高中数学必修五《不等式》教材分析

《不等式》教材分析
一、 教材的地位：客观世界中存在着相等和不相等的数量关系， 反映
在教学中，可归纳为等式和不等式问题。而不等式在解决许多实
际问题中有广泛的应用：对 中学数学而言，在比较两个量的大小
以及数、式、方程和函数的研究中，都要用到不等式的知识。因此，不等式是进一步学习数学知识必不可少的工具。
二、 课程目标：
1 知识与技能：
（1）掌握不等式的基本性质及常用的证明方法；
（2） 熟练掌握两个基本不等式，并能用来解决一些简单的实际问题；
（3）掌握不等式的解法，重点是一元二次不等式。
2 过程与方法：
(1) 在证明不等式性质的过程中渗透构造法和放缩法等数学思想方法
(2) 用“类比”、“猜想”、“判 断——论证”进行发现法教学，培养学生
探究性学习思维和创造性思维的能力；
(3) 在探究不等式解法的过程中，体会不等式、方程与函数的联系。
3 情感与价值观：解决实际问题时，理解不等式（组）对于刻画不等关
系的意义和价值。
三、 教材分析及处理：
(一）不等式的基本性质及证明：
1 不等式的基本原理：根据两个实数 之差的符号来判断两个实数的大小

关系是两个实数比较大小的基本方法，也是本章的出发 点。在教学过程
中要根据学生情况适当补充例题，使学生理解利用因式分解或配方法进
行变形、 然后确定差的符号的方法。
2 不等式的基本性质及证明：
（1） 通过不等式的3条基本 性质的证明，可进一步看到基本原理的应用。
在证明不等式的基本性质的过程中，必须注意推理的严密性 。另外，
不等式的性质可用来作为证明其他不等式的依据。
（2）性质1、性质2及性质4的 证明过程中，渗透着构造法和放缩法等
数学思想方法，在教学过程中要注意引导，培养学生的思维能力。
（3）学生易把不等式的性质3及异向不等式相减的性质与等式性质混淆，
教学过程中要反复强 调它们的不同之处；学生也易忽视正数的同向
不等式相乘的性质及同号两数的倒数的性质成立的条件，要 反复提
醒。
（4）例5是证不等式的开方性质，从已知条件很难入手，在复习命题知
识的基础上，积极引导学生逆向思考，最后引出反证法；要控制难
度，不要再补充其它题目。
（5）为深入理解性质2可设计以下提问：
提问1：如果a＞b,c＞d，那么a+c＞b+d成立吗？ 如果把上述结论改为
a+d＞b+c成立吗？为什么？
提问2：如果a＞b,c＞d，那么a -c＞b-d成立吗？为什么？如何修改上述
的条件，使结论a-c＞b-d成立？
为深入理解性质3可设计以下提问：

提问1：如果a＞b,那么
ac
2
＞
bc
2
一定成立吗？为什么？
提问2：如果a＞b,c＞d，那么ac＞bd一定成立吗？为什么？
1
b
11
提问4：如果0＞a＞b,那么＜一定成立吗？为什么？如何修改上述的
ab
11
条件，使结论＜成立？
ab
提问3：如果a＞b,那么＜一定成立吗？为什么？ < br>1
a
这样设计提问，不仅复习了第一章中的命题和推出关系，更重要的
是用“类 比”、“猜想”、“判断——论证”进行发现法教学，培养学生探
究性学习思维和创造性思维。
（二）基本不等式：
1 在两个基本不等式中，要注意：
（1） 实数a、b的取值范围是不同的，教学过程中要特别强调；
（2） 两个基本不等式中等号成立的充要条件是a=b,要引起足够重视。
2注意不等式的综合使用和逆向使用，可得到以下重要结论：
11a?ba
2
?b
2
如果
a,b?R,那么??ab?
,当且仅当a=b时等号成立
?
ab22
?
3 两个基本不等式都有广泛的应用。如可用基本不等式证明不 等式，求
函数的值域，特别是求函数的最值——满足三个条件：一正、二定、三
等号。教学过程 中要控制题目的难度。
4 重视代换思想在数学中的应用：如对
t?R,有t
2
?0，
若以a-b代t， 则得
a?b
?ab（a，b?R
?
）
若
2
ba1< br>再以适当的正数代换a、b，则得
??
2(
a
,
b?R
?
)
，
?x?
2(
x?R
?
)
。 abx
(a?b)
2
?0,于是a
2
?b
2
? 2ab;又若以a代a，b代b，则得
(三)不等式的解法：

1 一元二次不等式的解法：
（1） 通过由汽车刹车距离推算车速的实际问题引入一元二次不等式，说< br>明一元二次不等式在实际中有重要的应用，并且可对学生进行安全
教育。
（2） 注意 数形结合的教学。解一元二次不等式就是借助于二次函数的图
象，抓住①抛物线的开口方向②抛物线y?ax
2
?bx?c
与x轴的交点，
从而确定不等式的解集。同时运用 二次函数图象的直观性帮助学生
记忆。
（3） 要重视△＜0时解集为R的逆向运用，培养学生逆向思维能力；
（4） 区间是特殊数集的表示方式，要求学生能正确、熟练地使用区间表
示不等式的解集。
（5） 例题3是开放性题目，答案不唯一，这类题目要引起重视，它有利
于培养学生的逆向思维能力和创造性思 维能力。
（6） 安排解不等式的实际应用问题，培养学生解决问题的能力，这是数
学教学的导向，必须加以重视。
2分式不等式的解法：
（1） 解分式不等式的主要依据是不等式的性质，一般是先移项、化简，
然后用数轴标根法求解。
（2） 解分式不等式时，切记随意去分母。
3 简单的绝对值不等式的解法：
（1） 解简单的绝对值不等式，一般是根据绝对值的意义，作分类讨论或
平方，设法去掉绝对 值的符号，转化为一元一次不等式（组）或一

元二次不等式（组）求解。注意培养学生的 转化思想和分类讨论思
想。
（2） 单的绝对值不等式的基本类型如教材中的例题所示，解题 后可作适
当的归纳，使学生掌握基本解法。但要控制题目的难度。
（四）了解不等式的基本证法：
1 比较法，是证明不等式的基本方法之一，有作差比较法和作商比较法
两种。
2 综合法：从已 知条件出发，以定理、运算性质、不等式的基本性质、
基本不等式等为依据。推导求得要证的结论。
3 分析法：从要求证的式子出发，经过适当的变形，分析得出要证的结
论成立的条件，并判断 这些条件都是成立的，从而得出原结论成立。一
般来说，分析法的证明过程就是步步寻找前面不等式成立 的充分条件的
过程。