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“牛顿―莱布尼茨公式及其证明”基于微视频的教学设计-最新文档

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-20 00:30
tags:高中数学教学视频下载

高中数学单元训练必修5-高中数学概率大题高考

2020年9月20日发(作者:支秉彝)


“牛顿―莱布尼茨公式及其证明”基于微视频的教学
设计

一、绪 论
互联网的快速发展特别是移动互联网技术的发展无时无刻不影
响我们的生活方式、生 活习惯、思维方式等方方面面.在教育方面,
对教育理念、教学方法、教学模式等的影响巨大,由教育部 教育管理
信息中心、和北京师范大学联合发布的《2015中国互联网学习白皮
书》的结果显示 ,互联网教育产品用户主要集中在19至24岁、25
至34岁两个年龄段.19至24岁阶段多是大学 生,从中可以看出我们
的高等教育必须适应互联网的发展和学生的行为习惯,利用互联网和
科技 带来的效率优势,提高学生的学习效率[1].
高等数学是大学教育中的一门基础学科,是绝大 多数大学生必须
掌握的一门基础课,是学生综合素质的重要组成部分.高等数学有其
固有的特点 :高度的抽象性、严密的逻辑性和广泛的应用性.抽象性
和计算性是数学最基本、最显著的特点,有了高 度抽象和统一,我们
才能深入地揭示其本质规律,才能使之得到更广泛的应用.严密的逻
辑性是 指在数学理论的归纳和整理中,无论是概念的表述,还是判断
和推理,都要运用逻辑的规则,遵循思维的 规律.所以说,数学也是
一种思想方法,学习数学的过程就是思维训练的过程[2].因此,在教
学中,如何让学生在掌握知识和计算的过程中,更好地体会数学思想
方法,从而提高他们的综合能力, 对于高等数学的教育是一个很值得


思考的问题,这需要我们在教学设计上下功夫,利用科 技,特别是信
息技术,把高度抽象的数学理论以比较“形象化”的技术手段进行展
示,在此过程 中把数学思想和方法展示给学生.同时,注意到当代大
学生的学情特点,他们思维活跃,但是有时思维方 式比较形象化,对
抽象的事物掌握规律比较困难;特别喜欢移动互联网,甚至一天不用
手机,他 们已经不能忍受;他们对新鲜的事物抱有足够的好奇.
综合学情和已有的技术储备,利用微课和 翻转课堂的教学理念和
模式,我们可以在某种程度上利用信息技术合理设计教学视频,把高
等数 学教学中抽象概念包含的数序思想更好地展示出来,从而提高学
生们学习高等数学的兴趣,激发他们学习 的动力.
我们以高等数学中“牛顿-莱布尼茨公式及其证明”这一小节以
微视频来进行 教学设计,让学生体会动态的微积分的定义、变上限积
分的定义、牛顿-莱布尼茨公式的证明.从中体会 “以直代曲”的线性
化方法、数形结合方法.进而更好地理解不定积分和定积分之间的联
系.
二、基于微?频的教学设计
微视频通常值指的是时长不超过20分钟的视频短片, 特别适合
在移动互联网上播放和传播.本小节的教学设计要利用MATLAB计算
软件、几何画 板软件来制作微视频.具体教学设计如下:
牛顿-莱布尼茨公式及其证明教学设计方案
使用的教材为同济的《高等数学》上册,第六版.
一、教材的地位与作用


牛顿-莱布尼茨公式不仅为定积分计算提供一个有效地方法,而
且在理论上 把定积分与不定积分联系起来,是微积分学中最重要的公
式.
二、学生知识结构分析
在牛顿-莱布尼茨公式学习以前,学生已经学习了导数、微分、
原函数、不定积分、定积分 的概念和性质的相关知识.
二、教学目标
1.知识与技能:熟练掌握牛顿- 莱布尼茨公式,培养学生观察、
分析、抽象、概括的能力,体会知识间的联系.
2.过 程与方法:根据大学生的心理素质,利用启发式教学,始终
从问题出发,层层设疑,引导学生在不断思考 中获取知识.
3.情感与态度:提高观察、分析、抽象、概括的能力,体会数学
解决问 题的方法和过程,进一步渗透类比、转化的思维方法,激发学
习兴趣.
三、教学重点
掌握牛顿-莱布尼茨公式.
四、教学难点
理解牛顿- 莱布尼茨公式的证明过程,体会其背后的数学思想和
方法.
五、教学过程
1.复习旧知识,以微积分的定义的动态视频展示引入课题――创
设情境.


首先,利用Matlab软件设计一个程序完成对定积分定义的动态
展示,即定积分中的分割- 近似求和-取极限的过程动态地展示出来.
以在区间[0,1]上的定积分为例,把每一次分割所对应的 所有的小矩
形的图形通过Matlab画出来,然后拼接成动画,做成视频[3].实现
上述过 程,中间过程的一个静态展示如下:
随着分割的加细,所有小矩形的图形逐渐稳定,即它们的面 积和
趋向稳定,这个极限值就是在区间[0,1]上的定积分.
定积分定义的动态视频 展示,可以让学生更好地理解定积分的思
想.同时,体会到按照定义来求解定积分是不容易的,即使是非 常简
单的函数.从而引出牛顿- 来不尼茨公式――高效的计算定积分的方
法,且使得定积分成为一种科学的方法.
2.得到猜想――验证猜想
我们要利用数学常用的解决问题的方法:猜测结论――验证结
论,得到一般的规律[4].利用这种方式给出牛顿莱布尼茨公式.
通过上述视频的动态演示,当把[0,1]区间分割成500份,最终
的图形如下:
如 何证明该猜想是一个难点,我们采用数形结合,并利用几何画
板把它用微视频的方式展示出来,同时也把 变上限积分的几何意义展
示出来.具体做法如下: 初始画面如下,揭示定积分的几何意
义为曲边梯形的面积.从而只需证明阴影部分的面积和红色线段长度
相等.
这需要一 个桥梁和工具:变上限积分.因此要让阴影部分动起来.


视频的中间一个过程如下图.
随着点向左端点运动阴影部分的面积不断变小,通过该过程让学
生体会变上限积分函数的特 点.接着要把变上限积分函数的图像在坐
标系中画出来,且曲线的出现的过程与阴影部分的面积的变化过 程同
步.视频的一个中间的静态展示如下图.
从而使得定积分的值――曲边梯形的面积 转化为变上限积分函
数在区间上的增量.再通过比较图像的位置关系,我们可以得到阴影
部分的 面积在区间上的增量等于线段长度在区间上的增量.通过移动
曲线即可得到,移动的过程的一个静态展示 如下图.
3.得到定理――总结反思,提炼精华
完成定理证明后,加以练习,并对数学思想方法进行总结,让同
学们体会:
(1)定积分的定义
分割-近似求和-取极限的思想,以及以直代曲思想.
(2)数学解决问题的一般途径
合理的猜测后进行严格的论证从而得到一般的规律是数学解决< br>问题的常用方法.清晰的直觉和严谨的逻辑同样重要.
(3)数形结合的思想
定积分的几何意义和变上限积分函数的图形展示.
(4)不定积分和定积分之间的关系:牛顿-莱布尼茨公式给出了
求函数定积分的一般方法,把求定积分 的问题转化为求被积函数原函
数的问题,这就使得作为积分和数列的极限的定积分与作为微分逆运


算的不定积分紧密地联系在一起,正是这样的联系才使得微积分有非
常广泛的理论和应 用价值[4].
六、教学方式
采用学生事先预习,?n堂上与学生共同讨论的方式来进行教学,
多媒体、板书等相结合.
三、总 结
随着互联网开放教育的深入发展,年青一代学生对互联网的依赖
及他们的行 为方式的改变,我们需要利用各种信息技术把数学中的概
念形象地展示出来.专业的数学软件和课件制作 软件是我们必须灵活
利用的,如Matlab、几何画板等.并制作成视频,放在网上或者发给
学生,充分利用微视频的优点和学生的行为习惯,帮助学生自学、预
习、复习,提高他们的学习效率,让 他们感觉到学习数学是轻松的,
且有成就感.从而激发他们学习数学的动力.
我们以“牛顿-莱布尼茨公式及其证明”这一教学内容为例,把
通过Matlab和几何画板软件设计的 动画视频作为教学设计的中间环
节.通过这样的设计把比较抽象的概念,通过数形结合动态地展示出来.有助于学生理解公式背后的数学思想和方法,有助于培养学生综
合数学修养.

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