不正确,
故选A.
[警示] 由于对单位向量、相等向量以及共线向量的概念理解不到位从而导致错误,特abab
a
别对于这些概念:(1)单位向量,要知道它的模长为1,方向同
a<
br>的方向;(2)对于任意非
|
a
|
零向量
a
来说,都
有两个单位向量,一个与
a
同向,另一个与
a
反向;(3)平面内的所有单位
向量的起点都移到原点,则单位向量的终点的轨迹是个单位圆;(4)相等向量的大小不仅相
等
,方向也必须相同,而相反向量大小相等,方向是相反的;(5)相等向量和相反向量都是
共线向量,但
共线向量不一定是相等向量,也有可能是相反向量.
→→
3.(2015·广州执信中学期中
)在△
ABC
中,点
P
在
BC
上,且
BP
=2
PC
,点
Q
是
AC
的
→→→
中点,若
PA
=(4,3),
PQ
=(1,5),则
BC
=( )
A.(-2,7)
C.(2,-7)
[答案] B
→→→
[解析] 由条件知,
PC
=2
PQ
-
PA
=2(1,5)-(4,3)=(-2,7),
→→
∵
BP
=2
PC
=(-4,14),
→→→
∴
BC
=
BP
+
PC
=(-6,21).
→→→
4.在四边形
ABCD
中,
AB
=
a
+2
b
,
BC
=-4
a
-
b
,
CD<
br>=-5
a
-3
b
,其中
a
,
b
不共
线,
则四边形
ABCD
为( )
A.平行四边形
C.梯形
[答案] C
→→→→→
[解析] ∵
AD
=
AB
+
BC
+
CD
=-8
a
-2
b
=2BC
,
∴四边形
ABCD
为梯形.
B.矩形
D.菱形
B.(-6,21)
D.(6,-21)
-可编辑-
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→→→
5.(文)(2014·德州模拟)设
OB
=
xOA
+
yOC
,
x
,
y
∈R
且
A
,
B
,
C
三点共线(该直线不
过点
O
),则
x
+
y
=( )
A.-1
C.0
[答案] B
→→
[解析]
如图,设
AB
=
λAC
,
B.1
D.2
<
br>→→→→→→→→
则
OB
=
OA
+
AB
=<
br>OA
+
λAC
=
OA
+
λ
(
OC<
br>-
OA
)
→→→→→
=
OA
+
λOC-
λOA
=(1-
λ
)
OA
+
λOC
∴
x
=1-
λ
,
y
=
λ
,∴x
+
y
=1.
[点评] 用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题
的基本功.在进行向量运算时,
要尽可能将它们转化到平行四边形或三角形中,以便使用向量的运算法则
进行求解.充分利
用平面几何的性质,可把未知向量用已知向量表示出来.
→→
(理
)(2013·安庆二模)已知
a
,
b
是不共线的两个向量,
AB<
br>=
xa
+
b
,
AC
=
a
+
yb
(
x
,
y
∈
R),若
A
,
B
,
C
三点共线,则点
P
(
x
,
y
)的轨迹是( )
A.直线
C.圆
[答案] B
[解析]
∵
A
,
B
,
C
三点共线,
→→
∴存在实数
λ
,使
AB
=
λAC
.
B.双曲线
D.椭圆
?
x
=
λ
,
则<
br>xa
+
b
=
λ
(
a
+
yb
)?
?
?
xy
=1,故选B.
1=
λy
?
→
6.(2014·湖北武汉调研)如图所示的方格纸中有定点
O
,
P,
Q
,
E
,
F
,
G
,
H,则
OP
+
OQ
=( )
→
-可编辑-
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→
A.
OH
→
C.
EO
[答案] D
[解析]
由平行四边形法则和图示可知,选D.
→
B.
OG
→
D.
FO
二、填空题
?
ππ?
7.已知
a
=(2,-3),
b
=(sin
α
,cos
2
α
),
α
∈
?
-,
?
,若
a
∥
b
,则tan
α
=________.
?
22
?
3
[答案] -
3
sin
α
cos
2
α
[解析] ∵
a<
br>∥
b
,∴=,∴2cos
2
α
=-3sin
α
,
2-3
∴2sin
2
α
-3sin
α
-2=0,
1
∵|sin
α
|≤1,∴sin
α
=-,
2<
br>33
?
ππ
?
∵
α
∈
?
-,
?
,∴cos
α
=,∴tan
α
=-.
23
?
22
?
8.(文)(2014·宜春质检)如图所示,在△
ABC
中
,
H
为
BC
上异于
B
,
C
的任一点,M
→→→
为
AH
的中点,若
AM
=
λAB+
μAC
,则
λ
+
μ
=________.
-可编辑-
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[答案]
1
2
→→→
[分析] 由
B
,
H
,
C
三点共线可用向量
AB
,
AC
来表示
AH
.
→→→→
[解析] 由
B
,
H
,
C
三点共
线,可令
AH
=
xAB
+(1-
x
)
AC
,又
M
是
AH
的中点,所以
AM
1
→
1<
br>→
1111
→→→→
=
AH
=
xAB
+(1
-
x
)·
AC
,又
AM
=
λAB
+
μAC
.所以
λ
+
μ
=
x
+(1-
x<
br>)=.
222222
[点评] 应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边
形法则或三角形法则进
行向量的加、减或数乘运算,共线向量定理的应用起着至关重要的作用.当基底确
定后,任
一向量的表示都是唯一的.
2π
(理)(2014·河北二调)在△
ABC
中,
AC
=1,
AB
=2,
A
=,过点<
br>A
作
AP
⊥
BC
于点
P
,
3
→→→
且
AP
=
λAB
+
μAC
,则
λ
μ
=________.
10
[答案]
49
2π
→→→→→
[解析] 由题意知
AB
·
A
C
=2×1×cos=-1,∵
AP
⊥
BC
,∴
AP
·
BC
=0,即(
λAB
+
3
μAC
)·(AC
-
AB
)=0,
5
→
2
→
2<
br>∴(
λ
-
μ
)
AB
·
AC
-
λAB
+
μAC
=0,即
μ
-
λ
-4
λ
+
μ
=0,∴
μ
=
λ
,①
2
→
→
∵
P
,
B
,
C
三点共线,∴
λ
+
μ
=1,②
2
?
?
λ
=
7
由
①②联立解得
?
5
μ
=
?
?
7
→→→
2510
,即
λμ
=×=.
7749
→
9
.(文)已知
G
是△
ABC
的重心,直线
EF
过点
G
且与边
AB
、
AC
分别交于点
E
、
F<
br>,
AE
11
→→→
=
αAB
,
AF
=
βAC
,则+=______.
αβ
[答案] 3
-可编辑-
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→
2
→
1
→→
[解析]
连结
AG
并延长交
BC
于
D
,∵
G
是△<
br>ABC
的重心,∴
AG
=
AD
=(
AB
+<
br>AC
),
33
→→
设
EG
=
λGF
,
1
→
λ
→→→→→→
∴
AG
-
AE<
br>=
λ
(
AF
-
AG
),∴
AG
=<
br>AE
+
AF
,
1+
λ
1+
λ
1<
br>→
1
→
α
→
λβ
→
∴
AB
+
AC
=
AB
+
AC
,
331+
λ1+
λ
α
1
?
=,
?
1+
λ
3
∴
?
λβ
1
?
?
1+
λ
=3
,
三、解答题
13
?
=
?
α
1+
λ
,
∴
?
13<
br>λ
=
?
?
β
1+
λ
,
11
∴+=3.
αβ
→→→
10.(文)已知
O
(0,0)、
A
(2,-1)、
B
(1,3)、
OP
=
OA
+<
br>tOB
,求
(1)
t
为何值时,点
P
在
x
轴上?点
P
在
y
轴上?点
P
在第四象限?
(2)四点
O
、
A
、
B
、
P
能否成为平
行四边形的四个顶点,说明你的理由.
→→→
[解析] (1)
OP
=OA
+
tOB
=(
t
+2,3
t
-1). <
br>1
若点
P
在
x
轴上,则3
t
-1=0,∴<
br>t
=;
3
若点
P
在
y
轴上,则
t
+2=0,∴
t
=-2;
-可编辑-
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1
?
t
+2>0
若点
P
在第四象限,则
?
,∴-2<
t
<.
3
?
3
t
-1<0<
br>→→
(2)
OA
=(2,-1),
PB
=(-
t-1,-3
t
+4).
→→
若四边形
OABP
为平行
四边形,则
OA
=
PB
.
?
-
t
-1=2
∴
?
无解.
-3
t
+4=-1
?
∴
四边形
OABP
不可能为平行四边形.
同理可知,当
t
=1时,四
边形
OAPB
为平行四边形,当
t
=-1时,四边形
OPAB
为平
行四边形.
(理)已知向量
a
=(1,2),
b
=
(cos
α
,sin
α
),设
m
=
a
+<
br>tb
(
t
为实数).
π
(1)若
α
=,求
当|
m
|取最小值时实数
t
的值;
4
π
(2)若
a
⊥
b
,问:是否存在实数
t
,使得向量
a
-
b
和向量
m
的夹角为,若存在,请求出
4
t
;若不存在,请说明理由.
π2232
[解析] (1)∵
α<
br>=,∴
b
=(,),
a
·
b
=,
4222
∴|
m
|=
=
2
a
+
tb
2=5+
t
2
+2
ta
·
b
32t
+
2
2
t
+32
t
+5=
1
+,
2
322
∴当
t
=-时,|
m
|取到最小
值,最小值为.
22
-可编辑-