高中数学最全公式平面几何

71.常用不等式：
（1）
a,b?R
?
a
2?b
2
?2ab
(当且仅当a＝b时取“=”号)．
a?b
?ab
(当且仅当a＝b时取“=”号)．
2
（3）
a
3
?b
3
?c
3
?3abc(a?0,b?0,c?0 ).

（2）
a,b?R
?
?
（4）柯西不等式
(a
2
?b
2
)(c
2
?d
2
)?(ac ?bd)
2
,a,b,c,d?R.

（5）
a?b?a?b?a?b
.
72.极值定理
已知
x,y
都是正数，则有
（1）若积
xy
是定值
p
，则当
x?y
时和
x?y
有最小值
2p
； < br>（2）若和
x?y
是定值
s
，则当
x?y
时积
xy
有最大值
1
2
s
.
4
推广 已知
x,y?R
，则有
(x?y)
2
?(x?y)
2
?2xy< br>
（1）若积
xy
是定值,则当
|x?y|
最大时,
|x?y|
最大；
当
|x?y|
最小时,
|x?y|
最小.
（2）若和
|x?y|
是定值,则当
|x?y|
最大时,
|xy|
最小；
当
|x?y|
最小时,
|xy|
最大.
73.一元二次不等式
ax
2
?bx?c ?0(或?0)(a?0,??b
2
?4ac?0)
，如果
间.简言之：同号 两根之外，异号两根之间.
a
与
ax
2
?bx?c
同号， 则其解集在两根之外；如果
a
与
ax
2
?bx?c
异号，则 其解集在两根之
x
1
?x?x
2
?(x?x
1
)( x?x
2
)?0(x
1
?x
2
)
；
x? x
1
,或x?x
2
?(x?x
1
)(x?x
2)?0(x
1
?x
2
)
.
74.含有绝对值的不等式
当a> 0时，有
x?a?x
2
?a??a?x?a
.
2
x?a?x
2
?a
2
?x?a
或
x??a
.
75.无理不等式
（1）
（2）
（3）
?
f(x)?0
?
. f(x)?g(x)?
?
g(x)?0
?
f(x)?g(x)
?
?
f(x)?0
?
f(x)?0
?
.
f(x)? g(x)?
?
g(x)?0
或
?
?
f(x)?[g(x)]
2
?
g(x)?0
?
?
f(x)?0
?
.
f(x)?g(x)?
?
g(x)?0
?
f(x)?[g(x)]< br>2
?
76.指数不等式与对数不等式
(1)当
a?1
时,
a
f(x)
?a
g(x)
?f(x)?g(x)
;

?
f(x)?0
?
log
a
f(x)?log< br>a
g(x)?
?
g(x)?0
.
?
f(x)?g(x)
?
(2)当
0?a?1
时,
a
f(x)
?a
g(x)
?f(x)?g(x)
;
?
f(x)?0
?
log
a
f(x)?log
a
g(x)?
?
g(x)?0

?
f(x)?g(x)
?
77.斜率公式
k?
y
2
?y
1
（
P
1
(x
1
,y
1
)
、
P
2
(x
2
,y
2
)
）.
x
2
?x
1
78.直线的五种方程
k
（1）点斜式
y?y
1
?k(x?x
1
)
(直线
l
过 点
P
1
(x
1
,y
1
)
，且斜率为)．
（2）斜截式
y?kx?b
(b为直线
l
在y轴上的截距). < br>y?y
1
x?x
1
(
y
1
?y
2< br>)(
P
?
1
(x
1
,y
1
)
、
P
2
(x
2
,y
2
)
(
x
1
?x
2
)).
y
2
?y
1
x
2
?x
1
xy
(4)截距式
??1
(
a、b
分别为直线的横、纵截距，
a、b?0
)
ab
（5）一般式
Ax?By?C?0
(其中A、B不同时为0).
（3）两点式
79.两条直线的平行和垂直
(1)若
l
1:y?k
1
x?b
1
，
l
2
:y?k
2
x?b
2

①
l
1
||l
2
? k
1
?k
2
,b
1
?b
2
;
②
l
1
?l
2
?k
1
k
2
??1< br>.
(2)若
l
1
:A
1
x?B
1
y?C
1
?0
,
l
2
:A
2
x?B
2
y?C
2
?0
,且A
1
、A
2
、B< br>1
、B
2
都不为零,
A
1
B
1
C
1
；
??
A
2
B
2
C
2
②
l
1
?l
2?A
；
1
A
2
?B
1
B
2
?0
①
l
1
||l
2
?
80.夹角公式
k
2
?k
1
|
.
1?k
2
k< br>1
(
l
1
:y?k
1
x?b
1
，< br>l
2
:y?k
2
x?b
2
,
k
1< br>k
2
??1
)
AB?A
2
B
1
( 2)
tan
?
?|
12
|
.
A
1
A
2
?B
1
B
2
(
l
1
:A< br>).
1
x?B
1
y?C
1
?0
,
l
2
:A
2
x?B
2
y?C
2
?0
,
A
1
A
2
?B
1
B
2
?0< br>?
直线
l
1
?l
2
时，直线l
1
与 l
2
的夹角是.
2
81.
l
1
到
l
2
的角公式
k?k
1
(1)
tan
?
?
2
.
1?k
2
k
1
(
l
1
:y?k
1
x?b
1
，
l
2
:y?k
2
x?b
2< br>,
k
1
k
2
??1
)
(1)
ta n
?
?|

A
1
B
2
?A
2
B
1
.
A
1
A
2
?B
1
B
2
(
l
1
:A
).
1
x?B
1
y?C
1
?0
,
l
2
:A
2
x?B
2
y?C
2
?0
,
A
1
A
2
?B
1
B
2
?0
?
直线
l
1< br>?l
2
时，直线l
1
到l
2
的角是.
2
(2)
tan
?
?
82．四种常用直线系方程

(1)定点直线系方程：经过定点
P
0
(x
0
,y
0
)
的直线系方程为
y?y
0
?k(x?x
0
)< br>(除直线
的直线系方程为
x?x
0
),其中
k
是待定 的系数; 经过定点
P
0
(x
0
,y
0
)
A(x?x
0
)?B(y?y
0
)?0
,其中
A,B
是待定的系数．
(2)共点直线系方程：经过两直线
l
1
:A
1
x?B
1
y?C
1
?0
,
l
2
: A
2
x?B
2
y?C
2
?0
的交点
的直线 系方程为
(A
1
x?B
1
y?C
1
)?
?
(A
2
x?B
2
y?C
2
)?0
(除l
2
)，其中λ是待定的系数．
(3)平行直线系方程：直线
y?kx ?b
中当斜率k一定而b变动时，表示平行直线
系方程．与直线
Ax?By?C?0< br>平行的直线系方程是
Ax?By?
?
?0
(
?
?0< br>)，λ是
参变量．
(4)垂直直线系方程：与直线
Ax?By?C?0
(A≠0，B≠0)垂直的直线系方程是
Bx?Ay?
?
?0
,λ是参变量．
83.点到直线的距离
A?B
84.
Ax?By?C?0
或
?0
所表示的平面区域
设直线
l: Ax?By?C?0
，则
Ax?By?C?0
或
?0
所表示的平面区 域是：
若
B?0
，当
B
与
Ax?By?C
同号时 ，表示直线
l
的上方的区域；当
B
与
Ax?By?C
异号时 ，表示直线
l
的下方的区域.简言之,同号在上,异号在下.
若
B?0，当
A
与
Ax?By?C
同号时，表示直线
l
的右方的 区域；当
A
与
Ax?By?C
异号时，表示直线
l
的左方的 区域. 简言之,同号在右,异号在左.
?0
所表示的平面区域 85.
(A1
x?B
1
y?C
1
)(A
2
x?B
2
y?C
2
)?0
或
设曲线
C:(A
，则
1
x?B
1
y?C
1
)(A
2
x?B
2
y?C
2
)?0
（
A
1
A
2
B< br>1
B
2
?0
）
d?
|Ax
0
?By
0
?C|
22
(点
P(x
0
,y
0
)
,直线
l
：
Ax?By?C?0
).
(A
1
x?B
1
y?C
1
)(A
2
x?B
2y?C
2
)?0
或
?0
所表示的平面区域是：
(A< br>1
x?B
1
y?C
1
)(A
2
x?B
2
y?C
2
)?0
所表示的平面区域上下两部分；
(A
1
x?B
1
y?C
1
)(A
2
x?B
2< br>y?C
2
)?0
所表示的平面区域上下两部分.
86. 圆的四种方程
（1）圆的标准方程
(x?a)
2
?(y?b)
2
?r
2
.
（2）圆的一般方程
x
2
?y
2
?Dx?Ey?F?0< br>(
D?E?4F
＞0).
22
?
x?a?rcos
?
.
?
y?b?rsin
?
（4）圆的直径式方程
(x?x
( 圆的直径的端点是
1
)(x?x
2
)?(y?y
1
)(y? y
2
)?0
A(x
1
,y
1
)
、
B(x
2
,y
2
)
).
（3）圆的参数方程
?
87. 圆系方程
(1)过点
A(x
1
,y
1
)
,
B(x
2
,y
2
)
的圆系方程是 < br>(x?x
1
)(x?x
2
)?(y?y
1
)(y?y
2
)?
?
[(x?x
1
)(y
1
?y2
)?(y?y
1
)(x
1
?x
2
)]?0< br>
?c?0
是直线
?(x?x
1
)(x?x
2
)?(y?y
1
)(y?y
2
)?
?
(ax?by?c) ?0
,其中
ax?by
AB
的方程,λ是待定的系数．

(2)过直线
l
:
Ax?By?C?0
与圆
C
:
x
2
?y
2
?Dx?Ey?F?0
的交点的圆系方程
是< br>x
2
?y
2
?Dx?Ey?F?
?
(Ax?By?C )?0
,λ是待定的系数．
22
(3) 过圆
C
1
:x
2
?y
2
?D
1
x?E
1
y?F< br>2
?0
的交
1
?0
与圆
C
2
:x?y?D
2
x?E
2
y?F
22
点的圆系方程是x
2
?y
2
?D
1
x?E
1
y?F< br>1
?
?
(x?y?D
2
x?E
2
y?F2
)?0
,λ是待定的
系数．
88.点与圆的位置关系
点< br>P(x
0
,y
0
)
与圆
(x?a)
2
?(y?b)
2
?r
2
的位置关系有三种
若
d?(a?x
0
)?(b?y
0
)
，则
22
d?r?
点
P
在圆外;
d?r?
点
P
在圆上;
d?r?
点
P
在圆内.
89.直线与圆的位置关系 < br>直线
Ax?By?C?0
与圆
(x?a)
2
?(y?b)2
?r
2
的位置关系有三种:
d?r?相离???0
;
d?r?相切???0
;
d?r?相交???0
.
Aa?Bb?C
其中
d?
.
22
A?B
90.两圆位置关系的判定方法
设两圆圆心分别为O
1
，O
2
，半径分别为r
1
，r
2
，
O1
O
2
?d

d?r
1
?r
2
?外离?4条公切线
;
d?r
1
?r
2
?外切?3条公切线
;
r
1
?r
2
?d?r
1
?r
2
?相交?2条公切线
;
d?r
1
?r
2
?内切?1条公切线
;
0?d?r
1
?r
2
?内含?无公切线
.
91.圆的切线方程
(1)已知圆
x
2
?y
2
?Dx?Ey?F?0
．
①若已知切点
(x
0
,y
0
)
在圆上，则切线只有 一条，其方程是
D(x
0
?x)E(y
0
?y)
??F?0
. < br>22
D(x
0
?x)E(y
0
?y)
??F?0表示过两个切点当
(x
0
,y
0
)
圆外时,
x
0
x?y
0
y?
22

x
0
x?y
0
y?
的切点弦方程．
②过圆外一点 的切线方程可设为
y?y
0
?k(x?x
0
)
，再利用相切 条件求k，这时必
有两条切线，注意不要漏掉平行于y轴的切线．
③斜率为k的切线方程可设为
y?kx?b
，再利用相切条件求b，必有两条切线．
(2)已知圆
x?y?r
．
2
①过圆上的
P
0< br>(x
0
,y
0
)
点的切线方程为
x
0
x?y
0
y?r
;
222
②斜率为
k
的圆的切 线方程为
y?kx?r1?k
2
.
?
x?acos
?x
2
y
2
92.椭圆
2
?
2
?1(a ?b?0)
的参数方程是
?
.
ab
y?bsin
?
?

x
2
y
2
93.椭圆
2
?2
?1(a?b?0)
焦半径公式
ab
a
2
a< br>2
PF
1
?e(x?)
，
PF
2
?e(?x )
.
cc
94．椭圆的的内外部
x
2
y
2（1）点
P(x
0
,y
0
)
在椭圆
2
?
2
?1(a?b?0)
的内部
?
ab
x
2
y
2
（2）点
P(x
0
,y
0
)
在椭圆
2
?
2
?1(a?b?0)
的外部
?
ab
95. 椭圆的切线方程
22
x
0
y
0
?
2
?1
.
2
ab
22
x
0
y
0
??1
.
a
2
b
2
xxyy
x
2
y
2(1)椭圆
2
?
2
?1(a?b?0)
上一点
P(x< br>0
,y
0
)
处的切线方程是
0
2
?
0
2
?1
.
ab
ab
x
2
y
2
（2）过椭圆
2
?
2
?1(a?b?0)
外一点
P(x
0
,y0
)
所引两条切线的切点弦方程是
ab
x
0
xy0
y
?
2
?1
.
a
2
b
x
2
y
2
（3）椭圆
2
?
2
?1(a?b?0)
与直线
Ax?By?C?0
相切 的条件是
ab
A
2
a
2
?B
2
?b
2
.
c
x
2
y
2
96.双曲线
2?
2
?1(a?0,b?0)
的焦半径公式
ab
a
2
a
2
PF
1
?|e(x?)|
，
PF
2< br>?|e(?x)|
.
cc
97.双曲线的内外部
x
2y
2
(1)点
P(x
0
,y
0
)
在双 曲线
2
?
2
?1(a?0,b?0)
的内部
?
ab
x
2
y
2
(2)点
P(x
0
,y
0
)
在双曲线
2
?
2
?1(a?0,b?0)
的外 部
?
ab
98.双曲线的方程与渐近线方程的关系
22
x
0
y
0
??1
.
a
2< br>b
2
22
x
0
y
0
??1
. a
2
b
2
x
2
y
2
x
2y
2
b
(1）若双曲线方程为
2
?
2
?1?
渐近线方程：
2
?
2
?0?
y??x
. < br>ab
a
ab
x
2
y
2
xy
b
(2)若渐近线方程为
y??x
?
??0
?
双曲线可设为
2
?
2
??
.
ab
a
ab
x< br>2
y
2
x
2
y
2
(3)若双曲线与
2
?
2
?1
有公共渐近线，可设为
2
?
2
??
（
??0
，焦点在x
abab
轴上，
??0< br>，焦点在y轴上）.
99. 双曲线的切线方程
xxyy
x
2
y
2
(1)双曲线
2
?< br>2
?1(a?0,b?0)
上一点
P(x
0
,y
0< br>)
处的切线方程是
0
2
?
0
2
?1
.
ab
ab
x
2
y
2
（2）过双曲线< br>2
?
2
?1(a?0,b?0)
外一点
P(x
0,y
0
)
所引两条切线的切点弦方程是
ab
x
0xy
0
y
?
2
?1
.
a
2
b

x
2
y
2
（ 3）双曲线
2
?
2
?1(a?0,b?0)
与直线
Ax?B y?C?0
相切的条件是
ab
A
2
a
2
?B
2
b
2
?c
2
.
100. 抛物线
y
2
?2px
的焦半径公式
p
抛物线
y< br>2
?2px(p?0)
焦半径
CF?x
0
?
. 2
pp
过焦点弦长
CD?x
1
??x
2
??x
1
?x
2
?p
.
22
2
y
?< br>2
101.抛物线
y?2px
上的动点可设为P
(,y
?)
或
P(2pt
2
,2pt)或
P
(x,y)
，其中
2p
y
2
?2px
. b
2
4ac?b
2
102.二次函数
y?ax?bx?c?a( x?)?
（1）顶
(a?0)
的图象是抛物线：
2a4a
b4ac? b
2
b4ac?b
2
?1
,)
；
,)
；点 坐标为
(?
（2）焦点的坐标为
(?
（3）准线方程是
2a4a2a 4a
4ac?b
2
?1
y?
.
4a
2
103.抛物线的内外部
(1)点
P(x
0
,y
0
)
在抛物线
y?2px(p?0)
的内部
?y?2 px(p?0)
.
点
P(x
0
,y
0
)
在抛物线
y
2
?2px(p?0)
的外部
?y
2
? 2px(p?0)
.
(2)点
P(x
0
,y
0
)
在抛物线
y
2
??2px(p?0)
的内部
?y
2
??2px(p?0)
.
点
P(x
0
,y
0)
在抛物线
y??2px(p?0)
的外部
?y??2px(p?0)< br>.
(3)点
P(x
0
,y
0
)
在抛物线< br>x?2py(p?0)
的内部
?x?2py(p?0)
.
点
P(x
0
,y
0
)
在抛物线
x?2py(p?0)
的外部
?x?2py(p?0)
.
(4) 点
P(x
0
, y
0
)
在抛物线
x?2py(p?0)
的内部
?x?2py (p?0)
.
点
P(x
0
,y
0
)
在抛 物线
x??2py(p?0)
的外部
?x??2py(p?0)
.
104. 抛物线的切线方程
(1)抛物线
y?2px
上一点
P( x
0
,y
0
)
处的切线方程是
y
0
y?p (x?x
0
)
.
（2）过抛物线
y?2px
外一点
P(x
0
,y
0
)
所引两条切线的切点弦方程是
y
0
y?p(x?x
0
)
.
（3）抛物线
y ?2px(p?0)
与直线
Ax?By?C?0
相切的条件是
pB?2AC< br>.
105.两个常见的曲线系方程
(1)过曲线
f
1
(x ,y)?0
,
f
2
(x,y)?0
的交点的曲线系方程是
22
22
22
22
22
22
22
2
2f
1
(x,y)?
?
f
2
(x,y)?0
(< br>?
为参数).
x
2
y
2
?
2
?1
,其中
k?max{a
2
,b
2
}
.当(2)共焦 点的有心圆锥曲线系方程
2
a?kb?k
k?min{a
2
,b2
}
时,表示椭圆; 当
min{a
2
,b
2
}?k?max{a
2
,b
2
}
时,表示双曲线.
106.直线与圆锥曲线相交的弦长公式
AB?(x
1
?x
2)
2
?(y
1
?y
2
)
2
或
AB?(1?k
2
)(x
2
?x
1
)
2
?|x
1
?x
2
|1?tan
2
?
?|y
1
?y
2
|1?cot
2
?
（弦端点

A
(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2< br>)
，由方程
?
?
y?kx?b
消去y得到
ax2
?bx?c?0
，
??0
,
?
为直
?
F(x,y)?0
线
AB
的倾斜角，
k
为直线的斜率）.
107.圆锥曲线的两类对称问题
（1）曲线
F(x,y)?0
关于点P(x
0
,y
0
)
成中心对称的曲线是
F(2x
0
-x,2y
0
?y)?0
.
（2）曲线
F(x,y) ?0
关于直线
Ax?By?C?0
成轴对称的曲线是
F(x?
2A(Ax?By?C)2B(Ax?By?C)
,y?)?0
.
2222
A?BA?B
108.“四线”一方程
对于一般的二次曲线
Ax
2
?Bxy?Cy
2
?Dx?Ey?F?0
，用
x
0
x
代
x
2
，用
y
0
y代
y
2
，
用
x
0
y?xy
0
x?xy?y
代
xy
，用
0
代
x
，用
0< br>代
y
即得方程
222
xy?xy
0
x?xy?y< br>Ax
0
x?B?
0
?Cy
0
y?D?
0?E?
0
?F?0
，曲线的切线，切点弦，中点
222
弦，弦中 点方程均是此方程得到.