2011年全国高中数学联赛模拟题2一试以及答案

全国高中数学联赛模拟题2

一 试

一、填空题（本题满分64分，每小题8分）
1. 已知
a??2
，且A?x?2?x?a
??
，
B?
?
yy?2x?3,x?A?
，
C?
?
tt?x,x?A
?
，
2
若
C?B
，则a的取值范围是 。
2. 在
?ABC中，若
AB?2
，
AC?3
，
BC?4
，
O< br>为
?ABC
的内心，且
AO?
?
AB?
?
B
，则
C
?
?
?
?
.
?x
?
?
2?1,
?
x?0
?
,
3. 已知函数
f
?
x
?
?
?
若关于x的方程
f
?
x
?
?x?a
有且只有两个不相等
?
?
f
?
x?1
?
,
?
x?0
?
,
的 实数根，则实数a的取值范围是 。
4. 计算器上有一个特殊的按键，在计算器上显 示正整数n时按下这个按键，会等可能的将
其替换为0~n?1中的任意一个数。如果初始时显示201 1，反复按这个按键使得最终显示0，
那么这个过程中，9、99、999都出现的概率是 。
x
2
y
2
5. 已知椭圆
??1
的左、右焦点 分别为F
1
、F
2
，过椭圆的右焦点作一条直线l交椭圆
43
于点P、Q，则△F
1
PQ内切圆面积的最大值是 ．
6. 设
?
a
n
?
为一个整数数列，并且满足：
?
n?1
?
a
n?1
?
?
n?1
?
a
n< br>?2
?
n?1
?
，
n?N
?
．若
2 008a
2007
，则满足
2008a
n
且
n?2
的最小正整数n是 ．
7. 如图，有一个半径为20的实心球，以某条直径为中 心轴挖去
一个半径为12的圆形的洞，再将余下部分融铸成一个新的实心
球，那么新球的半径是 。
8. 在平面直角坐标系内，将适合
x?y,x?3,y?3,
且使关于t
的方程
(x?y)t?(3x?y)t?
3342
1
?0
没有实数 根的点
x?y
(x,y)
所成的集合记为N，则由点集N所成区域的面积为 。

二、解答题（本题满分56分）
9. （本小题满分16分）对正整数
n?2
，记
a
n
?







n1

?
?
n?k
2
k?1
，求数列
?
a
n
?中的最大值．
k?1
n?1
x
2
y
2
10.（ 本小题满分20分）已知椭圆
2
?
2
?1
过定点A（1，0）， 且焦点在x轴上，椭
ab
圆与曲线
y?x
的交点为B、C。现有以A为焦点， 过B，C且开口向左的抛物线，其顶点
坐标为M（m，0），当椭圆的离心率满足






11.（本小题满分20分）映射f的定义域是
A ?
?
1,2,
2
?e
2
?1
时，求实数m的取值范围。
3
,20
?
的全体真子集，值域包含于
?
1,2,












,10
?
，满足条件：对任意
B,C?A
，都有
f
?
BC
?
?min
?
f
?
B
?
,f
?
C
?
?
，求这
种映射的个数．