高中数学方面的报刊-高中数学3重点
高一数学必修5《数列》复习提纲 定鼎教育
《数列》复习
1.数列的通项
求数列通项公式的常用方法:
(1)观察与归纳法:先观察哪些因
素随项数
n
的变化而变化,哪些因素不变:分析符号、数字、字母与
项数
n<
br>在变化过程中的联系,初步归纳公式。
(2)公式法:等差数列与等比数列。
?S
1
,(n?1)
(3)利用
S
n
与
a
n
的关系求
a
n
:
a
n
?
?
S?S,(n?2)
n?1
?
n
(4)构造新数列法;(5)逐项作
差求和法;(6)逐项作商求积法
2.等差数列
{a
n
}
中:
(1)等差数列公差的取值与等差数列的单调性;
(2)
a
n
?a
1
?(n?1)d?a
m
?(n?m)d
;
(3)
{ka
n
}
也成等差数列;
(4)两等差数列对应项和(差)组成的新数列仍成等差数列.
(5)
a
1
?a
2
?L?a
m
,a
m?1
?a
m?1
?L?a
2m
,a
2m?1
?a
2m?1
?L?a
3m
L
仍成等差数列.
(6)
S
n
?
n(a1
?a
n
)dd
n(n?1)
,
S
n
?na
1
?d
,
S
n
?n
2
?(a
1
?)n
,
222
2
Aa
S
2n?1
,
n
?f(n)?
n
?f(2n?1)
.
b
n<
br>2n?1
B
n
a
p
?a
q
p?q
a
?
,则
m
2
2
a
n
?
(7)若
m?n?p?q
,则
a
m
?a
n
?a
p<
br>?a
q
;若
m?
a
p
?q,a
q
?
p(p?q)?a
p?q
?0
,
S
p
?q,S
q
?p(p?q)?S
p?q
??(p?q)
;
S
m?n?S
m
?S
n
?mnd
.
(8)“首正”的递减等差数列中,前
n
项和的最大值是所有非负项之和;
(9)等差中项:若
a,A,b
成等差数列,则
A?
a?b
叫做a,b
的等差中项。
2
(10)判定数列是否是等差数列的主要方法有:定义法
、中项法、通项法、和式法、图像法。
3.等比数列
{a
n
}
中:
(1)等比数列的符号特征(全正或全负或一正一负),等比数列的首项、公比与等比数列的单调性。
(2)
a
n
?a
1
q
n?1
?a
m
q
n?m
;
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高一数学必修5《数列》复习提纲 定鼎教育
{bn
}
成等比数列
?{a
n
b
n
}
成等
比数列. (3)
{|a
n
|}
、
{ka
n
}成等比数列;
{a
n
}、
(4)两等比数列对应项积(商)组成的新数列
仍成等比数列.
(5)
a
1
?a
2
?L?a
m<
br>,a
k
?a
k?1
?L?a
k?m?1
,L
成等比数列.
?
na
1
(q?1)
?
na
1
(q?1)
??
?
?
a
1
n
(6)
S
n?
?
a
1
?a
n
qa
1
(1?qn
)
.
a
1
?q?
(q?1)
?
1?q
?
1?q
(q?1)
?
1
?q1?q
?
?
mn
(7)
p?q?m?n?b
p
?b
q
?b
m
?b
n
;
2m?p?q?b
m
2
?b
p
?b
q
S
m?n
?S
m
?qS
n
?S
n
?qS
m
.
(8)“
首大于1”的正值递减等比数列中,前
n
项积的最大值是所有大于或等于1的项的积;“首小于
1”
的正值递增等比数列中,前
n
项积的最小值是所有小于或等于1的项的积;
(9)并非任何两数总有等比中项. 仅当实数
a,b
同号时,实数
a,b<
br>存在等比中项.对同号两实数
a,b
的等
比中项不仅存在,而且有一对
G??ab
.也就是说,两实数要么没有等比中项(非同号时),如果有,必有
一对(同号时
)。
(10)判定数列是否是等比数列的方法主要有:定义法、中项法、通项法、和式法
4.等差数列与等比数列的联系:各项都不为零的常数列既是等差数列又是等比数列
5.数列求和的常用方法:
(1)公式法:①等差数列求和公式;②等比数列求和公式 2222
③
1?2?3?L?n?
1
n(n?1)
,
1
?2?3?L?n?
1
n(n?1)(2n?1)
,
26
1?3?
5?L?(2n?1)?n
2
,
1?3?5?L?(2n?1)?(n?1)
2
.
(2)分组求和法:在直接运用公式法求和有困难时,常将“和式”中“同类项”先合并
在一起,再运用
公式法求和.
(3)倒序相加法:在数列求和中,若和式中到首尾距离相等的
两项和有其共性或数列的通项与组合数相
关联,则常可考虑选用倒序相加法,发挥其共性的作用求和(这
也是等差数列前
n
和公式的推导方法).
(4)错位相减法:如果数列的通项是由一
个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成,那么常选
用错位相减法,将其和转化为“一个新的的
等比数列的和”求解(注意:一般错位相减后,其中“新等比
数列的项数是原数列的项数减一的差”!)
(这也是等比数列前
n
和公式的推导方法之一).
(5)裂项相消法:如果数列的通
项可“分裂成两项差”的形式,且相邻项分裂后相关联,那么常选用裂项
相消法求和.常用裂项形式有:
①
②
1
?
1
?
1
n(n?1
)nn?1
1
?
1
(
1
?
1
)
,
n(n?k)knn?k
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