高中数学必修一《函数的单调性》说课稿

函数的单调性说课稿
各位评委：大家好，我是来，今天我说课的题目是函数 的单调性，本节课选自江苏教育出版社
高中课程标准实验教科书（必修1）第二章《函数概念和基本初等 函数Ⅰ》§2.1.3函数简单性质的
第一课时。下面我将从以下几个方面进行阐述：
首先，我对本节教材进行简要分析。
一、说教材
1、教材的地位和作用：
从单调性知识本身来讲。学生对于函数单调性的学习共分为三个阶段，第一阶段是在初中学习
了一次函 数、二次函数、反比例函数图像的基础上对增减性有一个初步的感性认识；第二阶段是本
节学习函数单调 性的严格定义，从数和形两个方面理解单调性的概念；第三阶段则是在高三利用导
数工具研究函数的单调 性。本节内容既是初中学习的延续和深化，又为高三的学习奠定基础，有着
承上启下的作用．
从函数角度来讲。在单调性的学习中，学生要经历直观感受图像、用文字描述定义和用数学符
号语言严格 定义的过程，这些为学生进一步学习函数的其它性质提供了方法参考。
从学科角度来讲。函数的单调性 是理解导数的几何意义、解决优化问题等其它数学知识的重要
基础，是解决数学问题的常用工具，也是培 养学生逻辑推理能力和渗透数形结合思想的重要素材，
所以本节内容的重要性是不言而喻的。
2、说教学的重点和难点
我认为对于函数的单调性，学生的认知困难主要有:概念要求用准确 的数学符号语言去刻画图
像的“上升”与“下降”，这种由形到数、从直观到抽象的过渡对高一学生来说 比较困难。此外，
单调性的证明是学生在函数学习中首次接触到代数论证内容，而且学生在代数方面的推 理论证能力
是比较薄弱的。
根据以上的分析和教学大纲要求，我认为本节课的教学重点是函 数单调性的概念、判断和证明；
而如何引导学生归纳并抽象出函数单调性的定义以及如何根据定义证明函 数的单调性是本节课的难
点。
二、说目标
基于以上对教材的认识，根据新课程标准 的基本理念，考虑到学生已有的认知结构和心理特征。
制定如下教学目标：
⑴知识与技能：让 学生从形与数两方面理解函数单调性的概念，初步掌握利用函数图像和单调性定

义判断、证明函数单调性的方法．。
⑵过程与方法：通过对函数单调性定义的探究，渗透数形 结合数学思想方法，培养学生观察、归纳、
抽象概括的能力；通过对函数单调性的证明，提高学生的推理 论证能力．
⑶情感态度价值观：在知识的探究过程中培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思 维习惯；
让学生经历从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程．
为了突出重点，突破难点，抓住关键，达成目标，我再从教法上谈谈我的设计思路。
三、说教法：
1．教学方法
根据教学内容、教学目标和学生的认知水平，主要采取 教师启发讲授，学生探究学习的教学方
法。在教学过程中，根据教材提供的线索，安排适当的教学情境， 让学生经历数学概念抽象的各个
阶段，通过问题串的设置引导学生积极主动地思维，深入探究，形成概念 ，获得方法，培养能力。
2．教学手段
教学中使用了多媒体投影和计算机来辅助教学．目的 是充分发挥其快捷、生动、形象的特点，
为学生提供直观感性的材料，有助于学生对问题的理解和认识．
下面我具体谈一谈本节课的教学过程
四、说教学过程：
教学
教学过程
环节
问题：下图为北京市一天内的气温变化图，请说出气温在这一天内的变化
情况．
1、创
设情



行为学习理论
者强调环境对学习
产生的影响。当学
习者对某种特殊的
刺激做出反应时，
就产生了“学习”。
依据教材知
识，渗透新课标理
念，通过与实际问
题的联系，揭示我
们 研究此节内容的
现实意义，目的引
设计意图
境，引
入课


用电脑

展示）






题（利

学生独立思考，教师提问引导学生作答。
发学生学习兴趣，
有利于学生学习动
力的产生。

2、归
纳探
①借助图像，直观感知
问题：请画出函数
y?x和y? x
的图像并指出图像从左到右在哪个区间
是上升的，在哪个区间上是下降的？
yy
从认知规律上
2
讲，人们对事物的
认识必须要借助已
有经验， 在已有经
索，形
成
念
概
5
4
3
5
4
3
2
x
F
验上进行目标化的
f
(
x< br>) =
x
2
整理才能获得阶段
性的认识，如果不
重视学生的已有经

–3–2–1
2
1
o
f
(
x
) = x
1
o
1234
–1
–2
–3–2–1123
x
–1

验，必然导致概念
理解得不深刻，本
环节从学生 的已有
学生通过小组讨论得到：函数
y?x
的图像在区间
(??,??)上是上升的，
函数
y?x
在区间
(??,0)
上是下降的，在区 间
(0,??)
上是上升的。教师
借机给出函数单调性的描述性定义：如果函数
f(x)
在区间上I的图像是
上升的，则称函数在区间I上单调递增。
2
认知即学生熟悉的
函数图像出发，直
观感知函数的单调
性，完成对函数单
调性 定义的第一次
认识。

②探究规律，理性认识
问题1：你能用同样的方法 说说函数
f(x)?x
在区间
(??,??)
上的增减
性吗？

建构学习理论认为：真正的建构学习是一种主动的学习。首先要关注为什
么要学习新 知识这一心理原点问题，也就是必须解决为什么要发展原知识
结构，接纳新知识。
3
由于以学生现
有的知识并不能画
出函数图像，从而
引发学生思考：在
不知道函 数图像的
情况下如何来判断
函数的单调性？引
起学生的认知冲
突，让学生体会 到

用数量大小关系来
严格表述函数单调
性的必要性．


问题2：你能用数学语言把上面两个函数图像“上升”或“下降”的特征
如何让学生对
描述出来吗？
函数单调性的理解
y
y
5
动画 点A
5
实现从“形”到“数”
动画点B
B
x
= 0.50
y
= 0.50
–3–2–1
4
3
2
1
o
A
X
= 2.0
f
(
x
) = x
1234
x
4
3
2
1
的完美过渡，是一个难点，本环节充
分借助几何画板工
f
(
x
) =
x
2
Y
= 4.00
–3–2–1
–1
–2o
123
x
具的形象性和动态

性，使得这个问题
变得 非常的形象、
直观。从而完成学
生对概念的第二次
认识．

–1< br>学生小组讨论，教师适时的运用几何画板演示动画，引导学生得出：函数
y?x
在区间< br>(??,??)
上随着
x
的增大，
y
的值相应的增大。同时进 一步
给出函数单调性的描述性的定义：数学上，我们把
y
的值随着
x
的增大而
增大，称为增函数，
y
的值随着
x
的增大而减小，称为减函 数。


③抽象思维，形成概念
问题：你能用准确的数学符号语言表述出增函数的定义吗?
本环节在前面
当< br>x
1
<
x
2
时，都有
y
1
?y2

研究的基础上，引
y
的值随着
x
的增大而增大即任 取两个值
x
1
,x
2
，
当
x
1
<
x
2
时，都有
y
1
?y
2

y< br>的值随着
x
的增大而减小即任取两个值
x
1
,x
2< br>，
学生归纳，教师板书，得出增函数的严格定义，然后类比得出减函数的定
定义，使学生 经历
义．
从特殊到一般、具
板书定义：
体到抽象的认知
一般的， 设函数
y?f(x)
的定义域为A，区间
I?A
。
如果对于区间I 内某个区间内的任意两个值
x
1
,x
2
，当
x
1< br><
x
2
时，都有
过程，完成对概念
的第三次认识。

导学生归纳、抽象
出函数单调性的
f(x
1
)?f(x
2< br>)
，

那么就说
y?f(x)
在这个区间I上是单调增函数；
如果对于区间I内某 个区间内的任意两个值
x
1
,x
2
，当
x
1
<
x
2
时，都有
f(x
1
)?f(x
2
)

那么就说
y?f(x)
在这个区间I上是单调减函数；
I称为
y?f(x)
的单调减区间。
图像表示：
y
y< br>f(x2)
f(x1)
f(x1)
f(x2)
增函数
减函数< br>a
x
1
x
2
b
x
a
x
1< br>x
2
b
x

让学生在认
知冲突中透过现
象探 索潜藏的数
学内涵，通过正、
反例的教学，加深
判断下列说法是否正确 （选自课本P37练习第7题）
①定义在R上的函数
f(x)
满足
f(?1 )?f(2)
，则函数
f(x)
是R上
的单调增函数．
②定义在R 上的函数
f(x)
满足
f(?1)?f(2)
，则函数
f(x)在R上
3、
正误
不是单调减函数．
③定义在R上的函数
f(x )
在
?
??,0
?
上是增函数，在
?
0,???
上也是
增函数，则函数是R上的增函数。
④定义在R上的函数
f(x )
在
?
??,0
?
上是增函数，在
?
0,???
上也是
增函数，则函数是R上的增函数。
通过判断题，明确四点：
①单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应区间就
谈不上单调性．
②对于某个具体函数的单调区间，可以是整个定义域(如一次函数)，
可以是定义域内某个区间(如二次 函数)，也可以根本不单调(如常函数)．
学生对定义中的
取值的任意性、有
大小、 同一区间的
理解，完成对概念
的升华。








辨析，
深入
理解

③单调性是对定义域的某个区间上的整体性质，不能用特殊值来说明
问题。
④函数在 定义域内的两个区间
A
，
B
上都是增（或减）函数，一般不能
认为函 数在
A?B
上是增（或减）函数．如图1所示
y


说明 ：要说明
一个命题是正确
的，必须给出完整
的证明。说明一个
命题是错误的， 只
需举一个反例即
4
3
2
1
–2–1
o
1 234
x
可。


–1
–2
图1 图2
思考：⑴如何说明一个函数在某个区间上不是单调函数?
⑵函数图像如图2所示，函数在定义域内是单调增函数吗？
例1 画出函数
f(x)?
1
的图像并写出它的单调区间。
x
y
3
2
1
f
(
x
) = 1
例1利用函数的
图像判断函数
的单调性和单
x
34
x


4、分
析范
–3–2–1
o
12
–1
–2
–3
调区间，即图像
法. 例2从“数”
的角度证明单

调性，使学生认
识到“形”可帮
助我们探索解
题思路，而定义
是最终 解决问
题的基础．
例，形
成体
系

思考：函数在区间< br>(??,0)
例2求证：函数
f(x)?
(0,??)
上是递减函数吗 ？
1
在区间上
(??,0)
是单调减函数．
x
①分析解决问题 紧扣单调性的定义，组织学生讨论、交流．
证明：设
x
1
,x
2
为区间
(??,0)
内的任意两个值，
且
x
1
?x
2
， 设元
则
x
2
?x
1
?0
，
x
1
x
2
?0
，
因为
f(x
1
)?f(x
2
)
=

x?x
11
??
21

作差
x
1
x
2
x
1< br>x
2

所以
f(x
1
)?f(x
2
)
?0
即
f(x
1
)?f(x
2
)
断号
∴函数
f(x)?
1
在
(??,0)
是单调减函数。 定论
x
②归纳解题步骤
引导学生归纳证明函数单调性的步骤：设元、作差、断号、定论．
课堂练习：求证：函数
f(x)?x
在
(??,??)
上是增函数．
3
①学习小结
在知识层面上，引导学生回顾函数单调性定义的探究过程，使学生对< br>单调性概念的发生与发展过程有清晰的认识，体会到数学概念形成的主要
三个阶段：直观感受、文 字描述和严格定义。
5、归纳
小结，
提高认
识
在方法层面上，首 先引导学生回顾判断、证明函数单调性的方法和步
骤；然后引导学生回顾知识探究过程中用到的思想方法 和思维方法，如数
形结合、等价转化、类比等，重点强调用符号语言来刻画图形语言，用定
量分 析来解释定性结果；同时对学习过程作必要的反思，为后续的学习做
好铺垫。
②布置作业
必做：习题2.1(3)：第1、5题
本阶段由学生
自主完成，若不完
整教 师补充，再一
次培养学生的归
纳、概括的能力。

针对学生个体
的 差异设置分层
练习。既注重课内
基础知识掌握，又
兼顾了有余力的

学生的能力的提
1
选做：研究
y
?
x
?(x?0)
的单调性，并给出严格证明，你能求
x
高。
出该函数的值域吗？

五、说教学评价

本节课在概念教学上进行了一些尝试。在教学过程中，我努力创设 一个探索数学的学习环境，
通过设计一系列问题， 使学生在探究问题的过程中，亲身经历数学概念的发 生与发展过程，从而逐
步把握概念的实质内涵，深入理解概念。培养了学生积极思考、自主探索和合作交 流的能力；渗透
了数形结合的数学思想。
在知识的探究过程有利于学生养成细心观察、认真分 析、严谨论证的良好思维习惯；在小组讨
论的过程中学生能形成合作学习、团队协作的能力。