人教A版高中数学必修五必修5数列测试题

------------------------------------------- ------------------------奋斗没有终点任何时候都是一个起点---------- -------------------------------------------








高一数学《数列》单元检测题及参考答案

一、选择题：
1．已知数列< br>?
a
n
?
的首项
a
1
?1
，且a
n
?2a
n?1
?1
?
n?2
?
， 则
a
5
为（D）
A．7B．15 C.30 D．31

2．等比数列
?
a
n
?
中，
a
1
、a< br>99
为方程
x
2
?10x?16?0
的两根，则
a< br>20
?a
50
?a
80
的值为
（D）
A．32B．64C．256D．±64

3.若{
a
n
}是等差数列，且
a
1
＋
a
4
＋
a
7=45，
a
2
＋
a
5
＋
a
8
=39，则
a
3
＋
a
6
＋
a
9
的 值是（D）
A．39 B．20 C．19.5 D．33

4．非常数数列{a
n
}
是等差数列，且
{a
n
}
的第5、1 0、20项成等比数列，则此等
比数列的公比为（C）
11
A．B．5C．2D．
52
5．在等比数列
{a
n
}
中,
a
n< br>>0，且
a
2
a
4
+2
a
3
a5
+
a
4
a
6
=25，那么
a
3+
a
5
=（A）
A5B10C15D20

6．S
n
为等差数列{a
n
}的前n项之和，若a
3
=10，a< br>10
=－4，则S
10
－S
3
等于（A）
A．14 B．6 C．12 D．21

信达

--------- -------------------------------------------------- --------奋斗没有终点任何时候都是一个起点-------------------------- ---------------------------



7．正项 等比数列｛a
n
｝满足：a
2
·a
4
=1，S
3< br>=13，b
n
=log
3
a
n
，则数列｛b
n
｝的
前10项的和是（D）
A．65 B．－65 C．25 D．－25

8．在等差数列
{a
n
}
中，
a< br>3
、
a
8
是方程
x
2
?3x?5?0
的两个根，则
S
10
是（B）
A.30B.15C.50D.25

9．若某等差数列中，前7项和为48，前14项和为72，则前21项和为（B）
A.96B.72C.60D.48
10．已知等差数列
{a
n
}
的通项公式为
a
n
?2n?1,
其前n项和为S
n
，则数列
{
前10项的和为 （C）
S
n
}
的
n
A.120 B.70 C.75 D.100

二、填空题：

11.等比数列的公比为2,且前4项之和等于1,那么前8项之和等于 17 .
< br>12.已知数列的通项公式
a
n
?2n?37
,则
S
n
取最小值时
n
= 18 ,此时
S
n
= 324 .

15．数列{
a
n
}为等差数列，
a
2
与
a
6
的等差中项为5，
a
3
与
a
7
的等差中项为7，则
数列的通项
a
n
等于__ 2n-3 _.
1
16.数列{
a
n
}为等 差数列，
S
100
=145，
d
=，则
a
1
＋
a
3
＋
a
5
＋…＋
a
99
的 值为
2
__60_ .

三、解答题
15． （14分）在等比数列
{a
n
}
中，S
n
为其前n项的和。 设
a
n
?0,a
2
?4,S
4
?a
1?28
.
求
a
n?3
的值。
a
n
a
2
?4,
a
1
q?4,
?
?
解析：由?
得：
?
2

a?a?a?28,
aq(1?q)?2 4.
34
?
1
?
2
信达

---- -------------------------------------------------- -------------奋斗没有终点任何时候都是一个起点--------------------- --------------------------------



?
a?2,
由
a
n
?0
解得：
?
1
q?2.
?
所以
a
n?3
?q
3
? 8
.
a
n
16．已知关于
x
的方程
x
2
－3
x
＋
a
=0和
x
2
－3
x< br>＋
b
=0(
a
≠
b
)的四个根组成首项为
的 等差数列，求
a
＋
b
的值.
3
4

解析 ：由方程
x
2
－3
x
＋
a
=0和
x
2
－3
x
＋
b
=0(
a
≠
b
) 可设两方程的根分别为
x
1
，
x
2
和
x
3
，
x
4
，
由
x
1
＋
x
2
=3和
x
3
＋
x
4
=3
所以，
x
1
，
x
3
，
x
4
，
x
2
(或
x
3
，
x
1
，
x
2，
x
4
)组成等差数列，
31
由首项
x
1< br>=，
x
1
＋
x
3
＋
x
4
＋
x
2
=6，可求公差
d
=，
42
3579
所以四项为：
,,,
，
4444
3 95731
∴
a
＋
b
=
????
．
44448

17．数列｛
a
n
｝是首项为23，公差为整 数的等差数列，且第六项为正，第七项为
负.
（1）求数列的公差；
（2）求前
n
项和
S
n
的最大值；
（3）当
S
n
＞0时，求
n
的最大值．

解析：(1)由已知
a
6
=
a
1
＋5
d
=23＋5
d
＞0，
a
7
=
a
1
＋6d
=23＋6
d
＜0，
2323
解得:－＜
d
＜－，又
d
∈Z，∴
d
=－4
56
(2)∵
d
＜0，∴{
a
n
}是递减数列，又
a
6
＞0，a
7
＜0
6?5
∴当
n
=6时，
S
n
取得最大值，
S
6
=6×23＋(－4)=78
2
n( n?1)
(3)
S
n
=23
n
＋(－4)＞0，整理得：< br>n
(50－4
n
)＞0
2
25
∴0＜
n
＜，又
n
∈N*，
2
所求
n
的最大值为12.
1
18．设等比数列
?
a
n
?
的首项
a
1
?
，前n项和为S
n
，且
2
10
S
30
?(2
10< br>?1)S
20
?S
10
?0
，
2
且数列
?
a
n
?
各项均正。
（Ⅰ）求
?
a
n
?
的通项；（Ⅱ）求
?
nS
n?
的前n项和
T
n
。
信达

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解：（Ⅰ）由
2
10
S
30
?(2
10
?1)S
20
?S
10
?0
得
2
10
(S
30
?S
20
)?S
20
?S
10
,
< br>即
2
10
(a
21
?a
22
???a
30
)?a
11
?a
12
???a
20
,

可得
2
10
?q
10
(a
11
?a< br>12
???a
20
)?a
11
?a
12
?? ?a
20
.

1
因为
a
n
?0
， 所以
2
10
q
10
?1,
解得
q?
， < br>2
1
因而
a
n
?a
1
q
n?1?
n
,n?1,2,?.

2
11
（Ⅱ）因为
{a
n
}
是首项
a
1
?
、公比
q?
的等比数列，故
22
11
(1?
n
)
2
?1?
1
,nS?n?
n
.

S
n
?
2
n
1
2
n
2
n
1?
2
12n则数列
{nS
n
}
的前n项和
T
n
?(1?2 ???n)?(?
2
???
n
),

2
22
T
n
112n?1n
?(1?2???n)?(
2
?
3< br>???
n
?
n?1
).

22
2222T
1111n
前两式相减，得
n
?(1?2???n)?(?
2
???
n
)?
n?1

222
222
11
(1?
n
)
n(n?1)
2
2
?
n
即
T?
n(n?1)
?
1
?
n
?2.

??
n
1
2
4
2
n?1
2
n2
n?1
1?
2
19．某公司决定给员工增加工资，提出了两个方案，让 每位员工自由选择其中一
种.甲方案是：公司在每年年末给每位员工增资1000元；乙方案是每半年末
给每位员工增资300元.某员工分别依两种方案计算增资总额后得到下表：
工作年限 方案甲 方案乙 最终选择
1 1000 600 方案甲
2 2000 1200 方案乙
≥3 方案甲
(说明：①方案的选择应以让自己获得更多增资为准.②假定员工工作年限均
为整数.) （1）他这样计算增资总额，结果对吗？如果让你选择，你会怎样选择增资
方案？说明你的理由；
（2）若保持方案甲不变，而方案乙中每半年末的增资数改为
a
元，问：
a< br>为
何值时，方案乙总比方案甲多增资？

.解析：(1)设根据甲方案第n
次的增资额为
a
n
，则
a
n
=1000n

第
n
年末的增资总额为T
n
=500
n< br>(
n
＋1)
信达

--------------- -------------------------------------------------- --奋斗没有终点任何时候都是一个起点-------------------------------- ---------------------



根据乙方案，第
n
次的增资额为
b
n
，则
b
n
=300
n

第
n
年末的增资总额为
S
2
n
=30 0
n
(2
n
＋1)
∴
T
1
=1000，
S
2
=900，
T
1
＞
S
2
只工 作一年选择甲方案
T
2
=3000，
S
4
=3000，T
2
=
S
4

当
n
≥3时，
T
n
＜
S
2
n
，因此工作两年或两年以上选择乙方案. < br>(2)要使
T
n
=500
n
(
n
＋1)，< br>S
2
n
=
an
(2
n
＋1)
n? 1
S
2
n
＞
T
n
对一切
n
∈N* 都成立即
a
＞500·
2n?1
n?1
可知{500}为递减数列 ，当
n
=1时取到最大值.
2n?1
210001000
则
a
＞500·=(元)，即当
a
＞时，方案乙总比方案甲多
333

20．数列
{a
n
}
的前n项和为
S
n
,满足:a
1
?1,3tS
n
?(2t?3)Sn?1
?3t,其中t?0,n?N
?
,n?2,

（Ⅰ）求证：数列
{a
n
}
是等比数列；
（Ⅱ）设数列
{a
n
}
的公比为
f
(
t
)，数列
{b< br>n
}
满足
b
1
?1,b
n
?f(
的 通项公式.
解析：（Ⅰ）
3tS
n
?(2t?3)S
n?1
?3t
①
3tS
n?1
?(2t?3)S
n
?3t
②
1< br>b
n?1
),(n?2),求b
n
②—①得：
3ta
n?1
?(2t?3)a
n
?0

?
a
n?12t?3
?,?从第二项起??,又a
1
?1,3t(a
1
?a
2
)?(2t?3)a
1
?3t

a
n
3 t
解得：
a
2
?
?
2t?3

3ta
a
2
a
3
????
n?1
,?{a
n
}是等比数列

a
1
a
2
a
n
（Ⅱ）
f(t)?
2t?3
,b
n
?
3t
2
1
?3
b
n?1
3b?2
2
?
n?1
? b
n?1
?

1
33
3
b
n?1
?b
n
?b
n?1
?
2
3
221
b
n
?1?(n?1)??n?
333

信达