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高中数学《立体几何》重要公式、定理

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-19 23:39
tags:高中数学几何公式

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2020年9月19日发(作者:方筠)


高中数学《立体几何》重要公式、定理
1.证明直线与平面的平行的思考途径
(1)转化为直线与平面无公共点;
(2)转化为线线平行;
(3)转化为面面平行.
2.证明直线与直线的平行的思考途径
(1)转化为判定共面二直线无交点;
(2)转化为二直线同与第三条直线平行;
(3)转化为线面平行;
(4)转化为线面垂直;
(5)转化为面面平行.
3.证明直线与直线的垂直的思考途径
(1)转化为相交垂直;
(2)转化为线面垂直;
(3)转化为线与另一线的射影垂直;
(4)转化为线与形成射影的斜线垂直.
4.证明直线与平面垂直的思考途径
(1)转化为该直线与平面内任一直线垂直;
(2)转化为该直线与平面内相交二直线垂直;
(3)转化为该直线与平面的一条垂线平行;
(4)转化为该直线垂直于另一个平行平面;
(5)转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直.
5.证明平面与平面平行的思考途径
(1)转化为判定二平面无公共点;
(2)转化为线面平行;
(3)转化为线面垂直.
6.证明平面与平面的垂直的思考途径
(1)转化为判断二面角是直二面角;
(2)转化为线面垂直.
7.空间向量的加法与数乘向量运算的运算律
(1)加法交换律:a+b=b+a.
(2)加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c).
(3)数乘分配律:λ(a+b)=λa+λb.
8.共线向量定理
对空间任意两个向量a、b(b≠0 ),a∥b
?
存在实数λ使a=λb.
P、A、B
三点共线
?
AP||AB
?
AP?tAB
?< br>OP?(1?t)OA?tOB
.
AB||CD
?
AB
、< br>CD
共线且
AB、CD
不共线
?
AB?tCD
AB、CD
不共线.
9.共面向量定理
向量p与两个不共线的向量a、b共 面的
?
存在实数对
x,y
,使
p?ax?by

推论 空间一点P位于平面MAB内的
?
存在有序实数对
x,y
, 使
MP?xMA?yMB

或对空间任一定点O,有序实数对
x,y
,使
OP?OM?xMA?yMB
.
10.平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广
始点相同且不在同一个平面内的三个向量 之和,等于以这三个向量为棱的平行六面体的以
公共始点为始点的对角
线所表示的向量. < br>11.对空间任一点
O
和不共线的三点A、B、C,满足
OP?xOA?yOB ?zOC

x?y?z?k
),则当
k?1
时,对于空间任一点O
,总有P、A、B、C四点共面;当
k?1


时,若
O?
平面ABC,则P、A、B、C四点共面;若
O?
平面ABC,则P、A、B、C四点 不共
面.
A、B、 C、D
四点共面
?
AD

AB

AC
共面
?
AD?xAB?yAC
?

OD?(1?x?y)OA?xOB?yOC

O?
平面ABC).
12.空间向量基本定理
如果三个向量a、b、c不共面,那么对空间任一向量p,存在 一个唯一的有序实数组x,
y,z,使p=xa+yb+zc.
推论 设O、A、B、C是 不共面的四点,则对空间任一点P,都存在唯一的三个有序实
数x,y,z,使
OP?xOA? yOB?zOC
.
13.空间的线线平行或垂直
rr

a?(x
1
,y
1
,z
1
)

b?(x
2
,y
2
,z
2
)
,则
?
x
1< br>?
?
x
2
rr
rrrr
?
aPb
?
a?
?
b(b?0)
?
?
y
1
?
?
y
2

?
z?
?
z
2
?1
rr
rr
a?b
?
a?b?0
?
x
1
x
2
?y
1
y
2
?z
1
z2
?0
.
14.夹角公式

a

(a< br>1
,a
2
,a
3
)
,b=
(b
1< br>,b
2
,b
3
)
,则
cos〈
a
,b〉=
a
1
b
1
?a
2
b
2
? a
3
b
3
a?a?a
2
1
2
2
2
3
b?b?b
2222
推论
(a
1
b
1
?a
2
b
2
?a
3
b
3
)?(a ?a?a)(b
1
?b
2
?b
3
)
,此即三维柯西 不等式.
2
1
2
1
2
2
2
2
2
3
2
3
.
15. 四面体的对棱所成的角
四面体
ABCD
中,
AC

BD
所成的角为
?
,则
|(AB
2
?CD
2
)?(BC
2
?DA
2
)|
c os
?
?
.
2AC?BD
rr
cos
?
?|cosa,b|

rr
|x
1
x
2
?y
1
y
2
?z
1
z
2
|
|a?b|
r?
=
r

222222
|a|?|b|
x
1
?y
1
?z1
?x
2
?y
2
?z
2
rr
oob
所成角,
a,b
分别表示异面直线
a,b
的方向向量)(其中
?

0?
?
?90
)为异面直线
a,

17.直线
AB
与平面所成角
AB?m
?
?arcsin
(
m
为平面
?
的法向量).
|AB||m|
18.射影公式
已知向量
AB
=
a
和轴
l
,e是
l
上与
l
同方向的单位向量.作A点在l
上的射影
A
,作B
点在
l
上的射影
B
,则
''
AB?|AB|cos

a
,e〉=
a
·e
'
'
16.异面直线所成角
19.向量的直角坐标运算

a

(a
1
,a
2
,a
3
)
, b=
(b
1
,b
2
,b
3
)

(1)
a
+b=
(a
1
?b
1
,a
2?b
2
,a
3
?b
3
)

< br>(2)
a
-b=
(a
1
?b
1
,a
2
?b
2
,a
3
?b
3
)

( 3)λ
a

(
?
a
1
,
?
a2
,
?
a
3
)
(λ∈R);
(4)
a
·b=
a
1
b
1
?a
2
b
2
?a
3
b
3

20.设A
(x
1
,y
1
,z
1
)
,B
(x
2
,y
2
,z
2
)
,则
AB?OB?OA
=
(x< br>2
?x
1
,y
2
?y
1
,z
2?z
1
)
.
21.若
?ABC
所在平面若
?
与过若
AB
的平面
?
成的角
?
,另两边
A C
,
BC
与平面
?
成的角分别是
?
1
、< br>?
2
,
A、B

?ABC
的两个内角,则
sin
2
?
1
?sin
2
?
2
?(sin
2
A?sin
2
B)sin
2
?
.
特别地,当
?ACB?90
时,有
sin
2
?
1
?sin
2
?
2
?sin
2
?
.
22.若
?ABC
所在平面若
?
与过若
AB
的平面
?
成的角
?
,另两边
AC
,
BC
与平面
?
成的角分别是
?
1

?
2
,
A、B
?ABO
的两个内角,则
''
tan
2
?
1
?tan
2
?
2
?(sin
2
A
'?sin
2
B
'
)tan
2
?
.
特别地,当
?AOB?90
时,有
sin
2
?
1
?sin
2
?
2
?sin
2
?
.
23.二面角
?
?l?
?
的平面角
?
?arcc os
m?nm?n

?
?arccos

m
n
为平面
?

?
的法向量).
|m||n||m||n|
24. 三射线定理
若夹在平面角为
?
的二面角间的线段与二面角的两个半平面所成的角是
?
1
,
?
2,与二
2222
面角的棱所成的角是θ,则有
sin
?
sin< br>?
?sin
?
1
?sin
?
2
?2sin< br>?
1
sin
?
2
cos
?

|
?
1
?
?
2
|?
?
?180?(
?
1
?
?
2
)
(当且仅当
?
?90
时等号成立).
25.三余弦定理
设AC是α内的任一条直线,且BC⊥AC,垂足为C ,又设AO与AB所成的角为
?
1
,AB
与AC所成的角为
?
2
,AO与AC所成的角为
?
.则
cos
?
?cos?
1
cos
?
2
.
26.空间两点间的距离公式
若A
(x
1
,y
1
,z
1
)
,B
(x
2
,y
2
,z
2
)
,则

d
A,B
=
|AB|?AB?AB
?(x
2
?x< br>1
)
2
?(y
2
?y
1
)
2
?(z
2
?z
1
)
2
.
27.点
B
到平面
?
的距离
|AB?n|
(< br>n
为平面
?
的法向量,
AB
是经过面
?
的一 条斜线,
A?
?
).
|n|
28.点
Q
到直线
l
距离
1
h? (|a||b|)
2
?(a?b)
2
(点
P
在直线
l
上,直线
l
的方向向量a=
PA
,向量
|a|
d ?
b=
PQ
).
29.异面直线间的距离
d?
|CD ?n|
(
l
1
,l
2
是两异面直线,其公垂向量为
n

C、D
分别是
l
1
,l
2
上任一点,
d

|n|
l
1
,l
2
间的距离).


30.异面直线上两点距离公式
d?h
2
?m
2
?n
2
2mncos
?
.
d?h
2
?m
2
?n
2
?2mncosEA
'
,AF
.
d?h
2
?m
2
?n
2
?2mncos
?

?
?E?AA
'
?F
).
(两条异面直线a、b所 成的角为θ,其公垂线段
AA
的长度为h.在直线a、b上分别取两
点E、F,
AE?m
,
AF?n
,
EF?d
).
31.三个向量和的平方公式

(a?b?c)
2
?a?b?c?2a?b?2b?c?2c?a

222
222
'
'
?a?b?c?2|a|?|b|cosa,b?2|b| ?|c|cosb,c?2|c|?|a|cosc,a

32. 长度为
l
的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为
l
1
、l
2
、l
3
,夹角分
别为
?
1

?
2
、< br>?
3
,则有
2
l
2
?l
1
2?l
2
?l
3
2
?cos
2
?
1?cos
2
?
2
?cos
2
?
3
?1
?sin
2
?
1
?sin
2
?
2
?sin
2
?
3
?2
.
(立体几何中长方体对角线长的公式是其特例).
33. 斜棱柱的直截面
已知斜 棱柱的侧棱长是
l
,侧面积和体积分别是
S
斜棱柱侧

V< br>斜棱柱
,它的直截面的周长和
面积分别是
c
1

S< br>1
,则

S
斜棱柱侧
?c
1
l
.

V
斜棱柱
?S
1
l
.
34.作截面的依据
三个平面两两相交,有三条交线,则这三条交线交于一点或互相平行.
35.棱锥的平行截面的性质
如果棱锥被平行于底面的平面所截,那么所得的截面与底面相似 ,截面面积与底面面
积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比(对应角相等,对应边对应成比例的多 边形
是相似多边形,相似多边形面积的比等于对应边的比的平方);相应小棱锥与小棱锥的侧面
积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比.
36. 面积射影定理
S
'
S?
.
cos
?
(平面多边形及其射影的面 积分别是
S

S
,它们所在平面所成锐二面角的为
?
).
37.欧拉定理(欧拉公式)
V?F?E?2
(简单多面体的顶点数V、棱数E和面数F).
(1)
E< br>=各面多边形边数和的一半.特别地,若每个面的边数为
n
的多边形,则面数F
与棱数E的关系:
E?
'
1
nF

2
1
mV
.
2
(2)若每个顶点引出的棱数为
m
,则顶点数V与棱数E的关系:
E?
38.球的半径是R,则
4
3
?
R
,
3
2
其表面积
S?4
?
R

其体积
V?
147.球的组合体
(1)球与长方体的组合体:


长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.
(2)球与正方体的组合体:
正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线
长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长.
(3) 球与正四面体的组合体:
棱长为
a
的正四面体的内切球的半径为
148.柱体、锥体的体积
66
a
,外接球的半径为
a
.
124
1
V
柱体
?Sh

S
是柱体的底面积、
h
是柱体的高 ).
3
1
V
锥体
?Sh

S
是锥体的底 面积、
h
是锥体的高).
3

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