高中数学必修5--数列经典例题集锦

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高中数学必修5数列题目精选精编
【典型例题】
（一）研究等差等比数列的有关性质
1. 研究通项的性质
n?1
{a}
a?1,a?3?a
n?1
(n?2)
.
n
1n
例题1. 已知数列满足
（1）求
a
2
,a
3
；
3
n
?1
a
n
?
2
. （2）证明：2
解：（1）
Qa
1
?1,?a
2
?3?1?4,a< br>3
?3?4?13
.
n?1
a?a?3
nn?1
（2）证明：由已知，故
a
n
?(a
n
?a
n?1
)?(a
n?1
?a
n?2
)???(a
2
?a
1
)

?a
1
?3

n?1
?3
n ?2
3
n
?13
n
?1
?L?3?1?a
n
?
2
， 所以证得
2
.
例题2. 数列
?
（ Ⅰ）求
?
a
n
?
的前
n
项和记为
S
n
,a
1
?1,a
n?1
?2S
n
?1(n?1 )

b
n
?
的各项为正，其前
n
项和为
T
n
，且
T
3
?15
，又
a
1
?b
1
,a
2
?b
2
,a
3
?b
3< br>a
n
?
的通项公式；
（Ⅱ）等差数列
?
成等比数列，求
T
n
.
解： （Ⅰ）由
a
n?1
?2S
n
?1
可得
a
n
?2S
n?1
?1(n?2)
，
两式相减得：
a
n?1
?a
n
?2a
n
,a
n?1
?3a
n
(n?2)
，
a
又
a
2
?2S
1?1?3
∴
a
2
?3a
1
故
?
n
?
是首项为1，公比为3的等比数列
n?1
a?3
n
∴
（Ⅱ）设
?
b
n< br>?
的公比为
d
，由
T
3
?15
得，可得b
1
?b
2
?b
3
?15
，可得
b< br>2
?5

故可设
b
1
?5?d,b
3
?5?d
，又
a
1
?1,a
2
?3,a
3
?9
，
2
(5?d?1)(5?d?9)?(5?3)
由题意可得，解得
d
1
?2,d
2
?10

∵等差数列
?
∴

b
n
?
的各项为正，∴
d?0
∴
d?2

T
n
?3n?
n(n?1)
?2? n
2
?2n
2

例题3. 已知数列
?
⑴求数列< br>?
a
n
?
的前三项与数列
?
b
n
?
的前三项对应相同，且
a
1
?2a
2
?2
2
a
3
?...

?2
n?1
a
n
?8n
对任意的
n?N
*
都成立，数列
b
n?1
?bn
是等差数列.
??
a
n
?
与
?
b
n
?
的通项公式；
?
⑵是否存在
k?N
，使得
b
k
?a
k
?(0,1)
，请说明理由.
n? 1
2n?1
2a
n
??
a?2a?2a?...?2a?8n
23n
点拨：（1）
1
左边相当于是数列前n项和的形式，
可以联想到已知
S
n
求
a
n
的方法，当
n?2
时，
S
n
?S
n?1
?a
n
.
.

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（2）把
b
k
?a
k
看作一个函数，利用函数的思想方法来研究
b
k
?a
k
的取 值情况.
2n?1
a?2a?2a??2a
n
?8n
(n?N*
）①
123
解：（1）已知…
2n?2
n?2
时 ，
a
1
?2a
2
?2a
3
?
…
? 2a
n?1
?8(n?1)
(n?
N*
）②
4?n
n?1
a?2
2a?8
n
n
①－②得，，求得，
4?1
在①中令
n?1
，可得得
a
1
?8?2
，
4?n
(n?
N*）. 所以
a
n
?2
由题意
b
1
?8
，
b
2
?4
，
b
3
?2
，所以
b
2
?b
1
??4
，
b
3
?b
2
?? 2
，
∴数列
{b
n?1
?b
n
}
的公差 为
?2?(?4)?2
，
∴
b
n?1
?b
n?
?4?(n?1)?2
?2n?6
，
b
n
?b1
?(b
2
?b
1
)?(b
3
?b
2
)?L?(b
n
?b
n?1
)

2
4?k
（2）
b
k
?a
k
?
k?7k?14?
2
，
?(?4)?(?2)?L?(2n?8)
?n
2
?7n?14
(n?
N*
）.
77
f(k)?(k?)2
??
4?k
24
2
单调递增，且
f(4)?1
， 当
k?4
时，
2
4?k
所以
k?4
时，f(k)?k?7k?14?
2?1
，
又
f(1)?f(2)?f(3)?0
，
所以，不存在
k?N*< br>，使得
b
k
?a
k
?(0,1)
.

例题4. 设各项均为正数的数列{a
n
}和{b
n
}满足：an
、b
n
、a
n+1
成等差数列，b
n
、a< br>n+1
、b
n+1
成等比数列，且a
1
= 1， b
1
= 2 ， a
2
= 3 ，求通项a
n
，b
n

解： 依题意得：
2b
n+1
= a
n+1
+ a
n+2
①
a
2
n+1
= b
n
b
n+1
②
∵ a
n
、b
n
为正数， 由②得
代入①并同除以
∴
b
n?1
a
n?1
?b
n
b
n?1
,a
n?2
?b
n?1
bn?2
，
2b
n?1
?b
n
?b
n?2
， 得：
9
2
，
{b
n
}
为等差数列
∵ b
1
= 2 ， a
2
= 3 ，
2
a
2< br>?b
1
b
2
,则b
2
?
92(n?1)2
b
n
?2?(n?1)(?2)?(n?1),?b
n
?222
∴ ，
n(n?1)
a
n
?b
n
b
n?1
?
2
， ∴当n≥2时，
n(n?1)
a
n
?
2
又a
1
= 1，当n = 1时成立， ∴

2. 研究前n项和的性质
例题5.
n
{a}
S?a?2?b
，且
a
1
?3
.
n
n
n
已知等比数列的前项和为
.

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（1）求
a
、
b
的值及数列< br>{a
n
}
的通项公式；
n
b
n
?
a
n
，求数列
{b
n
}
的前
n
项和
T
n
. （2）设
n?1
a?S?S?2?a
.而
{a< br>n
}
为等比数列，得
a
1
?2
1?1
?a? a
，
nnn?1
n?2
解：（1）时，
n?1
a?3?2
a?3
n
又
1
，得
a?3
，从而.又
Qa
1
?2a?b?3,?b??3
.
（2）
b
n
?
nn
123n
?
T?(1???L?)
n?1
a
n
3?2
，
n
322
2
2
n?1

11123n?1n11111n
T
n
?(?
2
?
3
?L?
n?1
?
n
T
n
?(1??
2< br>?L?
n?1
?
n
)
2322222
） ，得
232222
，
1
1?(1?
n
)
2
2
?
n
]?
4
(1?
1
?
n
) T
n
?[
3
1?
1
2
n
32
n< br>2
n?1
2
.

1
例题6. 数列
{a< br>n
}
是首项为1000，公比为
10
的等比数列，数列
{b< br>n
}
满足
1
b
k
?(lga
1
? lga
2
?L?lga
k
)
*
(k?N)
，
k

（1）求数列
{b
n
}
的前
n项和的最大值；（2）求数列
{|b
n
|}
的前
n
项和
S
n
.

的等差数列，
∴
4?n
a?10
n
解：（1）由题意：，∴
lga
n
?4?n
，∴ 数列
{lga
n
}
是首项为3，公差为
?1
?
lg a
1
?lga
2
?L?lga
k
?3k?
k(k? 1)1n(n?1)7?n
b
n
?[3n?]?
2
，∴
n2 2



?
b
n
?0
21
?S?S?
67
b?0
2
. 由
?
n?1
，得
6?n?7
，∴数列
{b
n
}
的前
n
项和 的最大值为
（2）由（1）当
n?7
时，
b
n
?0
，当
n?7
时，
b
n
?0
，
7?n
3?
2
)n??
1
n
2
?
13
nS
n
?
?b
1
?b
2
?L?b
n
?(
244
∴当
n?7
时，
当
n?7
时，
2
?2S?(b?b?L?b)?n?n?21
?
712n
S
n
?b
1
?b
2
?L?b
7
?b
8
?b
9
?L?b
n
44



113

?
1
2
13
?n?n(n?7)
?
?
44
S
n
?
?
?
?
1
n
2
?
13
n?21(n?7)
?
4
?
4
∴.

例题
7.
已知递增的等比数列
{
a
n
}
满足
a
2
?a
3
?a
4
?28
，且
a
3
?2
是
a
2
，
a
4
的等差 中项
.

（
1
）求
{
a
n
}< br>的通项公式
a
n
；（
2
）若
b
n
? a
n
log
1
a
n
2
，
S
n?b
1
?b
2
?L?b
n
求使
.

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S
n
?n?2
n?1
?30< br>成立的
n
的最小值
.

解：（1）设等比数列的公比为q（q＞1），由
1
a
1
q+a
1
q
2
+a
1
q
3
=28，a
1
q+a
1
q
3
=2（a
1
q
2
+ 2），得：a
1
=2，q=2或a
1
=32，q=
2
∴a< br>n
=2·2
（
n
－
1
）
（舍）
=2
n

2
（2） ∵，∴S
n
=－（1·2+2 ·2
2
+3·2
3
+…+n·2
n
）
∴2Sn
=－（1·2
2
+2·2
3
+…+n·2
n+1），∴S
n
=2+2
2
+2
3
+…+2
n－n·2
n+1
=－（n－1）·2
n+1
－2，
若S
n
+n ·2
n+1
＞30成立，则2
n+1
＞32，故n＞4，∴n的最小值为5.
b
n
?a
n
log
1
a
n
??n ?2
n

*
例题8. 已知数列
{a
n
}
的前n项和为S
n
，且
?1,S
n
,a
n?1
成等 差数列，
n?N,a
1
?1
. 函数
f(x)?log
3
x
.
（I）求数列
{a
n
}
的通项公式；
（II）设数列{b
n
}
满足
b
n
?
1
(n?3)[ f(a
n
)?2]
，记数列
{b
n
}
的前n项和为 T
n
，试比较
52n?5
?
12312
的大小. 解：（I）
Q?1,S
n
,a
n?1
成等差数列，
?2 S
n
?a
n?1
?1
① 当
n?2
时，
2S
n?1
?a
n
?1
②.
T
n
与
①－②得：
2(S
n
?S
n?1< br>)?a
n?1
?a
n
，
?3a
n
?a
n?1
，
当n=1时，由①得
?2S
1
?2a
1
?a
2
?1
， 又
a
1
?1,
?
a
n?1
?3.
a
n

a
2
?3,
a
1

?a
2
?3,?

?{a
n
}
是以1为首 项3为公比的等比数列，
?a
n
?3
n?1
.

n?1
（II）∵
f
?
x
?
?log
3
x
，
?f(a
n
)?log
3
a
n
?log
3
3?n?1
，
11111
b
n
???(?)
(n?3)[f(a
n
)?2](n?1)(n?3)2n?1n?3
，
11
?T
n
?(????????
L
????)
2 24354657nn?2n?1n?3

2n?5
11111
?
5
?
?(???)
122(n?2)(n?3)
,
223n?2n?3

52n?5
T
n
与?
12312
的大小，只需比 较
2(n?2)(n?3)
与312 的大小即可. 比较
又2(n?2)(n?3 )?312?2(n
2
?5n?6?156)?2(n
2
?5n?150)< br>?2(n?15)(n?10)

52n?5
2(n?2)(n?3)?312 ,即T
n
??;
**
n?N,1?n?9且n?N
12312
∵∴当时，
52n?5
2(n?2)(n?3)?312,即T
n
??;
n?10
12312
当时，
52n?5
2(n?2)(n?3)? 312,即T
n
??
*
12312
. 当
n?10且n?N
时，

3. 研究生成数列的性质
.

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nn
例题9. （I） 已知数列
?
c
n
?
，其中
c
n
?2?3
，且数列
?c
n?1
?pc
n
?
为等比数列，求常数
p
；
（II） 设
?
a
n
?
、
?
b
n
?
是公比不相等的两个等比数列，
c
n
?a
n
?b
n
，证明数列
?
c
n
?
不是
等比数列.
解：（Ⅰ）因为{c
n+1
－pc
n
}是等比数列，故有
（c
n+1
－pc
n
）
2
=（ c
n+2
－pc
n+1
）（c
n
－pc
n
－
1），
将c
n
=2
n
＋3
n
代入上式，得 < br>＋＋
[2
n1
+3
n1
－p（2
n
＋3n
）]
2

＋＋－
－
=[2
n2
+3
n2
－p（2
n+1
＋3
n+1
）]·[2
n+3
n
－p（2
n1
＋3
n1
）]，
即[（2－p）2
n
+（3－p）3
n
]
2
－－
=[（2－p）2
n+1
+（3－p）3
n+1
][ （2－p）2
n1
+（3－p）3
n1
]，
1
整理得6
（2－p）（3－p）·2
n
·3
n
=0，
解得p=2或p=3.
（Ⅱ）设{a
n
}、{b
n
}的公比分别为p、q，p≠q，cn
=a
n
+b
n
.
为证{c
n
} 不是等比数列只需证
c
2
≠c
1
·c
3
. 事实上，
c
2
=（a
1
p＋b
1
q）
2
=
a
1
p
2
＋
b
1
q
2
＋2a
1
b
1
pq，
c
1
·c
3
=（a
1
＋b
1
）（a
1
p
2
＋b
1
q
2
）=
222
2
a
1
2
p
2
＋
b
1
2
q
2
＋a
1
b
1
（p
2
＋q
2
）< br>.
由于p≠q，p
2
＋q
2
>2pq，又a
1< br>、b
1
不为零，
2
c?
c
1
·
2
因此c
3
，故{c
n
}不是等比数列.

例题10. n
2
（ n≥4）个正数排成n行n列：其中每一行的数成等 差数列，每一列的数成
13
a
42
?,a
43
?
8 16
等比数列，并且所有公比相等已知a
24
=1，
求S=a
11
+ a
22
+ a
33
+ … + a
nn

解： 设数列{
a
1k
}的公差为d， 数列{
a
ik
}（i=1，2，3，…，n）的公比为q
则
a
1k
= a
11
+ （k－1）d ， a
kk
= [a
11
+ （k－1）d]q
k1
－
?
?
a
24
?(a
11
?3d)q?1?
1
?
3
a?(a?d)q?
?
4211
8< br>?
3
?
1
3
a?(a?2d)q?
11
?< br>43
16
，解得：a
11
= d = q = ±
2
依题意得：
?
又n
2
个数都是正数，
1k
k
∴a
11
= d = q =
2
， ∴a
kk
=
2

1111
S??2?
2
?3?
3
???n?
n
2
222
，
11111
S?
2
?2?
3
?3?
4
???n?
n? 1
22222
，
.

可编辑文档
两式相减得：

S?2?
1
2
n?1
?
n
2
n

例题11. 已知函数
f(x)?log
3
(ax?b)
的图象经过 点
A(2,1)
和
B(5,2)
，记
a
n
?3f(n)
,n?N
*
.

（1）求数列
{a
n
}
的通项公式；
a
n
,T
n
?b
1
?b
2
???b
n
n2
（2）设，若
T
n
?m(m?Z)
，求
m
的 最小值；
111
(1?)(1?)?(1?)?p2n?1
a
1
a
2
a
n
（3）求使不等式对一切
n?N*
均成立的最大实数
p
.
b
n
?
?
log
3
(2a?b)?1
?
a?2
?
?
log(5a?b)?2
解：（1）由题意得
?
3
，解得
?
b??1
，
?f(x)?log
3
(2x?1)

a
n
?3
log
3
(2n?1)
?2n?1,n?N
*

2n?11352n?32n?1
b
n
?
n
?T
n
?
1
?
2
?
3
???
n?1
?< br>n
2
，
22222
① （2）由（1）得
1132n?52n?32n?1
T
n
???????
n?1
22
2
2
3
2
n?1
2
n
2
② ①－②得
1122222n?111111
T
n
?
1< br>?
2
?
3
???
n?1
?
n
?n?1
?
1
?(
1
?
2
???
n?2
?
n?1
)
2
22222222222
2n?1312n? 1
12n?12n?3
?
n?1
??
n?1
?
n? 1
?T
n
?3?
n?2
?
n
?3?
22
222
n
，
22
.
2n?3
*
,n?N
2
n
设，则由
2n?5n?1
f(n?1)2n?51111
2
???????1
2n?32(2n?3)22n?325f(n)
2
n

2n?3
*f(n)?,n?N
2
n
得随
n
的增大而减小
f(n )?
?当n???
时，
T
n
?3
又
T
n< br>?m(m?Z)
恒成立，
?m
min
?3

1111
p?(1?)(1?)?(1?)对n?N
*
a
1
a
2a
n
2n?1
（3）由题意得恒成立
F(n)?
记
1111
(1?)(1?)?(1?)
a
1
a
2
a
n
，则
2n?1
.

可编辑文档
F( n?1)
?
F(n)
?
1111
)(1?)?(1?)(1?)a
1
a
2
a
n
a
n?1
2n?31111
(1?)(1?)?(1?)
a
1
a
2
an
2n?1
(1?
?
2(n?1)
4(n?1)
2?(n?1)
?
1
2n?2
(2n?1)(2n?3)
2
?
n?1
?
?1
2
?
n?1
?

?F(n)?0,?F(n?1)?F(n),即F(n)
是随
n
的增大而增大
F(n)
的最小值为
F(1)?
222
3?p?3p
max
?3
333
，，即.

（二）证明等差与等比数列
1. 转化为等差等比数列.
*
例题12. 数列
{a
n
}
中，
a
1
?8,a
4
?2
且满足
a
n?2?2a
n?1
?a
n
，
n?N
.
⑴求数列
{a
n
}
的通项公式；
⑵设
S
n
?|a
1
|?|a
2
|???|a
n
|
，求
S
n
；
1
**
⑶设
b
n
=
n(12?a
n
)
(n?N),T
n
?b
1
?b
2
?L?b
n
(n?N)
，是否存在最大的整数
m< br>，使得
m
*
对任意
n?N
，均有
T
n
?
32
成立？若存在，求出
m
的值；若不存在，请说明理由.
解：（1）由题意，
a
n?2
?a
n?1
?a
n?1
?a
n
，
?{a
n
}
为等差数列，设公差为
d< br>，
由题意得
2?8?3d?d??2
，
?a
n
?8 ?2(n?1)?10?2n
.
（2）若
10?2n?0则n?5
，
n?5时,S
n
?|a
1
|?|a
2
|???|a
n
|

?a
1
?a
2
?L?a
n
?
8?10?2n
?n?9n?n
2
,
2

n? 6
时，
S
n
?a
1
?a
2
???a
5
?a
6
?a
7
??a
n

?S
5
?(S
n
?S
5
)?2S
5
?S
n< br>?n
2
?9n?40

2
?
?
9n?nn?5
S
n
?
?
2
?
?
n?9n?4 0

n?6
故
11111
Q
b
n
?? ?(?)
n(12?a
n
)2n(n?1)2nn?1
， （3）
n
1111111111
?
?[(1?)?(?)?(?)?
L
?(? )?(?)]
2(n?1)
.
T
22334n?1nnn?1
?n
2

mnm
T
n
??
**
32对任意
n?N
成立，即
n?116
对任意
n?N
成立， 若
Q
1
nm1
(n?N
*
)??,
n?1
的最小值是
2
，
162
?m
的最大整数值是7.
m
T?.
n
*
32
即存在最大整数
m?7,
使对任意
n?N
，均有

a
例题
13.
已知等比数列
{b
n
}
与 数列
{a
n
}
满足
b
n
?3
n
, n?
N*.

.

可编辑文档
（
1）判断
{a
n
}
是何种数列，并给出证明；

（
2
）若
a
8
?a
13
?m,求b
1
b< br>2
Lb
20
.

a
解：（
1
）设
{b
n
}
的公比为
q
，∵
b
n
? 3
n
，∴
3
a
1
?q
n?1
?3
a
n
?a
n
?a
1
?
?
n?1
?
log
3
q
。

所以
{a
n
}< br>是以
log
3
q
为公差的等差数列
.

（
2
）∵
a
8
?a
13
?m,
所以由等差数 列性质可得
a
1
?a
20
?a
8
?a
13
?m,

a
1
?a
2
?a
3
?< br>…
?a
20
?
(a
1
?a
20
)? 20
?10m?
b
1
b
2
L
b
20
?3
(a
1
?a
2
?
L
?a
20
)
?3
10m

2

2. 由简单递推关系证明等差等比数列
例题14. 已知数列
{a
n
}
和
{b
n
}
满足：
a
1
?1
，
a
2
?2
，
a
n
?0
，
b
n
?a
n
a
n?1
（
n?N*
），
且
{b
n
}
是以
q
为公比的等比数列.
2
a?aq
n?2n
（I）证明：；
（II）若
c
n
?a
2n?1
?2a
2n
，证明：数列
{c
n
}
是等比数列；
111111
????L??
a
2n?1
a
2n
. （III）求和：
a
1
a
2
a
3
a
4a
n?1
a
n?2
a
b
n?1
?
n? 2
?q
?q
2
a
n
a
n
a
n?1
解法1：（I）证：由
b
n
，有，
∴
a
n?2?a
n
q
?
n?N*
?
.
2
a?aq
nn?2
（II）证：∵，
?a
2n?1?a
2n?3
q
2
?L?a
1
q
2n?2，
a
2n
?a
2n?2
q
2
?
...
?a
2
q
2n?2
，
?c
n
?a
2n?1
?2a
2n
?a
1
q
2n?2
?2a< br>2
q
2n?2
?(a
1
?2a
2
)q
2n?2
?5q
2n?2
.
?
?
c
n
?
是首项为5，公比为
q
2
的等比数列.
1
（III ）解：由（II）得
a
2n?1
?
1
2?2n
11
2?2n
q
?q
2n2
a
1
a
，
a
，于是
111111111
??L??(??L?)?(??L?)
a
1
a
2
a
2n
a
1
a
3
a
2n?1
a
2
a
4
a
2n

?

11111111
(1?
2
?
4
?L?
2n?2< br>)?(1?
2
?
4
?L?
2n?2
)
a1
qqqa
2
qqq


3111
?(1?< br>2
?
1
?L?
2n?2
)
2qqq
. < br>1113111
??L??(1?
2
?
4
?L?
2n ?2
)
?
3
n
a
2n
2qqq
2
. 当
q?1
时，
a
1
a
2
1113111??L??(1?
2
?
4
?L?
2n?2
)
a
2n
2qqq
当
q?1
时，
a
1
a
2

.

可编辑文档
31?q
?2n
3 q
2n
?1
?()?[
2n?22
]
21?q
?2
2q(q?1)
.
?
3
n， q?1，< br>?
2
111
?
??
L
??
?
q2n
?1
a
1
a
2
a
2n
?
?
[
2n?22
]，q?1.
?
?q(q?1)
?
故
解法2：（I）同解法1（I）.
c
n?1
a
2n?1?2a
2n?2
q
2
a
2n?1
?2q
2a
2n
???q
2
(n?N
*
)
a
2 n?1
?2a
2n
a
2n?1
?2a
2n
（II） 证：
c
n
，又
c
1
?a
1
?2a
2
?5
，
?
?
c
n
?
是首项为5，公 比为
q
2
的等比数列.
2n?22n?2
a?a?(a?a)q ?3q
2n?12n12
（III）由解法1中（II）的类似方法得，
a?aa?a
a?a
4
111
??L??
12
?
3< br>?L?
2n?12n
a
1
a
2
a
2n
a
1
a
2
a
3
a
4
a
2n?1
a
2n
，
a
2k?1
?a
2k
3q2k?2
3
?2k?2
Q?
4k?4
?q
a
2 k?1
a
2k
2q2
，2，L，n
. ，
k?1
11
...
13
????1?q
?2
?
...
?q
?2n?2
a
2n
2
∴
a
1
a
2
.
??

例题
15.
设数列
{a
n
}的前n项和为S
n
,且S
n
?(1?
?
)??
a
n
,其中
?
??1,0

（1）证明：数 列
（2）设数列
求数列
{a
n
}
是等比数列；
{ a
n
}
的公比
q?f(
?
)
，数列
{b< br>n
}
满足
b
1
?
，b
n
=f （b
n
－
1
）（n∈N*
，
n≥2），
{b
n
}
的通项公式；
1
?1)
，求数列
{C
n
}
的前
n
项和
Ｔ
n
.

b
n
（
1
）证明：由
S
n
?(1?
?
)??
a
n
?S
n?1
?(1?
?
)?
?
a
n?1
(n?2)

a
n
?
a???
a?
?
a,??(n?2),
∴数列
{a
n
}
是等比数列

相减得：
nnn?1
a
n?1
1?
?
（
3
）设
?
?1
，
C
n
?a
n
(
（
2
）解：

111
?{}< br>是首项为
?2
，公差为
1
的等差数列，∴
?2?(n?1)? n?1
.
?b
n
?
1
.

b
n
b
1
b
n
n?1
1
n?1
11
n?1
（
3
）解：
?
?1
时
,a
n
?(),?C
n
?a
n
(?1)?()n

2b
n
2
111
?T
n
?1?2()?3()
2
?L? n()
n?1

①

222
.

可编辑文档


①－②得：
n
?
?
1
?
n
?
1
?
1
?
T
n
?2
?
1?
??
?
?n
??
2
?
2
?
?
?
?
2
?
?
?
∴
②


所以：
T
n
?4(1?()
n
)?2n()
n
.


例题
16.
? OBC
的各个顶点分别为
(0,0),(1,0),(0,2)
，设
P
1
为线段
BC
的中点，
P
2
为线段
1
2
1
2
P
3
为线段
OP
OC
的中点，
1
的中点
.
对每一个正整数
n,P
n?3
为线段
P
n
P
n?1
的中点
.
令
P
n
的坐标为
(x
n
,y
n
)
，
a
n
?
1
y
n
?y
n?1
?y
n?2
.

2
（1）求
a
1
,a
2
,a
3
及
a
n
,(n?N)
；
?

y
n
,(n?N
?
)

4
?
（< br>3
）记
b
n
?y
4n?4
?y
4n
,(n?N)
，证明：
{b
n
}
是等比数列
.

13
（
1
）解：因为
y
1
=y
2
=y
4
=1
，
y
3
=
，
y
5
=
，所以

得
a
1
=a
2
=a
3
=2.

24
y?y
n?1
又由
y
n?3
?
n，对任意的正整数
n
有

2
y?y
n?1
11 1
a
n+1
=
y
n?1
?y
n?2
?y< br>n?3
=
y
n?1
?y
n?2
?
n
=
y
n
?y
n?1
?y
n?2
=a
n

2222
（
2
）证明：
y
n?4
?1?
恒成立，且
a
1
=2
，

所以
{a
n
}
为常数数列，
a
n
=2
，（
n
为正整数）

y?y
n? 2
y
1
（
2
）证明：根据
y
n?4
?n?1
，

及
y
n
?y
n?1
?y< br>n?2
=a
n
=2
，

易证得
y
n+4
=1
－
n

2
2 4
（
3
）证明：因为
b
n+1
=
y
4n? 8
?y
4n?4
=
（
1
－
又由
b
1
=
y
8
?y
4
=1
－
y
y4n?4
1
）－（
1
－
4n
）
=
?b
n
，

44
4
y
4
1
?
y
4
=
?
，


44
11
??< br>所以{b
n
}是首项为
4
，公比为
4
的等比数列.
.

可编辑文档

【模拟试题】
一、填空题
1. 在等差数列｛a
n
｝中，已知a
1
=2，a
2
+a
3
=13，则a
4
+a
5
+a
6
等 于= .
2. 已知数列的通项
a
n
??5n?2，则其前
n
项和
S
n
?
.
3. 首项为－24的等差数列，从第10项开始为正，则公差
d
的取值范围是 .
2
4. 在等比数列
{a
n
}
中，
a
3
和
a
5
是二次方程
x?kx?5?0
的两个根，则
a
2
a
4
a
6

的值为 .
5. 等差数列{a
n
}中，a
1
=1，a
3+a
5
=14，其前n项和S
n
=100，则n= .
6. 等差数列{a
n
}的前m项和为30，前2m项的和为100，求它的前 3m项的和为________
A
n
7n?45
a
7
?
{b}B
{a}
Bn?3
，
b
7
= 7. 已知两个等差数列
n
和
n
的前
n
项和分别为A
n< br>和
n
，且
n
a
n
，若
b
n
为正整数，n的取值个数为___________。
8. 已知 数列
?
a
n
?
对于任意
p，q?N
，有
a
p
?a
q
?a
p?q
，若
S
S
9 . 记数列
{a
n
}
所有项的和为
(1)
，第二项及以后各 项的和为
(2)
，第三项及以后各项的
*
a
1
?
1
9
，则
a
36
?
.
和为
S
(3)
,?
1
2
n?2
，第
n
项及以后各项的和 为
S
(n)
，若
S
(1)
?2
，
S
(2)
1
S?,L
(3)
?1
2
， ，
S
(n)
?,L
，则
a
n
等于 .
10. 等差数列
{a
n
}
共有
2n?1
项，其中 奇数项之和为319，偶数项之和为290，则其中间项
为_____.
2
11. 等差数列
{a
n
}
中，
a
n
?0
，若m?1
且
a
m?1
?a
m
?a
m?1
?0
，
S
2m?1
?38
，则
m
的值
为 .
12. 设
S
n
为等差数列
{a
n
}
的前
n
项和. 已知
S
6
?36,S
n
?324, S
n?6
?144(n?6)
，则
n
等于
.
13. 已知函数
f(x)
定义在正整数集上，且对于任意的正整数
x
，都有
f(x?2)?2f(x?1)

?f(x)
，且
f (1)?2,f(3)?6
，则
f(2005)?
__ __.
14. 三个数
a,b,c
成等比数列，且
a?b?c?m(m?0)
，则b的取值范围是 .
15.
等差数列
{a
n
}
中，前
n
项和为
S
n
，首项
a
1
?4,S
9
?0
.

（
1
）若
a
n
?S
n
??10
，求
n

（
2
）

设
b
n
?2
a
n
，求使不等式
b
1
?b
2
?L?b
n
? 2007
的最小正整数
n
的值
.

点拨：在等差数列中< br>a
n
,S
n
,n,d
知道其中三个就可以求出另外一个，由已 知可以求出首
项
a
1
与公差
d
，把
a
n< br>,S
n
分别用首项
a
1
与公差
d
，表示即可
.
对于求和公式
S
n
?
n(a
1
?a< br>n
)
，
2
n(n?1)
d
采用哪一个都可以，但是很 多题目要视具体情况确定采用哪一个可能更
2
简单一些
.
例如：已知
a
9
?0,a
10
?0,a
9
?a
10
?0,
判断
S
17
,S
18
,S
20
的正 负
.
问题
2
在思考时要注
S
n
?na
1
?
.

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意加了绝对值时负项变正时，新的数列首项是多少，一共有多少项
.

16. 等差数列{
a
n
}的前
n
项和为
S
n
，
a
1
?1?2
，
S
3
?9?32< br>.
（I）求数列{
a
n
}的通项
a
n
与 前
n
项和为
S
n
；
（II）设
b
n?
S
n
*
n
（
n?N
），求证：数列{
b
n
}中任意不同的三项都不可能成为等比数列.
1
(x
1< br>,y
1
),P
2
(x
2
,y
2
)L ,P
n
(x
n
,y
n
)L
，对一切正整数n，点< br>P
n
位17. 在直角坐标平面上有一点列
P
于函数
y?3x ?
5
13
?
4
的图象上，且
P
n
的横坐标 构成以
2
为首项，
?1
为公差的等差数列
{x
n
}
.
⑴求点
P
n
的坐标；
⑵设抛物线列
c1
,c
2
,c
3
,?,c
n
,?
中的 每一条的对称轴都垂直于
x
轴，第
n
条抛物线
c
n
的
2
D(0,n?1)
，设与抛物线
c
n
相切于
D
n
的直线的斜率为
k
n
，求：
P
n
n顶点为，且过点
111
??L?
k
1
k
2
k< br>2
k
3
k
n?1
k
n
.
⑶设< br>S?
?
x|x?2x
n
,n?N,n?1
?
,T?< br>?
y|y?4y
n
,n?1
?
，等差数列{
a
n
}的任一项
a
n
?S?T
，其中
a
1
是
S?T
中的最大数，
?265?a
10
??125
，求{
a
n
}的通项公式.
*
a
??
a?1,a?2a?1(n?N)
，
n
1n?1n
18. 已知数列满足
（1）求数列
?
a
n
?
的通项公式；
b?1b
b?1b?1
*
a
??
44L4?(a?1)(n?N)
（n∈N
*
）
n
n
（2）若数列满足，证明：
?< br>b
n
?
是等差
12
nn
数列.




















.

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【试题答案】
1. 42
n(5n?1)
2
2.
8
(,3]
3.
3

?
4.
?55

5. 10
6. 210
7. 8.5；5个
解法一：点拨 利用等差数列的求和公式
?
2 m?p?q,m,p,q?N
“若，则
S
n
?
(a
1
?a
n
)n
2
及等差数列的性质
”
a
m?
a
p
?a
q
2
(a
1
?a
13
)
?13
A
13
17
2
??
a
7
(b?b)?13
B
13
2
113
2
解析：< br>b
7
=
2
a
S?an?bn
”这个结论，根据条件
n
解法2： 点拨 利用“若{
n
}为等差数列，那么
找出
a
n
和
b
n
的通项.
解析：可设
A
n
?kn(7n?45)
，
B
n
?kn(n?3)
，则a
n
?A
n
?A
n?1
?k(14n?38)
，
a
7
k(14?7?38)17
?
b
k(2?7?2) 2

b
n
?k(2n?2)
，则
7
=
a< br>n
k(14n?38)12
12
?7?
n?1
，显然只需使< br>n?1
为正整数即可， 由上面的解法2可知
b
n
=
k(2n ?2)
故
n?1,2,3,5,11
，共5个.
点评：对等差数列的求和公式的几种形式要熟练掌握，根据具体的情况能够灵活应用.
反思：解法2中，若是填空题，比例常数k可以直接设为1.
8. 4
9. 解 ：
a
n
?S
(n)
?S
(n?1)
?
1< br>2
n?2
?
10. 解：依题意，中间项为
a
n?1
，于是有
11
?
2
n?1
2
n?1
.
?
(n?1)a
n?1
?319
?
?
na
n?1
?290
解得
a
n?1
?29
.
2
11. 解：由题设得
a
m
?a
m?1
?am?1
?2a
m
，而
a
m
?0
，
?a
m
?2
，又
QS
2m?1
?38
，
?38 ?
(a
1
?a
2m?1
)(2m?1)2a
m
(2 m?1)
??2(2m?1)
22
，
m?10
.
12. 解：
S
6
?(S
n
?S
n?6
) ?6(a
1
?a
n
)?36?(324?144)?216
，
a
1
?a
n
?36
，
.

可编辑文档
S
n
?
n(a
1
?a
n
)
?324
2
. ∴
n?18
。
*
13. 解：由
f(x?2)?f(x)?2f(x?1)
知函数
f(x)(x?N)
当
x
从小到大依次取值时对应
的一系列函数值组成一个等 差数列，
f(1),f(3),L,f(2005)
形成一个首项为2，公差为4的
等 差数列，
f(2005)?2?(1003?1)?4?4010
.
bb1m
a?,c?bq?b?bq?m,Qb?0,??q?1?
qqb
. 14. 解：设，则有
q
m1
m
??q?1?3
?0?b?
3
； 当
q?0
时，
bq
，而
b?0
，
m 1
m
??q?1??1
??1
bq
q?0
当时，，即
b
，而
m?0
，
?b?0
，则
?m?b?0
，
m
b?[?m,0)?(0,]
3
. 故
15.
解：（
1
）由
S
9
?9a
1
?36d?0
，得：
d??1,a
n
?5?n
，

n(n?1)
?(?1)??10
.

又由
a
n
?S
n
??10,4?(n?1)(?1)?4n?
2
即
n
2
?7n?30?0
，得到
n?10
.

（
2
）由
b
n
?2
5?n

若< br>n
≤5
，则
b
1
?b
2
?L?b
n
≤
b
1
?b
2
?L?b
5
?31
，不合题意

n?5
2(2?1)
故
n
>5
，b
1
?b
2
?
L
b
n
?31??20 07

2?1
即
2
n?5
?989
，所以
n
≥15
，使不等式成立的最小正整数
n
的值为
15
?
?
a
1
?2?1，
?
?
3a
1?3d?9?32
，
?d?2
， 16. 解答：（I）由已知得
?故
a
n
?2n?1?2，S
n
?n(n?2)
. < br>（Ⅱ）由（Ⅰ）得
b
n
?
S
n
?n?2
n< br>.
2
b,b,b
b?b
p
b
r
. < br>{b}
p,q,r
pqr
假设数列
n
中存在三项（互不相等） 成等比数列，则
q
2
即
(q?2)?(p?2)(r?2)
.
?(q
2
?pr)?(2q?p?r)2?0

Qp，q，r?N
?
，
?
q
2
?pr?0，p?r
22
?
?
?()?pr，(p?r)?0，?p?r
?< br>2q?p?r?0，
2
.
与
p?r
矛盾.
.

可编辑文档
53
x
n
???(n?1)?(?1)??n?
22
17. 解：（1）
13535
?y
n
?3?x
n
???3 n?,?P
n
(?n?,?3n?)
4424

（2）
?c
n
的对称轴垂直于
x
轴，且顶点为
P
n
.
?
设
c
n
的方程为：
y?a(x?
2n?3
2< br>12n?5
)?,
24

2
22
把
D
n
(0,n?1)
代入上式，得
a?1
，
?c
n
的方程为：
y?x?(2n?3)x?n?1
.
k
n
?y
'
|
x?0
?2n?3
，
k
n?1
k
n
?
?
1
?
1111
?(?)
(2n?1)(2n? 3)22n?12n?3

111
1111111
??L?
?[(? )?(?)?
L
?(?)]
k
1
k
2
k
2
k
3
k
n?1
k
n
257792n?12n?3< br>
11111
(?)??
=
252n?3104n?6
.
（3）
S?{x|x??(2n?3),n?N,n?1}
，
T?{y|y ??(12n?5),n?N,n?1}?{y|y??2(6n?1)?3,n?N,n?1}

?SIT?T,
T 中最大数
a
1
??17
.
设
{a
n
}
公差为
d
，则
a
10
??17?9d?(?265,?125)
，由此得
?
248
?d??12 ,又Qa
n
?T?d??12m(m?N
*
)
9

?d??24,?a
n
?7?24n(n?N
*
)

*
Qa?2a?1(n?N),

?a
n?1
?1?2(a
n
?1),

n?1n
18. （1）解：


?
?
a
n
?1
?
是以
a
1
?1?2
为首项，2为公比的等 比数列.
?a
n
?1?2
n
.
即
a
n
?2
n
?1(n?N*)
.
k
n< br>?1
k
1
?1k
2
?1
?(a
n
? 1)
k
n
.
（2）证：
Q44...4
?4
(k
1
?k
2
?...?k
n
)?n
?2
nk
n
.





?2[(b
1< br>?b
2
?...?b
n
)?n]?nb
n
,
①

2[(b
1
?b
2
?...?b
n
?b
n?1
)?(n?1)]?(n?1)b
n?1
.
②
②－①，得
2(b
n?1
?1)?(n?1)b
n?1
?n b
n
,

即
(n?1)b
n?1
?nb
n
?2?0,
③
nb
n?2
?(n?1)b
n?1
?2?0.
④
③－④，得
nb
n?2
?2nb
n?1
?nb
n
?0,

*
b?2b?b?0,
?b?b?b?b(n?N),

n?2n?1n?1n
n?2n?1n
即
?
?
b
n
?


是等差数列.
.