高中数学竞赛极点极线-史老师高中数学
(Ⅰ)求数列{a
n
}的通项公式;
(Ⅱ)设b
n
=log
3
a
1
+log
3
a
2
+…+l
og
3
a
n
,求数列{
2
}的前n项和.
222
解:(Ⅰ)设数列{a
n
}的公比为q,由a
3
=9a
2<
br>a
6
有a
3
=9a
4
,∴q=.
由条件可知各项均为正数,故q=.
由2a
1
+3a
2
=
1有2a
1
+3a
1
q=1,∴a
1
=.
故数列
{a
n
}的通项式为a
n
=
(Ⅱ)b
n
=
故=﹣
+
.
=﹣(1+2+…+n)=﹣
)则
.
﹣(2n﹣1)a
n
﹣2n=0.
++…+
,
)]=﹣,
+…+
=﹣2(﹣=﹣2[(1﹣)+(﹣)+…+(﹣
∴数列
{}的前n项和为﹣
7.(2013?江西)正项数列{a
n
}满足
(1)求
数列{a
n
}的通项公式a
n
;
(2)令b
n
=
,求数列{b
n
}的前n项和T
n
.
﹣(2n﹣1)a
n
﹣2n=0, 解:(1)由正项数列{a
n
}
满足:
可有(a
n
﹣2n)(a
n
+1)=0
∴a
n
=2n.
(2)∵a
n
=2n,b
n
=<
br>∴b
n
=
T
n
=
数列{b
n
}的前
n项和T
n
为.
=
,
=
=
,
=.
6.(2013?山东)设等差数列{a
n
}的前n项和为S
n<
br>,且S
4
=4S
2
,a
2n
=2a
n
+1.
(Ⅰ)求数列{a
n
}的通项公式;
(Ⅱ)设数列{b
n
}满足=1﹣,n∈N,求{b
n
}的前n项和T
n
.
,
*
解:(Ⅰ)设等差数列{a
n
}的首项为a
1
,公差为d,由S
4
=4S
2
,a
2n
=2a
n
+1有:
解有a
1
=1,d=2.
*
∴a
n
=2n﹣1,n∈N.
(Ⅱ)由已知
当n=1时,
当n≥2时,
∴=
+
=,
=(1﹣
*
+…+=1﹣,n∈N,有:
*
)﹣(1﹣)=,∴,n=1时符合.
,n∈N
*
由(Ⅰ)知,a
n
=2n﹣1,n∈N.
∴b
n
=,n∈N.
*
又T
n
=
+
∴T
n
=+
++…+
+…++
,
,
+…+)﹣=﹣﹣
两式相减有:T
n
=+(
∴T
n
=3﹣.
+
28
.(2010?山东)已知等差数列{a
n
}满足:a
3
=7,a
5
+a
7
=26.{a
n
}的前n项和为S
n
.(Ⅰ
)求a
n
及S
n
;(Ⅱ)令
(n∈N),求数列{b
n}的前n项和T
n
.
解:(Ⅰ)设等差数列{a
n
}的公差为d,
∵a
3
=7,a
5
+a
7
=26,
∴有,
*
解有a
1
=3,d=2,
∴a
n
=3+2(n﹣1)=2n+1;
S
n
==n+2n;
2
(Ⅱ)由(Ⅰ)知a
n
=2n+1,
∴b
n
=
∴T
n
=
即数列{b
n
}的前n项和T
n
=
25.(2008?四川)在数列{a
n
}中,a
1
=
1,
求数列{b
n
}的前n项和S
n
;(Ⅲ)求数列{a
n
}的前n项和T
n
.
解:(Ⅰ)由条件有
故数列
(Ⅱ)由
两式相减,有:
(Ⅲ)由
∴T
n
=2S
n
+2a
1
﹣2a
n+1
=.
,又n=1时,,
,即
,
,∴
有
.
.
.
,
.(Ⅰ)求{a
n
}的通项公式;(Ⅱ)令,
.
==
=
=
=
,
,
构成首项为1,公式为的等比
数列.∴
有
3.(2010?四川)已知等差数列{a
n
}的前3项和为6,
前8项和为﹣4.(Ⅰ)求数列{a
n
}的通项公式;(Ⅱ)设b
n
=
n﹣1*
(4﹣a
n
)q(q≠0,n∈N),求数列{b
n
}的
前n项和S
n
.
解:(1)设{a
n
}的公差为d,
由已知有
解有a
1
=3,d=﹣1
故a
n
=3+(n﹣1)(﹣1)=4﹣n;
n﹣1
(2)由(1)的解答有,b
n
=n?q,于是
S
n
=1?q+2?q+3?q+…+n?q.
若q≠1,将上式两边同乘以q,有
123n
qS
n
=1?q+2?q+3?q+…+n?q.
上面两式相减,有
(q﹣1)S
n
=nq﹣(1+q+q+…+q
于是S
n
=
若q=1,则S
n
=1+2+3+…+n=
n2
n﹣1
012n﹣1
)=nq﹣
n
∴,S
n
=.
4.(2010?四川)已知数列{a
n
}
满足a
1
=0,a
2
=2,且对任意m、n∈N都有a
2m﹣1+a
2n﹣1
=2a
m+n﹣1
+2(m﹣n)(1)求a
3<
br>,
*n﹣1*
a
5
;(2)设b
n
=a
2n
+1
﹣a
2n﹣1
(n∈N),证明:{b
n
}是等差数列;(3)
设c
n
=(a
n+1
﹣a
n
)q(q≠0,n∈N),求数
列{c
n
}的前
n项和S
n
.
解:(1)由题意,令m=
2,n=1,可有a
3
=2a
2
﹣a
1
+2=6
再令m=3,n=1,可有a
5
=2a
3
﹣a
1
+8=20
*
(2)当n∈N时,由已知(以n+2代替m)可有
a
2n+3
+a
2n﹣1
=2a
2n+1
+8 <
br>于是[a
2(n+1)+1
﹣a
2(n+1)﹣1
]﹣(a
2
n+1
﹣a
2n﹣1
)=8
即b
n+1
﹣b
n
=8
∴{b
n
}是公差为8的等差数列
(3)由(1)(2)解答可知{bn
}是首项为b
1
=a
3
﹣a
1
=6,公差为
8的等差数列
则b
n
=8n﹣2,即a
2n+1
﹣a
2n
﹣1
=8n﹣2
另由已知(令m=1)可有
a
n
=
∴a
n+1
﹣a
n
=
n﹣1
*2
﹣(n﹣1).
﹣2n+1=﹣2n+1=2n
2
于是c
n
=2nq.
当q=1时,S
n
=2+4+6++2n=n(n+1)
012n﹣1
当q≠1时,S
n
=2?q+4?q+6?q+…+2n?q.
两边同乘以q,可有
123n
qS
n
=2?q+4?q+6?q+…+2n?q.
上述两式相减,有
(1﹣q)S
n
=2(1+q+q+…+q
∴S
n
=2?
2n﹣1
)﹣2nq=2?
n
﹣2nq=2?
n
综上所述,S
n
=. 16.(2009?湖北)已知数列{a
n
}是一个公差大于0的等差数列,且满足a3
a
6
=55,a
2
+a
7
=16(1)求数
列{a
n
}的通项
公式;(2)数列{a
n
}和数列{b
n
}满足等式a
n
=
解:(1)设等差数列{a
n
}的公差为
d,
则依题意可知d>0由a
2
+a
7
=16,
有,2a
1
+7d=16①
由a
3
a
6
=55,有(a
1
+2d)(a
1
+5d)=55②
由①②联立方程求,有
(n∈N),求数列{b
n
}的前n项和S
n
.
*
d=2,a
1
=1d=﹣2,a
1
=(排除)
∴a
n
=1+(n﹣1)?2=2n﹣1
(2)令c
n
=
,则有a
n
=c
1
+c
2
+…+c
n
<
br>a
n+1
=c
1
+c
2
+…+c
n+1
两式相减,有
a
n+1
﹣a
n
=c
n+1
,由(1)有a
1
=1,a
n+1
﹣a
n
=2
∴c
n+1
=2,即c
n
=2(n≥2),
即当n≥2时,
n+1
b
n
=2,又当n=1时,b
1<
br>=2a
1
=2
∴b
n
=
34n+1n+2
于是S
n
=b
1
+b
2
+b
3
+…+b
n
=2+2+2+…2=2﹣6,n≥2,
.
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