高中数学人教版选修1-1-1.2.1充分条件和必要条件-教案(系列二)说课讲解

高中数学人教版选修
1-1-1.2.1充分条件
和必要条件- 教案(系
列二)

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1.2充分条件与必要条件
一：教法分析
●三维目标
1.知识与技能
(1)正确理解充分条件、必要条件、充要条件三个概念；
(2)能利用充分条件、必要条件、充要条件三个概念，熟练判断四种命题间的关系；
(3)在理解定义的基础上，可以自觉地对定义进行转化，转化成推理关系及集合的包含
关系．
2．过程与方法
(1)培养学生的观察与类比能力：“会观察”，通过大量的问题，会观察其共性及个性；
( 2)培养学生的归纳能力：“敢归纳”，敢于对一些事例，观察后进行归纳，总结出一般
规律；
(3)培养学生的建构能力：“善建构”，通过反复的观察分析和类比，对归纳出的结论，
建构于自己 的知识体系中．
3．情感、态度与价值观
(1)通过以学生为主体的教学方法，让学生自己构造数学命题，发展体验获取知识的感
受；
(2)通过对命题的四种形式及充分条件、必要条件的相对性，培养同学们的辩证唯物主
义观点 ；
(3)通过“会观察”，“敢归纳”，“善建构”，培养学生自主学习，勇于创新，多方位审视问题的创造技巧，敢于把错误的思维过程及弱点暴露出来，并在问题面前表现出浓厚的兴
趣和不畏困 难、勇于进取的精神．
●重点难点
重点：充分条件、必要条件和充要条件三个概念的定义．
难点：必要条件的定义、充要条件的充分必要性．
重难点突破的关键：找出题目中的p、q， 判断p?q是否成立，同时还需判断q?p是
否成立，再弄清是问“p是q的什么条件”，还是问“q是 p的什么条件”．
二：方案设计
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●教学建议
基于教材内容和学生的年龄特征，根据“开 放式”、“启发式”教学模式和新课程改革的
理论认识，结合学生实际，主要突出以下几个方面：(1) 创设与生活实践相结合的问题情
景，在加强数学教学的实践性的同时充分调动学生求知欲，并以此来激发 学生的探究心
理．(2)教学方法上采用了“合作——探索”的教学模式，使课堂教学体现“参与式”、 “生活
化”、“探索性”，保证学生对数学知识的主动获取，以求获得最佳效果．(3)注重渗透数学思
考方法(联想法、类比法、归纳总结等一般科学方法)，让学生在探索学习知识的过程中，
领会 常见数学思想方法，培养学生的探索能力和创造性素质．(4)注意在探究问题时留给学
生充分的时间， 以利于开放学生的思维．
指导学生掌握“观察——猜想——归纳——应用”这一思维方法，采取个人、 小组、集
体等多种解难释疑的尝试活动，将自己所学知识应用于对命题结构的探究．让学生在问题
情景中学习，观察，类比，思考，探究，概括，动手尝试相结合，体现学生的主体地位，
增强学生由特 殊到一般的数学思维能力，形成实事求是的科学态度，增强锲而不舍的求学
精神．
●教学流程
创设问题情境，通过对生活中的实际问题引出：真假命题中条件与结论有何关系？
?
?
?
通过例1及其变式训练，使学生掌握如何判断p是q的什么条件的方法，加深对概念的理解.
?
?
?
通过例2及其变式训练，使学生掌握充分、必要条件的应用，进一步巩 固概念.
分析充要条件的特点，完成例3及其变式训练，从而解决充要条件的证明问题.
归纳整 理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.
引导学生通过对比、分析以上问题的答案，引出充分条件 、必要条件的概念.
通过引导学生回答所提问题，得出四种条件的概念及判断方法.
?完成当堂 双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.
三、自主导学
课
标
1.理解充分、必要、充要条件的意义．(重点)
2.能熟练判断条件与结论之间的充分(必要、充要)性．(重点、难点)
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解
读


【问题导思】
观察下面四个电路图，开关A闭合作为命题的条件p，灯泡B亮作为命题的结论q.
充分条件、必要条件与充要条件

1．在上面四个电路中，你能说出p，q之间的推出关系吗？
【提示】 ①开关A闭合，灯泡B一定亮，灯泡B亮，开
关A不一定闭合，即p?q，qD
开关A必须闭 合，即pD
p；②开关A闭合，灯泡B不一定亮，灯泡B亮，
q，q?p；③开关A闭合，灯泡 B亮，反之灯泡B亮，开关A
一定闭合，即p?q；④开关A闭合与否，不影响灯泡B，反之，灯泡B亮 与否，与开关A
无关，即pDq，且qDp.
2．电路图③中开关A闭合，灯泡B亮；反之灯 泡B亮，开关A一定闭合，两者的关
系应如何表述？
【提示】 p?q.
1．充分条件与必要条件
命题真假
推出关系
条件关系
“若p，则q”是真命题
p?q
p是q的充分条件
q是p的必要条件
“若p，则q”是假命题
p q
p不是q的充分条件
q不是p的必要条件

2.充要条件的概念
一般地，如果既有p?q，又 有q?p，就记作p?q.此时，我们说p是q的充分必要条
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件，简称充要条件．
概括地说，如果p?q，那么p与q互为充要条件.
四、互动探究

充分条件、必要条件、充要条件的判断
例1 (1)已知实系数一元二次方程ax
2
＋bx＋c＝0(a≠0)，下列结论正确的是( )
①Δ＝b
2
－4ac≥0是这个方程有实根的充要条件；
②Δ＝b
2
－4ac＝0是这个方程有实根的充分条件；
③Δ＝b
2
－4ac＞0是这个方程有实根的必要条件；
④Δ＝b
2
－4ac＜0是这个方程没有实根的充要条件．
A．③④
C．①②③ D．①②④
B．②③
(2)若p：(x－1)(x＋2)≤0，q：x＜2，则p是q的( )
A．充分不必要条件
C．充要条件
B．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
【思路探究】 (1)Δ＝b
2
－4ac与方程 有何关系？当Δ＝0，Δ＞0或Δ＜0时，一元二次
方程的根的情况如何？
(2)不等式(x－1)(x＋2)≤0的解集是什么？p、q有怎样的关系？
【自主解答】 (1)①对，Δ≥0?方程ax
2
＋bx＋c＝0有实根；
②对，Δ＝0?方程ax
2
＋bx＋c＝0有实根；
③错，Δ＞0?方程a x
2
＋bx＋c＝0有实根，但ax
2
＋bx＋c＝0有实根D
④对 ，Δ＜0?方程ax
2
＋bx＋c＝0无实根．故选D.
(2)p：－2≤x≤1，q：x＜2，显然p?q，但qD
【答案】 (1)D (2)A
（一）规律方法
1．判断p是q的什么条件，主要判断p?q，及q?p两命题的正确性，若 p?q真，则
p是q成立的充分条件；若q?p真，则p是q成立的必要条件．要否定p与q不能相互推
出时，可以举出一个反例进行否定．
2．判定方法常用以下几种：
(1)定义法：借助“?”号，可记为：箭头所指为必要，箭尾跟着充分．
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Δ＞0；
p，即p是q的充分不必要条件．

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(2)集合法：将命题 p、q分别看做集合A，B，当A?B时，p是q的充分条件，q是p
的必要条件，即p?q，可以用“ 小范围推出大范围”来记忆；当A＝B时，p、q互为充要条
件．
（二）变式训练
已知如下三个命题中：
①(2013·福州高二检测)若a∈R，则“a＝2”是“(a－1 )(a－2)＝0”的充分不必要条件；
②(2013·临沂高二检测)对于实数a，b，c，“a> b”是“ac
2
>bc
2
”的充分不必要条件；
③直线l
1
：ax＋y＝3，l
2
：x＋by－c＝0.
则“ab＝1”是“l
1
∥l
2
”的必要不充分条件；
④“m＜－2或m＞6”是“y＝x
2
＋mx＋m＋3有两个不同零点”的充要条件．
正确的结论是________．
【解析】 ①中，当a＝2时，有(a－1)(a－2)＝ 0；但当(a－1)(a－2)＝0时，a＝1或a
＝2，不一定有a＝2.
∴“a＝2”是“(a－1)(a－2)＝0”的充分不必要条件，①正确．
②∵a>bDa c
2
>bc
2
(c＝0)，但ac
2
>bc
2?a>b.
∴“a>b”是“ac
2
>bc
2
”必要不充分条件，②错． a1
③中，ab＝1且ac＝3时，l
1
与l
2
重合，但l1
∥l
2
?
＝，即ab＝1，
1b
∴“ab＝1”是 “l
1
∥l
2
”的必要不充分条件，③正确．
④中，y＝x
2
＋mx＋m＋3有两个不同零点?Δ＝m
2
－4(m＋3)＞0?m＜－2或m＞ 6.
∴是充要条件，④正确．
【答案】 ①③④



例2 (2013·大连高二期末)设集合A＝{x|－x
2
＋x＋6≤0}，关于x 的不等式x
2
－ax－2a
2
＞0的解集为B(其中a＜0)．
(1)求集合B；
(2)设p：x∈A，q：x∈B，且綈p是綈q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
【思路探究】 (1)不等式x
2
－ax－2a
2
＞0的解集是什么？
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充分条件、必要条件、充要条件的应用

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(2)由“綈p是綈q的必要不充分条件”可得怎样的推出关系？这 种推出关系的等价关系
是什么？表现在集合上又是怎样的？
【自主解答】 (1)x
2
－ax－2a
2
＞0?(x－2a)(x＋a)＞0，
解得x＞－a或x＜2a.
故集合B＝{x|x＞－a或x＜2a}．
(2)法一 若綈p是綈q的必要不充分条件，
则綈q?綈p，
由此可得p?q，
则A＝{x|x
2
－x－6≥0}＝{x|(x－3)(x＋2)≥0}
＝{x|x≥3或x≤－2}
由p?q，
可得A?B，
?
－a＜3
∴
?
，?a＞－1.
－2＜2a
?
法二 A＝{x|x≥3或x≤－2}，?
U
A＝{x |－2＜x＜3}，而?
U
B＝{x|2a≤x≤－a}，
由綈p是綈q的必要不充分条件，
可得綈q?綈p，
也即?
U
B??
U
A，

?
2a＞－2
∴
?
，?a＞－1.
－a＜3
?
（一）规律方法
1．利用充分、必要条件求参数的取值范 围问题，常利用集合法求解，即先化简集合A
＝{x|p(x)}和B＝{x|q(x)}，然后根据p 与q的关系(充分、必要、充要条件)，得出集合A与
B的包含关系，进而得到相关不等式组(也可借助 数轴)，求出参数的取值范围．
2．判断p是q的什么条件，若直接判断困难，还可以用等价命题来判 断，有时也可通
过举反例否定充分性或必要性．
（二）变式训练
已知p：x
2
－8x－20≤0，q：x
2
－2x＋1－m
2
≤0(m＞0) ．若綈p是綈q的充分而不必要条
件，求实数m的取值范围．
【解】 法一 由x
2
－8x－20≤0，得－2≤x≤10，
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由x
2
－2x＋1－m
2
≤0，得1－m≤x≤1＋m(m＞0)．
∴綈p：A＝{x|x＞10或x＜－2}，
綈q：B＝{x|x＞1＋m或x＜1－m}．
∵綈p是綈q的充分而不必要条件，∴AB.
?
m＞0，
∴
?1＋m≤10，
?
1－m≥－2，

解得0＜m≤3.
∴m的取值范围是{m|0＜m≤3}．
法二 由x
2
－8x－20≤0，得－2≤x≤10，
由x
2
－2x＋1－m
2
≤0得1－m≤x≤1＋m(m＞0)，
∴p：A＝{x|－2≤x≤10}，
q：B＝{x|1－m≤x≤1＋m}．
∵綈p是綈q的充分不必要条件，
∴q也是p的充分不必要条件，∴BA.
?∴
?
1＋m≤10，
?
1－m≥－2，
m＞0，

解得0＜m≤3.
∴m的取值范围是{m|0＜m≤3}.

充要条件的证明
1
例3 求证：方程mx
2
－2x＋3＝0有两个同号且不等的实根的充要条件是：0＜m＜
.
3
【思路探究】 先找出条件和结论，然后证明充分性和必要性都成立．
【自主解答】 充分性(由条件推结论)：
1
∵0＜m＜，
3
∴方程mx
2
－2x＋3＝0的判别式Δ＝4－12m＞0，
∴方程有两个不等的实根．
123
设方程的两根为x
1
、x
2
，当0＜m＜
时，x
1
＋x
2
＝
＞0且x1
x
2
＝
＞0，故方程mx
2
－2x
3mm< br>1
＋3＝0有两个同号且不相等的实根，即0＜m＜
?方程mx
2
－2 x＋3＝0有两个同号且不相
3
等的实根．
必要性(由结论推条件)：
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若方程mx
2
－2x＋3＝0有两个同号且不相等的实根，
?
Δ＝4－12m＞0
则有
?
，
?
x
1
x
2
＞0
11
∴0＜m＜，即方程mx
2
－2x＋ 3＝0有两个同号且不相等的实根?0＜m＜
.
33
1
综上，方程mx2
－2x＋3＝0有两个同号且不相等的实根的充要条件是0＜m＜
.
3
（一）规律方法
1．证明p是q的充要条件，既要证明命题“p?q”为真，又要 证明“q?p”为真，前者证
明的是充分性，后者证明的是必要性．
2．证明充要条件，即说 明原命题和逆命题都成立，要注意“p是q的充要条件”与“p的
充要条件是q”这两种说法的差异，分 清哪个是条件，哪个是结论．
（二）变式训练
求证：关于x的方程ax
2
＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件是a＋b＋c＝0.
【证明】 假设p：方程ax
2
＋bx＋c＝0有一个根是1，
q：a＋b＋c＝0.
(1)证明p?q，即证明必要性．
∵x＝1是方程ax
2
＋bx＋c＝0的根，
∴a·1
2
＋b·1＋c＝0，
即a＋b＋c＝0.
(2)证明q?p，即证明充分性．
由a＋b＋c＝0，得c＝－a－b.
∵ax
2
＋bx＋c＝0，
∴ax
2
＋bx－a－b＝0 ，即a(x
2
－1)＋b(x－1)＝0.
故(x－1)(ax＋a＋b)＝0.
∴x＝1是方程的一个根．
故方程ax
2
＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件是a＋b＋c＝0.
五、易误辨析
因考虑不周到致误
m1
典例 一次函数y＝－
x＋
的图象同时经过第一、二、四象限的必要不充分条件是
nn
( )
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A．m＞0，n＞0
C．m＜0，n＜0 D．mn＞0
B．mn＜0
m1
【错解】 由题意可得，一次函数y＝－
x＋
的 图象同时经过第一、二、四象限，即
nn
?
－
n
＜0，
?< br>1
?
n
＞0，
m

解得m＞0，n＞0，所以选A.
【答案】 A
【错因分析】 p的必要不充分条件是q，即q是p的必要不充分条件，则qD
p?q，故本题应是题干?选项，而选项D题干，选项A为充要条件．
p；要说明p
p且
【防范措施】 要说明p是q的充分不必要条件，须满足p?q，但 qD
是q的必要不充分条件，须满足pDq，但q?p；要说明p是q的充要条件，须满足
p? q且q?p，解题时一定要考虑周到，切莫顾此失彼．
【正解】 一次函数y＝－
m1
x＋
的图象同时经过第一、二、四象限，即
nn
?
?
1
?
n
＞0，
m
－＜0，
n

得m＞0，n＞0. < br>m1
故由函数y＝－
x＋
的图象同时经过第一、二、四象限可以推出mn＞0， 而由mn＞0
nn
m1
不一定推出函数y＝－
x＋
的图象过一、二、 四象限，所以选D.
nn
【答案】 D
六、课堂小结
充分条件与必要条件的判断方法
(1)定义法
用定义法判断直观、简捷，且一般情况下，错误率低，在解题中应用极为广泛．
(2)集合法
从集合角度看，设集合A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|满足条件q}．
①若A?B，则p是q的充分条件；若AB，则p是q的充分不必要条件．
②若A?B，则p是q的必要条件；若AB，则p是q的必要不充分条件．
③若A＝B，则p是q的充要条件．
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④若AB，且A?B，则p是q的既不充分也不必要条件．
(3)等价转化法
当某一命题不易直接判断条件和结论的关系(特别是对于否定形式或“≠” 形式的命题)
时，可利用原命题与逆否命题等价来解决．
(4)传递法
充分条件与 必要条件具有传递性，即由p
1
?p
2
?p
3
?…?pn
，则可得p
1
?p
n
，充要条件
也有传递性．
七、双基达标
1．(2013·成都高二检测)“x＝3”是“x
2
＝9”的( )
A．充分而不必要的条件
B．必要而不充分的条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要的条件
【解析】 当x＝3时，x
2
＝9；
但x
2
＝9，有x＝±3.
∴“x＝3”是“x
2
＝9”的充分不必要条件．
【答案】 A
2．设p：x
2
＋3x－4＞0，q：x＝2，则p是q的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】 当x
2
＋3x－4＞0时，不一定有 x＝2；但当x＝2时，必有x
2
＋3x－4＞0，
故p是q的必要不充分条件．
【答案】 B
3．在“x
2
＋(y－2)
2
＝0是x(y －2)＝0的充分不必要条件”这句话中，已知条件是
________，结论是________．
【答案】 x
2
＋(y－2)
2
＝0 x(y－2)＝0
4．若p：x＝1或x＝2；q：x－1＝x－1，则p是q的什么条件？
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【解】 因为x＝1或x＝2?x－1＝x－1；x－1＝x－1?x＝1或x＝2，所以p是q
的充要条件.
八、知能检测
一、选择题
1．若集合A＝{1，m
2
}，B＝{2,4}，则m＝2是A∩B＝{4}的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】 当m＝2时，m
2
＝4，A∩B＝{4}，
但m
2
＝4时，m＝±2，
∴A∩B＝{4}得m＝±2.
【答案】 A
ππ
2．(2013·济南高二检测)设α，β∈(－
，)，那么“α＜β”是“tan α＜tan β”的( )
22
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
ππππ
【解析】 在(－，
)中，函数y＝tan x为增函数，所以设α、β∈(－
，
)，那么“α＜
2222
β”是tan α＜tan β的充要条件．
【答案】 C
3．下列选项中，p是q的必要不充分条件的是( )
A．p：a＋c>b＋d，q：a>b且c>d
B．p：AB，q：x∈A?x∈B
C．p：x＝1，q：x
2
＝x
D．p：a>1，q：f(x)＝log< br>a
x(a>0，且a≠1)在(0，＋∞)上为增函数
【解析】 易知由a＋c>b＋dD
但a>b且c>d，
a>b且c>d.
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可得a＋c>b＋d
∴“p：a＋c>b＋d”是“q：a>b且c>d”的必要不充分条件．故选A.
【答案】 A
4．“α＞β”是“sin α＞sin β”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．既不充分也不必要条件
D．充要条件
【解析】 由“α＞β”D
以举反例)．
【答案】 C
5．(2013·青岛高二检测)下列各小题中，p是q的充分必要条件的是( )
①p：m＜－2或m＞6，q：y＝x
2
＋mx＋m＋3有两个不同的零点；
f－x
②p：＝1，q：y＝f(x)是偶函数；
fx
③p：cos α＝cos β；tan α＝tan β；
④p：A∩B＝A，q：?
U
B??
U
A.
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
【解析】 ①y＝x
2
＋mx＋m＋3有两 个不同的零点，则Δ＝m
2
－4(m＋3)＞0，得m＞6
或m＜－2，所以p是q的 充要条件．
②若y＝f(x)中存在x
0
，使得f(x
0
)＝0， 则p是q的充分不必要条件．
π
③当α＝β＝kπ＋时，tan α，tan β无意义，所以p是q的必要不充分条件．
2
④p是q的充要条件．
【答案】 D
二、填空题
6．下列不等式：①x＜1；②0＜x＜1；③－1＜x＜0；④－1＜x＜1. 其中，可以是x
2
＜
1的一个充分条件的所有序号为________．
【答案】 ②③④
7．(2013·武汉高二检测)“b
2
＝ac”是“a 、b、c”成等比数列的________条件．
“sin α＞sin β”；由“sin α＞sin β”D“α＞β”，应选C.(也可
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【解析】 “b
2
＝acD
列“?”“b
2
＝ac”．
【答案】 必要不充分
”a，b，c成等比数列，如b
2
＝ac＝0；而“a，b，c”成等比 数
8．在平面直角坐标系xOy中，直线x＋(m＋1)y＝2－m与直线mx＋2y＝－8互相垂直< br>的充要条件是m＝______.
【解析】 直线x＋(m＋1)y＝2－m与直线mx＋2y ＝－8互相垂直?1·m＋(m＋1)·2＝
2
0?m＝－.
3
2
【答案】 －

3
三、解答题
9．指出下列命题中，p是q的什么条件．
?
x－1
?
≤
3
，q：
1
x
2
＋
3
x－3≥0； (1)p：< br>?
2－
?
32
2
?
4
?
(2)p： ax
2
＋ax＋1＞0的解集是R，q：0＜a＜4；
(3)p：A∪B＝A，q：A∩B＝B.
?
713
?
?
≤x≤
【解】 (1)化简得p：
?
x
?
2
，
?
2
??
?
?
3
?
??
x≤－6或x≥
q：x
?< br>2
?
.如图
?



?
713< br>?
?
≤x≤
由图可知，
?
x
?
2
?
2
??

?
?
3
?
?
x
x≤－6或x≥
?
，
2
??
?

所以p是q的充分不必要条件．
(2)因为ax
2
＋ax＋1＞0的解集是R，所以①当a＝0时成立；
②当a≠0时，ax
2
＋ax＋1＞0的解集是R，
?
Δ＝a
2
－4a＜0，
有
?

a＞0，
?
解得0＜a＜4，所以0≤a＜4.
所以pD?q，q?p，所以p是q的必要不充分条件．
(3)对于p：A∪B＝A?B?A，对于q：A∩B＝B?B?A，
即p?q，所以p是q的充要条件．
10．若A＝{x|a＜x＜a＋2}，B＝{x|x＜ －1或x＞3}，且A是B的充分不必要条件，求
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实数a的取值范围．
【解】 ∵A是B的充分不必要条件，
∴AB.
又A＝{x|a3}．
因此a＋2≤－1或a≥3，
∴实数a的取值范围是a≥3或a≤－3.
11．设 a，b，c分别是△ABC的三个内角A、B、C所对的边，证明：“a
2
＝b(b＋c)”是
“A＝2B”的充要条件．
csin C
【证明】 充分性：由a
2
＝b(b＋c)＝b
2
＋c
2
－2bccos A可得1＋2cos A＝＝
.
bsin B
即sin B＋2sin Bcos A＝sin(A＋B)．
化简，得sin B＝sin(A－B)．
由于sin B＞0且在三角形中，
故B＝A－B，
即A＝2B.
必要性：若A＝2B，
则A－B＝B，sin(A＋B)＝sin B，
即sin(A＋B)＝2sin Bcos A＝sin A.
∴sin(A＋B)＝sin B(1＋2cos A)．
∵A、B、C为△ABC的内角，
∴sin(A＋B)＝sin C，
即sin C＝sin B(1＋2cos A)．
b
2
＋c
2
－a
2
b
2
＋c
2
－a
2
＋bc
sin C
∴＝1＋2cos A＝1＋＝，
sin Bbcbc
c
b
2< br>＋c
2
＋bc－a
即＝
.
bbc
化简得a
2
＝b(b＋c)．
∴a
2
＝b(b＋c)是“A＝2B”的充要条件.
九、备课资源
（一）备选例题
试求关于x的方程x
2
＋mx＋1＝0有两个负实根的充要条件．
【自主解答】 如果方程x
2
＋mx＋1＝0有两个负实根，
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设两负根为x
1
，x
2
，则x
1
x
2
＝1，
?
Δ＝m
2
－4≥0，
∴
?
解之得m≥2. ?
x
1
＋x
2
＝－m＜0，
因此m≥2是方程x
2
＋mx＋1＝0有两个负实根的必要条件．
下面证明充分性．
因为m≥2，所以Δ＝m
2
－4≥0，
所以方程x
2
＋m x＋1＝0有实根，设两根为x
1
，x
2
，
由根与系数的关系知， x
1
x
2
＝1＞0，所以x
1
，x
2
同号 ．
又x
1
＋x
2
＝－m≤－2＜0，
所以x
1
，x
2
同为负数．
故m≥2是方程x
2
＋mx＋1＝0有两个负实根的充要条件．
（二）备选变式
求关于x的不等式kx
2
＋x＋k＞0(k≠0)恒成立的充要条件．
【解】 kx
2
＋x＋k＞0(k≠0)恒成立．

?
k＞0
1
?
?
?k＞
.
2
2
?
Δ＝1－4k
＜0


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