高中数学函数几讲-高中数学联赛一试试题
必修5 数列
2.等差数列
?
a
n
?
中,
a
4
?a
6
?a
8
?a
10
?a
12
?120,则a
9
?a
11
的值为
?
A.14 B.15 C.16 D.17
1
3
?
11222120
a
9
?a11
?a
9
?(a
9
?2d)?(a
9
?d)
?a
8
???16
C
333335
3
.等差数列
?
a
n
?
中,
a
1
?0,S<
br>9
?S
12
,则前 项的和最大.
?3a
11
?0,?a
11
?0,又a
1
?0
解:
?
S
9
?S
12
,S
12
?S
9
?0?a<
br>10
?a
11
?a
12
?0,
∴
?
a
n
?
为递减等差数列∴
S
10
?S
11
为最大. 10或11
4.已知等差数列
?
a
n
?
的前1
0项和为100,前100项和为10,则前110项和为 .
?,S
110
?S
100
,?
成等差数列,公差为D其首项为
S
10?100
,解:∵
S
10
,S
20
?S
10<
br>,S
30
?S
20
,
前10项的和为
S
10
0
?10
?100?10?
10?9
?D?10,?D??22
2<
br>又S
110
?S
100
?S
10
?10D
?S
110
?100?10?10(??22)??110
-110
6.设等差数列
?
a
n
?
的前
n
项和为<
br>S
n
,已知
a
3
?12,S
12
?0,S<
br>13
?0
.
①求出公差
d
的范围;
?,S
12
中哪一个值最大,并说明理由. ②指出
S
1
,
S
2
,
解:①
S
12
?6(a
1
?a12
)?6(a
3
?a
10
)?6(2a
3
?
7d)?0
?24?7d?0
?24?8d?0
13(a
1
?a
13
)
132413
又S
13
??(a
3
?a
11
)?(2a
3
?8d)?0
7222
24
?d??3
从而??d??3
7
?d??
?S
6
最大。
②
QS
12
?6(a
6
?a
7
)?0S
13
?13a
7
?0?a
7
?0,a
6
?0
,则a12
等于( ) 1. 已知等差数列
?
a
n
?
中,
a
7
?a
9
??16,a
4
?1
A.
15 B.30 C.31 D.64
Qa
7
?a
9
?a
4
?a
12
?a
12
?15
A
2. 设
S
n
为等差数列
?
an
?
的前
n
项和,
S
4
?14,S
1
0
?S
7
?30,则S
9
= .
54
3. 已知等差数列
?
a
n
?
的前
n
项和为
S
n
,若
S
12
?21,则a
2
?a
5
?a
8
?a
11
?
.
4. 等差数列
?
a
n
?
的前
n
项和
记为
S
n
,已知
a
10
?30,a
20
?
50
.
①求通项
a
n
;②若
S
n
=242,求
n
.
解:
a
n
?a
1
?(n?1)d
a10
?30,a
20
?50
由
S
n
?na1
?
?
a?9d?30
解方程组
?
1
?
a
1
?19d?50
?
a?12
?
?
1
?
d?2
?a
n
?2n?10
n(n?1)
n(n?1)d
,
S
n
=242
?12n?
?2?242解得n?11或n??22(舍去)
2
2
5.甲、乙两物体分别从相距70
m
的两处同时相向运动,甲第一分钟走2
m
,以后每分钟比前一分
钟多走1
m
,乙每分钟走5
m
,①甲
、乙开始运动后几分钟相遇? ②如果甲乙到对方起点后立即
折返,甲继续每分钟比前一分钟多走1m
,乙继续每分钟走5
m
,那么,开始运动几分钟后第二
次相遇? 解:①设
n
分钟后第一次相遇,依题意有:
2n?
故第一次相遇是在开始
运动后7分钟.
②设
n
分钟后第二次相遇,则:
2n?
n(n?1)
?5n?70解得n?7,n??20(舍去)
2
n(n?1)
?5n?3?70
解得n?15,n??28(舍去)
2
1
(n?1)(a
n
?1)?1
.
2
故第二次相遇是在开始运动后15分钟
10.已知数列
?
an
?
中,
a
1
?3,
前
n
和
S
n
?
①求证:数列
?
a
n
?
是等差数列
; ②求数列
?
a
n
?
的通项公式;
③设数列<
br>?
?
1
?
?
的前
n
项和为
T
n
,是否存在实数
M
,使得
T
n
?M
对一切正整
数
n
都成立?
aa
?
nn?1
?
11
(
n?1)(a
n
?1)?1
?S
n?1
?(n?2)(a
n?1
?1)?1
22
若存在,求
M
的最小值,若不存在,试说明理由.
解:①∵<
br>S
n
?
?a
n?1
?S
n?1
?S
n
?
?(n?1)a
n?2
1
?
(n?2)(a
n
?1
?1)?(n?1)(a
n
?1)
?
整理得,na
n?
1
?(n?1)a
n
?1
2
?(n?2)a
n?
1
?1?(n?1)a
n?2
?na
n?1
?(n?2)a
n?1
?(n?1)a
n
?2a
n?1
?a
n?2
?a
n
∴数列
?
a
n
?
为等差数列.
?2(n?1)a
n?1
?(n?1)(a
n?2
?a
n<
br>)
②
a
1
?3,na
n?1
?(n?1)a
n
?1
?a
2
?2a
1
?1?5
?a
2
?a
1
?2即等差数列
?
a
n
?<
br>的公差为2
?a
n
?a
1
?(n?1)d?3?(
n?1)?2?2n?1
③
?
11
1
?
11?
?
?
?
?
?
a
n
an?1
(2n?1)(2n?3)
2
?
2n?12n?3
?1111111111
?T
n
?(????
L
??)?(?)<
br>
235572n?12n?3232n?3
又当n?N
?
时,Tn
?
1
1
,要使得
T
n
?M
对一切正
整数
n
恒成立,只要
M
≥,所以存在实数
M
使
6<
br>6
得
T
n
?M
对一切正整数
n
都成立,M
的最小值为
1
.
6
三、等比数列
知识要点
1. 定义:如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,那么这个数列叫做<
br>等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,记为
q,
?
q?0
?
.
2. 递推关系与通项公式
递推关系:a
n?1
?qa
n<
br>通项公式:a
n
?a
1
?q
n?1
推广:a
n
?a
m
?q
n?m
3. 等比中项:若
三个数
a,b,c
成等比数列,则称
b
为
a
与
c<
br>的等比中项,且
b??ac,注:b?ac
是成等比数列的必要而不充分条件.
4. 前
n
项和公式
2
(q?1)
?
na
1
?
n
S
n
?
?
a
1
(1?q
)
a
1
?a
n
q
?
?
1?q
?<
br>1?q
(q?1)
5.
等比数列的基本性质,
(其中m,n,p,q?N)
①
若m?n?p
?q,则a
m
?a
n
?a
p
?a
q
,反之
不成立!
②
q
n?m
?
?
a
n
2
,a
n
?a
n?m
?a
n?m
(n?N
?
)
a
m
③
?
a
n
?
为等比数列,则下标成等差数列的对应项成等比数列.
④若项数为
2nn?N
*
,则
n
⑤<
br>S
n?m
?S
n
?q?S
m
.
??
S
偶
S
奇
?q
.
?
仍成等比数列. ⑥
q??1时,S
n
,S
2n
?S
n
,S
3n
?S
2n
,
6.
等比数列与等比数列的转化
①
?
a
n
?
是等差数列
?
c
??
a
n
(c?0,c?1)
是等比数列;
(c?0,c?1)
是等差数列; ②
?
a
n
?
是
正项等比数列
?
?
log
c
a
n
?
③?
a
n
?
既是等差数列又是等比数列
?
?
a<
br>n
?
是各项不为零的常数列.
7. 等比数列的判定法
①定义法:
a
n?1
?q(常数)?
?
a
n
?
为等比
数列;
a
n
2
②中项法:
a
n?1
?a
n
?a
n?2
(a
n
?0)?
?
a
n?
为等比数列;
n
③通项公式法:
a
n
?k?q(
k,q为常数)?
?
a
n
?
为等比数列;
n
?
?
a
n
?
为等比数列. ④前
n项和法:
S
n
?k(1?q)(k,q为常数)
性质运用
1.
设f(n)?2?2?2?2
4710
???2
3n?10
(n?N
?
),则f(n)等于
??
2
A.(8
n
?1)
7
D
2
B.(8<
br>n?1
?1)
7
2
C.(8
n?3
?1)
7
2
D.(8
n?4
?1)
7
2.已知数列
?
a
n
?
是等比数列,且
S
m
?10,S
2m?30,则S
3m
?
.
70
3.⑴在等比
数列
?
a
n
?
中,
a
1
?a
6<
br>?33,a
3
a
4
?32,a
n
?a
n?1
.
①求
a
n
,②若
T
n
?lga
1
?lga
2
???lga
n
,求T
n
. ⑵在等比数列
?
a
n
?
中,若
a
15
?0
,则有等式
a
1
?a
2
???a
n
?
a
1
?a
2
???a
29?n
(n?29,n?
N
?
)
成立,类比上述性质,相应的在等比数列
?
b
n?
中,若
b
19
?1
,则有等式
成立.
解:⑴①由等比数列的性质可知:
a
1
?a6
?a
3
?a
4
?32
所以
又a
1<
br>?a
6
?33,a
1
?a
6
解得a
1
?32,a
6
?1
a
6
111
?,即q
5
?,?q?
a
1
32322
1
所以a
n
?32?()
n?1
?2
6?n
2
②由等比数列的性
质可知,
?
lga
n
?
是等差数列,因为
lga
n
?lg2
6?n
?(6?n)lg2,lga
1
?5lg2所以T
n
?
(lga
1
?lga
n
)n
n(11
?n)
?lg2
22
⑵由题设可知,如果
a
m
?
0
在等差数列中有
a
1
?a
2
???a
n
?a
1
?a
2
???a
2m?1?n
(n?2m
?1,n?N
?
)
成立,我们知道,如果
若m?n?p?q,则a
m
?a
n
?a
p
?a
q
,而对于等
比数列<
br>?
b
n
?
,则有
若m?n?p?q,则a
m
?a
n
?a
p
?a
q
所以可以得出结论,若
b<
br>m
?1,则有b
1
b
2
?b
n
?b
1
b
2
?b
2m?1?n
(n?2m?1,n?N
?
)
成立,在本题中
则有b
1
b
2
?b
n
?b
1
b
2
?b
37?n
(n?37,n?N
?
)
1.{
a
n
}是等比数列,下面四个命题中真命题的个数为 ( )
①{
a
n
2
}也是等比数列;②{
ca
n
}(
c
≠0)也是等比数列;③{
A.4
2.等比数列{
a
n
}中,已知
a
9
=-2,则此数列前17项之积为 ( )
A.2
16
B.-2
16
C.2
17
D.-2
17
3.等比数列{
a
n
}
中,
a
3
=7,前3项之和S
3
=21, 则公比q的值为 (
)
A.1
4.在等比数列{
a
n
}中,如果
a
6
=6,
a
9
=9,那么
a
3
等于 (
)
A.4 B.
B.-
B.3 C.2
1
}也是等比数列;④{ln
a
n
}也是等比数列.
a
n
D.1
1
2
C.1或-1
D.-1或
1
2
3
2
C.
16
9
D.2
5.若两数的等差中项为6,等比中项为5,则以这两数为两根的一元二次方程为 ( )
A.x
2
-6x+25=0 B.x
2
+12x+25=0
C.x
2
+6x-25=0 D.x
2
-12x+25=0
6.某工厂去年总产
a
,计划今后5年内每一年比上一年增
长10%,这5年的最后一年该厂的总产值
是 ( )
A.1.1
4
a
B.1.1
5
a
C.1.1
6
a
D.(1+1.1
5
)
a
7.等比数列{
a
n
}中,
a
9
+
a
10
=
a
(
a<
br>≠0),
a
19
+
a
20
=
b
,则
a
99
+
a
100
等于 ( )
8.已知各项为正的等比数列的前5项之和为3,前15项之和为39,则该数列的前10项之和为(
)
A.3
2
9.某厂2001年12月份产值计划为当年1月
份产值的n倍,则该厂2001年度产值的月平均增长率
为 ( )
30
10.已知等比数列
?
a
n
?
中,公比
q
?2
,且
a
1
?a
2
?a
3
?L?a30
?2
,那么
a
3
?a
6
?a
9<
br>?L?a
30
等于 ( )
b
9
A.
8
a
b
B.()
9
a
b
10
C.
9
a
D.(
b
10
)
a
B.3
13
C.12
D.15
A.
n
11
B.
11
n
C.
12
n?1
D.
11
n?1
A.
2
B.
2
C.
2
D.
2
11.等比数列的前n项和S
n
=k·3
n
+1,则k的值为 (
)
A.全体实数
12.某地每年消耗木材约20万
m
,每m
价240元,为了减少木材消耗,决定按
t%
征收木材税,
这样每年的
木材消耗量减少
则
t
的范围是 ( )
A.[1,3]
B.[2,4] C.[3,5] D.[4,6]
33
10201615
B.-1 C.1 D.3
5
t
万
m
3
,为了既减少木材消耗又保证税金收入每年不少于90万元,
2
一、选择题: BDCAD BACDB BC
13.在等比数列{
a<
br>n
}中,已知
a
1
=
3
,
a
4
=12,则q=_____
____,
a
n
=____ ____.
2
14
.在等比数列{
a
n
}中,
a
n
>0,且
a
n
+
2
=
a
n
+
a
n
+
1
,则该数列的公比q=___ ___.
15.在等比
数列{
a
n
}中,已知
a
4
a
7
=-51
2,
a
3
+
a
8
=124,且公比为整数,求
a<
br>10
= .
16.数列{
a
n
}
中,
a
1
?3
且
a
n?1
?a
n
(n
是正整数),则数列的通项公式
a
n
?
.
二、填空题:13.2, 3·2
n
2
.
14.
-
2
1?5
2
n?1
.15.512
.16.
3
.
2
17.已知数列满足
a
1
=1,
a
n
+
1
=2
a
n
+1 (n∈N*).
(1)求证数列{
a
n
+1}是等比数列;(2)求{
a
n
}的通项公式.
(1)证明由
a
n
+
1
=2a
n
+1得
a
n
+
1
+1=2(
a<
br>n
+1)又
a
n
+1≠0 ∴
(2)解析: 由(1)知a
n
+1=(
a
1
+1)q
n
-
1<
br>-
a
n?1
?1
=2即{
a
n
+1}为等比
数列.
a
n
?1
-
即
a
n
=(
a
1
+1)q
n
1
-1=2·2
n
1
-1
=2
n
-1
18.在等比数列{
a
n
}中,已知对n∈N
*,
a
1
+
a
2
+…+
a
n
=2
n
-1,求
a
1
2
+
a
2
2+…+
a
n
2
.
解析: 由
a
1
+
a
2
+…+
a
n
=2
n
-1 ①
n∈N*,知
a
1
=1
且
a
1
+
a2
+…+
a
n
-
1
=2
n
1
-1 ②
-
由①-②得
a
n
=2
n
-
1
,n≥2 又
a
1
=1,∴
a
n
=2n
-
1
,n∈N*
a
n?1
a
n
2<
br>2
(2
n
)
2
?
n?12
=4
(
2)
2
a
1
(1?4
n
)
1
n
2
222
?(4?1)
即{
a
n
}为公比为4的等比数列
∴
a
1
+
a
2
+…+
a
n
=1?43
19.在等比数列{
a
n
}中,已知S
n
=4
8,S
2n
=60,求S
3n
.
?
a
1
(1?q
n
)
?48
?
?
1?q
解析一:
∵S
2n
≠2S
n
,∴q≠1 根据已知条件
?
2n
?
a
1
(1?q)?60
?
1?q
?
②÷①得:1+q
n
=
①
②
a
1
5
即q
n
= ③
③代入①得
1
=64 ④
1?q
4
4
∴
S
3n
=
a
1
1
(1-q
3
n
)=64(1-
3
)=63
1?q
4
解析二: ∵{
a
n
}为等比数列 ∴(S2n
-S
n
)
2
=S
n
(S
3n-S
2n
)
(S
2n
?S
2n
)
2
(60?48)
2
∴S
3n
=+60=63
?S
2n
?
S
n
48
20.求和:S
n
=1+3x+5
x
2
+7x
3
+…+(2n-1)x
n
-
1
(x≠0).
解析:当x=1时,S
n
=1+3+5+…+(2n-1)=n
2
当x≠1时,∵S
n
=1+3x+5x
2
+7x
3
+…+(2n-1)x
n
1
, ①
等式两边同乘以x得:xS
n<
br>=x+3x
2
+5x
3
+7x
4
+…+(2n-1)
x
n
. ②
①-②得:(1-x)S
n
=1+2x(1+x+x
2
+…+x
n
-
2
-
2x(x
n?1?1)
)-(2n-1)x=1-(2n-1)x+,
x?1
nn
(2
n?1)x
n?1
?(2n?1)x
n
?(1?x)
∴S
n
=.
2
(x?1)
21.在等比数列{
a
n
}中
,
a
1
+
a
n
=66,
a
2
·<
br>a
n
-
1
=128,且前n项和S
n
=126,求n
及公比q.
解析:∵
a
1
a
n
=
a
2<
br>a
n
-
1
=128,又
a
1
+
a<
br>n
=66,
∴
a
1
、
a
n
是方程
x
2
-66x+128=0的两根,解方程得x
1
=2,x
2
=64,
∴
a
1
=2,
a
n
=64或
a
1
=64,
a
n
=2,显然q≠1.
若
a1
=2,
a
n
=64,由
a
1
?a
n
q
--
=126得2-64q=126-126q,∴q=2,由
a
n
=
a
1
q
n
1
得2
n
1
=32, ∴n=6.
1?q
若
a
1
=64,
an
=2,同理可求得q=
11
,n=6.综上所述,n的值为6,公比q=2或.
22
22.某城市1990年底人口为50万,人均住房面积为16
m
2
,如果该市每年人口平均增长率为1%,
每年平均新增住房面积为30万
m
2
,求2000年底该市人均住房的面积数.(已知1.01
5
≈
1.05,精确到
0.01
m
2
)
解析:依题意,每年年底的人
口数组成一个等比数列{
a
n
}:
a
1
=50,q=1+1
%=1.01,n=11
则
a
11
=50×1.01
10
=50×(1.01
5
)
2
≈55.125(万),
又每年年底的
住房面积数组成一个等差数列{
b
n
}:
b
1
=16×50
=800,d=30,n=11
∴
b
11
=800+10×30=1100(万米
2
) <
br>因此2000年底人均住房面积为:1100÷55.125≈19.95(
m
2
)