高中数学竞赛镇海-高中数学课本向量答案
高中数学基础知识大全(新课标版)
第一部分 集合
1.理
解集合中元素的意义是解决集合问题的关键:元素是函数关系中自变量的取值?还是因变量的取值?还是曲
.....
线上的点?…
2 .数形结合是解集合问题的常用方法:解题时要尽可能地借
助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具,将抽象的代数
....
问题具体化、形象化、直观化,然
后利用数形结合的思想方法解决
3.(1) 元素与集合的关系:
x?A?x?C
U
A
,
x?C
U
A?x?A
.
(2)德摩根公式:
C
U
(AIB)?C
U
AUC
U
B;C
U
(AUB)?C
U
AIC
U
B
.
(3)
AIB?A?AUB?B
?A?B?C
U
B?C
U
A
?AI
C
U
B??
?C
U
AUB?R
注意:讨论的时候不要遗忘了
A?
?
的情况.
nnn
(4
)集合
{a
1
,a
2
,L,a
n
}
的子集
个数共有
2
个;真子集有
2
–1个;非空子集有
2
–1个;
非空真子集有
2
–2个.
4.
?
是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集.
n
第二部分
函数
1.映射:注意: ①第一个集合中的元素必须有象;②一对一或多对一.
2.函数值域的求法:①分析法 ;②配方法 ;③判别式法 ;④利用函数单调性 ;⑤换元法 ;
a?b
⑥利用均值不等式
ab??
2
a
2
?b
2
;
⑦利用数形结合或几何意义(斜率、距离、
2
x
绝对值的意义等);⑧利用函数有界
性(
a
、
sinx
、
cosx
等);⑨平方法;⑩ 导数法
3.复合函数的有关问题:
(1)复合函数定义域求法:
①
若f(x)的定义域为[a,b],则复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a ≤ g(x) ≤
b解出
② 若f[g(x)]的定义域为[a,b],求
f(x)的定义域,相当于x∈[a,b]时,求g(x)的值域.
(2)复合函数单调性的判定:
①首先将原函数
y?f[g(x)]
分解为基本函数:内函数
u?g(x)<
br>与外函数
y?f(u)
②分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性
③根据“同性则增,异性则减”来判断原函数在其定义域内的单调性.
4.分段函数:值域(最值)、单调性、图象等问题,先分段解决,再下结论。
5.函数的奇偶性:
⑴函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件
.
...
⑵
f(x)
是奇函数
?f(?x)??f(x)
;
f
(x)
是偶函数
?f(?x)?f(x)
.
⑶奇函数
f(x)
在0处有定义,则
f(0)?0
第 1
页
⑷在关于原点对称的单调区间内:奇函数有相同的单调性,偶函数有相反的单调性
⑸若所给函数的解析式较为复杂,应先等价变形,再判断其奇偶性
6.函数的单调性:
⑴单调性的定义:
①
f(x)
在区间
M
上是增函数
??x
1
,x
2
?M,
当
x
1
?x2
时有
f(x
1
)?f(x
2
)
;
②
f(x)
在区间
M
上是减函数
??x
1
,x2
?M,
当
x
1
?x
2
时有
f(x<
br>1
)?f(x
2
)
;
⑵单调性的判定:①定义法:一般要将
式子
f(x
1
)?f(x
2
)
化为几个因式作积或作商的形
式,以利于判断符号;②复合
函数法③图像法
注:证明单调性主要用定义法。
7.函数的周期性:
(1)周期性的定义:对定义域内的任意
x
,若有f(x?T)?f(x)
(其中
T
为非零常数),则称函数
f(x)<
br>为周期
函数,
T
为它的一个周期。所有正周期中最小的称为函数的最小正周期。
如没有特别说明,遇到的周期都指最
小正周期。
(2)三角函数的周期:①
y?sinx:T?2
?
;②
y?cosx:T?2
?
;③
y?tanx:T?
?
;
④
y?Asin(
?
x?
?
),y?Acos(
?
x?
?
):T?
(
3)与周期有关的结论:
?
2
?
;⑤
y?tan
?
x:T?
|
?
|
|<
br>?
|
f(x?a)?f(x?a)
或
f(x?2a)?f(x)(a?
0)
?
f(x)
的周期为
2a
8.基本初等函数的图像与性质:
㈠.⑴指数函数:
y?a(a?0,a?1);⑵对数函数:
y?log
a
x(a?0,a?1)
;
⑶幂函数:
y?x
(
?
?R)
;⑷正弦函数:
y?sinx
;⑸余弦函数:
y?cosx
;
(
6)正切函数:
y?tanx
;⑺一元二次函数:
ax?bx?c?0
(a≠
0);⑻其它常用函数:
① 正比例函数:
y?kx(k?0)
;②反比例函数:<
br>y?
m
n
n
m
x
?
2
ka
(k?0)
;③函数
y?x?(a?0)
xx
?
㈡.⑴分
数指数幂:
a?a
;
a
?
m
n
?
1
a
m
n
(以上
a?0,m,n?N
,且
n?1
)
.
b
⑵.①
a?N?log
a
N?b
;
②
log
a
?
MN
?
?log
a
M?lo
g
a
N
;
③
log
a
Mn
?loga
M?log
a
N
; ④
log
a
m
b
n
?log
a
b
.
Nm
log
m<
br>N
logN
.对数恒等式:
a
a
?N
.
l
og
m
a
⑶.对数的换底公式:
log
a
N?
9.
二次函数:
2
⑴解析式:①一般式:
f(x)?ax?bx?c
;②顶点式
:
f(x)?a(x?h)?k
,
(h,k)
为顶点;
2
第 2 页
③零点式:
f(x)?a(x?
x
1
)(x?x
2
)
(a≠0).
⑵二次函数问题解决需考虑的因素:
①开口方向;②对称轴;③端点值;④与坐标轴交点;⑤判别式;⑥两根符号。
?
b
4ac?b
2
?
b
二次函数
y?ax?bx?c
的图象的对
称轴方程是
x??
,顶点坐标是
?
?
?
2a
,4a
?
?
。
2a
??
2
10.函数图象:
⑴图象作法 :①描点法 (特别注意三角函数的五点作图)②图象变换法 ③导数法
⑵图象变换:
① 平移变换:ⅰ)
y?f(x)?y?f(x?a)
,(a?0)
———左“+”右“-”;
ⅱ)
y?f(x)?y?f(x)?k,(k?0)
———上“+”下“-”;
② 对称变换:ⅰ)
y?f(x)
????
y??f(?x)
;ⅱ)
y?f(x)
???
y??f(x)
;
ⅲ)
y?f(x)
???
y?f(?x)
;
ⅳ)
y?f(x)
????
x?f(y)
;
③ 翻折变换: ⅰ)
y?f(x)?y?f(|x|)
———(去左翻右)y轴右不动,右向左翻(
f(x)
在
y
左侧图象去掉);
ⅱ)
y?f(x)?y?|f(
x)|
———(留上翻下)x轴上不动,下向上翻(|
f(x)
|在
x
下面无图象);
12.函数零点的求法:
⑴直接法(求
f(x)?0
的根);⑵图象法;⑶二分法.
(4)零点定理:若y=f(x)在[a,b]上满足f(a)·f(b)<0 ,
则y=f(x)在(a,b)内至少有一个零点。
x?0y?x
(0,0)
y?0
第三部分
三角函数、三角恒等变换与解三角形
1.⑴角度制与弧度制的互化:
?
弧度
?180
,
1?
⑵弧长公式:
l?
?
R
;扇形面积
公式:
S?
?
?
?
180
弧度,
1
弧度<
br>?(
180
?
)
?
?57
?
18
'
11
lR?
?
R
2
。
22
2
.三角函数定义:角
?
终边上任一点(非原点)P
(x,y)
,设
|
OP|?r
则:
sin
?
?
y
,cos
?
?
x
,
tan
?
?
y
rr
x
3.三角函数符号规律:一全正,二正弦,三正切,四余弦;(简记为“全s
t c”)
4.诱导公式记忆规律:“奇变偶不变,符号看象限”
5.⑴
y?Asin(
?
x?
?
)
对称
轴:令
?
x?
?
?k
?
?
?
2
,
得
x??;
对称中心:
(
k
?
?
?
,0)(k?Z)
;
?
?
2
?
?
,0)(k?Z)
;
⑵
y?Acos(
?
x?
?
)
对称轴:令
?
x?
?
?k
?
,得
x?
k
?
?
?
?
;对称中心:
(
k
?
?
?
⑶周期公式:①函数
y?Asin(
?
x?
?
)
及
y?Acos(
?
x?
?
)
的周期
T?
2
?
?
(A、ω、
?
为常数,
第 3 页
且A≠0).②函数
y?Atan
?
?
x
?
?
?
的周期
T?
?
(A、ω、
?
为常数,且A≠0).
?
6.同角三角函数的基本关系:sin
2
x?cos
2
x?1;
7.三角函数的单调区间及对称
性:
⑴
y?sinx
的单调递增区间为
?
2k
??
sinx
?tanx
cosx
?
?
?2
,2k
?
?
?
?
k?Z
,单调递减区间为
?
2
?
?
3
?
?
?
?
2
k
?
?,2k
?
?k?Z
,对称轴为
x?k
??(k?Z)
,对称中心为
?
k
?
,0
?
(k
?Z)
.
??
22
2
??
⑵
y?cosx
的单调递增区间为
?
2k
?
?
?
,2k
?
?
k?Z
,单调递减区间为
?
2k
?
,2k
?<
br>?
?
?
k?Z
,
对称轴为
x?k
?
(k?Z)
,对称中心为
?
k
?
?
⑶
y?tan
x
的单调递增区间为
?
k
?
?
?
?
??
,0
?
(k?Z)
.
2
?
?
?<
br>?
2
,k
?
?
?
?
?
k
?
?
k?Z
,0
?
?
k?Z
?
. ,对称中
心为
?
?
2
?
?
2
?
8.两角和与差的正
弦、余弦、正切公式:
①
sin(
?
?
?
)?sin<
br>?
cos
?
?cos
?
sin
?
;
cos(
?
?
?
)?cos
?
cos
?
m
sin
?
sin
?
;
tan(
?
?
?<
br>)?
tan
?
?tan
?
.
1
m
tan
?
tan
?
2222
②
sin(
?
?
?
)sin(
?
?
?
)?sin
?
?s
in
?
;
cos(
?
?
?
)cos(
?<
br>?
?
)?cos
?
?sin
?
.
③
asin
?
?bcos
?
=
a
2
?b
2
sin(
?
?
?
)
(其中,辅助角
?
所在
象限由点
(a,b)
所在的象限
决定,
tan
?
?
b
).
a
2
9.二倍角公式:①
sin2
?
?2sin
?
cos
?<
br>.
(sin
?
?cos
?
)?1?2sin
?
cos
?
?1?sin2
?
②
cos2
??cos
?
?sin
?
?2cos
?
?1?1?2si
n
?
(升幂公式).
2222
cos
2
?
?
10.正、余弦定理:
⑴
正弦定理:
1?cos2
?
1?cos2
?
(降幂公式).
,sin
2
?
?
22
abc
???2R
(
2R
是
?ABC
外接圆直径 )
sinAsinBsinC注:①
a:b:c?sinA:sinB:sinC
;②
a?2RsinA,b?
2RsinB,c?2RsinC
;
③
abca?b?c
???
。
sinAsinBsinCsinA?sinB?sinC
222
b
2
?c
2
?a
2
⑵余弦定理:
a?b?c?2bccosA
等三个;
cosA?
等三个。
2bc
第 4 页
11.几个公式:⑴三角形面积公式:①
S?
111
ah
a
?bh
b
?ch
c
(
h
a
、h
b
、h
c
分别表示a、b、c边上的高);②
222
uuuruuur
2
uuuruuur
2
1111
S?absinC
?bcsinA?casinB
.③
S
?OAB
?(|OA|?|OB|)?
(OA?OB)
2222
⑵内切圆半径r=
2S
?ABC
;
外接圆直径2R=
sinA
a?b?c
a
?
bc
?;
sinBsinC
第四部分
平面向量
1.平面上两点间的距离公式:
d
A,B
?(x
2
?x
1
)?(y
2
?y
1
)
,其中A
(
x
1
,y
1
)
,B
(x
2
,y
2
)
.
2.向量的平行与垂直: 设
a
=
(x
1<
br>,y
1
)
,
b
=
(x
2
,y
2
)
,且
b
?
0
,则:
①
a
∥
b
?
b
=λ
a
?x
1
y
2?x
2
y
1
?0
;
②
a
?
b
(
a
?
0
)
?
a
·
b
=0
?x
1
x
2
?y
1<
br>y
2
?0
.
3.a·b=|a||b|cos=x
1
x
2
+y
1
y
2
;
注:①|a|
cos叫做a在b方向上的投影;|b|cos叫做b在a方向上的投影;
②a·b的几何意义:a·b等于|a|与|b|在a方向上的投影|b|cos的乘积。
=
22
a?b
|a||b|
;
uuuruuu
ruuur
5.三点共线的充要条件:P,A,B三点共线
?
OP?xOA?yOB且
x?y?1
。
第五部分
数列
1.定义:
(1)等差数列{a
n
}?a
n?1
?
a
n
?d(d为常数,n?N
?
)?a
n
?a
n?
1
?d(n?2)
?2a
n
?a
n?1
?a
n?1
(n?2,n?N*)?a
n
?kn?b?S
n
?An
2<
br>?Bn
{a
n
}?
⑵等比数列
a
n?1
2
?q(q?0)?a
n
?a
n-1
?a
n?1
(n
?2,n?N
?
)
a
n
2.等差、等比数列性质:
等差数列
等比数列
n?1
通项公式
a
n
?a
1
?(n?1)d
a
n
?a
1
q
第 5 页
前n项和
S
n
?
n(a
1?a
n
)
n(n?1)
n
?na
1
?d
2.q?1时,S?
a
1
(1?q)
n
22
1?q
?
a
1
?a
n
q
1?q
n-m
1.q?1时,S
n
?na
1
;
性质
①a
n
=a
m
+ (n-m)d,
①a
n
=a
m
q;
②m+n=p+q时a
m
+a
n
=a
p
+a
q
②m+n=p+q时a
m
a
n
=a
p
a
q
③
S
k
,S
2k?S
k
,S
3k
?S
2k
,?
成AP ③
S
k
,S
2k
?S
k
,S
3k
?
S
2k
,?
成GP
m
④
a
k
,a
k?m
,a
k?2m
,?
成AP,
d'?md
④
a
k
,a
k?m
,a
k?2m
,?
成GP,
q'?q
3.常见数列通项的求法:
⑴定义法(利用A
P,GP的定义);⑵累加法(
a
n
?1
?a
n
?c
n
型);⑶公式法:
S
1
(n=1)
a
n
=
S
n
-S
n-1
(n≥2)
a
n?1
?c
n
型)⑷累乘法(;⑸待定系数
法(
a
n?1
?ka
n
?b
型)转化为
a
n?1
?x?k(a
n
?x)
a
n
(6)间接法
(例如:
a
n?1
?a
n
?4a
n
a
n?
1
?
11
??4
);(7)(理科)数学归纳法。
a
n<
br>a
n?1
4.前
n
项和的求法:⑴分组求和法;⑵错位相减法;⑶裂项
法。
5.等差数列前n项和最值的求法:
?
a
n
?0
?
?
a
n
?0
?
??
;⑵利用二次函数的图象与性质。
S
或S
n
最小值
?
⑴<
br>n
最大值
?
??
?
a
n?1
?0
?
?
a
n?1
?0
?
第六部分 不等式
a?ba
2
?b
2
1.均值不等式:
ab??(a,b?0)
22
a?b
2
a
2
?b
2
)?(a,b?R)
。 注意:①一正二定三相等;②变形:
ab?(22
2.极值定理:已知
x,y
都是正数,则有:
(1)如果积
xy
是定值
p
,那么当
x?y
时和
x?y
有最小
值
2p
;
(2)如果和
x?y
是定值
s
,那么当
x?y
时积
xy
有最大值
2
1
2
s
.
4
3.解一元二次不等式
ax?bx?c?0(或?0)
:若
a?0
,则对于解集不是全集或空集时,对应的
解集为“大两边,小中间”.如:当
x
1
?x
2
,
?
x?x
1
??
x
?x
2
?
?0?x
1
?x?x
2
;
?<
br>x?x
1
??
x?x
2
?
?0?x?x
2<
br>或x?x
1
.
4.含有绝对值的不等式:当
a?0
时,有:
①
x?a?x?a??a?x?a
;
22
②
x?a?x?a?x?a
或
x??a
.
22
第 6 页
5*.分式不等式:
(1)
f
?
x?
f
?
x
?
?0?f
?
x
?
?g
?
x
?
?0
; (2)
?0?f
?x
?
?g
?
x
?
?0
;
g
?
x
?
g
?
x
?
(3)
?
f?
x
?
?g
?
x
?
?0
?
f
?
x
?
?g
?
x
?
?0
f
?
x
?
f
?
x
?
; (4).
?
0?
?
?0?
?
????
gx?0gx?0
??
g
?
x
?
gx
??
?
f(x)?0
?
?f(x)?g(x)
;
log
a
f(x)?log
a
g
(x)?
?
g(x)?0
.
?
f(x)?g(x)
??
f(x)?0
?
?f(x)?g(x)
;
log
a<
br>f(x)?log
a
g(x)?
?
g(x)?0
?
f(x)?g(x)
?
6*.指数不等式与对数不等式
(1)
当
a?1
时,
a
f(x)
?a
g(x)
(2)当<
br>0?a?1
时,
a
f(x)
?a
g(x)
3.不等式
的性质:
⑴
a?b?b?a
;⑵
a?b,b?c?a?c
;⑶a?b?a?c?b?c
;
a?b,c?d
?a?c?b?d
;⑷
a?b,c?0?ac?bd
;
a?b,c?0?ac?bc
;
a?b?0,
c?d?0
?ac?bd
;⑸
a?b?0?a
n
?b
n
?0(n?N
?
)
;⑹
a?b?0?<
br>n
a?
n
b(n?N
?
)
第七部分 概率
1.事件的关系:
⑴事件B包含事件A:事件A发生,事件B一定发生,记作
A?B
;
⑵事件A与事件B相等:若
A?B,B?A
,则事件A与B相等,记作A=B; ⑶并(和)事件:某事件发生,当且仅当事件A发生或B发生,记作
A?B
(或
A
?B
);
⑷并(积)事件:某事件发生,当且仅当事件A发生且B发生,记作
A?B
(或
AB
) ;
⑸事件A与事件B互斥:若
A?B
为不
可能事件(
A?B?
?
),则事件A与互斥;
⑹对立事件:
A?B
为不可能事件,
A?B
为必然事件,则A与B互为对立事件。
2.概率公式:
⑵古典概型:
P(A)?
A包含的基本事件的个数
;
基本事件的总数
构成事件A的区域长度(面积或体积等)
;
试验的全部结果构成的区域长度(面积或体积等)
⑶几何概型:
P(A)?
第八部分 统计与统计案例
1.抽样方法:
⑴简单随机抽样:一般地,设一个总体的个数为N,通过逐个不放回的方法从中抽取一个容量
第 7 页
为n的样本,且每个个体被抽到的机会相等,就称这种抽样为简单随机抽样。
注:①每个个体被抽到的概率为
n
;
N
②常用的简单随机抽样方法有:抽签法;随机数表法。
⑵系统抽样:当总体个数较多时,可将总体均衡的分成几个部分,然后按照预先制定的规则,从
每一个部分抽取一个个体,得到所需样本,这种抽样方法叫系统抽样。
注:步骤:①编号;②分段;③在第一段采用简单随机抽样方法确定起始的个体编号;④按预
先制定的规则抽取样本。
⑶分层抽样:当已知总体有差异比较明显的几部分组成时,为使样本更充分的反映总体的情况,
将总体分成几部分,然后按照各部分占总体的比例进行抽样,这种抽样叫分层抽样。
注:每个部分所抽取的样本个体数=该部分个体数
?
n
N
注:以上三种抽样的共同特点是:在抽样过程中每个个体被抽取的概率相等
2.频
率分布直方图与茎叶图:⑴用直方图反映样本的频率分布规律的直方图称为频率分布直方图。⑵当数据是两
位有效数字时,用中间的数字表示十位数,即第一个有效数字,两边的数字表示个位数,即第二个有效数字,<
br>它的中间部分像植物的茎,两边像植物茎上长出来的叶子,这种表示数据的图叫做茎叶图。
3.总体特征数的估计:
n
⑴样本平均数
x?
1
(x1
?x
2
?????x
n
)?
1
?
x
i
;
nn
i?1
n
⑵样本方差
S
2?
1
[(x
1
?x)
2
?(x
2
?x
)
2
?????(x
n
?x)
2
]
?
1<
br>?
(x
i
?x)
2
;
n
n
i?
1
n
⑶样本标准差
S?
1
[(x
1
?x)
2
?(x
2
?x)
2
?????(x
n
?x)2
]
=
1
(x?x)
2
?
i
n
n
i?1
第九部分 算法初步
1.程序框图:
⑴图形符号:
① 终端框(起止框);②
输入、输出框;
③
处理框(执行框);④
判断框;⑤ 流程线 ;
⑵程序框图分类:
①顺序结构:
②条件结构: ③循环结构:
r =0? 否 求n除以i的余数
输入n 是
n不是质数 n是质数 i=i+1
第 8 页
i=2
i
?
n或r=0? 否
是
注:循环结构分为:Ⅰ.当型(while型) ——先判断条件,再执行循环体;
Ⅱ.直到型(until型)——先执行一次循环体,再判断条件。
2.基本算法语句:
⑴输入语句 INPUT “提示内容”;变量 ;输出语句:PRINT “提示内容”;表达式
赋值语句: 变量=表达式
⑵条件语
句:①
②
IF 条件THEN IF条件
THEN
语句体
语句体1
END IF
ELSE
语句体2
END IF
⑶循环语句:①当型: ②直到型:
WHILE条件 DO
循环体 循环体
WEND LOOP
UNTIL 条件
新课标数学部分公式及结论
n
2.从集合
A?
?
a
1
,a
2
,a
3
,???,a
n
?
到集
合
B?
?
b
1
,b
2
,b
3
,?
??,b
m
?
的映射有
m
个.
3.函数的的单调性:
(1)设
x
1
,x
2
?
a,b
?
,x
1
?x
2
那么
(x
1
?x
2
)
?
f(x
1
)?f(x
2
)
?
?0<
br>?
(x
1
?x
2
)
?
f(x
1)?f(x
2
)
?
?0?
f(x
1
)?f(x
2
)
?0?f(x)在
?
a,b
?
上是增函数;
x
1
?x
2
f(x
1
)?f(x
2
)
?0?f(x)在
?
a,b
?
上是减函数.
x
1
?x
2
(2)设函数
y?f(x)
在某个区间内可导,如果f
?
(x)?0
,则
f(x)
为增函数;如果
f
?
(x)?0
,
则
f(x)
为减函数.
4*.函数
y?f(x)
的图象的对称性:
第 9 页
①
y?f(x)
的图象关于直线
x?a
对
称
?f(a?x)?f(a?x)?f(2a?x)?f(x)
;
②
y?f
(x)
的图象关于直线
x?
a?b
对称
?f(a?x)?f(b?x
)
?f(a?b?x)?f(x)
;
2
③
y?f(x)
的
图象关于点
(a,0)
对称
?f
?
x
?
??f?
2a?x
?
?f
?
a?x
?
?f
?
a?x
?
?0
,
y?f(x)
的图象关于点
(a
,b)
对称
?
f
?
x
?
?2b?f
?2a?x
?
?f
?
a?x
?
?f
?
a
?x
?
?2b
.
6.奇偶函数的图象特征:
奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y轴对称;反过来,如果一个函数的图象关于原
点对称,那么这个函数是奇函数;如果一个函数的图象关于y轴对称,那么这个函数是偶函数.
nn?1
7.多项式函数
P(x)?a
n
x?a
n?1
x
?L?a
0
的奇偶性:
多项式函数
P(x)
是奇函数
?<
br>P(x)
的偶次项(即奇数项)的系数全为零.
多项式函数
P(x)
是偶函数
?
P(x)
的奇次项(即偶数项)的系数全为零.
8. 若将函数
y?f(x)
的图象右移
a
、上移
b
个单位,得到函数y?f(x?a)?b
的图象;
9. 几个常见的函数方程:
(1)正比
例函数
f(x)?cx
,
f(x?y)?f(x)?f(y),f(1)?c
.
(2)指数函数
f(x)?a
,
f(x?y)?f(x)f(y),f(
1)?a?0
.
(3)对数函数
f(x)?log
a
x
,
f(xy)?f(x)?f(y),f(a)?1(a?0,a?1)
.
?
(4)幂函数
f(x)?x
,
f(xy)?f(x)f(y),f(1)?
?
.
'
x
(5)余弦函数
f(x)?cosx
,正弦函数<
br>g(x)?sinx
,
f(x?y)?f(x)f(y)?g(x)g(y)
,
f(0)=1.
10*.几个函数方程的周期(约定a>0)
(1)
f(x)?f(x?a)
,则
f(x)
的周期T=a; (2)
f(x?a)??f(x)
,或
f(x?a)?
则
f(x
)
的周期T=2a;
11.①等差数列
?
a
n
?
的通项公式:
a
n
?a
1
?
?
n?1
?<
br>d
,或
a
n
?a
m
?(n?m)d
?d?<
br>②前n项和公式:
s
n
?
1
1
(f(x)?0)<
br>,或
f(x?a)??
(f(x)?0)
,
f(x)
f(x)
a
n
?a
m
.
n?m
n(a
1
?a
n
)
n(n?1)d1
?na
1
?d?n
2
?(a
1
?d)n
.
2222<
br>12.设数列
?
a
n
?
是等差数列,
S
奇<
br>是奇数项的和,
S
偶
是偶数项的和,
S
n
是前n项的
和,则
①前n项的和
S
n
?S
奇
?S
偶
; ②当n为偶数时,
S
偶
?S
奇
?
n
d
,其中d为公差;
2
③当n为奇数时,则
S
奇
?S
偶?a
中
,
S
奇
?
S
n?1n?1
n?
1
a
中
,
S
偶
?a
中
,
奇
?
,
22
S
偶
n?1
第 10 页
S?S
偶
S
n
?
奇<
br>?n
(其中
a
中
是等差数列的中间一项)
S
奇?S
偶
S
奇
?S
偶
13.若等差数列
?
a
n
?
和
?
b
n
?
的前
2n?
1
项的和分别为
S
2n?1
和
T
2n?1
,则<
br>a
n
S
2n?1
?
.
b
n
T2n?1
14.数列
?
a
n
?
是等比数列,
S
n
是其前n项的和,
k?N
*
,那么(
S
2k?S
k
)
2
=
S
k
·
S
3k
?S
2k
.
15.分期付款(按揭贷款):
ab(1?b)<
br>n
每次还款
x?
元(贷款
a
元,
n
次还清,
每期利率为
b
).
n
(1?b)?1
16.裂项法:①
1
1
?
11
?
111
??
?
?
??
; ②
?
;
?
2n?1
??
2n?1
?
2
?
2n?12n?1
?
n
?
n?1
?
nn?1
③
1
a?b
?
1
a?b
?
a?b
;④
?
n11
??
.
?
n?1
?
!n !
?
n?1
?
!
17*.常见三角不等式:
(1)若
x?(0,
?
2
)
,则
sinx?x?tanx
.
)
,则
1?sinx?cosx?2
. (2)
若
x?(0,
?
2
(3)
|sinx|?|cosx|?1
.
18.正弦、余弦的诱导公式:
nn
??
n
?
n
?
?
(?1)
2
si
n
?
,n为偶数
?
(?1)
2
cos
?
,
n为偶数
sin(?
?
)?
?
?
?
)?
?
;
cos(
.
n?1n?1
22
?
(?1)2
cos
?
,n为奇数
?
(?1)
2
sin<
br>?
,n为奇数
??
即:“奇变偶不变,符号看象限”.如
cos
?
?
?
?
?
?
?
?
??sin
?
,
cos
?
?
?
?
?
??cos
?
.
2
?
1?tan
2
?
2tan
?
2tan
?
cos2
?
?
19*.万能公式:
si
n2
?
?
;;(正切倍角公式).
tan2
?
?
2
22
1?tan
?
1?tan
?
1?tan
?<
br>20*.半角公式:
tan
?
2
?
sin
?
1?cos
?
?
.
1?cos
?
sin
?
向左
?
?
?0
?
或向右
?
?
?0
?
平移
?
个单位
21.三角函数变换:
①相位变换:
y
?sinx
的图象
???????????
y?sin
?
x?
?
?
的图象;
???
y?sin
?
x
的图象;
②周期变换:
y?sinx
的图象
???????????
?
③振幅
变换:
y?sinx
的图象
?????????????
y?Asinx的图象.
22.在△ABC中,有
①
A?B?C?
?
?C?
?
?(A?B)?
纵坐标伸长
?
A?1
?
或缩短<
br>?
0?A?1
?
到原来的A倍
1
横坐标伸长
?
0?
?
?1
?
或缩短
?
?
?1
?
到原来的倍
C
?
A?B
?2C?2
?
?2(A?B);
??
222
第 11 页
②
a?b?sinA?sinB
(注意是在
?ABC
中).
uuuruuuruuur
24.若
OA?xOB?yOB
,则
A
、
B
、
C
共线的等价条件是
x?y?1
.
25.三角形的重心坐标公式: △ABC三个顶点的坐标分别为
A(x
1
,
y
1
)
、
B(x
2
,y
2
)
、<
br>C(x
3
,y
3
)
,
则其重心的坐标是
G
(
x
1
?x
2
?x
3
y
1
?y<
br>2
?y
3
,)
.
33
28*.
三角形四“心”向量形式的充要条件:
设
O
为
?ABC
所在平面上
一点,角
A,B,C
所对边长分别为
a,b,c
,则:
uuur<
br>2
uuur
2
uuur
2
(1)
O
为
?ABC
的外心
?OA?OB?OC
.
uuuruuuruuurr(2)
O
为
?ABC
的重心
?OA?OB?OC?0
.
uuuruuuruuuruuuruuuruuur
(3)
O
为
?
ABC
的垂心
?OA?OB?OB?OC?OC?OA
.
uuuruuur
uuurr
(4)
O
为
?ABC
的内心
?aOA?bOB?
cOC?0
.
29.常用不等式:
a
2
?b
2
(1)
a,b?R
?
a?b?2ab
?ab?
(当且仅当a=b时取
“=”号).
2
22
a?b
?
a?b
?
(2)<
br>a,b?R
?
?ab
?ab?
??
(当且仅当a=b时取“=
”号).
2
?
2
?
?
2
a?ba
2?b
2
?ab??(a?0,b?0)
. (5)
11
22<
br>?
ab
1
(6)柯西不等式:
(a?b)(c?d)?(ac?bd)
,a,b,c,d?R.
22222
第 12 页